2015年高考理科數(shù)學(xué)試題匯編(含答案)：數(shù)列 大題

（重慶）22．（本小題滿分12分，（1）小問4分，（2）小問8分）在數(shù)列中， （1）若求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若證明：【答案】（1）；（2）證明見解析.試題分析：(1)由,有若存在某個(gè)，使得，則由上述遞推公式易得，重復(fù)上述過程可得，此與矛盾，所以對(duì)任意,.從而，即是一個(gè)公比的等比數(shù)列.故.(2)由，數(shù)列的遞推關(guān)系式變?yōu)樽冃螢?由上式及，歸納可得因?yàn)椋詫?duì)求和得另一方面，由上已證的不等式知得綜上：考點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的遞推公式，不等式的證明，放縮法.（江蘇）20.（本小題滿分16分）設(shè)是各項(xiàng)為正數(shù)且公差為d的等差數(shù)列（1）證明：依次成等比數(shù)列；（2）是否存在，使得依次成等比數(shù)列，并說明理由；（3）是否存在及正整數(shù)，使得依次成等比數(shù)列，并說明理由.【答案】（1）詳見解析（2）不存在（3）不存在（2）令，則，，，分別為，，，（，，）．假設(shè)存在，，使得，，，依次構(gòu)成等比數(shù)列，則，且．令，則，且（，），化簡(jiǎn)得（），且．將代入（）式，，則．顯然不是上面方程得解，矛盾，所以假設(shè)不成立，因此不存在，，使得，，，依次構(gòu)成等比數(shù)列．（3）假設(shè)存在，及正整數(shù)，，使得，，，依次構(gòu)成等比數(shù)列，則，且．分別在兩個(gè)等式的兩邊同除以及，并令（，），則，且．將上述兩個(gè)等式兩邊取對(duì)數(shù)，得，且．化簡(jiǎn)得，且．再將這兩式相除，化簡(jiǎn)得（）．令，則．令，則．令，則．令，則．由，，知，，，在和上均單調(diào)．故只有唯一零點(diǎn)，即方程（）只有唯一解，故假設(shè)不成立．所以不存在，及正整數(shù)，，使得，，，依次構(gòu)成等比數(shù)列．考點(diǎn)：等差、等比數(shù)列的定義及性質(zhì)，函數(shù)與方程（安徽）（18）（本小題滿分12分）設(shè)，是曲線在點(diǎn)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記，證明.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（Ⅰ）對(duì)題中所給曲線進(jìn)行求導(dǎo)，得出曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.從而可以寫成切線方程為.令.解得切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).（Ⅱ）要證，需考慮通項(xiàng)，通過適當(dāng)放縮能夠使得每項(xiàng)相消.先表示出考點(diǎn)：1.曲線的切線方程；2.數(shù)列的通項(xiàng)公式；3.放縮法證明不等式.（北京）20.（本小題13分）已知數(shù)列滿足：，，且．記集合．（Ⅰ）若，寫出集合的所有元素；（Ⅱ）若集合存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，證明：的所有元素都是3的倍數(shù)；（Ⅲ）求集合的元素個(gè)數(shù)的最大值．【答案】（1），（2）證明見解析，（3）8【解析】①試題分析：（Ⅰ）由，可知?jiǎng)t；（Ⅱ）因?yàn)榧洗嬖谝粋€(gè)元素是3的倍數(shù)，所以不妨設(shè)是3的倍數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)任意，是3的倍數(shù)，當(dāng)時(shí)，則M中的所有元素都是3的倍數(shù)，如果時(shí)，因?yàn)榛颍允?的倍數(shù)，于是是3的倍數(shù)，類似可得，都是3的倍數(shù)，從而對(duì)任意，是3的倍數(shù)，因此的所有元素都是3的倍數(shù).第二步集合存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，所以不妨設(shè)是3的倍數(shù)，由已知，用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)任意，是3的倍數(shù)；第三步由于中的元素都不超過36，中的元素個(gè)數(shù)最多除了前面兩個(gè)數(shù)外，都是4的倍數(shù)，因?yàn)榈诙€(gè)數(shù)必定為偶數(shù)，由的定義可知，第三個(gè)數(shù)及后面的數(shù)必定是4的倍數(shù)，由定義可知，和除以9的余數(shù)一樣，分中有3的倍數(shù)和中沒有3的倍數(shù)兩種情況，研究集合M中的元素個(gè)數(shù)，最后得出結(jié)論集合的元素個(gè)數(shù)的最大值為8.試題解析：（Ⅰ）由已知可知：（Ⅱ）因?yàn)榧洗嬖谝粋€(gè)元素是3的倍數(shù)，所以不妨設(shè)是3的倍數(shù)，由已知，可用用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)任意，是3的倍數(shù)，當(dāng)時(shí)，則M中的所有元素都是3的倍數(shù)，如果時(shí)，因?yàn)榛颍允?的倍數(shù)，于是是3的倍數(shù)，類似可得，都是3的倍數(shù)，從而對(duì)任意，是3的倍數(shù)，因此的所有元素都是3的倍數(shù).（Ⅲ）由于中的元素都不超過36，由，易得，類似可得，其次中的元素個(gè)數(shù)最多除了前面兩個(gè)數(shù)外，都是4的倍數(shù)，因?yàn)榈诙€(gè)數(shù)必定為偶數(shù)，由的定義可知，第三個(gè)數(shù)及后面的數(shù)必定是4的倍數(shù)，另外，M中的數(shù)除以9的余數(shù),由定義可知，和除以9的余數(shù)一樣，考點(diǎn)：1.分段函數(shù)形數(shù)列通項(xiàng)公式求值；2.歸納法證明；3.數(shù)列元素分析.（廣東）21．（本小題滿分14分）數(shù)列滿足,.