新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納講義專題11 立體幾何 11.1空間幾何體（解析版）

專題十一《立體幾何》講義11.1空間幾何體知識(shí)梳理.空間幾何體1．直觀圖(1)畫法：常用斜二測(cè)畫法．(2)規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄甧q\a\vs4\al(1.簡(jiǎn)單幾何體,1多面體的結(jié)構(gòu)特征)名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面互相平行且相等多邊形互相平行且相似側(cè)棱互相平行且相等相交于一點(diǎn)，但不一定相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球▲圖形母線互相平行且相等，垂直于底面長(zhǎng)度相等且相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)4．空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3題型一.正方體的展開與折疊問題1．如圖代表未折疊正方體的展開圖，將其折疊起來，變成正方體后的圖形是（）A．B．C． D．【解答】解：將其折疊起來，變成正方體后的圖形中，相鄰的平面中三條線段是平行線，排除A，C；相鄰平面只有兩個(gè)是空白面，排除D；故選：B．2．如圖是表示一個(gè)正方體表面的一種平面展開圖，圖中的四條線段AB、CD、EF和GH在原正方體中不相交的線段的對(duì)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：平面展開圖還原成正方體：G點(diǎn)與C點(diǎn)重合，B點(diǎn)與F重合．觀察正方體中的線段不難發(fā)現(xiàn)：GH與EF，GH與AF，CD與AF，CD與EF均不相交．∴在正方體中不相交的線段有4對(duì)．故選：C．3．如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，則在該正方體中（）A．AE∥CD B．CH∥BE C．DG⊥BH D．BG⊥DE【解答】解：還原正方體直觀圖如圖，可知AE與CD為異面直線，故選項(xiàng)A不正確；由EH∥=BC，可得CH∥BE，故選項(xiàng)B正方形中易得DG⊥平面BCH，所以有DG⊥BH，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)锽G∥AH，且DE⊥AH，所以BG⊥DE，故選項(xiàng)D正確．故選：BCD．題型二.多面體表面最短距離問題1．如圖，正三棱錐S﹣ABC中，∠BSC＝40°，SB＝2，一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)B出發(fā)，沿著三棱錐的側(cè)面繞行一周回到點(diǎn)B的最短路線的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．23 D．【解答】解：將三棱錐S﹣ABC沿側(cè)棱SB展開，其側(cè)面展開圖如圖所示，由圖中紅色路線可得結(jié)論．根據(jù)余弦定理得，沿著三棱錐的側(cè)面繞行一周回到點(diǎn)B的最短路線的長(zhǎng)為：4+4+2×2×2×1故選：C．2．如圖，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為1cm，高為5cm，一質(zhì)點(diǎn)自A點(diǎn)出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)A1點(diǎn)的最短路線的長(zhǎng)為（）cm．A．12 B．13 C．61 D．15【解答】解：如圖所示，把側(cè)面展開兩周可得對(duì)角線最短：AA1=62故選：C．3．如圖所示，已知在圓錐SO中，底面半徑r＝1，母線長(zhǎng)l＝4，M為母線SA上的一個(gè)點(diǎn)，且SM＝x，從點(diǎn)M拉一根繩子，圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)A，求繩子最短時(shí)，頂點(diǎn)到繩子的最短距離4xx2+16【解答】解：∵底面半徑r＝1，母線長(zhǎng)l＝4，∴側(cè)面展開扇形的圓心角α＝90°因此，將圓錐側(cè)面展開成一個(gè)扇形，從點(diǎn)M拉一繩子圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)A，最短距離為Rt△ASM中，斜邊AM的長(zhǎng)度∵SM＝x，SA＝4∴繩子的最短長(zhǎng)度的平方f（x）＝AM2＝x2+42＝x2+16．繩子最短時(shí)，定點(diǎn)S到繩子的最短距離等于Rt△ASM的斜邊上的高，設(shè)這個(gè)距離等于d，則d=SM?AS故答案為4xx題型三.截面問題1．如圖，若Ω是長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1被平面EFGH截去幾何體EFGHB1C1后得到的幾何體，其中E為線段A1B1上異于B1的點(diǎn)，F(xiàn)為線段BB1上異于B1的點(diǎn)，且EH∥A1D1，則下列結(jié)論中不正確的是（）A．EH∥FG B．EF∥HG C．Ω是棱柱 D．Ω是棱臺(tái)【解答】解：因?yàn)镋H∥A1D1，A1D1∥B1C1，所以EH∥B1C1，又EH?平面BCC1B1，所以EH∥平面BCB1C1，又EH?