新高考數(shù)學一輪復(fù)習題型歸納講義專題13解析幾何 13.8存在性問題（解析版）

專題十三《解析幾何》講義13.8存在性問題知識梳理.存在性問題1.存在性問題的求解方法(1)解決存在性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化．一般步驟：①假設(shè)滿足條件的曲線(或直線、點)等存在，用待定系數(shù)法設(shè)出；②列出關(guān)于待定系數(shù)的方程(組)；③若方程(組)有實數(shù)解，則曲線(或直線、點等)存在，否則不存在．(2)反證法與驗證法也是求解存在性問題常用的方法2.字母參數(shù)值存在性問題的求解方法求解字母參數(shù)值的存在性問題時，通常的方法是首先假設(shè)滿足條件的參數(shù)值存在，然后利用這些條件并結(jié)合題目的其他已知條件進行推理與計算，若不出現(xiàn)矛盾，并且得到了相應(yīng)的參數(shù)值，就說明滿足條件的參數(shù)值存在；若在推理與計算中出現(xiàn)了矛盾，則說明滿足條件的參數(shù)值不存在，同時推理與計算的過程就是說明理由的過程題型.存在性問題1．已知橢圓C：x2a（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過點S(0，?13)的動直線l交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點Q，使得以AB為直徑的圓恒過點Q【解答】解：（Ⅰ）由橢圓兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形，得b＝c，又斜邊長為2，即2c＝2，解得c＝1，故a=2所以橢圓方程為x2（Ⅱ）當l與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程為x2當l為y軸時，以AB為直徑的圓的方程為x2+y2＝1，由x2故若存在定點Q，則Q的坐標只可能為Q（0，1）．下證明Q（0，1）為所求：若直線l斜率不存在，上述已經(jīng)證明．設(shè)直線l：y=kx?1由y=kx?1x1QA→QA→=(1+k∴QA→⊥QB→，即以2．（2015·四川）如圖，橢圓E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的離心率是22，過點P（0，1）的動直線l與橢圓相交于A、B兩點，當直線（Ⅰ）求橢圓E的方程；（Ⅱ）在平面直角坐標系xOy中，是否存在與點P不同的定點Q，使得|QA||QB|=|PA|【解答】解：（Ⅰ）∵直線l平行于x軸時，直線l被橢圓E截得的線段長為22，∴點（2，1）在橢圓E上，又∵離心率是22∴2a2+1b2∴橢圓E的方程為：x2（Ⅱ）結(jié)論：存在與點P不同的定點Q（0，2），使得|QA||QB|理由如下：當直線l與x軸平行時，設(shè)直線l與橢圓相交于C、D兩點，如果存在定點Q滿足條件，則有|QC||QD|=|PC||PD|=∴Q點在直線y軸上，可設(shè)Q（0，y0）．當直線l與x軸垂直時，設(shè)直線l與橢圓相交于M、N兩點，則M、N的坐標分別為（0，2）、（0，?2又∵|QM||QN|=|PM||PN|，∴|y0?∴若存在不同于點P的定點Q滿足條件，則Q點坐標只能是（0，2）．法一：下面證明：對任意直線l，均有|QA||QB|當直線l的斜率不存在時，由上可知，結(jié)論成立．當直線l的斜率存在時，可設(shè)直線l的方程為y＝kx+1，A、B的坐標分別為A（x1，y1）、B（x2，y2），聯(lián)立x24+y22=1y=kx+1，消去y并整理得：（1+2k∵△＝（4k）2+8（1+2k2）＞0，∴x1+x2=?4k1+2k2，x1∴1x1+已知點B關(guān)于y軸對稱的點B′的坐標為（﹣x2，y2），又kAQ=y1?2x1=kx1?1x1∴kAQ＝kQB′，即Q、A、B′三點共線，∴|QA||QB|法二：當斜率存在時，過點A作AA'⊥y軸，垂足為A'，過點B作BB'⊥y軸，垂足為B'，易知AA'∥BB'，則△AA'P相似于△BB'P，則PAPB若證上命題，則需證直線QA與直線QB交于點Q（0，2）時關(guān)于y軸對稱，則要證kQA+kQB＝0，聯(lián)立x24+y22=1y=kx+1，消去y并整理得：（1+2k∵△＝（4k）2+8（1+2k2）＞0，∴x1+x2=?4k1+2k2，x1x2=?21+2kAQ=y1?2x1=kx1?1x1=k?1x所以△QAA'相似于△QBB'進而得證：QAQB當斜率不存在時，由上可知，結(jié)論也成立．故存在與點P不同的定點Q（0，2），使得|QA||QB|3．已知直線l1是拋物線C：x2＝2py（p＞0）的準線，直線l2：3x﹣4y﹣6＝0，且l2與拋物線C沒有公共點，動點P在拋物線C上，點P到直線l1和l2的距離之和的最小值等于2．