新高考數(shù)學一輪復習題型歸納講義專題11 立體幾何 11.3平行與垂直證明（解析版）

專題十一《立體幾何》講義11.3平行與垂直證明知識梳理.平行與垂直證明1．直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行?線面平行)∵l∥a，a?α，l?α，∴l(xiāng)∥α性質(zhì)定理一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行?線線平行”)∵l∥α，l?β，α∩β＝b，∴l(xiāng)∥b2．平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α，∴α∥β性質(zhì)定理如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b3.直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理：文字語言圖形語言符號語言判定定理一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b4．平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l?β,l⊥α))?α⊥β性質(zhì)定理兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l?β,α∩β＝a,l⊥a))?l⊥α題型一.平行問題考點1.線面平行1．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面PCD，M，N分別是AB，PC的中點．求證：（1）直線MN∥平面PAD；【解答】證明：（1）根據(jù)題意，取PD的中點G，連接NG、AG，G是PD的中點，N是PC的中點，則NG∥DC且NG=12則四邊形MNGA是平行四邊形，則有MN∥AG，又由MN不在平面PAD中，而AG在平面PAD中，則有直線MN∥平面PAD；2．如圖所示四棱錐P﹣ABCD，PD⊥平面ABCD，梯形ABCD中，CD∥AB，且PD＝AB＝2CD＝4，PB＝AD＝5，E是PC上一點，滿足PE＝2EC．（1）證明：PA∥平面BDE；【解答】（1）證明：連結AC交BD于點F，連結EF，在梯形ABCD中，CD∥AB，AB＝2CD，所以AF＝2FC，又因為PE＝2EC，所以PA∥EF，又PA?平面BDE，EF?平面BDE，所以PA∥平面BDE；考點2.面面平行3．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點E、D分別是B1C1與BC的中點．求證：平面A1EB∥平面ADC1．【解答】證明：連結A1B、AC1，∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點E、D分別是B1C1與BC的中點，∴A1E∥AD，BD∥=C1E，∴四邊形BDC1E是平行四邊形，∴C1D∥BE∵AD∩C1D＝D，A1E∩BE＝E，AD、C1D?平面ADC1，A1E、BE?平面A1EB，∴平面A1EB∥平面ADC1．4．如圖所示，已知ABCD﹣A1B1C1D1是棱長為3的正方體，點E在AA1上，點F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中點．（1）求證：E、B、F、D1四點共面（2）求證：平面A1GH∥平面BED1F．【解答】證明：（1）如圖：在DD1上取一點N使得DN＝1，連接CN，EN，則AE＝DN＝1．CF＝ND1＝2、因為CF∥ND1所以四邊形CFD1N是平行四邊形，所以D1F∥CN．同理四邊形DNEA是平行四邊形，所以EN∥AD，且EN＝AD，又BC∥AD，且AD＝BC，所以EN∥BC，EN＝BC，所以四邊形CNEB是平行四邊形，所以CN∥BE，所以D1F∥BE，所以E，B，F(xiàn)，D1四點共面；（2）因為H是B1C1的中點，所以B1H=3因為B1G＝1，所以B1因為FCBC=23，且∠FCB＝∠GB1所以△B1HG∽△CBF，所以∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG，所以HG∥FB，由（1）知，A1G∥BE且HG∩A1G＝G，F(xiàn)B∩BE＝B，所以平面A1GH∥平面BED1F．考點3.線線平行5．如圖所示，在多面體A1B1D1DCBA中，四邊形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均為正方形，E為B1D1的中點，過A1，D，E的平面交CD1于F．（Ⅰ）證明：EF∥B1C；【解答】（Ⅰ）證明：∵B1C＝A1D且A1B1＝CD，∴四邊形A1B1CD為平行四邊形，∴B1C∥A1D，又∵B1C?