新高考數(shù)學一輪復習考點精講講練學案 數(shù)列的單調(diào)性與最值（含解析）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第第頁參考答案1．A【解析】【分析】從“數(shù)列遞增”和“數(shù)列遞增”兩方面作為條件分別證明結論是否成立即可.【詳解】因為，且數(shù)列遞增，所以，因此，所以數(shù)列遞增，所以“數(shù)列遞增”是“數(shù)列遞增”的充分條件；若數(shù)列遞增，則，所以，又，所以對成立，即，則，但是的符號不確定，所以數(shù)列不一定遞增，所以“數(shù)列遞增”是“數(shù)列遞增”的不必要條件；因此“數(shù)列遞增”是“數(shù)列遞增”的充分不必要條件.故選：A2．D【解析】【分析】對A,B,C舉反例判斷即可，對D，設，，再根據(jù)等比數(shù)列的定義判斷即可【詳解】對A，等比數(shù)列的首項公比，則為遞減數(shù)列，故A錯誤；對B，等比數(shù)列的首項公比，則為遞增數(shù)列，故B錯誤；對C，若常數(shù)列滿足，則不是等比數(shù)列，故C錯誤；對D，設，，則，又為常數(shù)且不為0，故是等比數(shù)列，故D正確；故選：D3．A【解析】【分析】由求出公比的取值范圍，然后結合等比數(shù)列的通項即可判斷數(shù)列的單調(diào)性，舉出反例說明為遞減數(shù)列不一定能得到，再根據(jù)充分條件和必要條件即可得出答案.【詳解】解：設數(shù)列的公比為，若，則，所以，則，，所以，所以為遞減數(shù)列；若為遞減數(shù)列，當時，，數(shù)列為遞減數(shù)列，此時，所以由為遞減數(shù)列不一定能得到，所以“”是“為遞減數(shù)列”的充分而不必要條件.故選：A.4．A【解析】【分析】令，求出，再根據(jù)數(shù)列的符號即可得出答案.【詳解】解：令，則，又，所以數(shù)列的前n項和最小時n的值是4或5.故選：A.5．C【解析】【分析】對AB，舉公比為負數(shù)的反例判斷即可對CD，設等比數(shù)列公比為，分和兩種情況討論，再得出結論即可【詳解】對AB，當公比為時，此時，此時既不是遞增也不是遞減數(shù)列；對CD，設等比數(shù)列公比為，當時，因為，故，故，此時，易得隨的增大而增大，故存在最小項，不存在最大項；當時，因為，故，故，，因為，故當為偶數(shù)時，，隨著的增大而增大，此時無最大值，當時有最小值；當為奇數(shù)時，，隨著的增大而減小，故無最小值，有最大值.綜上，當時，因為，故當時有最小值，當時有最大值綜上所述，數(shù)列存在最小項，不一定有最大項，故C正確；D錯誤故選：C6．D【解析】【分析】由題設可得且()，進而可知時偶數(shù)項、奇數(shù)項的值分別相等，再結合各項的描述判斷正誤.【詳解】當時，，當時，，則，而不一定成立，故不一定是常數(shù)列，A錯誤；由，顯然且，即不單調(diào)，B錯誤；若，則，，故，偶數(shù)項為3，奇數(shù)項為，而，C錯誤；若，則，，故，偶數(shù)項為，奇數(shù)項為2，故的最小項的值為，D正確.故選：D7．C【解析】【分析】由數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，可得，從而有恒成立，由，可求得的取值范圍.【詳解】解：由題意得：由數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，所以，即，即（）恒成立，又因為數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列所以當時，取得最大值，所以.故選：C.8．D【解析】【分析】由題意可得對于都成立，化簡求解即可求出的取值范圍【詳解】因為數(shù)列{}的通項公式為，且{}為遞增數(shù)列，所以對于都成立，所以對于都成立，即，所以對于都成立，所以對于都成立，所以，即的取值范圍是，故選：D9．C【解析】【分析】由數(shù)列遞推式得到是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，求出其通項公式后代入，當時，，且求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】解：由得，，則，由，得，∴數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，∴，由，得，因為數(shù)列滿足，，即，所以，又∵，，由，得，得，綜上：實數(shù)的取值范圍是.