新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講講練學(xué)案 利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題（含解析）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第第頁參考答案1．(1)(2)當(dāng)元/千克時(shí)，商場每日銷售該商品所獲最大利潤【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，，解方程即可得答案；（2）設(shè)商場每日銷售該商品的利潤為，則，，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，求最值即可得答案.(1)解：因?yàn)殇N售價(jià)格為6元/千克時(shí)，每日可售出該商品13千克，商品每日的銷售量y（單位：千克）與銷售價(jià)格x（單位：元/千克）滿足關(guān)系式，其中，a為常數(shù)所以，解得所以，，(2)解：設(shè)商場每日銷售該商品的利潤為，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減所以當(dāng)元/千克時(shí)，商場每日銷售該商品所獲最大利潤2．(1)；(2)商品的利潤最大時(shí)生產(chǎn)量為百件.【解析】【分析】（1）利用求出利潤函數(shù)即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)求在上的最大值，由一次函數(shù)單調(diào)性求上的最大值，比較大小，即可確定利潤最大時(shí)的生產(chǎn)量.(1)由題意，利潤.(2)由（1），當(dāng)時(shí)，，所以，令，則或（舍），故，，即遞增；，，即遞減；所以的極大值也是最大值為（萬元）；當(dāng)時(shí)遞減，此時(shí)最大值為（萬元）.綜上，使商品的利潤最大，產(chǎn)量為百件.3．(1)當(dāng)時(shí)，每瓶飲料的利潤最大(2)當(dāng)時(shí)，每瓶飲料的利潤最小(3)【解析】【分析】（1）由題意得到每瓶飲料的利潤為，利用導(dǎo)數(shù)法求解；（2）由（1）根據(jù)唯一的極小值點(diǎn)為最小值點(diǎn)求解；（3）由求解.(1)解：由題知：每瓶飲料的利潤為：，，所以，令，解得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，又，所以，當(dāng)時(shí)，每瓶飲料的利潤最大；(2)由（1）知：當(dāng)時(shí)，每瓶飲料的利潤最??；(3)由，解得，故所求瓶子的半徑取值范圍是.4．4.5米【解析】【分析】設(shè)長方體底面長為米，寬為米，求出高后得長方體的體積，由導(dǎo)數(shù)求得最大值，得結(jié)論，注意變量的范圍．【詳解】設(shè)長方體底面長為米，寬為米，則高為，，，所以，，，時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，所以時(shí)，取得極大值也是最大值（立方米）．（米）所以框架高為4.5米時(shí)，這個(gè)框架內(nèi)部的活動(dòng)空間最大5．(1)(2)當(dāng)時(shí)，S的最小值為，此時(shí);當(dāng)時(shí)，S的最小值為，此時(shí).【解析】【分析】（1）表示出采樣點(diǎn)及周圍通道的長，寬，寫出S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式即可；（2）分兩種情況討論a的取值范圍，當(dāng)時(shí)，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出S的最小值，以及滿足條件的的值；當(dāng)時(shí)，借助于導(dǎo)數(shù)解決問題，求得答案.(1)由題意采樣點(diǎn)及周圍通道構(gòu)成的矩形的長是，寬是，故；(2)由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，且滿足，故此時(shí)S的最小值為，此時(shí);當(dāng)時(shí)，令，則，由于時(shí)，，故，即單調(diào)遞減，故，此時(shí)，滿足,故S的最小值為，此時(shí).6．(1)，定義域?yàn)?2)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí),包裝盒的容積最大是【解析】【分析】（1）設(shè)包裝盒的高為,底面邊長為,求出函數(shù)的解析式,注明定義域即可.（2）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,求解函數(shù)的最值即可.(1)設(shè)包裝盒的高為,底面邊長為,則所以其定義域?yàn)?2)由,可得,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),取得極大值也是最大值:.答:當(dāng)時(shí),包裝盒的容積最大是7．(1)；(2)需新建9個(gè)橋墩才能使y最小.【解析】【分析】（1）求出，即得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即得解.(1)解：由，得，所以.(2)解：由（1）知，，令，得，所以.當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù).所以在處取得最小值，此時(shí).故需新建9個(gè)橋墩才能使y最小.8．(1)(2)需建19座高壓線塔可使得余下的工程費(fèi)用最低，且最小值為44.72萬元【解析】【分析】（1）由已知可得工程費(fèi)用包括建造高壓線電塔所需費(fèi)用和搭建距離為x千米的相鄰兩高壓電線塔之間的電線和人工費(fèi)用的總和，即可列出函數(shù)關(guān)系式；（2）利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，然后求出最小值即可.(1)（1）由題意知，需要新建的高壓線塔為座．