平面A1EFD，∴B1C∥平面A1EFD，又∵平面A1EFD∩平面B1CD1＝EF，∴EF∥B1C；6．如圖所示，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，M、N分別是AB、PC的中點，平面PAD∩平面PBC＝l．（1）求證：l∥BC．（2）MN與平面PAD是否平行？試證明你的結論．【解答】解：（1）證明：因為BC∥AD，BC?平面PAD．AD?平面PAD，所以BC∥平面PAD．又因為平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l（6分）（2）：平行．如圖，取PD的中點E，連接AE、NE，∵N是PC的中點，E是PD的中點∴NE∥CD，且NE=∵CD∥AB，M是AB的中點∴NE∥AM且NE＝AM．所以四邊形AMNE為平行四邊形，所以MN∥AE．又MN?平面PAD，AE?平面PAD，所以MN∥平面PAD．（12分）題型二.垂直問題考點1.線面垂直1．如圖，已知三棱錐A﹣BCD中，平面ABD⊥平面ABC，AB⊥AD，BC⊥AC，BD＝3，AD＝1，AC＝BC，M為線段AB的中點．（Ⅰ）求證：BC⊥平面ACD；【解答】（I）證明：∵平面ABD⊥平面ABC，AB⊥AD，平面ABD∩平面ABC＝AB，AD?平面ABD，∴AD⊥平面ABC，又BC?平面ABC，∴BC⊥AD，又BC⊥AC，AD∩AC＝A，∴BC⊥平面ACD．2．如圖，在四棱錐A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC=2（Ⅰ）證明：DE⊥平面ACD；【解答】證明：（Ⅰ）在直角梯形BCDE中，由DE＝BE＝1，CD＝2，得BD＝BC=2由AC=2，AB＝2得AB2＝AC2+BC2，即AC⊥BC又平面ABC⊥平面BCDE，從而AC⊥平面BCDE，所以AC⊥DE，又DE⊥DC，從而DE⊥平面ACD；考點2.面面垂直3．如圖：AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的任意一點，求證：平面PAC⊥平面PBC．【解答】證明：設⊙O所在平面為α，由已知條件，PA⊥α，BC在α內(nèi)，所以PA⊥BC因為點C是圓周上不同于A、B的任意一點，AB是⊙O的直徑，所以∠BCA＝90°，即BC⊥AC又因為PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC又因為BC?平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC．4．如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD．（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；【解答】（1）證明：如圖所示，取AC的中點O，連接BO，OD，∵△ABC是等邊三角形，∴OB⊥AC，△ABD與△CBD中，AB＝BD＝BC，∠ABD＝∠CBD，∴△ABD≌△CBD，∴AD＝CD，∵△ACD是直角三角形，∴AC是斜邊，∴∠ADC＝90°，∴DO=12AC，∴DO2+BO2＝AB2＝∴∠BOD＝90°，∴OB⊥OD又DO∩AC＝O，∴OB⊥平面ACD．又OB?平面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC．考點3.線線垂直5．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠BAD＝45°，AD＝1，AB=2，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面PBD（Ⅰ）求證：PA⊥BD；（Ⅱ）設二面角P﹣BD﹣A的大小為α，直線PA與平面PBC所成角的大小為β，求cos（α+β）的值．【解答】（Ⅰ）證明：∵∠BAD＝45°，AD＝1，AB=2∴由余弦定理，得：BD=1+2?2×1×2×cos45°∴AD2+BD2＝AB2，∴AD⊥BD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PADSKIPIF1<0平面ABCD=AD，BDSKIPIF1<0平面ABCD又PA?平面PAD，∴PA⊥BD．…（5分）6．如圖，四棱錐E﹣ABCD中，EA＝EB，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD．（Ⅰ）求證：AB⊥ED；（Ⅱ）線段EA上是否存在點F，使DF∥平面BCE？若存在，求出EFEA【解答】（Ⅰ）證明：取AB中點O，連接EO，DO．因為EA＝EB，所以EO⊥AB．…（2分）因為AB∥CD，AB＝2CD，所以BO∥CD，BO＝CD．又因為AB⊥BC，所以四邊形OBCD為矩形，所以AB⊥DO．…（4分）因為EO∩DO＝O，所以AB⊥平面EOD．…（5分）所以AB⊥ED．