專(zhuān)訓(xùn)11.3 多邊形的邊數(shù)與角的計(jì)算-簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)之2021-2022學(xué)年八年級(jí)上冊(cè)考點(diǎn)專(zhuān)訓(xùn)（解析版）（人教版）

專(zhuān)訓(xùn)11.3多邊形的邊數(shù)與角的計(jì)算一、單選題1．將一個(gè)多邊形紙片沿一條直線剪下一個(gè)三角形后，變成一個(gè)六邊形，則原多邊形紙片的邊數(shù)不可能是A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】根據(jù)一個(gè)邊形剪去一個(gè)角后，剩下的形狀可能是邊形或邊形或邊形即可得出答案．【詳解】如圖可知，原來(lái)多邊形的邊數(shù)可能是5，6，7．不可能是8．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形，剪去一個(gè)角的方法可能有三種：經(jīng)過(guò)兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)，則少了一條邊；經(jīng)過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)和一邊，邊數(shù)不變；經(jīng)過(guò)兩條領(lǐng)邊，邊數(shù)增加．2．把一張形狀是多邊形的紙片剪去其中某一個(gè)角，剩下的部分是一個(gè)四邊形，則這張紙片原來(lái)的形狀不可能是（）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】D【分析】一個(gè)n邊形剪去一個(gè)角后，剩下的形狀可能是n邊形或（n+1）邊形或（n-1）邊形，由此即可解答.【詳解】當(dāng)剪去一個(gè)角后，剩下的部分是一個(gè)四邊形，則這張紙片原來(lái)的形狀可能是四邊形或三角形或五邊形，不可能是六邊形．故選D．【點(diǎn)睛】剪去一個(gè)角的方法可能有三種：經(jīng)過(guò)兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)，則少了一條邊；經(jīng)過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)和一邊，邊數(shù)不變；經(jīng)過(guò)兩條鄰邊，邊數(shù)增加一條．3．下列說(shuō)法中，①同位角相等；②三角形的高在三角形內(nèi)部；③一個(gè)多邊形的邊數(shù)每增加一條，這個(gè)多邊形的內(nèi)角和就增加；④兩個(gè)角的兩邊分別平行，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)同位角的定義、三角形的高及多邊形內(nèi)角和公式、平行線的性質(zhì)逐一判斷可得．【詳解】解：①只有兩平行直線被第三條直線所截時(shí)，同位角相等，故此結(jié)論錯(cuò)誤；②只有銳角三角形的高在三角形內(nèi)部，故此結(jié)論錯(cuò)誤；③一個(gè)多邊形的邊數(shù)每增加一條，這個(gè)多邊形的內(nèi)角和就增加180°，此結(jié)論正確；④兩個(gè)角的兩邊分別平行，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，此結(jié)論正確；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查同位角、三角形的高及多邊形內(nèi)角和、平行線的性質(zhì)，熟練掌握基本定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．如圖，是五邊形ABCDE的3個(gè)外角，若，則=（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和，結(jié)合計(jì)算即可．【詳解】解：，

，

，

故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形內(nèi)角和，熟知多邊形內(nèi)角和公式是解題關(guān)鍵．5．如圖，點(diǎn)A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，連接、、、、，若，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接BD，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四邊形內(nèi)角和減去∠CBD和∠CDB的和，即可得到結(jié)果．【詳解】解：連接BD，∵∠BCD=100°，∴∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°，∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB=360°-80°=280°，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和，四邊形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造三角形和四邊形．6．一張四邊形紙片剪去一個(gè)角后，內(nèi)角和將（）A．減少180° B．不變 C．增加180° D．以上都有可能【答案】D【分析】若剪掉四邊形相鄰兩條邊的一部分，則剩下的部分是五邊形．若從四邊形一個(gè)角的頂點(diǎn)，沿直線向?qū)堑泥忂吋?，且只剪掉一條鄰邊的一部分，則剩下的部分為四邊形．若沿著四邊形的對(duì)角線剪，則剩余部分為三邊形（三角形）．即可求得內(nèi)角和的度數(shù)．【詳解】解：如下圖所示：

