專題16 平行線加中點(diǎn)模型及雨傘模型（解析版）

專題16平行線加中點(diǎn)模型及雨傘模型（解析版）模型一平行線加中點(diǎn)模型模型講解：如圖AB∥CD，E為AD的中點(diǎn)，延長CE交AB于點(diǎn)F，則△AEF≌△DEC模型識別及應(yīng)用：當(dāng)圖形中有中點(diǎn)，有平行線時，可用此模型，即有中點(diǎn)有平行線時，圖中就有全等三角形。典例1（2023秋?甘井子區(qū)月考）如圖，AB∥CF，E為DF的中點(diǎn)，AB＝10，CF＝6，則BD＝4．【思路引領(lǐng)】根據(jù)平行的性質(zhì)求得內(nèi)錯角相等，已知對頂角相等，又知E是DF的中點(diǎn)，所以根據(jù)ASA得出△ADE≌△CFE，從而得出AD＝CF，已知AB，CF的長，那么BD的長就不難求出．【解答】解：∵AB∥FC，∴∠ADE＝∠EFC，∵E是DF的中點(diǎn)，∴DE＝EF，在△ADE與△CFE中，∠ADE=∠EFCDE=EF∴△ADE≌△CFE（ASA），∴AD＝CF，∵AB＝10，CF＝6，∴BD＝AB﹣AD＝10﹣6＝4．故答案為：4．【總結(jié)提升】此題目主要考查全等三角形的判方法的掌握．判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．針對訓(xùn)練1．（2023?灞橋區(qū)校級三模）如圖，在?ABCD中，延長CD至點(diǎn)E，使DE＝DC，連接BE交AD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)G，則S△ABFA．49 B．14 C．94 【思路引領(lǐng)】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AB＝CD，AB∥CD，由DE＝DC得AB＝DE，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠EDF＝∠BAF，∠DEF＝∠ABF，以此可通過ASA證明△DEF≌△ABF，得到S△ABF＝S△DEF，由S△CEF＝2S△DEF＝2S△ABF即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵DE＝CD，∴AB＝DE，∵AB∥CD，∴∠EDF＝∠BAF，∠DEF＝∠ABF，在△DEF和△ABF中，∠DEF=∠ABFDE=AB∴△DEF≌△ABF（ASA），∴S△ABF＝S△DEF，∵CD＝DE，∴S△CEF＝2S△DEF＝2S△ABF，∴S△ABF故選：D．【總結(jié)提升】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2021秋?泌陽縣期末）如圖，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝10，AB∥CD，E是CD上一點(diǎn)，BE交AD于點(diǎn)F，若AB＝DE，則圖中陰影部分的面積為30．【思路引領(lǐng)】證明△BAF≌△EDF（AAS），則S△BAF＝S△EDF，利用割補(bǔ)法可得陰影部分面積．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BAD＝∠D，在△BAF和△EDF中，∠BAD=∠D∠AFB=∠DFE∴△BAF≌△EDF（AAS），∴S△BAF＝S△EDF，∴圖中陰影部分面積＝S四邊形ACEF+S△BAF＝S△ACD=12?AC?AD=12×6故答案為：30．【總結(jié)提升】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，三角形的面積計算方法，熟練掌握全等三角形的判定是解決問題的關(guān)鍵．模型構(gòu)建及應(yīng)用（圖中有中點(diǎn)及平行線時，可以構(gòu)建8字全等。僅有中點(diǎn)時，可以作平行線，構(gòu)建全等三角形）典例2如圖，四邊形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，AB+CD＝AC．（1）求證：CO平分∠ACD；（2）求證：AO平分∠BAC，OA⊥OC．【思路引領(lǐng)】（1）延長AO交CD的延長線于E．只要證明△ABO≌△EDO，推出AO＝OE，AB＝DE，由AC＝AB+CD，CE＝CD+DE＝CD+AB，推出CA＝CE，由OA＝OE，推出OC平分∠ACD．（2）由CA＝CE，推出∠CAE＝∠E，由∠E＝∠BAE，推出∠CAO＝∠OAB，即OA平分∠CAB，根據(jù)等腰三角形三線合一即可證明OC⊥OA．【解答】證明：（1）延長AO交CD的延長線于E．∵∠D＝∠ABD＝90°，∴∠CDB+∠ABD＝90°，∴AB∥CE，∴∠BAO＝∠E，在△ABO和△EDO中，∠BAO=∠E∠AOB=∠EOD∴△ABO≌△EDO，∴AO＝OE，AB＝DE，∵AC＝AB+CD，CE＝CD+DE＝CD+AB，∴CA＝CE，∵OA＝OE，∴OC平分∠ACD．（2）∵CA＝CE，∴∠CAE＝∠E，∵∠E＝∠BAE，∴∠CAO＝∠OAB，∴OA平分∠CAB，∵CA＝CE，OA＝OE，∴CO⊥AO．【總結(jié)提升】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．