(1)求的值；(2)求數(shù)列前項(xiàng)和；(3)令，，證明：數(shù)列的前項(xiàng)和滿足【答案】（1）；（2）；（3）見解析．（3）依題由知，，【考點(diǎn)定位】本題考查遞推數(shù)列求項(xiàng)值、通項(xiàng)公式、等比數(shù)列前項(xiàng)和、不等式放縮等知識(shí)，屬于中高檔題．(湖北)22．（本小題滿分14分）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并比較與e的大??；（Ⅱ）計(jì)算，，，由此推測(cè)計(jì)算的公式，并給出證明；（Ⅲ）令，數(shù)列，的前項(xiàng)和分別記為,,證明：.22．（14分）（Ⅰ）的定義域?yàn)椋?當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞減.故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，，即.令，得，即.①（Ⅱ）；；.由此推測(cè)：②下面用數(shù)學(xué)歸納法證明②.（1）當(dāng)時(shí)，左邊右邊，②成立.（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，②成立，即.當(dāng)時(shí)，，由歸納假設(shè)可得.所以當(dāng)時(shí)，②也成立.根據(jù)（1）（2），可知②對(duì)一切正整數(shù)n都成立.（Ⅲ）由的定義，②，算術(shù)-幾何平均不等式，的定義及①得.即.（陜西）21．（本小題滿分12分）設(shè)是等比數(shù)列，，，，的各項(xiàng)和，其中，，．（I）證明：函數(shù)在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)（記為），且；（II）設(shè)有一個(gè)與上述等比數(shù)列的首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)分別相同的等差數(shù)列，其各項(xiàng)和為，比較與的大小，并加以證明．【答案】（I）證明見解析；（II）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，證明見解析．【解析】試題分析：（I）先利用零點(diǎn)定理可證在內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，再利用函數(shù)的單調(diào)性可證在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)而利用是的零點(diǎn)可證；（II）先設(shè)，再對(duì)的取值范圍進(jìn)行討論來判斷與的大小，進(jìn)而可得和的大?。囶}解析：（I）則所以在內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn).又，故在內(nèi)單調(diào)遞增，所以在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).因?yàn)槭堑牧泓c(diǎn)，所以，即，故.(II)解法一：由題設(shè)，設(shè)當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),若,若,所以在上遞增，在上遞減，所以，即.綜上所述，當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí)解法二由題設(shè)，當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),用數(shù)學(xué)歸納法可以證明.當(dāng)時(shí),所以成立.假設(shè)時(shí)，不等式成立，即.那么，當(dāng)時(shí)，.又令，則所以當(dāng),,在上遞減；當(dāng),,在上遞增.所以，從而故.即，不等式也成立.所以，對(duì)于一切的整數(shù)，都有.解法三:由已知，記等差數(shù)列為,等比數(shù)列為,則，，所以,令當(dāng)時(shí),,所以.當(dāng)時(shí),而，所以，.若,,,當(dāng),,,從而在上遞減,在上遞增.所以，所以當(dāng)又,，故綜上所述，當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí)考點(diǎn)：1、零點(diǎn)定理；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.（四川）16.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，且成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和，求得成立的n的最小值.【答案】（1）；（2）10.【解析】試題分析：（1）利用及題設(shè)可得與的關(guān)系為，所以這是一個(gè)公比為2的等比數(shù)列.再利用成等差數(shù)列，可求得，從而得通項(xiàng)公式.（2）由（1）得，這仍然是一個(gè)等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，可求得，代入，即可得使成立的n的最小值.試題解析：（1）由已知，有，即.從而.又因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，即.所以，解得.所以，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.故.考點(diǎn)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.（天津）18.（本小題滿分13分）已知數(shù)列滿足，且成等差數(shù)列.(I)求q的值和的通項(xiàng)公式；(II)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(I);(II).【解析】試題分析：(I)由得先求出，分為奇數(shù)與偶數(shù)討論即可；(II)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，用錯(cuò)位相減法求和即可.試題