新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點精講講練學(xué)案 解三角形的長度 面積的取值范圍問題（含解析）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第第頁參考答案：1．A【解析】【分析】推導(dǎo)出為的重心，可得出，利用平面向量加法的平行四邊形法則可得出，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合余弦定理可得出，利用基本不等式可求得的最大值，即可得解.【詳解】在中，、分別是線段、的中點，與交于點，則為的重心，因為，故，則.，，所以，，即，所以，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.因此，周長的最大值為.故選：A.【點睛】方法點睛：求三角形周長的最值是一種常見的類型，主要方法有兩類：（1）找到邊與邊之間的關(guān)系，利用基本不等式來求解；（2）利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個角的三角函數(shù)，利用函數(shù)思想求解.2．A【解析】【分析】由正弦定理把邊化角，再用三角恒等變換化簡，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問題，即可求解【詳解】由正弦定理可得又因為三角形是銳角三角形，所以，即，也即,所以，所以，，，，所以的取值范圍是，故選：A3．A【解析】【分析】利用平方關(guān)系及正弦定理將角化邊，再由余弦定理求出，最后由正弦定理及正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳解】解：因為，所以，即，由正弦定理可得，由余弦定理，因為，所以，由正弦定理，所以，因為，所以，所以.故選：A4．C【解析】【分析】根據(jù)利用三角恒等變換和正余弦定理得到，再根據(jù)余弦定理和基本不等式可得cosB的范圍，由此得B的范圍，從而得到sinB的最大值，從而根據(jù)可求△ABC面積的最大值．【詳解】，，即，即，則，整理得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)a2，則．故選：C．5．B【解析】【分析】根據(jù)，利用正弦定理化角為邊，結(jié)合余弦定理求得角，再根據(jù)，利用余弦定理化角為邊求得邊，再利用余弦定理結(jié)合基本不等式求得的最大值，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出答案.【詳解】解：因為，所以，所以，又，所以，因為，所以，所以，由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，則，所以的面積的最大值為.故選：B.6．A【解析】【分析】先求出，再使用余弦定理和面積公式表達(dá)出，結(jié)合三角形三邊關(guān)系求得，從而得到面積的最大值.【詳解】，故，因為，所以，又，由余弦定理得：，由面積公式得：，由三角形三邊關(guān)系得：，解得：，故當(dāng)時，△ABC面積取得最大值，此時面積為3.故選：A7．A【解析】【分析】利用二倍角公式和正弦定理化簡已知等式可得；利用余弦定理可構(gòu)造等量關(guān)系求得，進(jìn)而得到；利用三角形面積公式，將表示為以為自變量的二次函數(shù)的形式，利用二次函數(shù)最值的求法可求得所求最大值.【詳解】由得：，即，由正弦定理得：；由余弦定理得：，，即，，，，，，，則當(dāng)時，，.故選：A.8．C【解析】【分析】首先由數(shù)量積的定義求出，再由余弦定理及基本不等式求出的最小值；【詳解】解：∵，∴，∴，由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，∵，∴，即的最小值為，故選：C．9．B【解析】【分析】由得到外接圓半徑的平方，設(shè)，將x，y用表示，再結(jié)合二倍角公式化簡即可得到答案.【詳解】因為，所以，設(shè)外接圓半徑為r，所以，解得，設(shè)，則，，，故當(dāng)時，等號成立．故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：引入變量，將均用變量表示，將最后結(jié)果表示為關(guān)于的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值是解題的關(guān)鍵.10．B【解析】【分析】由已知利用三角形的面積公式可求的，進(jìn)而可得，，由余弦定理，基本不等式可求，根據(jù)三角形的周長即可求解其最大值．【詳解】，即，又，解得，，又，由余弦定理可得：，，即當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則周長的最大值是，故選：B11．C【解析】【分析】首先由正弦定理化簡關(guān)系式得到，接著有正弦定理將表示成，代入已知條件得到，最后根據(jù)銳角三角形求出角B的范圍，進(jìn)而三角函數(shù)單調(diào)性求出的取值范圍.【詳解】由正弦定理及，得，，即，.，.即，，.又是銳角三角形，，解得，.，，，.故選：C.【點睛】本題主要考查解三角形，在處理三角形中的邊角關(guān)系時，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系．題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理．