四川省眉山重點中學2024屆高三上學期12月月考試數(shù)學（理）試題（含答案）

眉山重點中學高2024屆第5學期12月月考試題(理科)第Ⅰ卷選擇題(60分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每個小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，把正確選項的代號填在答題卡的指定位置．)1．已知集合，則=()A．B．C．D．2．若復數(shù)z滿足，則()A．1B．5C．7D．253．血氧飽和度是呼吸循環(huán)的重要生理參數(shù)．人體的血氧飽和度正常范圍是，當血氧飽和度低于時，需要吸氧治療，在環(huán)境模擬實驗室的某段時間內，可以用指數(shù)模型：描述血氧飽和度隨給氧時間t（單位：時）的變化規(guī)律，其中為初始血氧飽和度，K為參數(shù)．已知，給氧1小時后，血氧飽和度為．若使得血氧飽和度達到，則至少還需要給氧時間（單位：時）為()（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：）A．0.3B．0.5C．0.7D．0.94．劉徽的《九章算術注》中有這樣的記載：“邪解立方有兩塹堵，邪解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑，陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也．”意思是說：把一塊長方體沿斜線分成相同的兩塊，這兩塊叫做塹堵，再把一塊塹堵沿斜線分成兩塊，大的叫陽馬，小的叫鱉臑，兩者體積比為2：1，這個比率是不變的．如圖所示的三視圖是一個鱉臑的三視圖，則其分割前的長方體的體積為()A．2B．4C．12D．245．已知，那么()A．B．C．D．6．已知是雙曲線的右焦點，過點作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，若（為坐標原點），則該雙曲線的離心率為()A．B．2C．3D．7．函數(shù)的大致圖象為()A．B．C．D．8．為坐標原點，為拋物線的焦點，為上一點，若，則的面積為()A．B．C．D．9．在三棱錐中，平面，，且，則三棱錐外接球的體積等于()A．B．C．D．10．已知是定義域為的奇函數(shù)，當時，單調遞增，且，則滿足不等式的的取值范圍是()A．B．C．D．11．已知，，且，則的最大值為()A．2B．C．4D．12．已知函數(shù)，若方程恰有兩個不同實根，則正數(shù)m的取值范圍為()A．B．C．D．第Ⅱ卷非選擇題(90分)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)13．已知向量，，，則______．14．設滿足約束條件，則的最大值為______．15．△的內角的對邊分別為，已知，，則△的面積為______．16．設函數(shù)（，），若是函數(shù)的零點，是函數(shù)的一條對稱軸，在區(qū)間上單調，則的最大值是______．三、解答題(共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．)(一)必考題：共60分．17．(本小題滿分12分)已知單調遞增數(shù)列的前項和為，且．(1)求的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前項和．18．(本小題滿分12分)某地區(qū)運動會上，有甲、乙、丙三位田徑運動員進入了男子100m決賽，某同學決定運用高中所學的知識對該次決賽的情況進行預測，為此，他收集了這三位運動員近幾年的大賽100m成績（單位：秒），若比賽成績小于10秒則稱為“破十”．甲：10.54，10.49，10.31，10.37，9.97，10.25，10.11，10.04，9.97，10.03；乙：10.59，10.32，10.06，9.99，9.83，9.91；丙：10.03，9.98，10.10，10.01．假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙三位運動員的比賽成績相互獨立．(1)分別估計甲、乙、丙三位運動員“破十”的概率；(2)設這三位運動員在這次決賽上“破十”的人數(shù)為，估計X的數(shù)學期望．19．(本小題滿分12分)如圖，四棱柱中，是棱上的一點，平面，，，．(1)若是的中點，證明：平面平面；(2)若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．20．(本小題滿分12分)已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調區(qū)間．