觀察圖形可知，四邊形剪掉一個(gè)角后，剩下的圖形可能是五邊形，也可能是四邊形，還可能是三角形．

則剩下的紙片圖形是三角形或四邊形或五邊形．

內(nèi)角和是：180°或360°或540°．

故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是能理解一個(gè)四角形截取一個(gè)角后得到的圖形的形狀．7．在計(jì)算一個(gè)多邊形內(nèi)角和時(shí)，多加了一個(gè)角，得到的內(nèi)角和為1500°，那么原多邊形的邊數(shù)為（）A．9 B．10 C．11 D．10或11【答案】B【分析】設(shè)多加上的一個(gè)角的度數(shù)為x，原多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理，列出等式，進(jìn)而即可求解．【詳解】設(shè)多加上的一個(gè)角的度數(shù)為x，原多邊形的邊數(shù)為n，則(n-2)×180+x=1500，(n-2)×180=8×180+60-x，∵n-2為正整數(shù)，∴60-x能被180整除，又∵x＞0，∴60-x=0，∴(n-2)×180=8×180，∴n=10，故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和定理，根據(jù)定理，列出方程，是解題的關(guān)鍵．8．如圖三角形紙片，剪去角后，得到一個(gè)四邊形，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】三角形紙片中，剪去其中一個(gè)60°的角后變成四邊形，則根據(jù)多邊形的內(nèi)角和等于360度即可求得∠1+∠2的度數(shù)．【詳解】解：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得：四邊形除去∠1，∠2后的兩角的度數(shù)為180°-60°=120°，則根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理得：∠1+∠2=360°-120°=240°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查四邊形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是掌握四邊形的內(nèi)角和為360°及三角形的內(nèi)角和為180°．9．將一個(gè)五邊形紙片的一個(gè)角剪去，所得多邊形的內(nèi)角和不可能是（）A．180° B．360° C．540° D．720°【答案】A【分析】一個(gè)五邊形剪去一個(gè)角后，分三種情況：①邊數(shù)可能減少1，②邊數(shù)可能增加1，③邊數(shù)可能不變；然后分別求出每一種情況下的多邊形的內(nèi)角和．【詳解】解：一個(gè)五邊形剪去一個(gè)角后，分三種情況：①邊數(shù)可能減少1，②邊數(shù)可能增加1，③邊數(shù)可能不變；①四邊形的內(nèi)角和為：360°；②六邊形的內(nèi)角和為：（6-2）×180°=720°；③五邊形的內(nèi)角和為：（5-2）×180°=540°；故選A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了多邊形內(nèi)角和公式，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)題意，討論出剪去一個(gè)角后的各種情況．10．一個(gè)多邊形切去一個(gè)角后，形成的另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為360°，那么原多邊形的邊數(shù)為（）A．3 B．3或4 C．4或5 D．3或4或5【答案】D【分析】首先求得內(nèi)角和為360°的多邊形的邊數(shù)，再分類(lèi)解答即可．【詳解】解：內(nèi)角和為360°的多邊形是四邊形，如圖，剪切后的圖形有三種情況：不經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)剪切，則比原來(lái)的邊數(shù)多1；只過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)剪切，則和原來(lái)邊數(shù)相等；按照頂點(diǎn)連線剪切，則比原來(lái)邊數(shù)少1；綜上，原多邊形的邊數(shù)為3或4或5．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，全面分類(lèi)、熟知多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．把一張長(zhǎng)方形紙片剪去一個(gè)角后，還剩_____個(gè)角．【答案】3或4或5．【分析】剪掉一個(gè)角以后，多邊形的邊數(shù)可能增加了1條，也可能減少了1條，或者邊數(shù)不變．【詳解】解：如圖所示，把一張長(zhǎng)方形紙片剪去一個(gè)角后，可得三角形或四邊形或五邊形，故還剩3或4或5個(gè)角，故答案為：3或4或5．【點(diǎn)睛】本題考查了剪長(zhǎng)方形的問(wèn)題，掌握剪長(zhǎng)方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．若一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，變成六邊形，則原來(lái)多邊形的邊數(shù)可能是_____．【答案】5，6，7．【分析】直接畫(huà)圖，動(dòng)作操作即可知答案.【詳解】如圖可知，原多邊形的邊數(shù)可能為5,6,7故填5，6，7．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于能夠畫(huà)出圖形.13．一個(gè)四邊形剪去一三角形后余下的多邊形為_(kāi)__________邊形【答案】三、四、五【詳解】如圖可知，一個(gè)四邊形截去一個(gè)三角形后變成三角形或四邊形或五邊形，故答案為三、四、五.14．如圖，有一張三角形紙片，，，是邊上的定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)將紙片的一角折疊，使點(diǎn)落在下方處，折痕與交于點(diǎn)，當(dāng)與的一邊平行時(shí)，______度．