針對訓(xùn)練1．（2021?椒江區(qū)校級開學(xué)）如圖，已知AB＝12，AB⊥BC，垂足為點(diǎn)B，AB⊥AD，垂足為點(diǎn)A，AD＝5，BC＝10，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，求AE的長．【思路引領(lǐng)】延長AE交BC于點(diǎn)F，由“ASA”可證△AED≌△FEC，可得AD＝FC＝5，AE＝EF，由勾股定理可求AF的長，即可求AE的長．【解答】解：如圖，延長AE交BC于點(diǎn)F，∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)∴DE＝CE，∵AB⊥BC，AB⊥AD∴AD∥BC∴∠ADE＝∠BCE且DE＝CE，∠AED＝∠CEF∴△AED≌△FEC（ASA）∴AD＝FC＝5，AE＝EF∴BF＝BC﹣FC＝5∴在Rt△ABF中，AF=AB∴AE=【總結(jié)提升】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．2．閱讀理解（1）如圖①，△ABC中，D是BC中點(diǎn)，連接AD，直接回答S△ABD與S△ADC相等嗎？相等（S表示面積）；應(yīng)用拓展（2）如圖②，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)，連接DE、EC，試?yán)蒙项}得到的結(jié)論說明S△DEC＝S△ADE+S△EBC；解決問題（3）現(xiàn)有一塊如圖③所示的梯形試驗(yàn)田，想種兩種農(nóng)作物做對比實(shí)驗(yàn)，用一條過D點(diǎn)的直線，將這塊試驗(yàn)田分割成面積相等的兩塊，畫出這條直線，并簡單說明另一點(diǎn)的位置．【思路引領(lǐng)】（1）由于△ABD與△ACD等底同高，根據(jù)三角形的面積公式即可得出S△ABD與S△ADC相等；（2）延長DE交CB的延長線于點(diǎn)F，根據(jù)AAS證明△DAE≌△FBE，則DE＝FE，S△DAE＝S△FBE，又由（1）的結(jié)論可得S△DEC＝S△FEC，代入即可說明S△DEC＝S△ADE+S△EBC；（3）取AB的中點(diǎn)E，連接DE并延長，交CB的延長線于點(diǎn)F，則S梯形ABCD＝S△CDF，再取CF的中點(diǎn)G，作直線DG，則S△CDG＝S△FDG＝S梯形ADGB=12S梯形ABCD，故直線【解答】解：（1）如圖①，過點(diǎn)A作AE⊥BC于E．∵D是BC中點(diǎn)，∴BD＝CD，又∵S△ABD=12?BD?AE，S△ADC=12?∴S△ABD＝S△ADC．故答案為相等；（2）如圖②，延長DE交CB的延長線于點(diǎn)F．∵E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE．∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠BFE．在△DAE與△FBE中，∠ADE=∠BFE∠AED=∠BEF∴△DAE≌△FBE（AAS），∴DE＝FE，S△DAE＝S△FBE，∴E是DF中點(diǎn)，∴S△DEC＝S△FEC＝S△BFE+S△EBC＝S△ADE+S△EBC，∴S△DEC＝S△ADE+S△EBC；（3）如圖所示：取AB的中點(diǎn)E，連接DE并延長，交CB的延長線于點(diǎn)F，取CF的中點(diǎn)G，作直線DG，則直線DG即可將這塊試驗(yàn)田分割成面積相等的兩塊．【總結(jié)提升】本題考查了三角形的面積，全等三角形的判定與性質(zhì)，梯形的性質(zhì)，作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計作圖，（2）中通過作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．模型二雨傘模型（角平分線加垂直模型）模型講解：如圖，OP平分∠MON,AC⊥于C，延長AC交ON于點(diǎn)B，則△OAC≌△OBC，OA=OB，AC=BC模型識別及應(yīng)用：當(dāng)圖形中有角平分線且有垂直于這條角平分線的線時，可用此模型。典例1（2023?開州區(qū)校級開學(xué)）如圖，AD是△ABC的角平分線，過點(diǎn)C作CE⊥AD，垂足為點(diǎn)E，延長CE與AB相交于點(diǎn)F，連接DF，若∠BAC＝60°，∠B＝40°，則∠BDF的度數(shù)為40°．【思路引領(lǐng)】首先利用已知條件可以證明△AFE≌△ACE，然后利用全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可以求出∠ACD＝∠AFD，最后利用四邊形的內(nèi)角和求出∠CDF即可解決問題．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分線，∴∠FAD＝∠CAD，∵CE⊥AD，∴∠AEF＝∠AEC＝90°，在△AFE和△ACE中，∠FAD=∠CADAE=AE∴△AFE≌△ACE（ASA），∴EF＝CE，AF＝CF，∴∠AFE＝∠ACE，∵CE⊥AD，∴CD＝FD，∴∠DFC＝DCF，∴∠AFD＝∠ACD，∵∠BAC＝60°，∠B＝40°，∴∠ACD＝∠AFD＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∴∠CDF＝360°﹣∠BAC﹣∠ACD﹣∠AFD＝140°，∴∠BDF＝180°﹣∠CDF＝180°﹣140°＝40°．