平面EFGH，平面EFGH∩平面BCB1C1＝FG，所以EH∥FG，故EH∥FG∥B1C1，所以選項(xiàng)A、C正確，D錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫鍭BB1A1∩平面EFGH＝EF，平面CDD1C1∩平面EFGH＝GH，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，所以EF∥GH，故B正確．故選：D．2．（2018·全國(guó)1）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為（）A．334 B．233 C．【解答】解：正方體的所有棱中，實(shí)際上是3組平行的棱，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，如圖：所示的正六邊形平行的平面，并且正六邊形時(shí)，α截此正方體所得截面面積的最大，此時(shí)正六邊形的邊長(zhǎng)22α截此正方體所得截面最大值為：6×3故選：A．3．已知正△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為2的球面上，球心O到平面ABC的距離為1，點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作球O的截面，則截面面積的最小值是9π4【解答】解：設(shè)正△ABC的中心為O1，連結(jié)O1O、O1C、O1E、OE，∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三點(diǎn)都在球面上，∴O1O⊥平面ABC，結(jié)合O1C?平面ABC，可得O1O⊥O1C，∵球的半徑R＝2，球心O到平面ABC的距離為1，得O1O＝1，∴Rt△O1OC中，O1C=R又∵E為AB的中點(diǎn)，∴正△ABC中，O1E=12O1C∴Rt△OO1E中，OE=O∵過E作球O的截面，當(dāng)截面與OE垂直時(shí)，截面圓的半徑最小，∴當(dāng)截面與OE垂直時(shí)，截面圓的面積有最小值．此時(shí)截面圓的半徑r=R可得截面面積為S＝πr2=9π故答案為：9π4題型四.一般空間幾何體的表面積與體積1．已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）A．122π B．12π C．82π D．10π【解答】解：設(shè)圓柱的底面直徑為2R，則高為2R，圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，可得：4R2＝8，解得R=2則該圓柱的表面積為：π?(2)2故選：B．2．母線長(zhǎng)為5的圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角等于8π5A．16π B．8π C．16π3 D．【解答】解：母線長(zhǎng)為5的圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角等于8π5所以側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)為：l＝5×8π5=由弧長(zhǎng)＝底面周長(zhǎng)，即8π＝2πr，r＝4，所以圓錐的高為h=5所以圓錐體積V=13×π×r2×h=13×π×故選：A．3．已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB互相垂直，SA與圓錐底面所成角為30°．若△SAB的面積為8，則該圓錐的體積為8π．【解答】解：圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB互相垂直，△SAB的面積為8，可得：12SASA與圓錐底面所成角為30°．可得圓錐的底面半徑為：23，圓錐的高為：2，則該圓錐的體積為：V=13×π×(2故答案為：8π．4．已知邊長(zhǎng)為3的正三角形ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，且球心O到平面ABC的距離為該球半徑的一半，則球O的表面積為16π3【解答】解：如圖，設(shè)OO′⊥平面ABC，垂足是O′，設(shè)球半徑為r，∵邊長(zhǎng)為3的正三角形ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，且球心O到平面ABC的距離為該球半徑的一半，∴AO′=233?34=1，OA＝∵OA2＝O′A2+OO′2，∴r2=1+r24，∴球O的表面積S＝4πr2=16π故答案為：16π35．如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的六個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的半球面上，AB＝AC，側(cè)面BCC1B1是半球底面圓的內(nèi)接正方形，則側(cè)面ABB1A1的面積為（）A．2 B．1 C．2 D．2【解答】解：球心在平面BCC1B1的中心O上，BC為截面圓的直徑，∴∠BAC＝90°，底面外接圓的圓心N位于BC的中點(diǎn)，△A1B1C1的外心M在B1C1中點(diǎn)上，設(shè)正方形BCC1B1的邊長(zhǎng)為x，Rt△OMC1中，OM=x2，MC1=x2∴(x即x=2，則AB＝AC∴S故選：C．6．在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為40cm，母線長(zhǎng)最短50cm，最長(zhǎng)80cm，則斜截圓柱的側(cè)面面積S＝2600πcm2．