故選：C.10．B【解析】【分析】當時，通過舉反例說明甲不是乙的充分條件；當是遞增數(shù)列時，必有成立即可說明成立，則甲是乙的必要條件，即可選出答案．【詳解】由題，當數(shù)列為時，滿足，但是不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件．若是遞增數(shù)列，則必有成立，若不成立，則會出現(xiàn)一正一負的情況，是矛盾的，則成立，所以甲是乙的必要條件．故選：B．【點睛】在不成立的情況下，我們可以通過舉反例說明，但是在成立的情況下，我們必須要給予其證明過程．11．A【解析】【分析】根據(jù)給定條件結合等差數(shù)列性質(zhì)計算出，進而求出與即可得解.【詳解】在等差數(shù)列中，依題意，，解得，而，且為遞增數(shù)列，即，則，，所以數(shù)列的公差.故選：A12．B【解析】【分析】首先求得數(shù)列的通項公式，然后結合數(shù)列中各個項數(shù)的符號和大小即可確定數(shù)列中是否存在最大項和最小項.【詳解】由題意可知，等差數(shù)列的公差，則其通項公式為：，注意到，且由可知，由可知數(shù)列不存在最小項，由于，故數(shù)列中的正項只有有限項：，.故數(shù)列中存在最大項，且最大項為.故選：B.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列中項的符號問題，分類討論的數(shù)學思想等知識，屬于中等題.13．D【解析】【分析】由等差數(shù)列通項公式得，再結合題意得數(shù)列單調(diào)遞增，且滿足，，即，再解不等式即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意：數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，所以，由于數(shù)列滿足，所以對任意的都成立，故數(shù)列單調(diào)遞增，且滿足，，所以，解得．故選：．14．C【解析】【分析】由給定條件知數(shù)列首項不是最大項，利用數(shù)列最大項比它前一項和后一項都不小的特點列式即可作答.【詳解】依題意得，設數(shù)列的最大項為，于是有，從而得，整理得：，解得，而，則，所以數(shù)列各項中最大項是第15項.故選：C15．C【解析】【分析】根據(jù)求通項公式，注意討論、并判斷是否可合并，再應用裂項法求，最后根據(jù)不等式求的最大值即可.【詳解】當時，；當時，；而也符合，∴，.又，∴，要使，即，得且，則的最大值為19.故選：C.16．A【解析】【分析】由與的關系化簡即可求出及，可得，分析單調(diào)性即可求解.【詳解】∵,∴,則,即,∴.易知,∵,當時,,∴當時,,當時,,又,∴當時,有最小值.故選：A【點睛】本題主要考查了數(shù)列與的關系，數(shù)列的單調(diào)性，屬于中檔題.17．B【解析】【分析】根據(jù)題意，化簡，得到，即可求解.【詳解】由題意，數(shù)列的通項公式為，可得（且），所以，即數(shù)列為遞減數(shù)列.故選：B.18．D【解析】【分析】利用最值的含義轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題解決即可【詳解】解：由題意可得，整理得，當時，不等式化簡為恒成立，所以，當時，不等式化簡為恒成立，所以，綜上，，所以實數(shù)的取值范圍是，故選：D19．A【解析】【分析】根據(jù)，求得，對恒成立，進而得到，結合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由題意，數(shù)列的通項為，則，即，對恒成立，當時，取得最小值，所以，所以“”是“，”的充分不必要條件.故選：A.20．D【解析】【分析】根據(jù)題意，可知數(shù)列的通項公式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當或3時，取得最小值，從而得出答案.【詳解】解：由題可知，，由于，所以當或3時，取得最小值，所以數(shù)列的最小項是第2項、第3項.故選：D.21．D【解析】當且時，由代入可推導出數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公差，可求得數(shù)列的通項公式，由可判斷A選項的正誤；利用的表達式可判斷BC選項的正誤；求出，可判斷D選項的正誤.