故答案為：40．【總結(jié)提升】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，同時也利用了角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及四邊形的內(nèi)角和，有一定的綜合性．針對訓(xùn)練1．（2023秋?鎮(zhèn)海區(qū)期末）如圖，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足為D，交AC于點(diǎn)E，∠A＝∠ABE．若AC＝10，BC＝6，則BD的長為（）A．2.5 B．2 C．4 D．1【思路引領(lǐng)】根據(jù)CD平分∠ACB，BE⊥CD，證出△BDC≌△EDC，得到BC＝BE，BD＝DE即可．【解答】解：∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ECD，∵BE⊥CD，∴∠BDC＝∠EDC＝90°，∵CD＝CD，∴△BDC≌△EDC（ASA），∴BC＝CE＝6，BD＝DE，又∵∠A＝∠ABE，∴AE＝BE，∵AC＝10，BC＝6，∴AE＝AC﹣CE＝4，∴BE＝AE＝4，∴BD=12BE＝故選：B．【總結(jié)提升】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知并結(jié)合圖形分析是解題的關(guān)鍵．3．（2020秋?市中區(qū)校級月考）如圖，△ABC中，點(diǎn)D，E在邊BC上，∠ABC的平分線垂直于AE，垂足為N，∠ACB的平分線垂直于AD，垂足為M，若BC＝7，MN=32，則△A．19 B．18 C．17 D．16【思路引領(lǐng)】證明△ABN≌△EBN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BA＝BE，AN＝NE，同理可得CA＝CD，AM＝MD，根據(jù)三角形中位線定理求出DE，根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案．【解答】解：∵BN平分∠ABC，∴∠ABN＝∠EBN，在△ABN和△EBN中，∠ABN=∠EBNBN=BN∴△ABN≌△EBN（ASA），∴BA＝BE，AN＝NE，同理可得：CA＝CD，AM＝MD，∵AN＝NE，AM＝MD，MN=3∴DE＝2MN＝3，∴△ABC的周長＝AB+BC+AC＝BE+BC+CD＝BC+BC+DE＝17，故選：C．【總結(jié)提升】本題考查的是三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．模型的建構(gòu)：通過延長垂直于角平分線的垂線段構(gòu)建雨傘模型典例2（2021秋?昭陽區(qū)期末）如圖，AD為△ABC的角平分線．（1）如圖1，若CE⊥AD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)E，AB＝8，AC＝5．則BE＝3．（2）如圖2，若∠C＝2∠B，點(diǎn)E在AB上，且AE＝AC，AB＝a，AC＝b，求CD的長；（用含a、b的式子表示）（3）如圖3，BG⊥AD，點(diǎn)G在AD的延長線上，連接CG，若△ACG的面積是7，求△ABC的面積．【思路引領(lǐng)】（1）利用ASA證明△AEF≌△ACF，得出AE＝AC＝5，再利用BE＝AB﹣AE即可求得答案；（2）利用SAS證明△AED≌△ACD，得出∠AED＝∠C，ED＝CD，由題意可得出BE＝AB﹣AE＝a﹣b，再利用等角對等邊證得DE＝BE，即可得出答案；（3）延長AC、BG交于H，先證明△ABG≌△AHG（ASA），得出：BG＝GH，S△ABG＝S△AHG，利用等底等高的兩個三角形面積相等可得S△CBG＝S△CGH，設(shè)S△CBG＝S△CGH＝x，即可得出答案．【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠EAF＝∠CAF，∵CE⊥AD，∴∠AFE＝∠AFC＝90°，在△AEF和△ACF中，∠EAF=∠CAFAF=AF∴△AEF≌△ACF（ASA），∴AE＝AC＝5，∵AB＝8，∴BE＝AB﹣AE＝8﹣5＝3；故答案為：3．（2）∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD，在△AED和△ACD中，AE=AC∠EAD=∠CAD∴△AED≌△ACD（SAS），∴∠AED＝∠C，ED＝CD，∵AE＝AC，AB＝a，AC＝b，∴BE＝AB﹣AE＝a﹣b，在△BDE中，∠AED＝∠B+∠BDE，∴∠C＝∠B+∠BDE，∵∠C＝2∠B，∴∠B＝∠BDE，∴DE＝BE＝a﹣b，∴CD＝a﹣b；（3）如圖，延長AC、BG交于H，∵AD平分∠BAC，∴∠BAG＝∠HAG，∵BG⊥AD，∴∠AGB＝∠AGH＝90°，在△ABG和△AHG中，∠BAG=∠HAGAG=AG∴△ABG≌△AHG（ASA），∴BG＝GH，S△ABG＝S△AHG，∴S△CBG＝S△CGH，設(shè)S△CBG＝S△CGH＝x，∵S△ACG＝7，∴S△AGH＝S△ACG+S△CGH＝7+x，∴S△ABG＝S△AHG＝7+x，∴S△ABH＝2（7+x）＝14+2x，∴S△ABC＝S△ABH﹣（S△CBG+S△CGH）＝14+2x﹣（x+x）＝14．