【解答】解：將相同的兩個(gè)幾何體，對(duì)接為圓柱，則圓柱的側(cè)面展開，側(cè)面展開圖的面積S＝（50+80）×20π×2×12=2600π故答案為：2600π7．已知正四棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為3cm，兩底面邊長(zhǎng)分別為2cm和4cm，則該四棱臺(tái)的體積為2873cm3【解答】解：正四棱臺(tái)ABCD﹣A1B1C1D1，O1，O是兩底面的中心，∵A1C1＝22，AC＝42，∴O1O=9?2∴V=13×故答案為：2873cm題型五.三棱錐的表面積與體積1．（2019·全國(guó)3）學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1挖去四棱錐O﹣EFGH后所得的幾何體，其中O為長(zhǎng)方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3．不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為118.8g．【解答】解：該模型為長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1，挖去四棱錐O﹣EFGH后所得的幾何體，其中O為長(zhǎng)方體的中心，E，F(xiàn)，G，H，分別為所在棱的中點(diǎn)，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm，∴該模型體積為：VABCD?A1B＝6×6×4?＝144﹣12＝132（cm3），∵3D打印所用原料密度為0.9g/cm3，不考慮打印損耗，∴制作該模型所需原料的質(zhì)量為：132×0.9＝118.8（g）．故答案為：118.8．2．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF＝1，則四面體A﹣EFB的體積為（）A．26 B．212 C．24【解答】解：∵EF＝1，∴△BEF的面積為定值12×EF×1設(shè)AC∩AB＝O，∵AC⊥平面BDD1B1，∴AO為棱錐A﹣BEF的高，AO=∴VA﹣BEF=1故選：B．3．如圖，在正三棱錐A﹣BCD中，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，EF⊥DE，且BC＝1，則正三棱錐A﹣BCD的體積是224【解答】解：∵E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，∴EF∥AC，又∵EF⊥DE，∴AC⊥DE，取BD的中點(diǎn)O，連接AO、CO，∵正三棱錐A﹣BCD，∴AO⊥BD，CO⊥BD，∴BD⊥平面AOC，又AC?平面AOC，∴AC⊥BD，又DE∩BD＝D，∴AC⊥平面ABD；∴AC⊥AB，設(shè)AC＝AB＝AD＝x，則x2+x2＝1?x=VC﹣ABD=13S△ABD?AC=16AB?AD故答案是24．如圖所示，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為23【解答】解：過AD做底面ABCD垂直的平面交EF于G點(diǎn)過BC做底面ABCD垂直的平面交EF于H點(diǎn)則多面體ABCDEF被分為三棱錐E﹣ADG，三棱柱ADG﹣BCH，三棱錐F﹣HBC三個(gè)部分由ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，易得EG＝HF=12，過點(diǎn)G作GO⊥AD交于點(diǎn)O，連接EO，易知O為AD中點(diǎn)且GO⊥EF，由勾股定理：GO=ES△ADG＝S△BCH=∴VE?ADG=∴多面體ABCDEF的體積V＝2×故答案為：25．如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一點(diǎn)到平面ABCD的距離均為3，求該多面體的體積．【解答】解：如圖所示，，連接BE，CE，則多面體ABCDEF的體積為：V＝V四棱錐E﹣ABCD+V三棱錐E﹣BCF=13×42×3+13＝20．題型六.空間幾何體的最值問題1．已知圓錐底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，某質(zhì)點(diǎn)從圓錐底面圓周上一點(diǎn)A出發(fā)，繞圓錐側(cè)面一周，再次回到A點(diǎn)，則該質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過的最短路程為33【解答】解：圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，從A點(diǎn)出發(fā)繞側(cè)面一周，再回到A點(diǎn)的最短的路線即展開得到的扇形的弧所對(duì)弦，轉(zhuǎn)化為求弦長(zhǎng)的問題如圖所示：設(shè)展開的扇形的圓心角為α，∵圓錐底面半徑r＝1cm，母線長(zhǎng)是OA＝3cm，∴根據(jù)弧長(zhǎng)公式得到2π×1＝α×3，∴α=2π3，即扇形的圓心角是∴∠AOH＝60°，∴動(dòng)點(diǎn)P自A出發(fā)在側(cè)面上繞一周到A點(diǎn)的最短路程為弧所對(duì)的弦長(zhǎng)：AA′＝2AH＝2×OAsin∠AOH=2×3×3故答案為：332．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為對(duì)角線BD1的三等分點(diǎn)，則P到各頂點(diǎn)的距離的不同取值有4個(gè)．