【詳解】當且時，由，由可得，整理得（且）.則為以2為首項，以2為公差的等差數(shù)列，.A中，當時，，A選項正確；B中，為等差數(shù)列，顯然有，B選項正確；C中，記，，，故為遞減數(shù)列，，C選項正確；D中，，，.，D選項錯誤.故選：D．【點睛】關鍵點點睛：利用與的關系求通項，一般利用來求解，在變形過程中要注意是否適用，當利用作差法求解不方便時，應利用將遞推關系轉(zhuǎn)化為有關的遞推數(shù)列來求解.22．C【解析】【分析】由數(shù)列通項公式寫出前n項，結合數(shù)列“谷值點”的定義判斷{an}的“谷值點”.【詳解】由an＝，則，，，當n≥7，n∈N*時恒有>0，∴an＝＝，此時數(shù)列{an}遞增，綜上，a2<a1，a2<a3，a7<a6，a7<a8，∴數(shù)列{an}的“谷值點”為2，7.故選：C.23．C【解析】【分析】根據(jù)給定條件求出數(shù)列{an}通項，再由數(shù)列{bn}為單調(diào)遞增數(shù)列列出不等式并分離參數(shù)即可推理計算作答．【詳解】數(shù)列{an}中，an+1＝2an+1，a1＝1，則有an+1+1＝2（an+1），而a1+1＝2，因此，數(shù)列{an+1}是公比為2的等比數(shù)列，，即，則，因數(shù)列{bn}為單調(diào)遞增數(shù)列，即?n∈N*，bn+1﹣bn＞0，則（2n+1﹣1）﹣（n+1）2+4（n+1）﹣[（2n﹣1）﹣n2+4n]＝?2n﹣2n+3＞0，，令，則，n∈N*，當n≤2時，cn+1＞cn，當n≥3時，cn+1＜cn，于是得是數(shù)列{cn}的最大項，即當n＝3時，取得最大值，從而得，所以的取值范圍為．故選：C．24．A【解析】【分析】由條件求得公差，從而求得，根據(jù)一元二次函數(shù)的性質(zhì)，結合對稱軸的位置判斷命題是充分必要性即可.【詳解】設公差為d，由，則，，，對稱軸為，則當時，，對于，數(shù)列是單減數(shù)列，故“”是“是單調(diào)數(shù)列”的充分條件；弱對于，數(shù)列是單調(diào)數(shù)列，根據(jù)一元二次函數(shù)的性質(zhì)知，對稱軸，即，故“”是“是單調(diào)數(shù)列”的不必要條件；綜上所說，“”是“是單調(diào)數(shù)列”的充分不必要條件故選：A【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)條件求得公差，及的表達式，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)判斷單調(diào)性即可.25．C【解析】【分析】由等比數(shù)列前項和滿足，分別求出前3項，利用等比數(shù)列中，求出，再根據(jù)數(shù)列是遞增的，且，利用中求出實數(shù)的取值范圍【詳解】解：因為等比數(shù)列前項和滿足（），所以，，，因為等比數(shù)列中，所以，解得或（舍去），所以，因為數(shù)列是遞增的，所以，所以，因為，所以，故選：C26．C【解析】先由求出，根據(jù)得到，求出的最小值，即可得出結果.【詳解】因為數(shù)列的前n項和，當時，；當時，滿足上式，所以，又，恒成立，所以，恒成立；令，則對任意，顯然都成立，所以單調(diào)遞增，因此，即的最小值為，所以，即實數(shù)的最大值是.故選：C【點睛】思路點睛：根據(jù)數(shù)列不等式恒成立求參數(shù)時，一般需要分離參數(shù)，構造新數(shù)列，根據(jù)新數(shù)列的通項公式，判斷其單調(diào)性，求出最值，即可求出參數(shù)范圍（或最值）.27．D【解析】【分析】設等比數(shù)列的公比為，由已知求得，寫出通項公式，然后求得積，確定在為偶數(shù)時，計算出（），再說明且為偶數(shù)時，即得．【詳解】解：設等比數(shù)列的公比為，則，解得，所以，所以，所以當取得最大值時，可得為偶數(shù)，而在上單調(diào)遞減，；；，則，且，當且為偶數(shù)時，，，所以，所以時，取得最大值．故選：D．28．D【解析】根據(jù)題意求出數(shù)列的首項和公差，再求出，可得出是單調(diào)遞增數(shù)列，即可判斷.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，，，，解得，，，，可得是單調(diào)遞增數(shù)列，所以在，，，中，最大的為．