河南省南陽(yáng)市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題含答案

2024年秋季高二年級(jí)期中數(shù)學(xué)適應(yīng)性考試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．本試卷主要考試內(nèi)容：北師大版選擇性必修第一冊(cè)第一、二章。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．直線的傾斜角為（）A．30° B．60° C．120° D．150°2．已知直線，直線．若，則（）A．－3 B．－2 C．2 D．2或－33．已知橢圓的短軸長(zhǎng)為4，則（）A．2 B．4 C．8 D．164．如圖，吊車梁的魚腹部分是拋物線的一部分，寬6m，高1m，根據(jù)圖中的坐標(biāo)系．可得這條拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A． B． C． D．5．已知圓，過直線上一點(diǎn)向圓作切線，切點(diǎn)為，則的最小值為（）A． B．4 C．5 D．66．已知橢圓，則橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為（）A． B． C． D．7．已知圓，直線，為圓上一動(dòng)點(diǎn)．為直線上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．8．已知為曲線上任意一點(diǎn)，，，則的最小值為（）A． B．5 C． D．7二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知雙曲線，下列選項(xiàng)正確的是（）A．雙曲線的漸近線方程為 B．雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為8C．雙曲線的焦距為 D．雙曲線的離心率為10．已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等，則直線的方程可能是（）A． B． C． D．11．在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)，，且，記的頂點(diǎn)的軌跡為，則下列說法正確的是（）A．軌跡的方程為B．面積的最大值為3C．邊上的高的最大值為D．若為直角三角形，則直線被軌跡截得的弦長(zhǎng)的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．雙曲線的虛軸長(zhǎng)為______，以的左焦點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______。13．若點(diǎn)在圓的外部，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是______。14．拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于點(diǎn)（在第一象限內(nèi)），為上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為______。四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知圓經(jīng)過，，三點(diǎn)．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）判斷圓與圓的位置關(guān)系．16．（15分）已知雙曲線的一條漸近線方程為，且經(jīng)過點(diǎn)．（1）求雙曲線的方程；（2）直線與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的方程．17．（15分）已知圓（為常數(shù)）．（1）當(dāng)時(shí)，求直線被圓截得的弦長(zhǎng)．（2）證明：圓經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)．（3）設(shè)圓經(jīng)過的兩個(gè)定點(diǎn)為，，若，且，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．18．（17分）已知不在軸下方的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到軸的距離長(zhǎng)，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．（1）求軌跡的方程．（2）已知直線與軌跡交于，兩點(diǎn)，以，為切點(diǎn)作兩條切線，切線分別為，．直線，相交于點(diǎn)．若．求．19．（17分）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到軸的距離為，且，其中，均為常數(shù)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱為曲線．（1）判斷曲線為何種圓錐曲線．（2）若曲線為雙曲線，試問，應(yīng)滿足什么條件？（3）設(shè)曲線為曲線，斜率為（且）的直線過的右焦點(diǎn)，且與交于，兩個(gè)不同的點(diǎn)．（?。┤簦?；（ⅱ）若點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，試證明直線過定點(diǎn)．南陽(yáng)地區(qū)2024年秋季高二年級(jí)期中適應(yīng)性考試卷數(shù)學(xué)參考答案1．C由，得傾斜角為120°．2．A因?yàn)椋?，解得或．?dāng)時(shí)，，，，重合；當(dāng)時(shí)，，，符合題意．故．3．B由的短軸長(zhǎng)為4，得，即，則，所以或，解得或．經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，橢圓的短軸長(zhǎng)為4．4．B設(shè)這條拋物線的方程為，由圖可知點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，得，故這條拋物線的準(zhǔn)線方程為．5．B記圓心到直線的距離為，則．因?yàn)?，所以?dāng)直線與垂直，即時(shí)，的值最小，故．6．D設(shè)橢圓上的點(diǎn)為，則點(diǎn)到直線的距離為，其中，故橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為．7．C設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則解得即，所以，故的最小值為．8．D由，得，所以為雙曲線的右支，為該雙曲線的左焦點(diǎn)．設(shè)右焦點(diǎn)為，則，所以．所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為7．9．BD因?yàn)椋?，焦點(diǎn)在軸上，所以雙曲線的漸近線方程為，實(shí)軸長(zhǎng)為8，故A錯(cuò)誤，B正確；因?yàn)?，所以雙曲線的焦距為，離心率為，故C錯(cuò)誤，D正確．10．ABD當(dāng)直線的截距為0時(shí)，直線的方程為，即．當(dāng)直線的截距不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，則解得或當(dāng)，時(shí)，直線的方程為；當(dāng)時(shí)，直線的方程為．11．BD因?yàn)椋裕O(shè)，則，整理得，所以頂點(diǎn)的軌跡方程為，且，故A錯(cuò)誤．當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，，所以B正確．當(dāng)與圓相切時(shí)，到的距離最大，如圖1，作于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，所以邊上的高的最大值為，故C錯(cuò)誤．如圖2，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線被圓截得的弦長(zhǎng)為；當(dāng)時(shí)，由得不妨設(shè)，顯然當(dāng)在處時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)更長(zhǎng)，此時(shí)直線的方程為，圓心到直線的距離，所以弦長(zhǎng)為．故D正確．12．；由，得，則，，，所以雙曲線的虛軸長(zhǎng)為，左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，則所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．13．由，得．14．過作直線的垂線，垂足為，則．因?yàn)橹本€的斜率為，所以為正三角形，所以，所以．記關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則．當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，，所以周長(zhǎng)的最小值為．15．解：（1）設(shè)圓的方程為，則解得故圓的方程為，標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）圓的圓心為，半徑為．圓的圓心為，半徑為4．設(shè)兩圓圓心之間的距離為，則．因?yàn)椋詧A與圓相交．16．解：（1）由題意可知解得故雙曲線的方程為．（2）設(shè)，則兩式相減得，整理可得．因?yàn)榫€段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以直線的斜率，故直線的方程為，即．經(jīng)檢驗(yàn)，直線與雙曲線相交，所以直線的方程為，17．（1）解：當(dāng)時(shí)，圓，此時(shí)，圓的圓心為，半徑．則圓心到直線的距離，所以直線被圓截得的弦長(zhǎng)為．（2）證明：由，得，令，得，解得或所以圓經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)，且這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為．（3）解：（方法一）設(shè)的中點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．因?yàn)?，所以，所以，解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（方法二）因?yàn)椋?，解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．18．解：（1）由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，所以軌跡的方程為．（2）設(shè)，，聯(lián)立方程組得，則，．易知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組得．由，解得，所以切線的方程為．同理可得，直線的方程為，由解得即點(diǎn)．因?yàn)?，，，且，所以，即，化?jiǎn)得，因此或故．19．解：（1）設(shè)，由，得，當(dāng)，時(shí)，，即，所以曲線為橢圓．（2