【解答】解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)|AB|＝3，則A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），D（0，0，0），A1（3，0，3），B1（3，3，3），C1（0，3，3），D1（0，0，3），∴BD1→=（﹣3，﹣3，3），設(shè)P（x，y，z），∵BP→=13BD1→=（∴|PA|＝|PC|＝|PB1|=1|PD|＝|PA1|＝|PC1|=2|PB|=3|PD1|=22+故P到各頂點(diǎn)的距離的不同取值有6，3，3，23共4個(gè)．故答案為：4．3．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，線段EF，GH分別在AB，CC1上移動(dòng)，且EF+GH=12，則三棱錐E﹣FGH的體積最大值為1【解答】解：VEFGH＝VH﹣EFC﹣VG﹣EFC=1=1≤1=148．（當(dāng)且僅當(dāng)EF＝GH故答案為：1484．已知一個(gè)三棱錐的六條棱的長(zhǎng)分別為1，1，1，1，2，a，且長(zhǎng)為a的棱與長(zhǎng)為A．212 B．312 C．26【解答】解：設(shè)四面體的底面是BCD，AD＝a，AB＝AC＝BD＝CD＝1，BC=2則0＜a＜2∴VA﹣BCD＝VB﹣AED+VC﹣AED=1=2∴當(dāng)a2＝1，即a＝1時(shí)，三棱錐的體積的最大值為212故選：A．5．如圖所示，在棱長(zhǎng)均為2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點(diǎn)D為棱AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是側(cè)棱AA1上的動(dòng)點(diǎn)，求△PBD面積的最大值．【解答】解：設(shè)PA＝x，則PB＝4+x2，PD＝1+x2，BD＝3．又BD2+PD2＝PB2，∴S=1當(dāng)x＝2時(shí)，S最大為152∴△PBD面積的最大值為1526．在棱長(zhǎng)為6的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是正方體的表面DCC1D1（包括邊界）上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠APD＝∠MPC，則三棱錐P﹣BCD體積的最大值是（）A．123 B．36 C．24 D．【解答】解：∵在棱長(zhǎng)為6的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是面DCC1D1所在的平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠APD＝∠MPC，∴Rt△ADP∽△Rt△PMC，∴ADMC即PD＝2PC，設(shè)DO＝x，PO＝h，作PO⊥CD，∴x2+?2=2(6?x)2+?2，化簡(jiǎn)得：3h2＝﹣根據(jù)函數(shù)單調(diào)性判斷：x＝6時(shí)，3h2最大值為36，h最大值＝23，∵在正方體中PO⊥面BCD，∴三棱錐P﹣BCD的體積最大值：13×12×6×6×故選：A．7．若一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為4，高為2，則過這個(gè)圓錐的任意兩條母線的截面面積的最大值是8．【解答】解：由題意：圓錐的母線長(zhǎng)為4，高為2，∴圓錐的底面半徑r=23任意兩條母線作截面（如圖）ACS，則CS＝SA＝4，△ACS是等腰三角形．SD是△ACS的高，且是AC的中點(diǎn)．設(shè)SD＝h，AC＝m，BC＝n．可得：h2+14m即4h2+m2＝64，那么：64＝4h2+m2≥4mh，（當(dāng)且僅當(dāng)2h＝m時(shí)取等號(hào)）mh≤16．則S故答案為8．8．唐朝著名的鳳鳥花卉紋浮雕銀杯如圖1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體（如圖2）．當(dāng)這種酒杯內(nèi)壁表面積（假設(shè)內(nèi)壁表面光滑，表面積為S平方厘米，半球的半徑為R厘米）固定時(shí)，若要使得酒杯的容積不大于半球體積的2倍，則R的取值范圍為（）A．(0，3510π] B．[3S10π，+∞)【解答】解：設(shè)圓柱的高度與半球的半徑分別為h，R，則S＝2πR2+2πRh，則πR?=S所以酒杯的容積V=2又h＞0，所以S2所以πR2＜故選：D．課后作業(yè).空間幾何體1．已知圓柱與圓錐的底面積相等，高也相等，它們的體積分別為V1和V2，則V1：V2＝（）A．1：3 B．1：1 C．2：1 D．3：1【解答】解：設(shè)圓柱，圓錐的底面積為S，高為h，則由柱體，錐體的體積公式得：V故選：D．2．已知底面半徑為1，體積為3π的圓柱，內(nèi)接于一個(gè)高為23圓錐（如圖），線段AB為圓錐底面的一條直徑，則從點(diǎn)A繞圓錐的側(cè)面到點(diǎn)BA．8 B．43 C．42 D．4【解答】解：如圖，設(shè)圓柱的高為h，則π×12×?=3∵SO=23，∴CD為△SOB∴OB＝2，則SB=(2即圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為4，則展開后所得扇形的弧長(zhǎng)為4π，圓心角為4π4∴從點(diǎn)A繞圓錐的側(cè)面到點(diǎn)B的