所以，

即．(2)由（1），得，

令得或（舍去）．

由，得；由，得，所以函數(shù)y在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增．

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)y取得最小值，且，此時(shí)應(yīng)建高壓線塔為（座）．

故需建19座高壓線塔可使得余下的工程費(fèi)用最低，且最小值為44.72萬元．9．(1)，；(2)當(dāng)隔熱層修建cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值為萬元．【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出k值，再列出函數(shù)的表達(dá)式作答.（2）利用導(dǎo)數(shù)求出（1）中函數(shù)的最小值即可作答.(1)隔熱層厚度xcm，依題意，每年能源消耗費(fèi)用為，由，得，因此，而建造費(fèi)用為，則隔熱層建造費(fèi)用與15年的能源消耗費(fèi)用之和為，所以.(2)由（1）知，，令，即，而，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上遞減，在上遞增，則當(dāng)時(shí)，取最小值．所以當(dāng)隔熱層修建cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值為萬元．10．當(dāng)罐高與底的直徑相等時(shí)，所用材料最省.【解析】【分析】設(shè)圓柱的高為h，底半徑為R，根據(jù)題意得到，然后得到S(R)＝＋2πR2，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，進(jìn)而求出最值.【詳解】設(shè)圓柱的高為h，底半徑為R，則表面積S(R)＝2πRh＋2πR2，又V＝πR2h，則h＝，所以S(R)＝2πR·＋2πR2＝＋2πR2，由S′(R)＝－＋4πR＝0，解得R＝，從而h＝＝2，即h＝2R，當(dāng)0<R<時(shí)，S′(R)<0，當(dāng)R>時(shí)，S′(R)>0.因此，當(dāng)R＝時(shí)，S(R)有極小值，且是S(R)的最小值.故當(dāng)罐高與底的直徑相等時(shí)，所用材料最省.11．（1），；（2）當(dāng)D位于線段AB的中垂線上且距離AB邊處時(shí)，能使三段木棧道總長度最短【解析】【分析】（1）利用直角三角函數(shù)表示出DA，DO，DC，即可表示出y；（2）對求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)即可求得最值.【詳解】由，，，則，，所以，所以，；

，令，得，又，所以，當(dāng)時(shí)，，y是的減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，y是的增函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，）