21．(本小題滿分12分)已知橢圓C：（a>b>0）的左?右焦點分別為，，點滿足，且的面積為．(1)求橢圓C的方程；(2)設橢圓C的上頂點為P，不過點P的直線l交C于A，B兩點，若，證明直線l恒過定點．(二)選考題：共10分，請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．22．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程](本小題滿分10分)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為．(1)求直線l的直角坐標方程與曲線C的普通方程；(2)已知點P的直角坐標為，直線l與曲線C相交于不同的兩點A，B，求的值．23．[選修4-5：不等式選講](本小題滿分10分)已知函數(shù)．(1)當時，求不等式的解集；(2)若恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．答案解析一、單選題1．已知集合，則=A．B．C．D．【答案】C【分析】本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法，滲透了數(shù)學運算素養(yǎng)．采取數(shù)軸法，利用數(shù)形結合的思想解題．【詳解】由題意得，，則．故選C．【點睛】不能領會交集的含義易致誤，區(qū)分交集與并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2．若復數(shù)z滿足，則（

）A．1B．5C．7D．25【答案】B【分析】利用復數(shù)四則運算，先求出，再計算復數(shù)的模．【詳解】由題意有，故．故選：B．3．血氧飽和度是呼吸循環(huán)的重要生理參數(shù)．人體的血氧飽和度正常范圍是，當血氧飽和度低于時，需要吸氧治療，在環(huán)境模擬實驗室的某段時間內，可以用指數(shù)模型：描述血氧飽和度隨給氧時間t（單位：時）的變化規(guī)律，其中為初始血氧飽和度，K為參數(shù)．已知，給氧1小時后，血氧飽和度為．若使得血氧飽和度達到，則至少還需要給氧時間（單位：時）為（）（精確到0．1，參考數(shù)據(jù)：）A．0.3B．0.5C．0.7D．0.9【答案】B【分析】依據(jù)題給條件列出關于時間t的方程，解之即可求得給氧時間至少還需要的小時數(shù)．【詳解】設使得血氧飽和度達到正常值，給氧時間至少還需要小時，由題意可得，，兩邊同時取自然對數(shù)并整理，得，，則，則給氧時間至少還需要小時故選：B4．劉徽的《九章算術注》中有這樣的記載：“邪解立方有兩塹堵，邪解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑，陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也．”意思是說：把一塊長方體沿斜線分成相同的兩塊，這兩塊叫做塹堵，再把一塊塹堵沿斜線分成兩塊，大的叫陽馬，小的叫鱉臑，兩者體積比為2：1，這個比率是不變的．如圖所示的三視圖是一個鱉臑的三視圖，則其分割前的長方體的體積為（

）A．2B．4C．12D．24【答案】D【分析】根據(jù)鱉臑的三視圖確定長方體的長寬高，計算體積即可．【詳解】根據(jù)鱉臑的正視圖得原長方體的長為3，根據(jù)鱉臑的俯視圖得原長方體的寬為2，根據(jù)鱉臑的側視圖得原長方體的高為4，所以長方體的體積．故選：D5．已知，那么（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導公式，求得，化簡原式，結合余弦的倍角公式，即可求解．【詳解】因為，可得，又由．故選：A．6．已知是雙曲線的右焦點，過點作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，若（為坐標原點），則該雙曲線的離心率為（）A．B．2C．3D．【答案】A【分析】利用幾何特征及雙曲線的性質計算即可．【詳解】易知是直角三角形，雙曲線的漸近線方程為，設，由可知，所以．故選：A7．函數(shù)的大致圖象為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】對函數(shù)化簡后，利用排除法，先判斷函數(shù)的奇偶性，再取特殊值判斷即可【詳解】因為，，所以為偶函數(shù)，所以函數(shù)圖象關于軸對稱，所以排除A，C選項；又，所以排除B選項，故選：D．8．為坐標原點，為拋物線的焦點，為上一點，若，則的面積為A．B．