新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納講義專題11 立體幾何 11.3平行與垂直證明（解析版）

專題十一《立體幾何》講義11.3平行與垂直證明知識(shí)梳理.平行與垂直證明1．直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行?線面平行)∵l∥a，a?α，l?α，∴l(xiāng)∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?線線平行”)∵l∥α，l?β，α∩β＝b，∴l(xiāng)∥b2．平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?面面平行”)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α，∴α∥β性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b3.直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理：文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b4．平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l?β,l⊥α))?α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l?β,α∩β＝a,l⊥a))?l⊥α題型一.平行問題考點(diǎn)1.線面平行1．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面PCD，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)．求證：（1）直線MN∥平面PAD；【解答】證明：（1）根據(jù)題意，取PD的中點(diǎn)G，連接NG、AG，G是PD的中點(diǎn)，N是PC的中點(diǎn)，則NG∥DC且NG=12則四邊形MNGA是平行四邊形，則有MN∥AG，又由MN不在平面PAD中，而AG在平面PAD中，則有直線MN∥平面PAD；2．如圖所示四棱錐P﹣ABCD，PD⊥平面ABCD，梯形ABCD中，CD∥AB，且PD＝AB＝2CD＝4，PB＝AD＝5，E是PC上一點(diǎn)，滿足PE＝2EC．（1）證明：PA∥平面BDE；【解答】（1）證明：連結(jié)AC交BD于點(diǎn)F，連結(jié)EF，在梯形ABCD中，CD∥AB，AB＝2CD，所以AF＝2FC，又因?yàn)镻E＝2EC，所以PA∥EF，又PA?平面BDE，EF?平面BDE，所以PA∥平面BDE；考點(diǎn)2.面面平行3．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點(diǎn)E、D分別是B1C1與BC的中點(diǎn)．求證：平面A1EB∥平面ADC1．【解答】證明：連結(jié)A1B、AC1，∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點(diǎn)E、D分別是B1C1與BC的中點(diǎn)，∴A1E∥AD，BD∥=C1E，∴四邊形BDC1E是平行四邊形，∴C1D∥BE∵AD∩C1D＝D，A1E∩BE＝E，AD、C1D?平面ADC1，A1E、BE?平面A1EB，∴平面A1EB∥平面ADC1．4．如圖所示，已知ABCD﹣A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為3的正方體，點(diǎn)E在AA1上，點(diǎn)F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中點(diǎn)．（1）求證：E、B、F、D1四點(diǎn)共面（2）求證：平面A1GH∥平面BED1F．【解答】證明：（1）如圖：在DD1上取一點(diǎn)N使得DN＝1，連接CN，EN，則AE＝DN＝1．CF＝ND1＝2、因?yàn)镃F∥ND1所以四邊形CFD1N是平行四邊形，所以D1F∥CN．同理四邊形DNEA是平行四邊形，所以EN∥AD，且EN＝AD，又BC∥AD，且AD＝BC，所以EN∥BC，EN＝BC，所以四邊形CNEB是平行四邊形，所以CN∥BE，所以D1F∥BE，所以E，B，F(xiàn)，D1四點(diǎn)共面；（2）因?yàn)镠是B1C1的中點(diǎn)，所以B1H=3因?yàn)锽1G＝1，所以B1因?yàn)镕CBC=23，且∠FCB＝∠GB1所以△B1HG∽△CBF，所以∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG，所以HG∥FB，由（1）知，A1G∥BE且HG∩A1G＝G，F(xiàn)B∩BE＝B，所以平面A1GH∥平面BED1F．