應(yīng)用正、余弦定理時，注意公式變式的應(yīng)用．解決三角形問題時，注意角的限制范圍．12．D【解析】【分析】設(shè)∠CED＝θ；DE＝x，則∠BFE＝+θ；則CE＝xcosθ，在△BFE中利用正弦定理即可求出x與θ的關(guān)系式，即可得到x的最小值，即可解出面積的最小值．【詳解】△ABC是直三角形，AB＝20m，AC＝10m，可得CB，△DEF是等邊三角形，設(shè)∠CED＝θ；DE＝x，那么∠BFE＝+θ；則CE＝xcosθ，△BFE中由正弦定理，可得可得x，其中tanα；∴x；則△DEF面積S故選D【點睛】本題考查解三角形，合理設(shè)出參數(shù)，找到等式是解題的關(guān)鍵．屬于中檔題．13．B【解析】【分析】由題意得出，利用余弦定理以及基本不等式求出的取值范圍，再結(jié)合角的取值范圍，以及余弦函數(shù)的單調(diào)性可求出角的取值范圍.【詳解】由于、、成等差數(shù)列，則，由余弦定理得，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，又，，故選B.【點睛】本題考查利用基本不等式求三角形中角的取值范圍，同時也考查了余弦定理的應(yīng)用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.14．B【解析】【分析】根據(jù)正弦定理，可求得，即角或，分類討論，由，計算三角形的面積，利用均值不等式求最值即可.【詳解】因為與互補(bǔ)，，且四點共圓.

所以，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，所以，得，所以或.設(shè)四邊形的外接圓半徑為，則，解得.（1）設(shè).當(dāng)，則，故，此時，且，在中，，所以，即.所以四邊形面積，當(dāng)且僅當(dāng)時，四邊形面積取得最大值為（2）當(dāng)，則，故，所以.因為，所以，則在中由余弦定理得，所以，即.所以，此時，四邊形面積.綜上，四邊形面積的最大值等于，故選：B.【點睛】本題主要考查了正弦定理解三角形，三角形面積公式，均值不等式，屬于難題.15．C【解析】【分析】在中，設(shè)角、、的對邊分別為、、，利用正弦定理得出，，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)得出，利用三角恒等變換思想化簡得出，利用正弦型函數(shù)的有界性可得出線段長的最大值.【詳解】在中，設(shè)角、、的對邊分別為、、，由正弦定理可得，則，，，即，所以，，所以，，，則，當(dāng)時，即當(dāng)時，取最大值，即.故選：C.【點睛】思路點睛：求三角形有關(guān)代數(shù)式最值是一種常見的類型，主要方法有兩類：（1）找到邊與邊之間的關(guān)系，利用基本不等式來求解；（2）利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個角的三角函數(shù)，利用函數(shù)思想求解.16．A【解析】【分析】求得，，然后以的中點為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出點的軌跡方程，可得出中邊上的高的最大值，由此可求得面積的最大值.【詳解】由正弦定理可得，設(shè)的外接圓半徑為，則，以的中點為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則、，設(shè)點，由，可得，化簡可得，所以，的邊上的高的最大值為，因此，.故選：A.【點睛】方法點睛：求與圓有關(guān)的軌跡方程時，常用以下方法：（1）直接法：根據(jù)題設(shè)條件直接列出方程；（2）定義法：根據(jù)圓的定義寫出方程；（3）幾何法：利用圓的性質(zhì)列方程；（4）代入法：找出要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式．17．C【解析】【分析】根據(jù)等面積法得，進(jìn)而結(jié)合基本不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，再結(jié)合余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，進(jìn)而得周長最小值.【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)，因為，，，所以，即，所以，因為根據(jù)基本不等式有，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.所以周長的最小值為.故選：C18．B【解析】【分析】求出，，在中，利用余弦定理結(jié)合基本不等式即可得出答案.【詳解】解：在中，因為，，所以，又與互補(bǔ)，所以，在中，由余弦定理得：，即，即，因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以觀光線路之和最長是4.故選：B.19．B【解析】【分析】利用正弦定理結(jié)合余弦定理可求得的值，可求得角的值，利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得的最大值，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】，所以，，由正弦定理可得，即，、，則，則，，由余弦定理可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故.