…（6分）（Ⅱ）解：點F滿足EFEA=12，即F為EA中點時，有DF∥平面證明如下：取EB中點G，連接CG，F(xiàn)G．…（8分）因為F為EA中點，所以FG∥AB，F(xiàn)G=1因為AB∥CD，CD=12AB，所以FG∥CD，F(xiàn)G所以四邊形CDFG是平行四邊形，所以DF∥CG．…（11分）因為DF?平面BCE，CG?平面BCE，…（12分）所以DF∥平面BCE．…（13分）題型三.存在性問題1．如圖，在三棱錐P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC．設D，E分別為PA，AC中點．（Ⅰ）求證：DE∥平面PBC；（Ⅱ）求證：BC⊥平面PAB；（Ⅲ）試問在線段AB上是否存在點F，使得過三點D，E，F(xiàn)的平面內(nèi)的任一條直線都與平面PBC平行？若存在，指出點F的位置并證明；若不存在，請說明理由．【解答】解：（Ⅰ）證明：因為點E是AC中點，點D為PA的中點，所以DE∥PC．又因為DE?面PBC，PC?面PBC，所以DE∥平面PBC．…．（4分）（Ⅱ）證明：因為平面PAC⊥面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，又PA?平面PAC，PA⊥AC，所以PA⊥面ABC，因為BC?平面ABC，所以PA⊥BC．又因為AB⊥BC，且PA∩AB＝A，所以BC⊥面PAB．…．（9分）（Ⅲ）解：當點F是線段AB中點時，過點D，E，F(xiàn)的平面內(nèi)的任一條直線都與平面PBC平行．取AB中點F，連EF，連DF．由（Ⅰ）可知DE∥平面PBC．因為點E是AC中點，點F為AB的中點，所以EF∥BC．又因為EF?平面PBC，BC?平面PBC，所以EF∥平面PBC．又因為DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面PBC，所以平面DEF內(nèi)的任一條直線都與平面PBC平行．故當點F是線段AB中點時，過點D，E，F(xiàn)所在平面內(nèi)的任一條直線都與平面PBC平行．…．（14分）2．如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧CD所在平面垂直，M是CD上異于C、D的點．（1）證明：DM⊥平面BMC；（2）在線段AM上是否存在點P，使得MC∥平面PBD？說明理由．【解答】解：（1）證明：根據(jù)題意，平面CMD⊥平面ABCD，交線為CD．因為BC⊥CD，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．因為M為半圓弧上異于C，D的點，且DC為直徑，所以DM⊥CM．又BC∩CM＝C，BC?平面BMC，CM?平面BMC，所以DM⊥平面BMC；（2）當P為AM的中點時，MC∥平面PBD．證明如下：連結AC交BD于O．因為ABCD為矩形，所以O為AC中點．連結OP，因為P為AM中點，所以MC∥OP．MC?平面PBD，OP?平面PBD，所以MC∥平面PBD．3．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q分別為對角線BD、CD1上的點，且CQQ（1）求證：PQ∥平面A1D1DA；（2）若R是CD上的點，當CRCD的值為多少時，能使平面PQR∥平面B1C1BC【解答】（1）證明：連接CP，并延長與DA的延長線交于M點，因為四邊形ABCD為正方形，所以BC∥AD，故△PBC∽△PDM，所以CPPM又因為CQQD1=BPPD=2又MD1?平面A1D1DA，PQ?平面A1D1DA，故PQ∥平面A1D1DA．（2）當CRCD=25時，能使平面PQR∥平面Bl證明：因為CRCD=25，即有CRRD=23又∵DD1∥CC1，∴QR∥CC1，又CC1?平面Bl?lBC，QR?平面Bl?lBC，所以QR∥平面Bl?lBC，由CRRD=23=BPPD，得PR∥BC，BC?平面Bl?lBC，PR?所以PR∥平面Bl?lBC，又PR∩RQ＝R，所以平面PQR∥平面Bl?lBC．題型四.折疊問題1．如圖，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC=12AP，D是AP的中點，E、F分別為PC、PD的中點，將△PCD沿CD折起得到四棱錐P（Ⅰ）G為線段BC上任一點，求證：平面EFG⊥平面PAD；（Ⅱ）當G為BC的中點時，求證：AP∥平面EFG．【解答】證明：（I）∵△PDC中，E、F分別是PD、PC的中點，∴EF∥CD，∵CD⊥PD，CD⊥AD，PD∩AD＝D∴CD⊥平面PAD，∴EF⊥平面PAD，∵EF?平面EFG，∴平面EFG⊥平面PAD；（II）∵G為BC的中點，F(xiàn)為PD的中點，∴GF∥BP∵GF?平面PAB，BP?平面PAB，∴GF∥平面PAB，由（I）知，EF∥DC∵AB∥DC，∴EF∥AB∵EF?平面PAB，AB?