陜西省安康市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1陜西省安康市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)榧希?，則.故選：D.2.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（）A.1 B.2C. D.【答案】B【解析】由題可得，∴.故選：B.3.方程x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0表示圓的一個(gè)充分不必要條件是（）A.k∈(﹣∞，﹣2)∪(2，+∞) B.k∈(2，+∞)C.k∈(﹣2，2) D.k∈(0，1]【答案】D【解析】由x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0，得，若方程x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0表示圓，則0，即﹣2＜k＜2.∴A，B為方程x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0表示圓的既不充分也不必要條件，C為充要條件，而（0，1]?（﹣2，2），則D為充分不必要條件.故選：D.4.在正方體中，M為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與的夾角的余弦值為（）A. B. C. D.前三個(gè)答案都不對(duì)【答案】B【解析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)．則，因此，于是所求夾角的余弦值為．故選：B.5.在矩形ABCD中，，，平面ABCD，，則PC與平面ABCD所成的角為（）A.30° B.45° C.60° D.120°【答案】A【解析】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，AP所在的直線(xiàn)分別為x軸,y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，平面ABCD的一個(gè)法向量為，所以．又因?yàn)?，所以，所以斜線(xiàn)PC與平面ABCD的法向量所在的直線(xiàn)所成的角為60°，所以斜線(xiàn)PC與平面ABCD所成的角為30°．故選：A6.如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，平面，若，則平面與平面的夾角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)槠矫?，且為正方形，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則、、，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，取，又平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，又，所以.故選：A7.已知函數(shù).關(guān)于的性質(zhì)，有以下四個(gè)推斷：①的定義域是；②是奇函數(shù)；③在區(qū)間上單調(diào)遞增；④的值域是.其中推斷正確的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】①因?yàn)?，所以函?shù)定義域?yàn)?，即①正確；②，所以是奇函數(shù)，即②正確；③任取，，且，則，因?yàn)?，，且，所以，，所以，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以③正確；④當(dāng)時(shí)，，由②知，函數(shù)為奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，所以的值域是，，即④正確．故選：D．8.關(guān)于圓，有下列四個(gè)命題：甲：圓的半徑；乙：直線(xiàn)與圓相切；丙：圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)；?。褐本€(xiàn)平分圓，如果只有一個(gè)命題是假命題，則該命題是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】B【解析】圓的圓心為，半徑為，甲：圓的半徑；當(dāng)乙為真命題時(shí)，則，解得或，則或3；當(dāng)丙為真命題時(shí)，，解得，則圓的半徑為1；當(dāng)丁為真命題時(shí)，直線(xiàn)平分圓，則直線(xiàn)過(guò)圓心，即，則圓的半徑為1；故四個(gè)命題中只有一個(gè)命題是假命題時(shí)，只能是乙，故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題、每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知是直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量，是平面的一個(gè)法向量，則下列說(shuō)法正確的是（）．A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】AD【解析】若，則，得，得，A正確，B錯(cuò)誤．若，則，得，得，C錯(cuò)誤，D正確．故選：AD10.已知函數(shù)的值域?yàn)?，則的定義域可以是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】畫(huà)出的圖象如下圖所示，由解得，的圖象是函數(shù)的圖象的一部分，依題意，的值域?yàn)椋蓤D可知，的定義域可以是、.故選：AB11.已知直線(xiàn)，其中，下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直B.若直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則C.直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)D.當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等【答案】AC【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為，因?yàn)?，此時(shí)，直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，若直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則，解得或，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，對(duì)于直線(xiàn)，由可得，所以，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程為，即，此時(shí)，直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距不相等，D錯(cuò).