故選：B.20．A【解析】【分析】由正弦定理得，進(jìn)而結(jié)合余弦定理得，再根據(jù)基本不等式得，最后根據(jù)三角形面積公式求解即可.【詳解】解：由正弦定理得，所以由余弦定理得：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，所以.故選：A21．D【解析】【分析】根據(jù)給定條件利用余弦定理建立不等關(guān)系即可計算作答.【詳解】因是鈍角三角形，，，且是最大邊，則由余弦定理得：，于是得，，解得，而有，即，所以最大邊的取值范圍是：.故選：D22．C【解析】【分析】由正弦定理邊角關(guān)系得，則，由題設(shè)得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求△面積的最大值.【詳解】∵，∴由正弦定理得且，即且，∴，∴時，△面積取最大值．故選：C．23．B【解析】【分析】由條件可得，根據(jù)正弦定理可得，從而得出角,由余弦定理結(jié)合均值不等式可得，從而得出答案.【詳解】由，得即，即由正弦定理可得：，則，即由,則由余弦定理可得,即當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號.所以面積故選：B24．C【解析】【分析】根據(jù)余弦定理算出，再利用基本不等式即可得，從而可得到周長的最大值．【詳解】解：在中，，，由余弦定理，得，即，由基本不等式有，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），周長（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），即當(dāng)且僅當(dāng)時，周長的最大值為12，故選：C．【點睛】關(guān)鍵點點睛：先用余弦定理得，再結(jié)合基本不等式即可求的最大值，從而得周長的最大值.25．C【解析】【分析】根據(jù)條件求出，利用三角形面積公式得到，采用極端值方法求出的最值，進(jìn)而得到的范圍，求出面積的取值范圍.【詳解】，因為為銳角三角形，故，，當(dāng)BC⊥AB時，，當(dāng)CB⊥AC時，，故，所以.故選：C26．C【解析】先由得到A=,再利用基本不等式求b+c的最大值，即得三角形周長的最大值.【詳解】由題得所以所以,因為所以.由余弦定理得,所以，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時取等.所以.故選C【點睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.27．C【解析】設(shè)，則，根據(jù)三角形的面積公式求出AC，AB，然后由，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出面積的最大值．【詳解】解：設(shè)，則．，，，，，同理，其中，，當(dāng)時，，．故選：C．【點睛】本題考查了余弦定理和三角恒等變換，以及三角形的面積公式，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．28．D【解析】【分析】根據(jù)已知條件求得，再利用正弦定理將角化邊，將問題轉(zhuǎn)化為求的最大值問題求解即可.【詳解】得，又，所以.在中，由正弦定理得：所以，所以.故當(dāng)，即時，取得最大值故選：D29．B【解析】【分析】由已知條件及雙曲線的定義可得，，將△MF1F2沿MN折成直二面角后，過作，應(yīng)用直角三角形邊角關(guān)系、余弦定理及勾股定理求最小時的大小，進(jìn)而求值.【詳解】∵，，∴，，將△MF1F2沿MN折成直二面角，過作，易知面，設(shè)，在中有，，∴在△中，，有，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立.∴F1，F(xiàn)2距離最小時，為角平分線，故，可得.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：由雙曲線的定義求、，結(jié)合直角三角形邊角關(guān)系、余弦定理、勾股定理求與的函數(shù)關(guān)系，再求最小值，最后即可求參數(shù)值.30．B【解析】【分析】結(jié)合兩角和的正切公式、誘導(dǎo)公式求得，結(jié)合正弦定理、三角函數(shù)值域的求法，求得周長的最大值.【詳解】，，依題意，即，，所以為銳角，.由正弦定理得，所以，所以三角形周長為，由于，所以當(dāng)時，三角形的周長取得最大值為.故選：B31．ABC【解析】【分析】利用余弦定理結(jié)合三角形的面積公式可判斷A選項的正誤；利用基本不等式結(jié)合三角形的面積公式可判斷B選項的正誤；利用余弦定理可判斷C選項的正誤；利用余弦定理結(jié)合基本不等式可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A，由余弦定理可得，得，故，A對；對于B，由基本不等式可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，由余弦定理可得，則，B對；對于C，，則，由余弦定理可得，，所以，，整理可得，則，C對；對于D，由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因為且函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，D錯.故選：ABC.32．