必修二.直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式

用過兩直線交點(diǎn)的直線系方程解題[規(guī)律總結(jié)]

(1)過兩條直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同時(shí)為0)與l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同時(shí)為0)交點(diǎn)的直線系方程為m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中m、n為參數(shù)，且m、n不同時(shí)為0)．(2)上面的直線系方程可改寫成(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中λ為參數(shù))．這個(gè)參數(shù)形式的方程在解題中較為常用．求直線方程的問題時(shí)，如果知道所求直線過已知兩直線的交點(diǎn)，可利用此直線系方程求解，這樣可以避免求交點(diǎn)的繁雜計(jì)算．[例2]在x軸上求一點(diǎn)P，使得(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距離之差最大，并求出最大值；(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距離之和最小，并求出最小值．[解題流程][名師批注]例3：(1)求直線2x＋11y＋16＝0關(guān)于點(diǎn)P(0,1)對稱的直線方程．(2)求直線2x－y＋1＝0關(guān)于直線x－y＋2＝0對稱的直線方程．(3)若兩平行直線3x＋4y－1＝0與6x＋8y＋3＝0關(guān)于直線l對稱，求l的方程．[解析]

(1)解法1：所求直線與直線2x＋11y＋16＝0平行，它們到P點(diǎn)距離相等，設(shè)所求直線方程2x＋11y＋C＝0，由點(diǎn)P到兩直線距離相等解出C＝－38，∴所求直線方程為2x＋11y－38＝0.解法2：設(shè)M(x，y)是所求直線上任一點(diǎn)，它關(guān)于點(diǎn)P(0,1)的對稱點(diǎn)(－x,2－y)在直線2x＋11y＋16＝0上，∴2(－x)＋11(2－y)＋16＝0即2x＋11y－38＝0.(2)設(shè)所求直線上任一點(diǎn)M(x，y)，它關(guān)于直線x－y＋2＝0的對稱點(diǎn)M′(x1，y1)，代入M′所在直線方程2x－y＋1＝0中得：2(y－2)－(x＋2)＋1＝0，即x－2y＋5＝0.距離公式的綜合應(yīng)用

、

兩互相平行的直線分別過A(6,2)、B(－3，－1)，并且各自繞著A、B旋轉(zhuǎn)，如果兩條平行線間的距離為d.(1)求d的變化范圍；(2)求當(dāng)d取得最大值時(shí)的兩條直線方程．解析：解法一：(1)設(shè)兩條直線方程分別為

y＝kx＋b1和y＝kx＋b2，

則??í?ì

2＝6k＋b1，－1＝－3k＋b2，即??í?ì

b1＝2－6k，b2＝3k－1，

而d＝|b2－b1|1＋k2＝|9k－3|1＋k2，兩邊平方整理得

(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0，

由于k∈R,所以Δ＝542－4(81－d2)(9－d2)≥0，整理得4d2(d2－90)≤0，即0<d≤3.(2)因d＝3時(shí)，k＝＝－3，故兩直線方程分別為3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.解法二：(1)當(dāng)兩平行線均與線段AB垂直時(shí)，距離d＝|AB|＝3最大，當(dāng)兩直線都過A、B點(diǎn)時(shí)距離d＝0最小，但平行線不能重合．∴0<d≤3.兩直線方程分別是3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.點(diǎn)評：解析幾何是用代數(shù)方法解決幾何問題的一門科學(xué)，故數(shù)形結(jié)合思想在其中起著很重要的作用，如法二，它起著事半功倍的效果．易錯(cuò)探究

例5:當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí),三條直線l1:3x+my-1=0,l2:3x-2y-5=0,l3:6x+y-5=0不能圍成三角形.錯(cuò)解:當(dāng)三條直線兩兩相交,且過同一點(diǎn)時(shí),不能構(gòu)成三角形,

∴當(dāng)l2,l3相交于一點(diǎn)時(shí),由 3x-2y-5=0,

6x+y-5=0,

得l2與l3的交點(diǎn)(1,-1).將交點(diǎn)(1,-1)代入l1的方程,得3×1-m-1=0,∴m=2.

∴當(dāng)m=2時(shí),三線共點(diǎn),不能圍成三角形.錯(cuò)因分析:錯(cuò)因是由于思維不嚴(yán)密造成的,一般容易想到三直線共點(diǎn)而忽視了三條直線任兩條平行或重合時(shí)也不能圍成三角形這個(gè)條件.

正解:當(dāng)三條直線交于一點(diǎn)或其中有兩條互相平行時(shí),它們不能圍成三角形.

由 3x-2y-5=0,

6x+y-5=0,解得 x=1.

y=-1.

將x=1,y=-1代入l1方程中,得m=2.

∴當(dāng)m=2時(shí)三條直線共點(diǎn).

又m=-2時(shí),l1∥l2;

又m=

時(shí),l1∥l3.

∴當(dāng)m=±2或m=

時(shí),l1,l2和l3不能圍成三角形.例6.點(diǎn)P(x,y)在直線x+y-4=0上,則x2+y2