考點(diǎn)3.線線平行5．如圖所示，在多面體A1B1D1DCBA中，四邊形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均為正方形，E為B1D1的中點(diǎn)，過A1，D，E的平面交CD1于F．（Ⅰ）證明：EF∥B1C；【解答】（Ⅰ）證明：∵B1C＝A1D且A1B1＝CD，∴四邊形A1B1CD為平行四邊形，∴B1C∥A1D，又∵B1C?平面A1EFD，∴B1C∥平面A1EFD，又∵平面A1EFD∩平面B1CD1＝EF，∴EF∥B1C；6．如圖所示，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，平面PAD∩平面PBC＝l．（1）求證：l∥BC．（2）MN與平面PAD是否平行？試證明你的結(jié)論．【解答】解：（1）證明：因?yàn)锽C∥AD，BC?平面PAD．AD?平面PAD，所以BC∥平面PAD．又因?yàn)槠矫鍼BC∩平面PAD＝l，所以BC∥l（6分）（2）：平行．如圖，取PD的中點(diǎn)E，連接AE、NE，∵N是PC的中點(diǎn)，E是PD的中點(diǎn)∴NE∥CD，且NE=∵CD∥AB，M是AB的中點(diǎn)∴NE∥AM且NE＝AM．所以四邊形AMNE為平行四邊形，所以MN∥AE．又MN?平面PAD，AE?平面PAD，所以MN∥平面PAD．（12分）題型二.垂直問題考點(diǎn)1.線面垂直1．如圖，已知三棱錐A﹣BCD中，平面ABD⊥平面ABC，AB⊥AD，BC⊥AC，BD＝3，AD＝1，AC＝BC，M為線段AB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：BC⊥平面ACD；【解答】（I）證明：∵平面ABD⊥平面ABC，AB⊥AD，平面ABD∩平面ABC＝AB，AD?平面ABD，∴AD⊥平面ABC，又BC?平面ABC，∴BC⊥AD，又BC⊥AC，AD∩AC＝A，∴BC⊥平面ACD．2．如圖，在四棱錐A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC=2（Ⅰ）證明：DE⊥平面ACD；【解答】證明：（Ⅰ）在直角梯形BCDE中，由DE＝BE＝1，CD＝2，得BD＝BC=2由AC=2，AB＝2得AB2＝AC2+BC2，即AC⊥BC又平面ABC⊥平面BCDE，從而AC⊥平面BCDE，所以AC⊥DE，又DE⊥DC，從而DE⊥平面ACD；考點(diǎn)2.面面垂直3．如圖：AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)，求證：平面PAC⊥平面PBC．【解答】證明：設(shè)⊙O所在平面為α，由已知條件，PA⊥α，BC在α內(nèi)，所以PA⊥BC因?yàn)辄c(diǎn)C是圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn)，AB是⊙O的直徑，所以∠BCA＝90°，即BC⊥AC又因?yàn)镻A∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC又因?yàn)锽C?平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC．4．如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD．（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；【解答】（1）證明：如圖所示，取AC的中點(diǎn)O，連接BO，OD，∵△ABC是等邊三角形，∴OB⊥AC，△ABD與△CBD中，AB＝BD＝BC，∠ABD＝∠CBD，∴△ABD≌△CBD，∴AD＝CD，∵△ACD是直角三角形，∴AC是斜邊，∴∠ADC＝90°，∴DO=12AC，∴DO2+BO2＝AB2＝∴∠BOD＝90°，∴OB⊥OD又DO∩AC＝O，∴OB⊥平面ACD．又OB?平面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC．考點(diǎn)3.線線垂直5．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠BAD＝45°，AD＝1，AB=2，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面PBD（Ⅰ）求證：PA⊥BD；（Ⅱ）設(shè)二面角P﹣BD﹣A的大小為α，直線PA與平面PBC所成角的大小為β，求cos（α+β）的值．【解答】（Ⅰ）證明：∵∠BAD＝45°，AD＝1，AB=2∴由余弦定理，得：BD=1+2?2×1×2×cos45°∴AD2+BD2＝AB2，∴AD⊥BD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PADSKIPIF1<0平面ABCD=AD，BDSKIPIF1<0平面ABCD又PA?