2021屆高中數(shù)學綜合、交匯習題集08

《2021屆高中數(shù)學綜合、交匯習題集30篇》

在這套習題中，我們僅僅關(guān)注高中數(shù)學知識之間的跨界組合、綜合交匯的

考查。它們也許是數(shù)列與函數(shù)的交匯、也許是函數(shù)與幾何的交匯、也許統(tǒng)計與

圓錐曲線的交匯、也可能是基本不等式與解三角形的交匯……

第08篇

1.（皖，2021屆太和一中高三月考）給出下列命題:

X是奇函數(shù);

①函數(shù)y=cos<5

②存在實數(shù)x,使sinx+cosx=2；

③若夕是第一象限角且av氐則tana<tan優(yōu)

n(57ZI

④尤=是函數(shù)y=sin/2x+?的一條對稱軸;

-8-14

⑤函數(shù)y=sin|「2x的圖象關(guān)于點|\t，01成中心對稱.

其中正確命題的序號為.

2.（皖，2021屆合肥市高三調(diào)研）已知函數(shù)/（x）=x-cosx（xeR）,a,4是鈍角三角形的兩個銳角,

則/(cos@/(sin^(填寫：">"或"<"或"=").

3.（2021屆百師聯(lián)盟新高考高三聯(lián)考）在"全面脫貧"行動中，貧困戶小王2020年1月初向銀行借了扶貧

免息貸款10000元，用于自己開設(shè)的農(nóng)產(chǎn)品土特產(chǎn)品加工廠的原材料進貨，因產(chǎn)品質(zhì)優(yōu)價廉，上市后供不

應(yīng)求，據(jù)測算每月獲得的利潤是該月月初投入資金的20%,每月月底需繳納房租600元和水電費400元,

余款作為資金全部用于再進貨，如此繼續(xù).預(yù)計2020年小王的農(nóng)產(chǎn)品加工廠的年利潤為元.（取

1.2"=7.5，1.2,2=9）

4.（閩，2021屆羅源一中高三月考）在面積為2的DABC中，E,尸分別是AB,AC的中點，點P在

直線瓦'上，則把.理+糅2的最小值是.

--y

5.（皖，2021屆阜陽太和一中高三檢測）已知向量a=（2,y）1=（lnx,—2）,且那么一的最大值

x

為.

6.（京，2021屆中關(guān)村中學高三月考）設(shè)。為平面直角坐標系xOy中的點集，從Q中的任意一點P作x

軸、y軸的垂線，垂足分別為記點M的橫坐標的最大值與最小值之差為x（。）,點N的縱坐標的最大

值與最小值之差為y（Q）.若。是邊長為1的正方形，給出下列三個結(jié)論：

①x（Q）的最大值為0

②x（Q）+y（Q）的取值范圍是

③x（Q）-y（Q）恒等于0.

其中所有正確結(jié)論的序號是

2

7.直線屈—y—3=0與％軸交于A，與圓M:(x-2y+(y+3)2=4交于8、C兩點，過4的直線與

過8、。兩點的動圓N切于P,當口P8C的面積最大時，切線AP的方程為()

A?x++出=°B.產(chǎn)+y+?=°

C.>j3x+y->j3=0D.x+J3y-y/3-0

8.(皖，2021皖南八校高三聯(lián)考)某特種冰箱的食物保鮮時間y(單位：小時)與設(shè)置儲存溫度x(單位:。。近

似滿足函數(shù)關(guān)系y=3kx"(k,b為常數(shù))，若設(shè)置儲存溫度0℃的保鮮時間是288小時，設(shè)置儲存溫度5℃的

保鮮時間是144小時，則設(shè)置儲存溫度15%：的保鮮時間近似是

A.36小時B.48小時C.60小時D.72小時

9.(皖，2021屆皖江名校高三聯(lián)考)已知直線/與平面a,B，滿足/貝上〃"是"/_L。

的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

10.(皖，2021屆阜陽一中高三檢測)已知函數(shù)/(x)=e*,g(x)=21nx,/z(x)=%2-4龍+機，直線x=%

分別交函數(shù)/(X)和g(x)的圖象于點A和點8.若對任意％,與e[l,e]都有|AB|>幻成立，則實數(shù)m的取

值范圍是()

A.(-8,d+2)B.(-8,e+4)C.(-oo,5e一夕)D.(—co,e+3)

11.歐拉恒等式/+1=0被稱為數(shù)學中最奇妙的公式，它是復(fù)分析中歐拉公式的特例.歐拉公式：

e,x=cosx+isinx(i為虛數(shù)單位，e為自然對數(shù)的底數(shù)，自變量e'"=cos%+isin%=-1,得

eix+1=0,根據(jù)歐拉公式，復(fù)數(shù)z=e',在復(fù)平面上所對應(yīng)的點在第象限象限.

A.-B.~C.三D.四

f|x+4|-2,x<—2,

12.(皖，2021皖南八校高三聯(lián)考)已知函數(shù)/(幻=4以下結(jié)論正確的個數(shù)有

[2/(x-4),x>-2.

①/(2020)=25°7；

②方程1有四個實根；

4

③當xG[6,10)時,f(x)=8|x-8|-16;

8

④若函數(shù)y=/(x)—t在(-8,10)上有8個零點xi(i=l,2,3，…,8),則￡xjaj的取值范圍為(-16,0).