【答案】110度或125【分析】由三角形內(nèi)角和定理得出∠C=30°，①當(dāng)AB∥C′D時(shí)，∠CDC′=∠A=80°，由折疊性質(zhì)得∠CDE=∠C′DE=∠CDC′=40°，∠C=∠C′=30°，則∠DEC′=180°-∠C′DE-∠C′=110°；②當(dāng)AB∥C′E時(shí)，設(shè)BE交C′D于點(diǎn)F，則∠B=∠BEC′=70°，由對(duì)頂角與三角形內(nèi)角和定理得∠BFD=∠C′FE=80°，由四邊形內(nèi)角和得∠ADF=360°-∠A-∠B-∠BFD=130°，得出∠CDC′=50°，由折疊性質(zhì)得∠CDE=∠C′DE=∠CDC′=25°，∠C=∠C′=30°，則∠DEC′=180°-∠C′DE-∠C′=125°．【詳解】解：∵∠A=80°，∠B=70°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-70°-80°=30°，①當(dāng)AB∥C′D時(shí)，∠CDC′=∠A=80°，由折疊性質(zhì)得：∠CDE=∠C′DE=∠CDC′=40°，∠C=∠C′=30°，∴∠DEC′=180°-∠C′DE-∠C′=180°-40°-30°=110°；②當(dāng)AB∥C′E時(shí)，設(shè)BE交C′D于點(diǎn)F，如圖所示：則∠B=∠BEC′=70°，∴∠BFD=∠C′FE=180°-∠C′-∠BEC′=180°-30°-70°=80°，∴∠ADF=360°-∠A-∠B-∠BFD=360°-80°-70°-80°=130°，∴∠CDC′=180°-∠ADF=180°-130°=50°，由折疊性質(zhì)得：∠CDE=∠C′DE=∠CDC′=25°，∠C=∠C′=30°，∴∠DEC′=180°-∠C′DE-∠C′=180°-25°-30°=125°；故答案為：110度或125．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、四邊形內(nèi)角和、折疊的性質(zhì)、分類(lèi)討論等知識(shí)，熟練掌握折疊的性質(zhì)與三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．15．如圖，五邊形是正五邊形，過(guò)點(diǎn)B作的垂線交于點(diǎn)F，則________．【答案】54゜【分析】利用多邊形的內(nèi)角和定理可得∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠E==108°，由BF⊥AB，可得∠CBF的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理可得∠1，易得結(jié)果．【詳解】解：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠E==108°，∵BF⊥AB，∴∠ABF=90°，∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=108°-90°=18°，∴∠1=180°-∠C-∠CBF=180°-108°-18°=54°，∴∠C-∠1=108°-54°=54°，故答案為：54゜．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角與外角，解答此題的關(guān)鍵是掌握多邊形內(nèi)角和定理：（n-2）?180°（n≥3且n為整數(shù)）．16．如圖，正六邊形，射線與交于點(diǎn)，則的度數(shù)是__________．【答案】30°【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式算出正六邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再利用正多邊形的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵多邊形ABCDEF是正六邊形，∴一個(gè)內(nèi)角為：(6-2)×180°÷6=120°，∴∠BCD=∠ABC=∠BAF=120°，∵AB=AF，∴∠ABF=∠AFB=30°，∴∠FBC=120°-30°=90°，∴∠GBC=90°，∵∠BCD=120°，∴∠FGD=120°-90°=30°．故答案為：30°【點(diǎn)睛】本題主要考查的是多邊形的內(nèi)角和以及正多邊形的性質(zhì)，掌握以上兩點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．17．把一個(gè)多邊形割去一個(gè)角后，得到的多邊形內(nèi)角和為1440°，則原來(lái)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為_(kāi)______．【答案】9或10或11【分析】先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n-2）?180°求出截去一個(gè)角后的多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)截去一個(gè)角后邊數(shù)增加1，不變，減少1討論得解．【詳解】解：設(shè)多邊形截去一個(gè)角的邊數(shù)為n，則（n-2）?180°=1440°，解得n=10，∵截去一個(gè)角后邊上可以增加1，不變，減少1，∴原多邊形的邊數(shù)是9或10或11．故答案為：9或10或11．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，關(guān)鍵是理解多邊形截去一個(gè)角后邊數(shù)有增加1，不變，減少1三種情況．18．一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，新得到的多邊形內(nèi)角和是1620°，則原來(lái)多邊形的邊數(shù)是__________．【答案】10或11或12【分析】先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式(n-2)?180°求出截去一個(gè)角后的多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)截去一個(gè)角后邊數(shù)增加1，不變，減少1討論得解．【詳解】解：設(shè)多邊形截去一個(gè)角的邊數(shù)為n，則(n-2)?180°=1620°，解得n=11，∵截去一個(gè)角后邊上可以增加1，不變，減少1，∴原來(lái)多邊形的邊數(shù)是10或11或12．故答案為：10或11或12．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，本題難點(diǎn)在于多邊形截去一個(gè)角后邊數(shù)有增加1，不變，減少1三種情況．19．如圖，如圖1將矩形ABCD剪2刀得3個(gè)角，其和為360°；如圖2，剪3刀得4個(gè)角，其和為540°；如圖3，剪4刀得5個(gè)角，其和為720°……按上述剪法剪n刀得（n＋1）個(gè)角，其和為_(kāi)_______．