平面PAD，∴PA⊥BD．…（5分）6．如圖，四棱錐E﹣ABCD中，EA＝EB，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD．（Ⅰ）求證：AB⊥ED；（Ⅱ）線段EA上是否存在點(diǎn)F，使DF∥平面BCE？若存在，求出EFEA【解答】（Ⅰ）證明：取AB中點(diǎn)O，連接EO，DO．因?yàn)镋A＝EB，所以EO⊥AB．…（2分）因?yàn)锳B∥CD，AB＝2CD，所以BO∥CD，BO＝CD．又因?yàn)锳B⊥BC，所以四邊形OBCD為矩形，所以AB⊥DO．…（4分）因?yàn)镋O∩DO＝O，所以AB⊥平面EOD．…（5分）所以AB⊥ED．…（6分）（Ⅱ）解：點(diǎn)F滿足EFEA=12，即F為EA中點(diǎn)時(shí)，有DF∥平面證明如下：取EB中點(diǎn)G，連接CG，F(xiàn)G．…（8分）因?yàn)镕為EA中點(diǎn)，所以FG∥AB，F(xiàn)G=1因?yàn)锳B∥CD，CD=12AB，所以FG∥CD，F(xiàn)G所以四邊形CDFG是平行四邊形，所以DF∥CG．…（11分）因?yàn)镈F?平面BCE，CG?平面BCE，…（12分）所以DF∥平面BCE．…（13分）題型三.存在性問題1．如圖，在三棱錐P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC．設(shè)D，E分別為PA，AC中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：DE∥平面PBC；（Ⅱ）求證：BC⊥平面PAB；（Ⅲ）試問在線段AB上是否存在點(diǎn)F，使得過三點(diǎn)D，E，F(xiàn)的平面內(nèi)的任一條直線都與平面PBC平行？若存在，指出點(diǎn)F的位置并證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（Ⅰ）證明：因?yàn)辄c(diǎn)E是AC中點(diǎn)，點(diǎn)D為PA的中點(diǎn)，所以DE∥PC．又因?yàn)镈E?面PBC，PC?面PBC，所以DE∥平面PBC．…．（4分）（Ⅱ）證明：因?yàn)槠矫鍼AC⊥面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，又PA?平面PAC，PA⊥AC，所以PA⊥面ABC，因?yàn)锽C?平面ABC，所以PA⊥BC．又因?yàn)锳B⊥BC，且PA∩AB＝A，所以BC⊥面PAB．…．（9分）（Ⅲ）解：當(dāng)點(diǎn)F是線段AB中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)D，E，F(xiàn)的平面內(nèi)的任一條直線都與平面PBC平行．取AB中點(diǎn)F，連EF，連DF．由（Ⅰ）可知DE∥平面PBC．因?yàn)辄c(diǎn)E是AC中點(diǎn)，點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，所以EF∥BC．又因?yàn)镋F?平面PBC，BC?平面PBC，所以EF∥平面PBC．又因?yàn)镈E∩EF＝E，所以平面DEF∥平面PBC，所以平面DEF內(nèi)的任一條直線都與平面PBC平行．故當(dāng)點(diǎn)F是線段AB中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)D，E，F(xiàn)所在平面內(nèi)的任一條直線都與平面PBC平行．…．（14分）2．如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧CD所在平面垂直，M是CD上異于C、D的點(diǎn)．（1）證明：DM⊥平面BMC；（2）在線段AM上是否存在點(diǎn)P，使得MC∥平面PBD？說明理由．【解答】解：（1）證明：根據(jù)題意，平面CMD⊥平面ABCD，交線為CD．因?yàn)锽C⊥CD，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．因?yàn)镸為半圓弧上異于C，D的點(diǎn)，且DC為直徑，所以DM⊥CM．又BC∩CM＝C，BC?平面BMC，CM?平面BMC，所以DM⊥平面BMC；（2）當(dāng)P為AM的中點(diǎn)時(shí)，MC∥平面PBD．證明如下：連結(jié)AC交BD于O．因?yàn)锳BCD為矩形，所以O(shè)為AC中點(diǎn)．連結(jié)OP，因?yàn)镻為AM中點(diǎn)，所以MC∥OP．MC?平面PBD，OP?平面PBD，所以MC∥平面PBD．3．