/=1

A.1B.2C.3D.4

3

13.（皖，2021屆太和一中高三月考）己知函數(shù)y=k）g〃（x-l）+2（”>0且arl）恒過定點A.若直

12

線如+〃y=2過點A,其中加，〃是正實數(shù).則_+_的最小值是（）

mn

9

A.3+0B.3+20c--D-5

f21

14.已知集合A=（（x,一?+若=1>,B={（x,y）\y=kx+m,ZzCR,機GR},若對任意實數(shù)&,ACBW

I4J

。，則實數(shù)，〃的取值范圍是.

15.（皖，2021屆阜陽太和一中高三檢測）托勒密是古希臘天文學家、地理學家、數(shù)學家，托勒密定理就

是由其名字命名，該定理指出：圓的內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.已知四邊形

A3CO的四個頂點在同一個圓的圓周上，AC,8。是其兩條對角線，BD=8,且△ACO為正三角形，

則四邊形A8CD的面積為（）

A.8GB.16GC.246D.32若

4

《2021屆高中數(shù)學綜合、交匯習題集》第08篇參考答案

1.①④

2.【答案】>

【詳解】

由f\x)=1+sinxN0,可得/(x)在R上單調(diào)遞增，

因為a,夕是鈍角三角形的兩個銳角，所以。+住”,_0〈代_

222

???y=sinx在|，0,「上單調(diào)增，sinP<sin]:-c?|sin/3<cosa,

l切I2)

所以/(cosa)>/(sin0)

故答案為：>

3.【答案】40000

【詳解】

設(shè)一月月底小王手中有現(xiàn)款為a,=(1+20%)xlOOOO-1000=11000元，

〃月月底小王手中有現(xiàn)款為乙,〃+1月月底小王手中有現(xiàn)款為。用，

則an+l=1.2a?-1000,即a?+1-5000=1.2(a?-5000),

所以數(shù)列｛%-5000｝是以6000為首項，1.2為公比的等比數(shù)列，

a-5000=6000x1.2",即a=6000x1.2'1+5000=50000jt.

1212

年利潤為50000-10000=40000元.

故答案為：40000.

4、班

5.【答案】1

e

【解析】先根據(jù)向量的垂直關(guān)系得到元)之間的關(guān)系式，再將乙表示為關(guān)于x的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析求解

X

出土y的最大值.

x

【詳解】

由題意可知a.b=0，即y=lnx,

5

所以=m"(X>0),令/(x)=mx(龍〉0),即求/(x)的最大值，且尸(x)=1一“龍,

XXX廠

當xe(0,e)時，/(x)>0J(x)在區(qū)間(0,e)上單調(diào)遞增；當xe(e,+oo)時，/'(x)<0,7(x)在區(qū)間

(e,+00)上單調(diào)遞減，

所以當尤=0時，/(x)=/(e)=_,即}的最大值為

ex6

故答案為：一.

e

6.【答案】①②③.

【解析】易得乂。),)，(。)與正方形。的位置無關(guān)，故可以考慮將正方形確定在原點，再繞著原點旋轉(zhuǎn)分析所

有情況即可.

【詳解】

如圖由題易得武。),>(。)與正方形。的位置無關(guān)，故將正方形A8C。確定在原點,則只需考慮當正方形

ABCD繞著原點旋轉(zhuǎn)的所有情況即可.此時對角線長J5.當正方形邊均平行于坐標軸時取最小值

x(0)=y(0)=lEx(Q)=y(Q)=max{0cosa,痣ina}

對①,MQ)€[1閔，故①正確

對②，MQ)+NQ)=2x(。)e[2,2口,故②正確.

對③，因為x(Q)=>(。)=max{6cosa-s/sinc^，故x(。)-y(Q)=0,故③正確.

故答案為①②③

7.【答案】D

【詳解】

6

”是BC中點，如圖，A(6'0),M(2,—3),=2『+32=16-4/，

|AP「=NWNP『=QA"f+N"［)-(|C//|2+j)=\AH［-pH］=(1)一

［MCfTMuDnlAMf-MC〔=12-為定值，.?.|A0為定值，設(shè)口P8C的BC邊上高為。，由

QPBC的面積S="C1,由于?C.變，則當PA,BC時，力最大，S=為。,最大，則AP的方

程為：丁=-耳(-6)nx+g)，—6=().

8.答案A

9.【答案】B

【解析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷.

【詳解】

當/〃O0寸，不能推出/，/?；當/，例，又Iaa,可得/

Ila-故選：B.

10.【答案】D

【詳解】

由題意，直線x=G分別交函數(shù)/(X)和g(x)的圖象于點A和點B,故IABke-21nx

設(shè)尸(x)=e*-21nx(lWe),則問題可以轉(zhuǎn)化為在區(qū)間［l,e］內(nèi)F(x)inin〉〃(x)11m.

因為尸a)=e*-l/一2>0,所以尸(x)在［l,e］上單調(diào)遞增,故尸(次*=尸(1)=e.

因為/?(*)=/—4%+山，其對稱軸x=2,所以在區(qū)間U,e］上，/⑴>/(e)即

h(x)max=/?(!)=1-4+MZ=m-3,所以e>機一3，即m<e+3.

故選：D.

7

11答案B

12.答案B

13.B【解析】易知函數(shù)y=log“(x-l)+2過定點(2,2),2〃z+2〃=2,即加+”=1,

12zJ12、.2m,_____

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