平面PAB，∴EF∥平面PAB，∵EF∩GF＝F∴平面EFG∥平面PAB∵PA?平面PAB∴AP∥平面EFG．2．如圖，已知平面四邊形ABCD中，D為PA的中點，PA⊥AB，CD∥AB，且PA＝CD＝2AB＝4，將此平面四邊形ABCD沿CD折成直二面角P﹣DC﹣B，連接PA、PB，設PB的中點為E，（Ⅰ）求證：平面PBD⊥平面PBC；（Ⅲ）在線段BD上是否存在一點F，使得EF⊥平面PBC？若存在，請確定點F的位置；若不存在，請說明理由．【解答】（I）證明：直二面角P﹣DC﹣B的平面角為∠PDA＝90°，且PD⊥DC，DA∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD，∵BC?平面ABCD，∴PD⊥BC，則BC＝BD=A在三角形BCD中，BC2+BD2＝CD2，∴BD⊥BC，∵PD∩BD＝D，∴BC⊥平面PBD，∵BC?平面PBC，∴平面PBD⊥平面PBC．（III）∵F∈BD，故可設F（m，m，0），而PB的中點E（1，1，1），∴EF→∵EF→?BC∴?2(m?1)+2(m?1)=04(m?1)+(?1)×(?2)=0，解得m=∴線段BD上是否存在一點F（12，12，0），使3．如圖甲，⊙O的直徑AB＝2，圓上兩點C，D在直徑AB的兩側，使∠CAB=π4，∠DAB=π3．沿直徑AB折起，使兩個半圓所在的平面互相垂直（如圖乙），F(xiàn)為BC的中點，E為AO的中點．（1）求三棱錐D﹣ABC的體積．（2）求證：不論點P在何位置，都有DE⊥BP；（3）在BD弧上是否存在一點G，使得FG∥平面ACD？若存在，試確定點G的位置；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）在圖甲中，∵AB是圓O的直徑，∴AD⊥BD，AC⊥BC，∵AB＝2，∠DAB=π3，∴AD=12∴S△ABD=12AD?BD∵∠CAB=π4，∴OC⊥AB，OC=在圖乙中，∵平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，OC⊥AB，∴OC⊥平面ABD∴VD﹣ABC＝VC﹣ABD=1（2）∵OA＝OD，∠DAB=π3，∴△∵E是OA中點，∴DE⊥OA，∵平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，DE⊥AB，∴DE⊥平面ABC，∵BP?平面ABC，∴DE⊥BP．（3）BD上存在一點G，滿足DG=BG，使得FG∥平面理由如下：取BD中點M，連結FM，MG，F(xiàn)G，則MG⊥BD，∴MG∥AD，∵F，M分別是BC，BD的中點，∴FM∥CD，∵FM?平面FMG，MG?平面FMG，CD?平面ACD，AD?平面ACD，AD∩CD＝D，F(xiàn)M∩MG＝M，∴平面FMG∥平面ACD，∵FG?平面FMG，∴FG∥平面ACD．題型五.平行與垂直選填綜合1．設l、m、n表示不同的直線，α、β、γ表示不同的平面，給出下列四個命題：①若m∥l，且m⊥α，則l⊥α；②若α⊥β，m∥α，n⊥β，則m⊥n；③若l∥α，且m∥α，則l∥m；④若m⊥n，m⊥α，n∥β，則α⊥β．則正確的命題個數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：①根據(jù)線面平行的性質(zhì)知，若m∥l，且m⊥α，則l⊥α正確；故①正確，②根據(jù)面面垂直的性質(zhì)知，若α⊥β，m∥α，n⊥β，則m⊥n正確；故②正確，③若l∥α，且m∥α，則l∥m不一定正確，有可能相交，也有可能異面；故③錯誤，④若m⊥n，m⊥α，n∥β，則α⊥β不一定成立，有可能相交．故④錯誤，故正確的是①②③，故選：B．2．在△ABC中，∠BAC＝90°，PA⊥平面ABC，AB＝AC，D是BC的中點，則圖中直角三角形的個數(shù)是（）A．5 B．8 C．10 D．6【解答】解：①∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥AC，∴△PAB，△PAD，△PAC都是直角三角形；②∵∠BAC＝90°，∴△ABC是直角三角形；③∵AB＝AC，D是BC的中點，∴AD⊥BC．∴△ABD，△ACD是直角三角形．④由三垂線定理可知：BC⊥PD，∴△PBD，△PCD也是直角三角形．綜上可知：直角三角形的個數(shù)是8個．故選：B．3．已知E，F(xiàn)，G，H分別為四面體ABCD的棱AB，BC，DA，CD上的點，且AE＝EB，BF＝FC，CH=12HD，AG=A．AC∥平面EFH B．四邊形EFHG是梯形 C．直線EG，F(xiàn)H，BD相交于同一點 D．BD∥平面EFG【解答】解：∵AE＝EB，BF＝FC，∴EF是△ABC的中位線，∴EF∥AC，且EF=12∵EF?平面EFH，AC?