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q分別為對(duì)角線BD、CD1上的點(diǎn)，且CQQ（1）求證：PQ∥平面A1D1DA；（2）若R是CD上的點(diǎn)，當(dāng)CRCD的值為多少時(shí)，能使平面PQR∥平面B1C1BC【解答】（1）證明：連接CP，并延長(zhǎng)與DA的延長(zhǎng)線交于M點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以BC∥AD，故△PBC∽△PDM，所以CPPM又因?yàn)镃QQD1=BPPD=2又MD1?平面A1D1DA，PQ?平面A1D1DA，故PQ∥平面A1D1DA．（2）當(dāng)CRCD=25時(shí)，能使平面PQR∥平面Bl證明：因?yàn)镃RCD=25，即有CRRD=23又∵DD1∥CC1，∴QR∥CC1，又CC1?平面Bl?lBC，QR?平面Bl?lBC，所以QR∥平面Bl?lBC，由CRRD=23=BPPD，得PR∥BC，BC?平面Bl?lBC，PR?所以PR∥平面Bl?lBC，又PR∩RQ＝R，所以平面PQR∥平面Bl?lBC．題型四.折疊問題1．如圖，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC=12AP，D是AP的中點(diǎn)，E、F分別為PC、PD的中點(diǎn)，將△PCD沿CD折起得到四棱錐P（Ⅰ）G為線段BC上任一點(diǎn)，求證：平面EFG⊥平面PAD；（Ⅱ）當(dāng)G為BC的中點(diǎn)時(shí)，求證：AP∥平面EFG．【解答】證明：（I）∵△PDC中，E、F分別是PD、PC的中點(diǎn)，∴EF∥CD，∵CD⊥PD，CD⊥AD，PD∩AD＝D∴CD⊥平面PAD，∴EF⊥平面PAD，∵EF?平面EFG，∴平面EFG⊥平面PAD；（II）∵G為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為PD的中點(diǎn)，∴GF∥BP∵GF?平面PAB，BP?平面PAB，∴GF∥平面PAB，由（I）知，EF∥DC∵AB∥DC，∴EF∥AB∵EF?平面PAB，AB?平面PAB，∴EF∥平面PAB，∵EF∩GF＝F∴平面EFG∥平面PAB∵PA?平面PAB∴AP∥平面EFG．2．如圖，已知平面四邊形ABCD中，D為PA的中點(diǎn)，PA⊥AB，CD∥AB，且PA＝CD＝2AB＝4，將此平面四邊形ABCD沿CD折成直二面角P﹣DC﹣B，連接PA、PB，設(shè)PB的中點(diǎn)為E，（Ⅰ）求證：平面PBD⊥平面PBC；（Ⅲ）在線段BD上是否存在一點(diǎn)F，使得EF⊥平面PBC？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)F的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】（I）證明：直二面角P﹣DC﹣B的平面角為∠PDA＝90°，且PD⊥DC，DA∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD，∵BC?平面ABCD，∴PD⊥BC，則BC＝BD=A在三角形BCD中，BC2+BD2＝CD2，∴BD⊥BC，∵PD∩BD＝D，∴BC⊥平面PBD，∵BC?平面PBC，∴平面PBD⊥平面PBC．（III）∵F∈BD，故可設(shè)F（m，m，0），而PB的中點(diǎn)E（1，1，1），∴EF→∵EF→?BC∴?2(m?1)+2(m?1)=04(m?1)+(?1)×(?2)=0，解得m=∴線段BD上是否存在一點(diǎn)F（12，12，0），使3．如圖甲，⊙O的直徑AB＝2，圓上兩點(diǎn)C，D在直徑AB的兩側(cè)，使∠CAB=π4，∠DAB=π3．沿直徑AB折起，使兩個(gè)半圓所在的平面互相垂直（如圖乙），F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，E為AO的中點(diǎn)．（1）求三棱錐D﹣ABC的體積．（2）求證：不論點(diǎn)P在何位置，都有DE⊥BP；（3）在BD弧上是否存在一點(diǎn)G，使得FG∥平面ACD？若存在，試確定點(diǎn)G的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）在圖甲中，∵AB是圓O的直徑，∴AD⊥BD，AC⊥BC，∵AB＝2，∠DAB=π3，∴AD=12∴S△ABD=12AD?BD∵∠CAB=π4，∴OC⊥AB，OC=在圖乙中，∵平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，OC⊥AB，∴OC⊥平面ABD∴VD﹣ABC＝VC﹣ABD=1（2）∵OA＝OD，∠DAB=π3，∴△∵E是OA中點(diǎn)，∴DE⊥OA，∵平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，DE⊥AB，∴DE⊥平面ABC，∵BP?