（Ⅰ）求拋物線C的方程；（Ⅱ）點M在直線l1上運動，過點M做拋物線C的兩條切線，切點分別為P1，P2，在平面內(nèi)是否存在定點N，使得MN⊥P1P2恒成立？若存在，請求出定點N的坐標，若不存在，請說明理由．【解答】解：（Ⅰ）作PA，PB分別垂直l1和l2，垂足為A，B，拋物線C的焦點為F(0，p由拋物線定義知|PA|＝|PF|，所以d1+d2＝|PA|+|PB|＝|PF|+|PB|，顯見d1+d2的最小值即為點F到直線l2的距離，故d=|?2p?6|所以拋物線C的方程為x2＝4y．（Ⅱ）由（Ⅰ）知直線l1的方程為y＝﹣1，當點M在特殊位置（0，﹣1）時，顯見兩個切點P1，P2關(guān)于y軸對稱，故要使得MN⊥P1P2，點N必須在y軸上．故設(shè)M（m，﹣1），N（0，n），P1(x拋物線C的方程為y=14x2，求導(dǎo)得y'=12直線MP1的方程為y?14x12=所以?1?14x同理可得x2故x1和x2是一元二次方程x2﹣2mx﹣4＝0的根，由韋達定理得x1+x2=2mx1x2=?4，P1P2→?可見n＝1時，P1所以存在定點N（0，1），使得MN⊥P1P2恒成立．4．已知拋物線y2＝2px（p＞0）過點P（m，2），且P到拋物線焦點的距離為2，直線l過點Q（2，﹣2），且與拋物線相交于A，B兩點．（1）求拋物線的方程；（2）若點Q恰為線段AB的中點，求直線l的方程；（3）過點M（﹣1，0）作直線MA、MB分別交拋物線于C，D兩點，請問C，D，Q三點能否共線？若能，求出直線l的斜率k；若不能，請說明理由．【解答】解：（1）拋物線y2＝2px（p＞0）過點P（m，2），可得2pm＝4，即pm＝2，P到拋物線焦點的距離為2，可得(m?p2)2解得p＝2，m＝1，則拋物線方程為y2＝4x；（2）直線l過點Q（2，﹣2），可設(shè)直線l的方程為y+2＝k（x﹣2），即y＝kx﹣2k﹣2，代入y2＝4x，消去x，可得ky2﹣4y﹣8k﹣8＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2=4由點Q（2，﹣2）恰為線段AB的中點，可得4k=?4，即k＝﹣1，滿足可得直線l的方程為y＝﹣x；（3）設(shè)（y124，y1），B（y224，y2），C（y324，y設(shè)直線l的方程為y+2＝k（x﹣2），即y＝kx﹣2k﹣2，代入y2＝4x，消去x，可得ky2﹣4y﹣8k﹣8＝0，y1+y2=4k，y1y2由M，A，C三點共線可得y1y124+1=y3?同理可得y4=4假設(shè)C，D，Q三點共線，可得y3+2y324?2=y4?y可得2y1y2+y所以當直線l的斜率為?23，C，D，課后作業(yè).存在性問題1．在直角坐標系xOy中，動圓P與圓Q：（x﹣2）2+y2＝1外切，且圓P與直線x＝﹣1相切，記動圓圓心P的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的軌跡方程；（2）設(shè)過定點S（﹣2，0）的動直線l與曲線C交于A，B兩點，試問：在曲線C上是否存在點M（與A，B兩點相異），當直線MA，MB的斜率存在時，直線MA，MB的斜率之和為定值？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）設(shè)P（x，y），圓P的半徑為r，因為動圓P與圓Q：（x﹣2）2+y2＝1外切，…………………（1分）所以(x?2)2+y2又動圓P與直線x＝﹣1相切，所以r＝x+1，②…………………（3分）由①②消去r得y2＝8x，所以曲線C的軌跡方程為y2＝8x．………………（5分）（2）假設(shè)存在曲線C上的點M滿足題設(shè)條件，不妨設(shè)M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），則y02=8x0，y12=8x所以kMA+kMB顯然動直線l的斜率存在且非零，設(shè)l：x＝ty﹣2，聯(lián)立方程組y2=8xx=ty?2，消去x得y2﹣由△＞0得t＞1或t＜﹣1，所以y1+y2＝8t，y1y2＝16，且y1≠y2．…（8分）代入③式得kMA+kMB=整理得(8my0?64)t+(my因為④式對任意t∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）恒成立，所以8my0?64=0所以m=2y0=4或m=?2y0=?4，即即存在曲線C上的點M（2，4）或M（2，﹣4）滿足題意．……（12分）2．設(shè)橢圓E的方程為x2a2+y2=1（a＞1），點O為坐標原點，點A，B的坐標分別為（a，0），（0，1），點M在線段AB上，滿足|BM（1）求橢圓E的方程；（2）若斜率為k的直線l交橢圓E于C，D兩點，交y軸于點T（0，t）（t≠1），問是否存在實數(shù)t使得以CD為直徑的圓恒過點B？若存在，求t的值，若不存在，說出理由．【解答】解：（1）設(shè)點M的坐標（x0，y0），點M在線段AB上，滿足|BM|＝2