【總結(jié)提升】本題考查了角平分線定義，三角形面積，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形判定和性質(zhì)等，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．針對訓(xùn)練1．如圖，BP是∠ABC的平分線，AP⊥BP于P，連接PC，若△ABC的面積為5cm2，則△PBC的面積為（）A．2cm2 B．2.5cm2 C．3cm2 D．不能確定【思路引領(lǐng)】延長AP交BC于點(diǎn)D，證明△APB≌△DPB（ASA）得到AP＝DP，根據(jù)三角形中線的性質(zhì)即可求解．【解答】解：延長AP交BC于點(diǎn)D，∵BP是∠ABC的平分線，AP⊥BP，∴∠ABP＝∠DBP，∠APB＝∠DPB＝90°，在△APB與△DPB中，∠ABP=∠DBPBP=BP∴△APB≌△DPB（ASA），∴AP＝DP，∴S△BDP=12S△ABD，S△CDP=12∴S△PBC＝S△BDP+S△CDP=12S△CDA+12S△BDA=12S△ABC故選：B．【總結(jié)提升】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形中線的性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2022?青秀區(qū)校級三模）如圖：D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，則AC的長為（）A．5 B．4 C．3 D．2【思路引領(lǐng)】延長BD交AC于E，如圖，利用CD平分∠ACB，BD⊥CD先判斷△BCE為等腰三角形得到DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，再證明EA＝EB＝2，然后計算AE+CE即可．【解答】解：延長BD交AC于E，如圖，∵CD平分∠ACB，BD⊥CD，∴△BCE為等腰三角形，∴DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，∵∠A＝∠ABD，∴EA＝EB＝2，∴AC＝AE+CE＝2+3＝5．故選：A．【總結(jié)提升】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)：等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．3．（2021?越秀區(qū)模擬）如圖所示，M是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，AN平分∠BAC，BN⊥AN于點(diǎn)N，且AB＝8，MN＝3，則AC的長是（）A．12 B．14 C．16 D．18【思路引領(lǐng)】延長BN交AC于D，證明△ANB≌△AND，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理計算即可．【解答】解：延長BN交AC于D，在△ANB和△AND中，∠NAB=∠NADAN=AN∴△ANB≌△AND，∴AD＝AB＝8，BN＝ND，∵M(jìn)是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，∴DC＝2MN＝6，∴AC＝AD+CD＝14，故選：B．【總結(jié)提升】本題考查的是三角形中位線定理，三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．4．（2022秋?安溪縣期中）[問題情境]利用角平分線構(gòu)造全等三角形是常用的方法，如圖1，OP平分∠MON．點(diǎn)A為OM上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC⊥OP，垂足為C，延長AC交ON于點(diǎn)B，易證△AOC≌△BOC，則AC＝BC．其分析過程如下：在△AOC和△BOC中，OP平分∠MON?∠AOC＝∠BOCOC＝OCAC⊥OP?∠OCA＝∠OCB＝90°?△AOC≌△BOC（ASA）在括號內(nèi)填寫全等判定方法字母簡稱?AC＝BC（全等三角形對應(yīng)邊相等）在括號內(nèi)填寫理由依據(jù)[問題探究]如圖2，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延長線上．證明：CD＝2BE；[拓展延伸]如圖3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D在線段BC上，向BC左側(cè)作∠BDE=12∠ACB，BE⊥DE于E，DE交AB于F，試探究BE和【思路引領(lǐng)】[問題情境]利用全等三角形的性質(zhì)證明即可；[問題探究]延長BE交CA延長線于F，證明△CEF≌△CEB（ASA），推出FE＝BE，