有限元方法讀書報(bào)告

有限元讀書筆記在2009年暑假期間，在湯老師的指導(dǎo)下，我學(xué)習(xí)了有限元這門課程，了解了有限元的基本概念和基本方法。利用課外書籍、資料也了解了有限元方法的相關(guān)知識和應(yīng)用情況，成為一種豐富多彩、應(yīng)用廣泛且實(shí)用高效的數(shù)值分析方法，對我們方程組迭代法研究過程中有著極為重要的影響。一、基礎(chǔ)知識在課程學(xué)習(xí)中，我們學(xué)習(xí)了變分原理與變分法，通過最速降線問題、短程線問題、等周問題引入變分法的概念，即研究泛函極值問題就是變分法。研究變分問題的求解，變分問題旨在討論相應(yīng)的約束條件和邊界條件下的泛函極值問題和多個(gè)獨(dú)立變量的變分問題，而對于這類變分問題已有許多求泛函極值的必要條件和充分條件，如Euler方程組等，就此分類討論一元（）以及二元（）狀態(tài)下的求解方法，在學(xué)習(xí)中，我掌握了變分法基本引理，求泛函變分的參數(shù)導(dǎo)數(shù)定理以及泛函取極值的必要條件，也掌握了泛函求極值的直接算法與過程，也了解了具有一個(gè)自變量，一個(gè)自變函數(shù)和一階導(dǎo)數(shù)的泛函的Euler方程；具有一個(gè)自變量，一個(gè)自變函數(shù)和高階導(dǎo)數(shù)的泛函的Euler方程；具有多個(gè)自變量，一個(gè)自變函數(shù)泛函的Euler方程，以及參數(shù)變分問題。在變分問題求解學(xué)習(xí)中，對于Dirichlet原理的學(xué)習(xí)，求解，在已知，時(shí)，得到Euler方程，同時(shí)找到序列，取，再引入坐標(biāo)函數(shù)（滿足線性無關(guān)和完備性），使得，代入，求得參數(shù)為取得極值的關(guān)鍵所在，也就是1908年，Ritz提出的求解變分問題的方法。在學(xué)習(xí)了變分原理以及變分法的基本概念和方法后，研究Dirichlet原理中也了解到邊值問題的重要性，常微分方程邊值問題以及偏微分邊值問題的等價(jià)變分的研究顯得十分重要。對于常微分方程邊值問題等價(jià)的變分相對而言簡單。定理1：線性正算子方程解是唯一的，且等價(jià)于取極小值解。定理1的應(yīng)用非常重要，在研究微分方程邊值問題等價(jià)的變分過程中十分關(guān)鍵，例：，存在齊次邊界條件，首先對算子進(jìn)行研究，驗(yàn)證其是否是線性正算子，應(yīng)用定理1可解得，若邊界條件為非齊次，則可化解成齊次邊界條件，方法十分巧妙。對于偏微分方程邊值問題等價(jià)的變分，則對其邊值問題進(jìn)行系統(tǒng)分析，要考慮三種基本邊值問題的邊界條件：（1）Dirichlet問題：（2）Neumann問題：（3）Robin問題：在三類邊值問題的條件下，應(yīng)用定理1，使得研究變分問題，而Robin問題又可劃分為三類變分問題，對于的取值不同，則分解為幾類問題，其中一類涉及到非齊次邊界條件時(shí)，應(yīng)采取引入坐標(biāo)函數(shù)的方法求解，但區(qū)別的是此時(shí)引入的坐標(biāo)函數(shù)需滿足邊界條件，區(qū)別于Ritz法引入坐標(biāo)函數(shù)的概念。由此得出Galerkin法和Ritz法的優(yōu)劣性；Galerkin法與Ritz法得到的結(jié)果是一致的，但是Galerkin法適用于更廣泛的一類微分算子；Ritz法所選坐標(biāo)系，在所滿足的邊界條件中不必考慮自然邊界條件，而Galerkin法需滿足自然邊界條件；兩個(gè)方法的背景不相同。在前期大量的基礎(chǔ)學(xué)習(xí)中，第二章正式進(jìn)入有限元理論的理論基礎(chǔ)學(xué)習(xí)，首先對泛函分析里的線性空間、逆算子、Sobolev空間以及弱收斂性、緊致性概念進(jìn)行了回顧，對等價(jià)模定理進(jìn)行了更深一層次的分析。最后研究了有限元方法，對出Galerkin法和Ritz法進(jìn)行了改進(jìn)，采取分片多項(xiàng)式的方法，進(jìn)行單元插值運(yùn)算，因此總結(jié)出有限元求解問題的基本步驟：第一步：問題及求解域定義：根據(jù)實(shí)際問題近似確定求解域的物理性質(zhì)和幾何區(qū)域。第二步：求解域離散化：將求解域近似為具有不同有限大小和形狀且彼此相連的有限個(gè)單元組成的離散域，習(xí)慣上稱為有限元網(wǎng)絡(luò)劃分。顯然單元越?。