故選：AC.12.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值（）的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱(chēng)為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，點(diǎn)滿(mǎn)足，設(shè)點(diǎn)的軌跡為圓，下列結(jié)論正確的是（）A.圓的方程是B.過(guò)點(diǎn)向圓引切線(xiàn)，兩條切線(xiàn)的夾角為C.過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)，若圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)距離為2，該直線(xiàn)斜率為D.在直線(xiàn)上存在異于，的兩點(diǎn)，，使得【答案】ABD【解析】因?yàn)椋?，點(diǎn)滿(mǎn)足，設(shè)點(diǎn)，則，化簡(jiǎn)得：，即，故A正確；因?yàn)?，所以，則，解得，故B正確；易知直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)，因?yàn)閳A上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)距離為2，則圓心到直線(xiàn)的距離為：，解得，故C錯(cuò)誤；假設(shè)存在異于，兩點(diǎn)，，則，化簡(jiǎn)得：，因?yàn)辄c(diǎn)P的軌跡方程為：，所以解得或（舍去），故存在，故D正確；故選：ABD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上，若，則_____________．【答案】【解析】在橢圓中，，，則，由橢圓的定義可得，在中，由余弦定理可得，又因?yàn)?，所以?故答案為：.14.直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，同時(shí)滿(mǎn)足在兩坐標(biāo)軸上的截距相等且不為零，則這樣的直線(xiàn)方程為_(kāi)_____.【答案】【解析】設(shè)所求直線(xiàn)的方程為，即，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線(xiàn)的方程得，因此，所求直線(xiàn)的方程為，即.故答案為：.15.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則點(diǎn)C到平面的距離等于_____.【答案】【解析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，即，取，又，所以點(diǎn)到面的距離，故答案為：.16.直線(xiàn)與曲線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則b的取值范圍是_____.【答案】【解析】曲線(xiàn)化簡(jiǎn)為，所以曲線(xiàn)表示如圖的半圓，直線(xiàn)表示斜率為1的平行線(xiàn)，當(dāng)直線(xiàn)與半圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)與半圓相切時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，解得：，或（舍）當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，根據(jù)圖象可知，當(dāng)直線(xiàn)有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共6題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.某企業(yè)為了解下屬某部門(mén)對(duì)本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機(jī)訪(fǎng)問(wèn)名職工，根據(jù)這名職工對(duì)該部門(mén)的評(píng)分，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為：，，…，，．（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）從評(píng)分在的受訪(fǎng)職工中，隨機(jī)抽取人，求此人的評(píng)分都在的概率．解：（1）由題意，，解得.（2）由（1）知：名職工中、分別有2人、3人，若為職工A、B，為職工1、2、3，∴隨機(jī)抽取人的可能組合、、、、、、、、、共10種，其中人的評(píng)分都在有，即1種，∴人的評(píng)分都在的概率為18.在平行六面體中，，.M為的中點(diǎn)，若.（1）用基底表示向量；（2）求向量的長(zhǎng)度.解：（1）由題意可得，故.（2）由條件得，，故.19.已知函數(shù)，（1）求最小正周期；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值.解：（1）由已知，有.所以的最小正周期.（2）因?yàn)樵趨^(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，，所以在區(qū)間上的最大值為，最小值為.20.如圖，已知四棱錐的底面為直角梯形，，，底面，且，，是的中點(diǎn)．（1）求證：平而平面；（2）求與的夾角的余弦值；（3）求平面與平面的夾角的余弦值．解：（1）因?yàn)?，底面，如圖，以為原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，則，，，所以，，，所以，，，又因?yàn)?，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫妫虼?，平面平?（2）由（1）可知，，，所以，，所以，與的夾角的余弦值為.（3），，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，，故平面與平面的夾角的余弦值為.21.已知圓與軸相切，圓心點(diǎn)在直線(xiàn)上，且直線(xiàn)被圓所截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為.（1）求圓的方程；（2）若圓與軸正半軸相切，從點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)經(jīng)過(guò)直線(xiàn)反射，反射光線(xiàn)剛好通過(guò)圓的圓心，求反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程.解：（1）設(shè)圓，由題意得：…①，…②，…③，由①得，則，代入③得：；當(dāng)時(shí)，，，圓；當(dāng)時(shí)，，圓；綜上所述：圓或