平面ABC，∴DE⊥BP．（3）BD上存在一點(diǎn)G，滿足DG=BG，使得FG∥平面理由如下：取BD中點(diǎn)M，連結(jié)FM，MG，F(xiàn)G，則MG⊥BD，∴MG∥AD，∵F，M分別是BC，BD的中點(diǎn)，∴FM∥CD，∵FM?平面FMG，MG?平面FMG，CD?平面ACD，AD?平面ACD，AD∩CD＝D，F(xiàn)M∩MG＝M，∴平面FMG∥平面ACD，∵FG?平面FMG，∴FG∥平面ACD．題型五.平行與垂直選填綜合1．設(shè)l、m、n表示不同的直線，α、β、γ表示不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若m∥l，且m⊥α，則l⊥α；②若α⊥β，m∥α，n⊥β，則m⊥n；③若l∥α，且m∥α，則l∥m；④若m⊥n，m⊥α，n∥β，則α⊥β．則正確的命題個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：①根據(jù)線面平行的性質(zhì)知，若m∥l，且m⊥α，則l⊥α正確；故①正確，②根據(jù)面面垂直的性質(zhì)知，若α⊥β，m∥α，n⊥β，則m⊥n正確；故②正確，③若l∥α，且m∥α，則l∥m不一定正確，有可能相交，也有可能異面；故③錯(cuò)誤，④若m⊥n，m⊥α，n∥β，則α⊥β不一定成立，有可能相交．故④錯(cuò)誤，故正確的是①②③，故選：B．2．在△ABC中，∠BAC＝90°，PA⊥平面ABC，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)是（）A．5 B．8 C．10 D．6【解答】解：①∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥AC，∴△PAB，△PAD，△PAC都是直角三角形；②∵∠BAC＝90°，∴△ABC是直角三角形；③∵AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC．∴△ABD，△ACD是直角三角形．④由三垂線定理可知：BC⊥PD，∴△PBD，△PCD也是直角三角形．綜上可知：直角三角形的個(gè)數(shù)是8個(gè)．故選：B．3．已知E，F(xiàn)，G，H分別為四面體ABCD的棱AB，BC，DA，CD上的點(diǎn)，且AE＝EB，BF＝FC，CH=12HD，AG=A．AC∥平面EFH B．四邊形EFHG是梯形 C．直線EG，F(xiàn)H，BD相交于同一點(diǎn) D．BD∥平面EFG【解答】解：∵AE＝EB，BF＝FC，∴EF是△ABC的中位線，∴EF∥AC，且EF=12∵EF?平面EFH，AC?平面EFH，∴AC∥平面EFH，故A正確，∵CH=12HD，AG=∴GH∥AC，且GH=23則EF∥GH，∴四邊形EFHG是梯形，故B正確；則直線FH，EG相交，設(shè)交點(diǎn)為M，則M∈EG，M∈平面ABD，M∈FH，M∈平面BCD，則M是平面ABD和平面BCD的公共點(diǎn)，又平面ABD∩平面BCD＝BD，∴M∈BD，即直線EG，F(xiàn)H，BD相交于同一點(diǎn)，故C正確，D錯(cuò)誤，故選：D．4．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別是A1D1，A1B1的中點(diǎn)，過直線BD的平面α∥平面AMN，則平面α截該正方體所得截面的面積為（）A．2 B．98 C．3 D．【解答】解：取B1C1的中點(diǎn)E，C1D1的中點(diǎn)F，連接EF，BE，DF，B1D1，則EF∥B1D1，B1D1∥BD，所以EF∥BD，故EFBD在同一平面內(nèi)，連接ME，因?yàn)镸，E分別為A1D1B1C1的中點(diǎn)，所以ME∥AB，且ME＝AB，所以四邊形ABEM是平行四邊形，所以AM∥BE，又因?yàn)锽E?平面BDFE，AM不在平面BDFE內(nèi)，所以AM∥平面BDFE，同理AN∥平面BDFE，因?yàn)锳M∩AN＝A，所以平面AMN∥平面BDFE，即平面a截該正方體所得截面為平面BDFEBD=2，EF=12B1D過E，F(xiàn)作BD的垂線，則四邊形EFGH為矩形，∴FG=D故四邊形BDFE的面積為22故選：B．5．在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，N為BC的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)M在平面DCC1D1內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，有MN∥平面A1BD，則線段MN的最小值為（）A．1 B．62 C．2 D．