C．D．【答案】B【分析】由拋物線的標準方程可得拋物線的焦點坐標和準線方程，設出，由PF=4以及拋物線的定義列式可得，即，再代入拋物線方程可得點P的縱坐標，再由三角形的面積公式可得．【詳解】由可得拋物線的焦點F(1，0)，準線方程為，如圖:過點P作準線的垂線，垂足為，根據(jù)拋物線的定義可知PM=PF=4，設，則，解得，將代入可得，所以△的面積為=．故選B．【點睛】本題考查了拋物線的幾何性質，定義以及三角形的面積公式，關鍵是①利用拋物線的定義求P點的坐標;②利用OF為三角形的底，點P的縱坐標的絕對值為高計算三角形的面積．屬中檔題．9．在三棱錐中，平面，，且，則三棱錐外接球的體積等于（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】將三棱錐放入一個長方體中，求出長方體的體對角線即為長方體外接球的直徑，利用球的體積公式即可求解．【詳解】因為三棱錐中，平面，不妨將三棱錐放入一個長方體中，則長方體的外接球即為三棱錐的外接球，因為長方體的體對角線即為其外接球的直徑，因為，則長方體的長寬高分別為所以三棱外接球的半徑為．所以三棱錐外接球的體積為．故選：C．10．已知是定義域為的奇函數(shù)，當時，單調遞增，且，則滿足不等式的的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】由奇函數(shù)的定義和單調性的性質，即可求解不等式．【詳解】因為是定義在R上的奇函數(shù)，時，單調遞增，且，所以當時，，當時，，不等式，則當時，有，即或，解得或，又，；當時，有，即或，又，解得；綜上，不等式的解集為．故選：C．11．已知，，且，則的最大值為（

）A．2B．C．4D．【答案】B【分析】由，兩邊取對數(shù)得到，再設，兩邊取對數(shù)，利用基本不等式求解．【詳解】解：因為，所以，設，則，則，當且僅當，即時，等號成立，故選：B12．已知函數(shù)，若方程恰有兩個不同實根，則正數(shù)m的取值范圍為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】當時，函數(shù)周期為，畫出函數(shù)圖像，如圖所示，方程兩個不同實根，即函數(shù)和有圖像兩個交點，計算，，根據(jù)圖像得到答案．【詳解】當時，，故函數(shù)周期為，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：方程，即，即函數(shù)和有兩個交點．，，故，，，，．根據(jù)圖像知：．故選：．【點睛】本題考查了函數(shù)的零點問題，確定函數(shù)周期畫出函數(shù)圖像是解題的關鍵．二、填空題13．已知向量，，，則．【答案】【分析】求出，把平方化簡即得解．【詳解】解：由，得，由，平方得，因為，所以，所以，解得．故答案為：14．設滿足約束條件，則的最大值為．【答案】4【分析】根據(jù)可行域結合幾何意義求最值．【詳解】作出可行域如下，由可得，當直線過點時，最小，則最大，此時．故答案為:4．15．△的內角的對邊分別為，已知，，則△的面積為．【答案】．【分析】方法一：由正弦定理可得，化簡求得，利用余弦定理，結合題中的條件，可以得到，由為銳角，求得，，利用三角形面積公式即可解出．【詳解】［方法一］：【最優(yōu)解】邊化角因為，由正弦定理得，因為，所以．又因為，由余弦定理，可得，所以，即為銳角，且，從而求得，所以的面積為．故答案為：．［方法二］：角化邊因為，由正弦定理得，即，又，所以，．又因為，由余弦定理，可得，所以，即為銳角，且，從而求得，所以的面積為．故答案為：．【整體點評】方法一：利用正弦定理邊化角，求出，再結合余弦定理求出，即可求出面積，該法是本題的最優(yōu)解；方法二：利用正弦定理邊化角，求出，再結合余弦定理求出，即可求出面積．16．設函數(shù)（，），若是函數(shù)的零點，是函數(shù)的一條對稱軸，在區(qū)間上單調，則的最大值是．【答案】14【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的零點、對稱軸，結合正弦型函數(shù)的單調性進行求解即可．【詳解】因為是函數(shù)的零點，是函數(shù)的對稱軸，所以，，解得，．因為在區(qū)間上單調，則，得，所以．當時，，得，，即，，又，則，得．當時，，其中，于是在區(qū)間上不單調．當時，，得，，即，，又，則，得．當時，，滿足在區(qū)間上單調．綜上，的最大值是14．故答案為：14【點睛】關鍵點睛：本題利用正弦型函數(shù)的單調性、對稱性在求解時，檢驗區(qū)間是否單調是本題的關鍵．三、解答題17．已知單調遞增數(shù)列的前項和為，且．