平面EFH，∴AC∥平面EFH，故A正確，∵CH=12HD，AG=∴GH∥AC，且GH=23則EF∥GH，∴四邊形EFHG是梯形，故B正確；則直線FH，EG相交，設交點為M，則M∈EG，M∈平面ABD，M∈FH，M∈平面BCD，則M是平面ABD和平面BCD的公共點，又平面ABD∩平面BCD＝BD，∴M∈BD，即直線EG，F(xiàn)H，BD相交于同一點，故C正確，D錯誤，故選：D．4．如圖，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別是A1D1，A1B1的中點，過直線BD的平面α∥平面AMN，則平面α截該正方體所得截面的面積為（）A．2 B．98 C．3 D．【解答】解：取B1C1的中點E，C1D1的中點F，連接EF，BE，DF，B1D1，則EF∥B1D1，B1D1∥BD，所以EF∥BD，故EFBD在同一平面內(nèi)，連接ME，因為M，E分別為A1D1B1C1的中點，所以ME∥AB，且ME＝AB，所以四邊形ABEM是平行四邊形，所以AM∥BE，又因為BE?平面BDFE，AM不在平面BDFE內(nèi)，所以AM∥平面BDFE，同理AN∥平面BDFE，因為AM∩AN＝A，所以平面AMN∥平面BDFE，即平面a截該正方體所得截面為平面BDFEBD=2，EF=12B1D過E，F(xiàn)作BD的垂線，則四邊形EFGH為矩形，∴FG=D故四邊形BDFE的面積為22故選：B．5．在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，N為BC的中點．當點M在平面DCC1D1內(nèi)運動時，有MN∥平面A1BD，則線段MN的最小值為（）A．1 B．62 C．2 D．【解答】解：取CD的中點P，DD1的中點Q，連接PQ、PN、QN，D1C，A1D，BD，A1B，如圖所示：因為P、N分別為CD、BC中點，所以PN//BD，因為PN?平面A1DB，BD?平面A1DB，所以PN∥平面A1DB，同理，P、Q分別為CD、DD1中點，所以PQ//D1C，因為A1D1＝BC，且A1D1//BC，所以四邊形BCD1A1是平行四邊形，所以A1B//D1C，所以PQ//A1B，因為PQ?平面A1DB，A1B?平面A1DB，所以PQ//平面A1DB，又PQ∩PN＝P，PQ?平面PQN，PN?平面PQN，所以平面PQN//平面A1BD，因為MN//平面A1BD，所以MN?平面PQN，又點M在平面DCC1D1內(nèi)運動，所以點M在平面PQN和平面DCC1D1的交線上，即M∈PQ，在△PQN中，PN=2，PQ=12CD1=2所以cos∠NPQ=P所以∠NPQ＝120°，所以N點到PQ的最小距離d＝PN?sin（180°﹣120°）=6所以線段MN的最小值為62故選：B．6．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，側棱AP⊥平面ABCD，AB＝1，AP=3，點M在線段BC上，且AM⊥MD，則當△PMD的面積最小時，線段BCA．3 B．322 C．2 【解答】解：設BM＝x，MC＝y(tǒng)，則BC＝AD＝x+y，∵PA⊥平面ABCD，MD?平面ABCD，∴PA⊥MD，又AM⊥MD，PA∩AM＝A，∴MD⊥平面PAM，由題意知AM=x2+1，在Rt△AMD中，AM2+MD2＝AD2，即x2+1+y2+1＝（x+y）2，化簡，得xy＝1，在Rt△PMD中，PM=x2+4，∴S△PMD=12x此時，BC＝x+y=3故選：B．7．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，點E為AD的中點，點F在CD上，若EF∥平面AB1C，則線段EF的長度等于2．【解答】解：∵EF∥平面AB1C，EF?平面AC，平面AB1C∩平面AC＝AC，∴EF∥AC，又點E為AD的中點，點F在CD上，∴點F是CD的中點，∴EF=1故答案為2．8．如圖，棱長均為1的正三棱柱ABC﹣A1B1C1，M，N分別為線段A1B，B1C上的動點，若點M，N所在直線與平面ACC1A1不相交，點O為MN中點，則O點的軌跡的長度是32【解答】解：因為M，N分別為線段A1B，B1C上的動點，點M，N在直線與平面ACC1A1不相交，所以MN∥平面ACC1A1，則A1M＝CN，當A1M＝CN＝0時，此時MN的中點O為平面ACC1A1的中心，即A1C的中點，當A1M＝CN=2時，此時MN的中點O為BB1所以點O的軌跡為△DEF的高，且△DEF為邊長是1的等邊三角形，故點O的軌跡長度是32故答案為：329．棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為棱CD的中點，過點E作平面a，使得平面a∥平面AB1C，則平面a在正方體表面上截得的圖形的周長為62．【解答】解：如圖，F(xiàn)，G，H，I，J分別為棱AD，AA1，A1B1，B1C1，CC1的中點，則HI∥A1C1∥GJ，故GHIJ四點共面，同理EFGJ四點共面．