變量與函數(shù)齊淑慧

大千世界處在不停的運(yùn)動(dòng)變化之中,如何來(lái)研究這些運(yùn)動(dòng)變化并尋找規(guī)律呢?數(shù)學(xué)上常用變量與函數(shù)來(lái)刻畫各種運(yùn)動(dòng)變化變量與函數(shù)O1234567891011123h（米）t（分）(1)你坐過摩天輪嗎？你坐在摩天輪上時(shí),隨著時(shí)間t的變化,你離開地面的高度h是如何變化的？先看什么叫變量?O123456789101112311h（米）t（分）O12345678910111231137h（米）t（分）O1234567891011123113745h（米）t（分）O1234567891011123113745h（米）t（分）O1234567891011123113745h（米）t（分）O1234567891011123113745h（米）t（分）下圖反映了旋轉(zhuǎn)時(shí)間t（分）與摩天輪上一點(diǎn)的高度h（米）之間的關(guān)系。t/分012345······h/米······31137453711根據(jù)上圖填表汽車以60km/h的速度勻速行駛，行駛里程為skm，行駛時(shí)間為th。先填下表。60120180240300從上面表中所填數(shù)據(jù)可以看出：S的值隨t的值的變化而＿＿＿＿.試用含t的式子表示s。s=＿＿t/h12345ts/km60t變化60t像這樣在某一變化過程中,可以取不同數(shù)值的量,叫做變量.刻畫汽車運(yùn)動(dòng)變化的量是路程S和時(shí)間t,路程S隨著時(shí)間t的變化而變化,它們都會(huì)取不同的數(shù)值．以上問題中都出現(xiàn)了可以取不同數(shù)值的量.刻畫摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)過程的量是時(shí)間t和高度h,高度h隨著時(shí)間t的變化而變化,它們都會(huì)取不同的數(shù)值．①這天的2時(shí)30分、9時(shí)和14時(shí)的氣溫分別為少？任意給出這天中的某一時(shí)刻，說出這一時(shí)刻的氣溫．②這一天中，最高氣溫是多少？最低氣溫是多少？③這一天中，什么時(shí)段的氣溫在逐漸升高？什么時(shí)段的氣溫在逐漸降低？時(shí)間t(時(shí))810246121416182022240

溫度T(

C)2468-2-40問題1

下圖是某地一天的氣溫變化圖,看圖回答：什么叫函數(shù)呢?

在以上變化過程中存在著兩個(gè)變量t和T,對(duì)于時(shí)間t每取一個(gè)值,溫度T都有唯一的值與之對(duì)應(yīng).我們就說t是自變量,T是因變量.也稱T是t的函數(shù).

這張圖是怎樣來(lái)展示這天各時(shí)刻的溫度和刻畫這天的氣溫變化規(guī)律的?

這張圖告訴我們哪些信息?問題2銀行對(duì)各種不同的存款方式都規(guī)定了相應(yīng)的利率,下表是2006年8月中國(guó)工商銀行為“整存整取”的存款方式規(guī)定的年利率：觀察上表,說說隨著存期x的增長(zhǎng),相應(yīng)的年利率y是如何變化的．在以上變化過程中存在著兩個(gè)變量x和y,對(duì)于x每取一個(gè)值,y都有唯一的值與之對(duì)應(yīng).我們就說x是自變量,y是因變量.也稱y是x的函數(shù).存期x三月六月一年二年三年五年利率y(

)1.802.252.523.063.694.14

收音機(jī)上的刻度盤的波長(zhǎng)和頻率分別是用米(m)和千赫茲(kHz)為單位標(biāo)刻的．下面是一些對(duì)應(yīng)的數(shù)：細(xì)心的同學(xué)可能會(huì)發(fā)現(xiàn)：

與

f

的乘積是一個(gè)定值，即

f＝300000，或者說 f＝

在以上變化過程中存在著兩個(gè)變量

和f,對(duì)于

每取一個(gè)值,f都有唯一的值與之對(duì)應(yīng).我們就說

是自變量,f是因變量.也稱f是

的函數(shù).300000

波長(zhǎng)