【解答】解：取CD的中點(diǎn)P，DD1的中點(diǎn)Q，連接PQ、PN、QN，D1C，A1D，BD，A1B，如圖所示：因?yàn)镻、N分別為CD、BC中點(diǎn)，所以PN//BD，因?yàn)镻N?平面A1DB，BD?平面A1DB，所以PN∥平面A1DB，同理，P、Q分別為CD、DD1中點(diǎn)，所以PQ//D1C，因?yàn)锳1D1＝BC，且A1D1//BC，所以四邊形BCD1A1是平行四邊形，所以A1B//D1C，所以PQ//A1B，因?yàn)镻Q?平面A1DB，A1B?平面A1DB，所以PQ//平面A1DB，又PQ∩PN＝P，PQ?平面PQN，PN?平面PQN，所以平面PQN//平面A1BD，因?yàn)镸N//平面A1BD，所以MN?平面PQN，又點(diǎn)M在平面DCC1D1內(nèi)運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)M在平面PQN和平面DCC1D1的交線上，即M∈PQ，在△PQN中，PN=2，PQ=12CD1=2所以cos∠NPQ=P所以∠NPQ＝120°，所以N點(diǎn)到PQ的最小距離d＝PN?sin（180°﹣120°）=6所以線段MN的最小值為62故選：B．6．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱AP⊥平面ABCD，AB＝1，AP=3，點(diǎn)M在線段BC上，且AM⊥MD，則當(dāng)△PMD的面積最小時(shí)，線段BCA．3 B．322 C．2 【解答】解：設(shè)BM＝x，MC＝y(tǒng)，則BC＝AD＝x+y，∵PA⊥平面ABCD，MD?平面ABCD，∴PA⊥MD，又AM⊥MD，PA∩AM＝A，∴MD⊥平面PAM，由題意知AM=x2+1，在Rt△AMD中，AM2+MD2＝AD2，即x2+1+y2+1＝（x+y）2，化簡(jiǎn)，得xy＝1，在Rt△PMD中，PM=x2+4，∴S△PMD=12x此時(shí)，BC＝x+y=3故選：B．7．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，若EF∥平面AB1C，則線段EF的長(zhǎng)度等于2．【解答】解：∵EF∥平面AB1C，EF?平面AC，平面AB1C∩平面AC＝AC，∴EF∥AC，又點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，∴點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，∴EF=1故答案為2．8．如圖，棱長(zhǎng)均為1的正三棱柱ABC﹣A1B1C1，M，N分別為線段A1B，B1C上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)M，N所在直線與平面ACC1A1不相交，點(diǎn)O為MN中點(diǎn)，則O點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度是32【解答】解：因?yàn)镸，N分別為線段A1B，B1C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M，N在直線與平面ACC1A1不相交，所以MN∥平面ACC1A1，則A1M＝CN，當(dāng)A1M＝CN＝0時(shí)，此時(shí)MN的中點(diǎn)O為平面ACC1A1的中心，即A1C的中點(diǎn)，當(dāng)A1M＝CN=2時(shí)，此時(shí)MN的中點(diǎn)O為BB1所以點(diǎn)O的軌跡為△DEF的高，且△DEF為邊長(zhǎng)是1的等邊三角形，故點(diǎn)O的軌跡長(zhǎng)度是32故答案為：329．棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為棱CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作平面a，使得平面a∥平面AB1C，則平面a在正方體表面上截得的圖形的周長(zhǎng)為62．【解答】解：如圖，F(xiàn)，G，H，I，J分別為棱AD，AA1，A1B1，B1C1，CC1的中點(diǎn)，則HI∥A1C1∥GJ，故GHIJ四點(diǎn)共面，同理EFGJ四點(diǎn)共面．因?yàn)镋J∥AB1，EF∥AC，EF∩EJ＝E，所以平面EFGJ∥平面AB1C，又因?yàn)镠E的中點(diǎn)為正方體的中心，F(xiàn)I的中點(diǎn)也是正方體的中心設(shè)正方體中心為O，則HE∩FI＝O，∴H，I∈平面EFGJ，所以平面EFGHIJ即為平面a，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)可得，六邊形每條邊的長(zhǎng)度都等于正方體表面對(duì)角線的一半，即每邊長(zhǎng)都等于22+2故填：62．