故選：D.29．B【解析】本題先根據(jù)遞推公式進行轉(zhuǎn)化得到．然后令，可得出數(shù)列是等比數(shù)列．即．然后用累乘法可求出數(shù)列的通項公式，根據(jù)通項公式及二次函數(shù)的知識可得數(shù)列的最大項．【詳解】解：由題意，可知：．令，則．，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．．．，，．各項相乘，可得：．．令，則，根據(jù)二次函數(shù)的知識，可知：當或時，取得最小值．，，的最小值為．．數(shù)列的最大項為．故選：．【點睛】本題主要考查根據(jù)遞推公式得出通項公式，構造新數(shù)列的方法，累乘法通項公式的應用，以及利用二次函數(shù)思想求最值；30．B【解析】【分析】先令，兩邊取對數(shù)，再分析的最值即可求解.【詳解】令，兩邊取對數(shù)，有，令，則，當時，；當時，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以時，取到最大值，從而有最大值，因此，對于，當時，；當時，.而，因此，當最大時，.故選：B31．D【解析】【分析】根據(jù)遞增數(shù)列的定義建立不等式組，解之可得選項.【詳解】解：若是遞增數(shù)列，則，即，解得，即實數(shù)的取值范圍是．故選：D．32．D【解析】【分析】由先求出，從而得出，由討論出其單調(diào)性，從而得出答案.【詳解】當時，；由，當時，，兩式相減，可得，解得，當時，也符合該式，故．所以由，解得；又，所以，所以，當時，，故，因此最大項為，故選：D．33．C【解析】【分析】首先求出函數(shù)的導函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而求出切線方程，則，從而求出的通項公式，再構造不等式組求出數(shù)列中的最小項；【詳解】因為，所以，所以曲線在點處的切線的斜率.所以切線l的方程為.所以.所以數(shù)列是首項為1，公比為3的等比數(shù)列.所以.所以由，解得.因為，所以.所以數(shù)列中的最小項為.故選：C.34．C【解析】【分析】利用作差法判斷.【詳解】因為，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，故選：C35．ABD【解析】【分析】根據(jù)已知條件求出等比數(shù)列的公比和首項，進而可以求得和；利用裂項相消法可得和，討論數(shù)列的單調(diào)性，即可得出的范圍.【詳解】A：由可得，所以等比數(shù)列的公比，所以.由是與的等差中項，可得，即，解得，所以，所以A正確；B：，所以B正確；C：，所以C不正確；D：所以數(shù)列是遞增數(shù)列，得，所以，所以D正確.故選：ABD.36．ACD【解析】【分析】由可判斷A；由數(shù)列的通項公式以及可判斷B；由數(shù)列定義可判斷C；由遞減數(shù)列定義可判斷D．【詳解】對于A，當通項公式為時，，不符合題意，故選項A錯誤；對于B，由數(shù)列的通項公式以及可知，數(shù)列的圖象是一群孤立的點，故選項B正確；對于C，由于兩個數(shù)列中的數(shù)排列的次序不同，因此不是同一數(shù)列，故選項C錯誤；對于D，數(shù)列，，是遞減數(shù)列，故選項D錯誤．故選：ACD．37．ACD【解析】【分析】對于A，從前后兩個圖之間的關系可求出，對于B，由題意可知，數(shù)列是1為首項，為公比的等比數(shù)列，從而可求出，對于C，由結合，可得，而，從而可求出的值，則可求出的值，進而可求得最小值，對于D，由在上遞增和在上遞增，可求得結果.【詳解】解：對于A，由題意可知，下一個圖形的邊長是上一個圖邊長的，邊數(shù)是上一個圖形的4倍，則周長之間的關系為，所以數(shù)列是公比為，首項為3的等比數(shù)列，所以，所以A正確，對于B，由題意可知，從第2個圖形起，每一個圖形的邊長均為上一個圖形邊長的，所以數(shù)列是1為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以B錯誤，對于C，由，，得，所以，所以，因為，所以當時，，則，當時，，則，當時，，則，當時，，則，當時，，則，所以最小值是1，所以C正確，對于D，因為在上遞增，所以，即，令，則在上遞增，所以，即，即，因為恒成立，所以的最小值為，所以D正確，故選：ACD【點睛】關鍵點點睛：此題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式的應用，考查數(shù)列單調(diào)性的應用，解題的關鍵是正確理解題意，求出數(shù)列和的通項公式，考查計算能力，屬于較難題38．