，此時(shí)．答：當(dāng)D位于線段AB的中垂線上且距離AB邊處時(shí)，能使三段木棧道總長度最短12．【解析】【分析】假設(shè)圓的半徑為，矩形的長為，根據(jù)題目信息得到關(guān)系式，再將圖形的周長表示出來得，最后構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷函數(shù)取得最小值時(shí)的值即可.【詳解】設(shè)圓的半徑為，則半圓的面積為，所以矩形的寬為，設(shè)矩形的長為，則矩形的面積為，所以，即，該圖形的周長為，令，所以，令解得：（舍負(fù)），所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以當(dāng)即時(shí)，函數(shù)取得最小值.即圓的直徑時(shí)，所需材料最省.13．(1)，(2)當(dāng)半徑r為3米時(shí)，建造費(fèi)用最小，最小為162π千元【解析】【分析】（1）利用圓柱和球的表面積、體積公式建立函數(shù)關(guān)系式；（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求出最小值.(1)（1）由題意可得，所以，所以，即.因?yàn)?，，所以，所以，故?(2)（2）設(shè)，，則，令，解得.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，也是最小值，且.所以當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)半徑r為3米時(shí)，建造費(fèi)用最小，最小為162π千元.14．(1)10.76cm(2)①；②該蝦池至少需養(yǎng)3茬蝦才能盈利【解析】【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式即可得到結(jié)果.（2）①先根據(jù)頻率分布直方圖求出隨機(jī)捕捉一尾蝦，該蝦為特級蝦的概率，再利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式求解即可；②列出蝦的長度?售價(jià)與對應(yīng)概率的表格，求出每尾蝦的售價(jià)的期望值，利用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)求得平均每尾蝦的最高售價(jià)，進(jìn)而求得養(yǎng)一茬蝦的最大利潤，最后根據(jù)題意列不等式，求解即可.(1)由題意知，樣本平均數(shù)，所以估計(jì)該蝦池蝦的平均長度為10.76cm.(2)①由頻率估計(jì)概率知，隨機(jī)捕捉一尾蝦，該蝦為特級蝦的概率為，則從該蝦池中隨機(jī)捕捉4尾蝦，至少有2尾為特級蝦的概率為.②由題意可知，該蝦池蝦的長度?售價(jià)與對應(yīng)概率如下表所示（）：）長度/cm（元/尾）概率0.120.400.280.20所以.記，則，令，得，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，.所以養(yǎng)一茬蝦的最大利潤（元）.設(shè)該蝦池至少需養(yǎng)茬蝦才能盈利，則，解得.因?yàn)椋栽诓豢紤]維修成本的前提下，該蝦池至少需養(yǎng)3茬蝦才能盈利.15．當(dāng)矩形面積最大時(shí)，矩形邊AB長，BC長【解析】【分析】先設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而表示出矩形的面積，通過求導(dǎo)可求出其最大面積.【詳解】設(shè)點(diǎn)，那么矩形面積，.令解得（負(fù)舍）.所以S在（0，）上單調(diào)遞增，在（，2）上單調(diào)遞；..所以當(dāng)時(shí)，S有最大值.此時(shí)答：當(dāng)矩形面積最大時(shí)，矩形邊AB長，BC長.16．(1)，，其中；(2)存在，且的最大值為.【解析】【分析】（1）求得，根據(jù)已知條件求出的取值范圍，根據(jù)題意得出，將代入函數(shù)解析式可求得的值，由此可得出表示為的函數(shù)關(guān)系式；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，由此可得出結(jié)論.(1)解：因?yàn)闉榘雸A弧的直徑，則，則，由題意可得，可得，所以，，其中，當(dāng)點(diǎn)在的中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)，解得，因此，，其中.(2)解：因?yàn)椋渲?，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上為減函數(shù)，由可得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，即.17．（1）18cm（2）18cm【解析】【分析】(1)設(shè)三棱柱的底面邊長為,再根據(jù)三角形中的關(guān)系表達(dá)出底面積和與側(cè)面積的關(guān)系式再解方程即可.(2)同(1)可知,再求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性求最大值即可.【詳解】設(shè)三棱柱的底面邊長為,即,則.因?yàn)闉榈冗吶切?所以三棱柱的高為.（1）因?yàn)槿庵牡酌娣e為,側(cè)面積為,所以,解得或（舍去）.即三棱柱的底面邊長為18cm.（2）三棱柱的體積.因?yàn)?,所以.因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),,故單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,故單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí),取到極大值,也是最大值,.即當(dāng)?shù)酌孢呴L為18cm時(shí),三棱柱的體積最大,為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求解立體幾何中的最值問題,需要根據(jù)題意設(shè)合適的邊長,再求出體積關(guān)于邊長的表達(dá)式,再求導(dǎo)分析最值即可.屬于中檔題.18．（1）；（2）的最大值，.【解析】【分析】（1）聯(lián)立拋物線和圓的方程，要圓與拋物線有四個(gè)不同交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不等正根，寫出滿足的不等式組，求得r的取值范圍.（2）設(shè)出A，B坐標(biāo)，根據(jù)（1）中聯(lián)立結(jié)果寫出韋達(dá)定理，表示出四邊形ABCD的面積表達(dá)式，方法一借助導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間，從而求得最大值；方法二把表達(dá)式寫成因式乘積的形式，借助不等式求得最大值.【詳解】解：（1）聯(lián)立拋物線與圓方程消可得：