(1)求的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）利用關系求得，結合已知及等差數(shù)列的定義寫出通項公式；（2）由題設，應用錯位相減法、等比數(shù)列前n項和公式求．【詳解】（1）由已知，時，即有，解得，當時，由，得，兩式相減，得，即，則，因為單調遞增，且，則，，所以，即，故是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，的通項公式．（2）由，得，，所以，①則有，②①－②，得，所以．18．某地區(qū)運動會上，有甲、乙、丙三位田徑運動員進入了男子100m決賽，某同學決定運用高中所學的知識對該次決賽的情況進行預測，為此，他收集了這三位運動員近幾年的大賽100m成績（單位：秒），若比賽成績小于10秒則稱為“破十”．甲：10.54，10.49，10.31，10.37，9.97，10.25，10.11，10.04，9.97，10.03；乙：10.59，10.32，10.06，9.99，9.83，9.91；丙：10.03，9.98，10.10，10.01．假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙三位運動員的比賽成績相互獨立．(1)分別估計甲、乙、丙三位運動員“破十”的概率；(2)設這三位運動員在這次決賽上“破十”的人數(shù)為，估計X的數(shù)學期望．【答案】(1)甲、乙、丙三位運動員“破十”的概率分別為；(2)【分析】（1）利用古典概型的概率公式直接計算得解；（2）寫出的可能取值，計算對應的概率，根據(jù)期望公式求解即可．0123【詳解】（1）甲運動員“破十”的概率為，乙運動員“破十”的概率為，丙運動員“破十”的概率為．（2）的可能取值為，，，，，所以的分布列為期望．19．如圖，四棱柱中，是棱上的一點，平面，，，．（1）若是的中點，證明：平面平面；（2）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】（1）詳見解析；（2）．【分析】（1）由線面垂直的判定定理，證得平面，得到，又由，證得，進而得到平面，再由面面垂直的判定定理，即可證得結論；（2）以為原點，，，分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，求得平面的法向量為和平面的法向量為，利用向量的夾角公式，即可求解．【詳解】（1）因為平面，所以，又，故平面，平面，故，因為，所以，同理，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）設，則，，以為原點，，，分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系．則，，，，，，，，，記平面的法向量為，記平面的法向量為，由，得，由，得，則，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．【點睛】本題考查了面面垂直的判定與證明，以及二面角的求解，意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答本題關鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關系的相互轉化，通過嚴密推理，同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解．20．已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調區(qū)間．【答案】(1)；(2)答案見解析【分析】（1）求出導函數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義即可求解．（2）求出導函數(shù)，分情況求解不等式和即可得解．【詳解】（1）當時，，，，所以，又，所以曲線在點處的切線方程為，即．（2），當，令得，由得，由得，所以的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為當，令得，當時，由得或，由得，所以的單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為；當時，，所以的單調增區(qū)間為，無單調減區(qū)間；當時，由得或，由得，所以的單調增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為．21．已知橢圓C：（a>b>0）的左?右焦點分別為，，點滿足，且的面積為．(1)求橢圓C的方程；(2)設橢圓C的上頂點為P，不過點P的直線l交C于A，B兩點，