代數(shù)、數(shù)論+專練 高三數(shù)學(xué)強基專題

強基數(shù)學(xué)代數(shù)、數(shù)論一、初等數(shù)論:整除例1、求出所有的實數(shù)，使得與都是整除.例2、已知是互不相等且都大于的正整數(shù)，且，求.例3、已知正整數(shù)在十進制下的各位數(shù)碼和的等于其本身，求的值.例4、已知的整數(shù)部分，證明：例5、已知正整數(shù)不超過且滿足整除，求的個數(shù).二、初等數(shù)論：高斯函數(shù)例1、已知表示不超過的最大整數(shù)，已知，則_______;例2、方程有多少組解？例3、求的值例4、已知，則的各位數(shù)字是_______;例5、已知為正整數(shù)，求閱讀材料：逼近定理：對于任意給定的實數(shù)和正實數(shù)，一定存在互素的正整數(shù)使得，且證明方法：用數(shù)列、連分數(shù)、抽屜原理均可以證明，詳細證明可以在網(wǎng)上找到.推論：對于無理數(shù)，存在無窮多個有理數(shù)，使得。這個事實可以作為無理數(shù)等價說法，說明任意精度都可以達到.推論：對于有理數(shù)，只存在有限個有理數(shù)，使得，這個事實表明，有理數(shù)之間是有空隙的，不可能無限接近.推論：有理數(shù)只能做一階逼近，無理數(shù)可以做二階逼近，不能做三階逼近.逼近的階：如果存在一個只與實數(shù)有關(guān)的實數(shù)，使得存在無窮多個有理數(shù)，滿足，稱可以作階為的逼近.以上知識均可以在《哈代數(shù)論》上找到.逼近定理：給定無理數(shù)，則對于任意，（可以理解為精度）均存在正整數(shù)，使得（可以理解為在中稠密）備注：兩種逼近方式的額差別在于，逼近定理在考慮用一組實數(shù)來對作逼近（只不過這組實數(shù)有些特別），而是考慮用一組有理數(shù)來作逼近.數(shù)列：我們把中的分母不大于的既約分數(shù)從小到大排成一列，該數(shù)列稱為階數(shù)列，記為。例如：階數(shù)列為：數(shù)列性質(zhì)1：設(shè)為數(shù)列中的相鄰三項，則（內(nèi)插）數(shù)列性質(zhì)2：設(shè)為數(shù)列中的相鄰兩項，則三、初等數(shù)論：不定方程例1、求方程的正整數(shù)解.例2、求方程的正整數(shù)解例3、已知均為完全平方數(shù)且不超過，則正整數(shù)的個數(shù)為______;例4、設(shè)為正整數(shù)，則方程的解的個數(shù)為______;例5、求方程的所有非負整數(shù)解不等式例1、已知為正實數(shù)，求的最小值例2、已知不全為，求的取值范圍.例3、若實數(shù)滿足，則的最大值為____.例4、已知實數(shù)滿足，求的最大值.例5、已知為正實數(shù)且，求證：的取值范圍例6、設(shè)正實數(shù)滿足，求的最小值.例7、已知實數(shù)滿足，求的取值范圍.例8、在中，證明：例9、已知正實數(shù)滿足，則取值范圍是_____.例10、已知非負實數(shù)滿足，求的最大值.例11、設(shè)且，求的最小值.例12、給定正整數(shù)，設(shè)是正實數(shù)，證明：例1