要圓與拋物線有四個(gè)不同交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不等正根．所以，

解得：的取值范圍為；（2）設(shè)，其中，則令

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．

當(dāng)時(shí)，取得最大值，即，

方法二：

當(dāng)時(shí)，即取得最大值，【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求面積最值時(shí)可以先寫出面積表達(dá)式，對于高次函數(shù)可以借助導(dǎo)數(shù)來求得最值，如果能寫出因式乘積的形式，部分題型也可以利用不等式求得最值.19．(1)瓶子半徑為時(shí)，每瓶飲料的利潤最大(2)瓶子半徑為時(shí)，每瓶飲料的利潤最小，并且是虧損的【解析】【分析】先確定利潤函數(shù)，再利用求導(dǎo)的方法，即可得到結(jié)論．(1)由于瓶子的半徑為，所以每瓶飲料的利潤是，．令，解得（舍去）．所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，它表示在區(qū)間上單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤越高；當(dāng)時(shí)，，它表示在區(qū)間上單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤越低．又，故半徑為時(shí)，能使每瓶飲料的利潤最大．(2)由（1）可知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．所以當(dāng)時(shí)，有最小值，其值為，故瓶子半徑為時(shí)，每瓶飲料的利潤最小，并且是虧損的.20．(1)(2)需新建個(gè)橋墩才能使y最小，最小值為萬元.【解析】【分析】（1）利用題中的已知條件設(shè)出需要建設(shè)橋墩的個(gè)數(shù)，進(jìn)而表示出工程的費(fèi)用即可；（2）利用（1）的結(jié)果，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可求出最值.(1)由已知兩端的橋墩相距1200米，且相鄰兩橋墩相距x米，故需要建橋墩個(gè)，則所以y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為，(2)由（1）知令，即，解得（舍）或當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；所以當(dāng)時(shí)，y有最小值，且又（萬元）所以需新建個(gè)橋墩才能使y最小，最小值為萬元.21．(1)；(2)第9個(gè)月的月利潤預(yù)報(bào)值最大【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)與回歸方程的公式進(jìn)行求解，得到回歸方程；（2）結(jié)合第一問所求得到關(guān)于的函數(shù)，通過導(dǎo)函數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，極值及最值，求出答案.(1)令，則，，，，所以y關(guān)于x的回歸方程為；(2)由（1）知：，，令，令得：，令得：，令得：，所以在處取得極大值，也是最大值，所以第9個(gè)月的月利潤預(yù)報(bào)值最大.22．(1)0.91；(2)分布列見解析，1；(3)t＝3.2時(shí)，每件產(chǎn)品的平均利潤達(dá)到最大約為5.5．【解析】【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)分層抽查的性質(zhì)，結(jié)合古典概型計(jì)算公式、數(shù)學(xué)期望的公式進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)每件產(chǎn)品的平均利潤表達(dá)式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.(1)抽取到為二級及以上產(chǎn)品的件數(shù)為Y，則由頻率分布直方圖可得，任取1件產(chǎn)品為二級及以上產(chǎn)品的概率為：5（0.08+0.04+0.02）＝0.7．則Y~B（2，0.7），則；(2)由頻率分布直方圖得指標(biāo)值大于或等于90的產(chǎn)品中，的頻率為0.04×5＝0.2，的頻率為0.02×5＝0.1，∴利用分層抽樣抽取的6件產(chǎn)品中，的有4件，的有2件，從這6件產(chǎn)品中，任取3件，質(zhì)量指標(biāo)值的產(chǎn)品件數(shù)X的所有可能取值為0，1，2，則：，，，∴X的分布列為：X012P∴X的數(shù)學(xué)期望為：；(3)由頻率分布直方圖可得該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值m與利潤y（元）的關(guān)系如表所示（2<t<4），質(zhì)量指標(biāo)值m[70，75）[75，80）[80，85）[85，90）[90，95）[95，100]利潤y（元）－3t2t3t4t5tP0.050.10.150.40.20.1∴每件產(chǎn)品的平均利潤：，（2<t<4），則，令，解得t＝2ln5，∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，∴當(dāng)t＝2ln5時(shí)，h（t）取最大值為，當(dāng)t＝2ln5≈3.2時(shí)，每件產(chǎn)品的平均利潤達(dá)到最大約為5.5．