CD【解析】【分析】結(jié)合正弦定理、三角函數(shù)值域的求法，求得的取值范圍，從而確定正確答案.【詳解】依題意，，即，由正弦定理得，，由正弦定理得，則，所以，由于，所以，所以，所以CD選項正確，AB選項錯誤.故選：CD33．BD【解析】【分析】根據(jù)c邊最大邊或最大邊，利用余弦定理的變形形式即可求解.【詳解】若c邊為最大邊，則，，，若邊為最大邊，則，，，所以，所以邊長c可能的取值是2、.故選：BD【點睛】本題考查了余弦定理的應(yīng)用，考查了基本運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.34．ACD【解析】【分析】由正弦定理求外接圓半徑；由題設(shè)知，結(jié)合即可求范圍；由余弦定理及基本不等式求的最大值，注意取最大的條件；由C分析有，結(jié)合正弦定理邊角關(guān)系及的范圍，應(yīng)用二倍角正余弦等恒等變換，根據(jù)三角函數(shù)的值域求范圍.【詳解】由題設(shè)，外接圓直徑為，故，A正確；銳角中，則，故，B錯誤；，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，C正確；由C分析知：，而，又且，則，而，所以，則，所以，D正確.故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點點睛：D選項，應(yīng)用邊角關(guān)系及角的范圍，結(jié)合三角恒等變換將轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)性質(zhì)求范圍.35．【解析】【分析】由正弦定理和題設(shè)條件，得到，即，再在和中，由余弦定理化簡得到，轉(zhuǎn)化為，令，得到，求得，進(jìn)而得到的最大值.【詳解】因為，由正弦定理可得，即，可得，所以，所以，在中，由余弦定理，可得，在中，由余弦定理，可得，因為，所以，兩式相加，可得，可得，即，所以，令，可得，即，解得，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，即的最大值為.故答案為：.36．【解析】【分析】結(jié)合拿破侖定理求得，利用勾股定理列方程，結(jié)合基本不等式求得AB＋AC的最大值.【詳解】設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c，如圖，連接AF，BD，AD．由拿破侖定理知，△DEF為等邊三角形．因為D為等邊三角形的中心，所以在△DAB中，，同理．又，所以．在△ADF中，由勾股定理可得，即，化簡得，由基本不等式得，解得（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以．故答案為：37．【解析】【分析】如圖所示，設(shè)th后，汽車由A行駛到D，摩托車由B行駛到E，利用余弦定理求出DE2＝12900t2－42000t＋40000.再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出t的值和最小值.【詳解】如圖所示，設(shè)th后，汽車由A行駛到D，摩托車由B行駛到E，則AD＝80t，BE＝50t.因為AB＝200，所以BD＝200－80t，由余弦定理得，DE2＝(200－80t)2＋2500t2－(200－80t)·50t＝12900t2－42000t＋40000.所以當(dāng)t＝時，DE最?。蚀鸢笧椤军c睛】(1)本題主要考查解三角形的應(yīng)用，考查余弦定理解三角形和二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是利用余弦定理求出DE2＝12900t2－42000t＋40000.38．【解析】【分析】應(yīng)用余弦定理有，再由三角形內(nèi)角性質(zhì)及同角三角函數(shù)平方關(guān)系求，根據(jù)基本不等式求得，注意等號成立條件，最后利用三角形面積公式求S的最大值.【詳解】由余弦定理知：，而，所以，而，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故答案為：39．##【解析】【分析】設(shè)，則，然后利用正弦定理表示出，相加化簡后利用三角函數(shù)的性質(zhì)可求出其最大值【詳解】設(shè)，則，由正弦定理得，即，所以，所以的周長為，因為，所以，所以當(dāng)時，取得最大值，即的周長的最大值為，故答案為：40．【解析】【分析】由余弦定理得出，，由基本不等式得出，最后由三角形面積公式得出面積的最大值.【詳解】因為2ccosB=acosB+bcosA，由余弦定理可得，化簡可得，由余弦定理可得，，由，b=2，得出，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號），即，故，故△ABC的面積的最大值是.故答案為：41．(1)(2)9【解析】(1)因為由正弦定理可得，即又因為，所以，因為，所以；(2)由余弦定理得，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以周長的最大值為9.42．（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用三角形的面積公式可求得的值，結(jié)合余弦定理可求得的值；（3）利用正弦定理以及三角恒等變換可得出，求出角的取值范圍，結(jié)合正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得周