BCD【解析】【分析】設與交于點，由面積比得，根據(jù)平面向量基本定理得與關系，從而得數(shù)列遞推關系，然后根據(jù)各選項求解數(shù)列，判斷結論，其中選項D需要用錯位相減法求和．【詳解】設與交于點，，，共線，所以存在實數(shù)，使得，所以，所以，所以，，所以，，，不是等比數(shù)列，A錯；因為，所以，即，所以是等差數(shù)列，C正確；又因為，則，即，，所以當時，，即，所以是遞減數(shù)列，B正確；因為，，所以兩式相減得，所以，D正確．故選：BCD．39．2021【解析】【分析】首先利用裂項得到再化簡，利用裂項相消求和，再利用高斯函數(shù)的定義，即可求解.【詳解】因為，所以，所以．因為，所以，所以，所以，故．故答案為：40．7【解析】【分析】先求出的通項公式，然后參變分離轉(zhuǎn)化為求最值【詳解】令m=1，則an+1=an+a1，an+1－an=a1=1，所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列，首項為1，公差為1，所以an=n，所以λan≤+12?λn≤n2+12?λ≤n+，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當或時，所以故答案為：741．.【解析】【分析】數(shù)列是特殊的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)可得答案.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，且在上單調(diào)遞增，，所以滿足3個條件的數(shù)列的通項公式可以是，故答案為：.42．【解析】【分析】利用遞增數(shù)列的定義可得，然后參變分離可得.【詳解】因為是遞增數(shù)列，所以對任意的，都有，即，整理得，即，因為，所以，所以．故答案為：.43．1【解析】【分析】由等差數(shù)列各項均為正數(shù)可判定該數(shù)列為遞增數(shù)列，結合等差數(shù)列的通項公式和前和公式，可判定數(shù)列為遞減數(shù)列，進而可得到該數(shù)列的最大項.【詳解】由題，等差數(shù)列的各項均為正數(shù)，所以，，且，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，又，所以，即是遞減數(shù)列，所以當時，得到數(shù)列的最大項為，故答案為：144．【解析】【分析】首先利用遞推關系式求出數(shù)列和的通項公式，再利用數(shù)列的單調(diào)性建立不等關系，進一步求出參數(shù)的范圍．【詳解】因為，所以，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，又所以，所以，又是單調(diào)遞增數(shù)列，所以當時，恒成立，所以當時，恒成立，即當時，恒成立，所以；又，即，所以．綜上，．故答案為：．45．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用可將已知化為，根據(jù)與關系可求得通項公式；（2）由（1）得到，從而得到，由此可確定當時，；當時，，則最小值為，代入通項公式可得到結果.【詳解】（1），，則，即，當時，；當時，；經(jīng)檢驗適合，（2）由（1）知：，，，當時，，當時，；當時，；又，，當時，有最小值.【點睛】易錯點睛：在利用與關系求解數(shù)列通項公式時，需注意驗證首項是否滿足時所求解的通項公式，若不滿足，則通項公式為分段數(shù)列的形式，即.46．（1），；（2）；（3）.【解析】（1）與代入即可求出；（2）由題意得，兩式相減可得，然后構造新數(shù)列可得，所以是等比數(shù)列，即可求得通項；（3）代入作差可判斷出數(shù)列前三項遞增，從第四項開始遞減，于是可得數(shù)列的最大項為，然后可轉(zhuǎn)化為求解.【詳解】（1）當時，，所以，當時，，得．（2）由題可知：，

①，

②②－①可得，即，又，所以數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，∴．（3）由（2）可得，，由，可得，由可得，所以，故有最大值，

所以對任意，有，由題意恒成立，則，故有，解得