23．(1)，(2)，，【解析】【分析】（1）作出圓錐的軸截面，截圓柱得一內(nèi)接矩形，設(shè)，由相似形得出的關(guān)系，豎放，，橫放，，由體積公式計(jì)算可得；（2）由導(dǎo)數(shù)求得的最大值，并比較可得．(1)如圖是圓錐的軸截面截圓柱得一內(nèi)接矩形，設(shè)，根據(jù)三角形相似得，.①若圓柱“豎放”，則②若圓柱“橫放”，則(2)①，由，解得當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減；②由解得當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減；24．（1）；（2）.【解析】（1）由已知可得方盒的底面邊長為，高為，進(jìn)而可得答案；（2）利用導(dǎo)數(shù)法，可得方盒的容積V的最大值.【詳解】（1）由題意可得方盒的底面邊長為，高為，無蓋方盒的容積.（2）因?yàn)?，所以，令，得（舍），或，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此是函數(shù)V的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)，方盒的容積最大.25．【解析】【分析】設(shè)銷售價(jià)為x，則降價(jià)相對于售價(jià)是b時(shí)，降低了個(gè)10%，從而銷量提高了個(gè)40%，從而求得可獲得的利潤為y，求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)最大值，此時(shí)取得的x的值即為銷售價(jià).【詳解】設(shè)銷售價(jià)為x，可獲得的利潤為y，則，求導(dǎo)得，令，解得，由知，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單減；因此是函數(shù)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)；故當(dāng)銷售價(jià)為元/件時(shí)，可獲得最大利潤.26．（1）；（2）當(dāng)定價(jià)為元時(shí)，一個(gè)星期的商品銷售利潤最大.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件先確定出每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值之間的關(guān)系，然后根據(jù)(售價(jià)成本降價(jià)值)(多賣出的商品件數(shù))得到的解析式，同時(shí)注意定義域；（2）根據(jù)列出關(guān)于的表格，分析出的單調(diào)性和極值，再結(jié)合端點(diǎn)值確定出取最大值時(shí)對應(yīng)的的值即可.【詳解】解：（1）設(shè)一星期多賣出的商品件數(shù)為t件，設(shè)，由題意知，解得.由題意知，；（2）9072單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減且，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，商品銷售利潤最大，此時(shí)定價(jià)為元.所以當(dāng)定價(jià)為元時(shí)，一個(gè)星期的商品銷售利潤最大.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的基本思路：（1）將實(shí)際問題利用函數(shù)進(jìn)行抽象表達(dá)，并注意函數(shù)定義域；（2）利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問題；（3）根據(jù)函數(shù)的最值得到優(yōu)化問題的答案.27．【解析】【分析】先求得△DEF的面積的最小值，即可求得五邊形ABCEF的面積的最大值【詳解】取BC中點(diǎn)H，連接OH.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)H、OD所在直線為x、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)邊緣線OM上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，所以，.設(shè)EF與邊緣線OM的切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，故EF所在直線的方程為，因此，，其中，則所以，令，解得或（舍去），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，取得最小值.從而五邊形ABCEF的面積的最大值為.28．（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)水箱的高為，得到水箱底面的長和寬，再由長方體的體積公式求解.（2）由（1）得，然后利用導(dǎo)數(shù)法求解.【詳解】（1）由水箱的高為，得水箱底面的寬為，長為.故水箱的容積.（2）由（1）得，令，解得（舍去）或，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，水箱的容積最大.29．（1）（2）【解析】【分析】（1）由，，，所以與全等.