10．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，點(diǎn)P在側(cè)面BB1C1C的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)．若D1O⊥OP，則△D1C1P面積的最大值為5．【解答】解：由正方體的性質(zhì)可知，當(dāng)P位于點(diǎn)C時(shí)，D1O⊥OC，當(dāng)點(diǎn)P位于BB1的中點(diǎn)P1時(shí)，DD1＝2，DO＝BO=2，BP1＝B1P1＝1，B1D1=2求得OD1=所以O(shè)D12+OP12又OP1∩OC＝O，所以D1O⊥平面OP1C，故點(diǎn)P的軌跡在線段P1C上，由C1P1＝CP1=5，可得∠C1CP1為銳角，而CC1＝2＜故點(diǎn)P到棱C1D1的最大值為5，所以△D1C1P面積的最大值為12故答案為：5．課后作業(yè).平行與垂直證明1．如圖所示，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，平面PAD∩平面PBC＝l．（1）求證：l∥BC．（2）MN與平面PAD是否平行？試證明你的結(jié)論．【解答】解：（1）證明：因?yàn)锽C∥AD，BC?平面PAD．AD?平面PAD，所以BC∥平面PAD．又因?yàn)槠矫鍼BC∩平面PAD＝l，所以BC∥l（6分）（2）：平行．如圖，取PD的中點(diǎn)E，連接AE、NE，∵N是PC的中點(diǎn)，E是PD的中點(diǎn)∴NE∥CD，且NE=∵CD∥AB，M是AB的中點(diǎn)∴NE∥AM且NE＝AM．所以四邊形AMNE為平行四邊形，所以MN∥AE．又MN?平面PAD，AE?平面PAD，所以MN∥平面PAD．（12分）2．如圖所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D1是A1C1中點(diǎn)（1）求證：BC1∥平面AB1D1（2）求證：平面AB1D1∥平面C1BD．【解答】證明：（1）連結(jié)A1B，交AB1于O，連結(jié)OD1，∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D1是A1C1中點(diǎn)，∴OD1∥BC1，∵OD1?平面AB1D1，BC1?平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1．（2）∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D1是A1C1中點(diǎn)，∴BD∥B1D1，∵BD?平面AB1D1，B1D1?平面AB1D1，∴BD∥平面AB1D1，又BC1∥平面AB1D1，BD∩BC1＝B，BD、BC1?平面C1BD，∴平面AB1D1∥平面C1BD．3．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90，AA1=2，D是A1B1（1）求證C1D⊥平面A1B；（2）當(dāng)點(diǎn)F在BB1上什么位置時(shí)，會(huì)使得AB1⊥平面C1DF？并證明你的結(jié)論．【解答】證明：（1）如圖，∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°．又D是A1B1的中點(diǎn)，∴C1D⊥A1B1．∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D?平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D，∴C1D⊥平面A1B．解：（2）作DE⊥AB1交AB1于E，延長(zhǎng)DE交BB1于F，連結(jié)C1F，則AB1⊥平面C1DF，點(diǎn)F即為所求．事實(shí)上，∵C1D⊥平面AA1BB，AB1?平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1．又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF．4．如圖，在空間幾何體A﹣BCDE中，底面BCDE是梯形，且CD∥BE，CD＝2BE＝4，∠CDE＝60°，△ADE是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形．（1）若F為AC的中點(diǎn)，求證：BF∥平面ADE；（2）若AC＝4，求證：平面ADE⊥平面BCDE．【解答】證明：（1）如圖所示，取DA的中點(diǎn)G，連接FG，GE．∵F為AC的中點(diǎn)，∴GF∥DC，且GF=12又DC∥BE，CD＝2BE＝4，∴EB∥GF，且EB＝GF，∴四邊形BFGE是平行四邊形，∴