ňW(wǎng)絡(luò)越細(xì)）則離散域的近似程度越好，計(jì)算結(jié)果也越精確，但計(jì)算量及誤差都將增大，因此求解域的離散化是有限元法的核心技術(shù)之一。第三步：確定狀態(tài)變量及控制方法：一個(gè)具體的物理問題通?？梢杂靡唤M包含問題狀態(tài)變量邊界條件的微分方程式表示，為適合有限元求解，通常將微分方程化為等價(jià)的泛函形式。第四步：單元推導(dǎo)：對單元構(gòu)造一個(gè)適合的近似解，即推導(dǎo)有限單元的列式，其中包括選擇合理的單元坐標(biāo)系，建立單元試函數(shù)，以某種方法給出單元各狀態(tài)變量的離散關(guān)系，從而形成單元矩陣（結(jié)構(gòu)力學(xué)中稱剛度陣或柔度陣）。為保證問題求解的收斂性，單元推導(dǎo)有許多原則要遵循。對工程應(yīng)用而言，重要的是應(yīng)注意每一種單元的解題性能與約束。例如，單元形狀應(yīng)以規(guī)則為好，畸形時(shí)不僅精度低，而且有缺秩的危險(xiǎn)，將導(dǎo)致無法求解。第五步：總裝求解：將單元總裝形成離散域的總矩陣方程（聯(lián)合方程組），反映對近似求解域的離散域的要求，即單元函數(shù)的連續(xù)性要滿足一定的連續(xù)條件?？傃b是在相鄰單元結(jié)點(diǎn)進(jìn)行，狀態(tài)變量及其導(dǎo)數(shù)（可能的話）連續(xù)性建立在結(jié)點(diǎn)處。第六步：聯(lián)立方程組求解和結(jié)果解釋。有限元法最終導(dǎo)致聯(lián)立方程組。聯(lián)立方程組的求解可用直接法、選代法和隨機(jī)法。求解結(jié)果是單元結(jié)點(diǎn)處狀態(tài)變量的近似值。對于計(jì)算結(jié)果的質(zhì)量，將通過與設(shè)計(jì)準(zhǔn)則提供的允許值比較來評價(jià)并確定是否需要重復(fù)計(jì)算。我們學(xué)習(xí)了分別從Galerkin法和Ritz法出發(fā)，研究有限元方法，并初步掌握了有限元方法的核心。二、知識的強(qiáng)化在學(xué)習(xí)變分法的過程當(dāng)中，我們一般情況下研究的是傳統(tǒng)的變分問題，傳統(tǒng)的變分法所討論的泛函指被積函數(shù)只含獨(dú)立變量、變分函數(shù)和變分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，但實(shí)際問題中所遇到的泛函極值中，有時(shí)還含有上述變量與導(dǎo)函數(shù)的定積分，這樣傳統(tǒng)的變分法的應(yīng)用范圍就受到限制。在煙臺師范學(xué)院閆慶旭《一種新變分問題的解法及其應(yīng)用中》，就此類別進(jìn)行研究。同時(shí)得出了結(jié)論對，作約束積分方程以及泛函在約束條件之下，泛函的極大（?。┲翟礊?。我們還定義r元函數(shù)定理2若在約束條件下于處達(dá)到極大（?。┲?，而于處達(dá)到極大（?。┲?，則泛函于處達(dá)到極大（?。┲?。這一類變分問題很大程度上在求解某些物理問題與最優(yōu)控制問題上有著很好的應(yīng)用價(jià)值。而在應(yīng)用有限元方法時(shí)，單元的劃分又極為重要。這個(gè)區(qū)域就是把求解區(qū)域劃分成一系列小單元。而采用有限元方法進(jìn)行數(shù)值模擬時(shí)劃分單元遵循以下幾個(gè)原則：(1)密度適當(dāng)，通常單元越小，數(shù)值結(jié)果精度越好，然而較小的單元將導(dǎo)致較多的未知量,因而增加內(nèi)存需求和計(jì)算時(shí)間。在劃分單元時(shí)既要考慮求解問題精度要求，又要考慮計(jì)算量對計(jì)算機(jī)的要求。(2)邊界曲折、應(yīng)力梯度大的地方,單元一般劃分小一些。相反,邊界平直、應(yīng)力梯度小的地方,單元一般劃分大些。一般情況下對所期望的精度應(yīng)保持單元數(shù)最少。較好的方法是:在解變化劇烈的區(qū)域用較小的單元,而在解變化平緩的區(qū)域內(nèi)用較大的單元。(3)區(qū)域離散采用的三角形單元要避免使用狹長形狀的三角形。如果是四邊形單元,單元的內(nèi)角不能太小也不能太大,否則會影響計(jì)算結(jié)果的精度。(4)每一個(gè)單元的角點(diǎn)不能在相鄰單元的邊的中間。(5)對不同厚度、不同彈性模量材料的突變處應(yīng)該設(shè)置成單元的邊緣,而不能使單元跨越突變處。離散的一個(gè)基本要求是單元之間既沒有重疊也沒有間隔。三、知識的拓展和延伸理解有限元方法可以幫助我們學(xué)習(xí)數(shù)值分析，比如對方程組迭代解法的研