可得，根據(jù)面積公式，可求得觀賞區(qū)的面積為，要使得觀賞區(qū)的年收入不低于5萬元，則要求，解不等式即可求出結(jié)果.（2）由題意可得種植區(qū)的面積為，正方形面積為，設(shè)年總收入為萬元，則，利用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）∵，，，所以與全等.所以，觀賞區(qū)的面積為，要使得觀賞區(qū)的年收入不低于5萬元，則要求，即，結(jié)合可知，則的最大值為.（2）種植區(qū)的面積為，正方形面積為，設(shè)年總收入為萬元，則，其中，求導(dǎo)可得.當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞增.所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)年總收入最大.【點(diǎn)睛】題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及導(dǎo)數(shù)在求最值的應(yīng)用.30．（1），定義域?yàn)?；?）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【解析】【分析】（1）利用，可得，則可得關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，，代入即得解；（2）求導(dǎo)，分，兩種情況討論，即得解【詳解】（1）設(shè)容器的容積為，由題意，知.又，故.由于，解得，所以，其定義域?yàn)?（2）由（1）得，.由于，所以.當(dāng)時(shí)，.令，則，所以.①當(dāng)，即時(shí)，若，則；若，則；若，則.所以是該函數(shù)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn).②當(dāng)，即時(shí)，若，則（僅當(dāng)時(shí)，），所以函數(shù)單調(diào)遞減.所以是該函數(shù)的最小值點(diǎn).綜上所述，當(dāng)時(shí)，總建造費(fèi)用最少時(shí)；當(dāng)時(shí)，總建造費(fèi)用最少時(shí).31．(1)(2)該公司在生產(chǎn)這種小型產(chǎn)品中所獲得的最大月利潤為萬元，此時(shí)的月生產(chǎn)量為e萬件【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合月利潤=月銷售收入+月國家補(bǔ)助-月總成本寫出函數(shù)解析式即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求得函數(shù)的最值，即可得解.(1)解：由題意，可得；(2)解：由（1）知，則，當(dāng)時(shí)，，隨x的變化情況如下表：x1e0+0-由上表，得在上的最大值為，所以月生產(chǎn)量在萬件時(shí)，該公司在生產(chǎn)這種小型產(chǎn)品中所獲得的最大月利潤為萬元，此時(shí)的月生產(chǎn)量為e萬件.32．(1)(2)(3)36元，最大值為【解析】【分析】（1）利用條件預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為元時(shí)，產(chǎn)品一年的銷售量為萬件，即可求得；（2）根據(jù)一年的利潤等于單件產(chǎn)品利潤乘以年銷售量即可列出函數(shù)關(guān)系式；（3）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可.(1)由題意可知，已知每件產(chǎn)品的售價(jià)為40元時(shí)，該產(chǎn)品的一年銷售量為500萬件即，解得，(2)(3)令，，令，∴在區(qū)間上為增函數(shù)，為減函數(shù)即時(shí)，∴當(dāng)每年產(chǎn)品的售價(jià)為36元時(shí)，分公司一年的利潤最大，最大值為33．（1）；（2）當(dāng)為時(shí)，該別墅總造價(jià)最低．【解析】【分析】（1）先求得,進(jìn)而求得屋頂面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式.（2）首先求得別墅總造價(jià)，利用導(dǎo)數(shù)求得當(dāng)時(shí)，總造價(jià)最低.【詳解】（1）由題意，知平面，因?yàn)槠矫?，所以．在中，，，所以．所以的面積為．所以屋頂面積．所以關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為．（2）在，，所以下部主體高度為．所以別墅總造價(jià)為．設(shè)，，則，令，得，又，所以．與隨的變化情況如下表：0所以當(dāng)時(shí)，在上有最小值．所以當(dāng)為時(shí)，該別墅總造價(jià)最低．34．(1)(2)20萬元，10萬元【解析】【分析】（1）根據(jù)，由投入資金為10萬元時(shí)，門票增收為萬元；投入資金為30萬元時(shí)，門票增收為37萬元求解；（2）由（1）得，利用導(dǎo)數(shù)法求解.(1)解：因?yàn)?，且?dāng)投入資金為10萬元時(shí)，門票增收為萬元；當(dāng)投入資金為30萬元時(shí)，門票增收為37萬元，所以，解得，所以；(2)由（1）知：，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)萬元時(shí)，取得最大值10萬元.35．（2）