因為EJ∥AB1，EF∥AC，EF∩EJ＝E，所以平面EFGJ∥平面AB1C，又因為HE的中點為正方體的中心，F(xiàn)I的中點也是正方體的中心設正方體中心為O，則HE∩FI＝O，∴H，I∈平面EFGJ，所以平面EFGHIJ即為平面a，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)可得，六邊形每條邊的長度都等于正方體表面對角線的一半，即每邊長都等于22+2故填：62．10．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，點O為底面ABCD的中心，點P在側面BB1C1C的邊界及其內(nèi)部運動．若D1O⊥OP，則△D1C1P面積的最大值為5．【解答】解：由正方體的性質(zhì)可知，當P位于點C時，D1O⊥OC，當點P位于BB1的中點P1時，DD1＝2，DO＝BO=2，BP1＝B1P1＝1，B1D1=2求得OD1=所以OD12+OP12又OP1∩OC＝O，所以D1O⊥平面OP1C，故點P的軌跡在線段P1C上，由C1P1＝CP1=5，可得∠C1CP1為銳角，而CC1＝2＜故點P到棱C1D1的最大值為5，所以△D1C1P面積的最大值為12故答案為：5．課后作業(yè).平行與垂直證明1．如圖所示，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，M、N分別是AB、PC的中點，平面PAD∩平面PBC＝l．（1）求證：l∥BC．（2）MN與平面PAD是否平行？試證明你的結論．【解答】解：（1）證明：因為BC∥AD，BC?平面PAD．AD?平面PAD，所以BC∥平面PAD．又因為平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l（6分）（2）：平行．如圖，取PD的中點E，連接AE、NE，∵N是PC的中點，E是PD的中點∴NE∥CD，且NE=∵CD∥AB，M是AB的中點∴NE∥AM且NE＝AM．所以四邊形AMNE為平行四邊形，所以MN∥AE．又MN?平面PAD，AE?平面PAD，所以MN∥平面PAD．（12分）2．如圖所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點D為AC的中點，點D1是A1C1中點（1）求證：BC1∥平面AB1D1（2）求證：平面AB1D1∥平面C1BD．【解答】證明：（1）連結A1B，交AB1于O，連結OD1，∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點D為AC的中點，點D1是A1C1中點，∴OD1∥BC1，∵OD1?平面AB1D1，BC1?平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1．（2）∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點D為AC的中點，點D1是A1C1中點，∴BD∥B1D1，∵BD?平面AB1D1，B1D1?平面AB1D1，∴BD∥平面AB1D1，又BC1∥平面AB1D1，BD∩BC1＝B，BD、BC1?平面C1BD，∴平面AB1D1∥平面C1BD．3．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90，AA1=2，D是A1B1（1）求證C1D⊥平面A1B；（2）當點F在BB1上什么位置時，會使得AB1⊥平面C1DF？并證明你的結論．【解答】證明：（1）如圖，∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°．又D是A1B1的中點，∴C1D⊥A1B1．∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D?平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D，∴C1D⊥平面A1B．解：（2）作DE⊥AB1交AB1于E，延長DE交BB1于F，連結C1F，則AB1⊥平面C1DF，點F即為所求．事實上，∵C1D⊥平面AA1BB，AB1?平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1．又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF．4．如圖，在空間幾何體A﹣BCDE中，底面BCDE是梯形，且CD∥BE，CD＝2BE＝4，∠CDE＝60°，△ADE是邊長為2的等邊三角形．（1）若F為AC的中點，求證：BF∥平面ADE；（2）若AC＝4，求證：平面ADE⊥平面BCDE．【解答】證明：（1）如圖所示，取DA的中點G，連接FG，GE．∵F為AC的中點，∴GF∥DC，且GF=12又DC∥BE，CD＝2BE＝4，∴EB∥GF，且EB＝GF，∴四邊形BFGE是平行四邊形，∴