【答案】【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式即可得．【詳解】四邊形是矩形，，設(shè)剪刀得個(gè)角的和為，則所得多邊形的角的個(gè)數(shù)為個(gè)，由多邊形的內(nèi)角和公式得：，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，熟練掌握多邊形的內(nèi)角和公式是解題關(guān)鍵．三、解答題20．如圖所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．【答案】360°【分析】連接BE，由三角形內(nèi)角和外角的關(guān)系可知∠C+∠D=∠CBE+∠DEB，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和是360°，即可得到答案．【詳解】如圖，連接BE，DE交BC于點(diǎn)G∵∠BGD=∠C+∠D，∠BGD=∠CBE+∠DEB，∴∠C+∠D=∠CBE+∠DEB，∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F=∠A+∠ABC+∠CBE+∠DEB+∠DEF+∠F=∠A+∠ABE+∠BEF+∠F；∵∠A+∠ABE+∠BEF+∠F=360°，∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F=360°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角、四邊形內(nèi)角和的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形外角、四邊形內(nèi)角和的性質(zhì)，從而完成求解．21．某同學(xué)在進(jìn)行多邊形內(nèi)角和計(jì)算時(shí)，求得內(nèi)角和為2750°，當(dāng)發(fā)現(xiàn)了之后重新檢查，發(fā)現(xiàn)少加了一個(gè)內(nèi)角，問(wèn)這個(gè)內(nèi)角是多少度?并求這個(gè)多邊形是幾邊形．【答案】這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是130°，這個(gè)多邊形的邊數(shù)為18．【分析】n邊形的內(nèi)角和是（n?2）?180°，多邊形的內(nèi)角一定大于0度，小于180度，比這個(gè)數(shù)值大的且最接近的整數(shù)就是多邊形的邊數(shù)．【詳解】解：設(shè)少加的內(nèi)角為x度，邊數(shù)為n．則（n?2）×180＝2750＋x，即（n?2）×180＝15×180＋50＋x，因此x＝130，n＝18．答：這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是130°，這個(gè)多邊形的邊數(shù)為18．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，正確理解多邊形角的大小的特點(diǎn)，以及多邊形的內(nèi)角和定理是解決本題的關(guān)鍵．22．小李同學(xué)在計(jì)算一個(gè)邊形的內(nèi)角和時(shí)不小心多加了一個(gè)內(nèi)角，得到的內(nèi)角和得1755°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)的值是多少？多加的這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是多少？【答案】【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式可知，多邊形的內(nèi)角和是的倍數(shù)，然后根據(jù)題意求解即可；【詳解】解：設(shè)多加的這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為，根據(jù)題意有，．∵，∴，解得，∴，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．23．小明在求一個(gè)凸n邊形的內(nèi)角和時(shí)，沒(méi)有把其中一個(gè)角的度數(shù)算進(jìn)去，求得的內(nèi)角和為2570°（1）求這個(gè)多邊形的邊數(shù)；（2）沒(méi)有算進(jìn)去的那個(gè)內(nèi)角為多少度？【答案】（1）17；（2）130°【分析】（1）設(shè)這個(gè)內(nèi)角為x，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n-2）?180°可知，多邊形的內(nèi)角度數(shù)是180°的倍數(shù)，然后利用數(shù)的整除性進(jìn)行求解；（2）根據(jù)角的和差進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：（1）設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n，沒(méi)有計(jì)算在內(nèi)的內(nèi)角的度數(shù)是x，則（n﹣2）?180°=2570°+x，n=16…50°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是17；（2）180°﹣50°=130°，故沒(méi)有計(jì)算在內(nèi)的內(nèi)角的度數(shù)為130°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式，利用多邊形的內(nèi)角和是180°的倍數(shù)是解題的關(guān)鍵．24．如圖，將六邊形紙片ABCDEF沿虛線剪去一個(gè)角（∠BCD）后，得到∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝400°．（1）求六邊形ABCDEF的內(nèi)角和；（2）求∠BGD的度數(shù)．【答案】（1）720°；（2）40°．【分析】（1）直接根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式進(jìn)行求解；（2）先求出∠GBC+∠C+∠CDG的度數(shù)，然后根據(jù)∠BGD＝360°﹣(∠GBC+∠C+∠CDG)進(jìn)行求解．【詳解】解：（1）六邊形ABCDEF的內(nèi)角和為180°×(6﹣2)＝720°；（2）由（1）知六邊形ABCDEF的內(nèi)角和為720°，∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝400°，∴∠GBC+∠C+∠CDG＝720°﹣40