(m)30050060010001500頻率f(kHz)1000600500300200

問題4

圓的面積隨著半徑的增大而增大．如果用r表示圓的半徑，S表示圓的面積則S與r之間滿足下列關(guān)系：

S＝____________．利用這個(gè)關(guān)系式,試求出半徑為1cm、1.5cm、2cm、2.6cm、3.2cm時(shí)圓的面積,并將結(jié)果填入下表:(

≈3.14)

r2在以上變化過程中存在著兩個(gè)變量r和S,對(duì)于r每取一個(gè)值,S都有唯一的值與之對(duì)應(yīng).我們就說r是自變量,S是因變量.也稱S是r的函數(shù).半徑l(cm)11.522.63.2…圓面積S(cm2)3.147.0712.5721.2432.17…在某一變化過程中,可以取不同數(shù)值的量,叫做變量.

上面各個(gè)問題中,都出現(xiàn)了兩個(gè)變量,它們互相依賴,密切相關(guān).

一般地,如果在一個(gè)變化過程中,有兩個(gè)變量,例如x和y,對(duì)于x的每一個(gè)值,y都有唯一的值與之對(duì)應(yīng),我們就說x是自變量,y是因變量,此時(shí)也稱y是x的函數(shù).概括函數(shù)的本質(zhì)就是唯一確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

研究事物的運(yùn)動(dòng)變化,實(shí)際是從研究因變量與自變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系入手的.因變量與自變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系又叫函數(shù)關(guān)系.問題探究函數(shù)的表示方法

回顧“票房收入問題”、“行程問題”、“氣溫變化問題”，表示兩個(gè)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系有哪些方法？s＝60t；S=πr2列表法

圖象法解析式法表示函數(shù)關(guān)系的方法通常有三種：(1)

解析法，如問題3中的f＝,問題4中的S＝πr2,這些表達(dá)式稱為函數(shù)的關(guān)系式．(2)

列表法,如問題2中的利率表,問題3中的波長(zhǎng)與頻率關(guān)系表．(3)

圖象法,如問題1中的氣溫曲線.

在問題的研究過程中,還有一種量,它的取值始終保持不變,我們稱之為常量.如問題3中的300000,問題4中的π等.300000

小結(jié)：函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點(diǎn)1.解析法

兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系，有時(shí)可以用一個(gè)含有這兩個(gè)變量及數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)的等式表示，這種表示法叫做解析法。解析法簡(jiǎn)單明了，能準(zhǔn)確地反映整個(gè)變化過程中自變量與函數(shù)的相依關(guān)系，但求對(duì)應(yīng)值時(shí)，往往要經(jīng)過比較復(fù)雜的計(jì)算，而且在實(shí)際問題中，有的函數(shù)關(guān)系，不一定能用解析式表達(dá)出來(lái)。2.列表法

把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對(duì)應(yīng)值列成一個(gè)表來(lái)表示函數(shù)關(guān)系,這種表示法叫做列表法。如平方根表、正弦函數(shù)表等。列表法一目了然，表格中已有的自變量的每一個(gè)值，不需要計(jì)算就可以直接查出與它對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，使用起來(lái)很方便，但列表法有局限性，因?yàn)榱谐龅膶?duì)應(yīng)值是有限的，而且在表格中也不容易看出自變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律。3.圖象法用圖象表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖象法。圖象法形象直觀，通過函數(shù)的圖象，可以直接、形象地把函數(shù)關(guān)系表示出來(lái)，能夠直觀地研究函數(shù)的一些性質(zhì)，例如函數(shù)有沒有最大值（或最小值）？最大（?。┲凳嵌嗌?？函數(shù)值是隨自變量增大而增大，還是隨自變量的增大而減小等等，函數(shù)圖象是研究函數(shù)性質(zhì)的有力工具。但是，由函數(shù)圖象觀察只能得到近似的數(shù)量關(guān)系。

在解決問題時(shí)，我們常常綜合地運(yùn)用這三種表示法，來(lái)深入地研究函數(shù)的性質(zhì)。

自變量的取值范圍確定自變量的取值范圍時(shí)，不僅要考慮函數(shù)關(guān)系式有意義，而且還要注意問題的實(shí)際意義。（2）你見過水中漣漪嗎？圓形水波慢慢地?cái)U(kuò)大。在這一過程中，當(dāng)圓的半徑r分別為10cm,20cm,30cm時(shí)，圓的面積S分別為多少？S的值隨r的值的變化而變化嗎？根據(jù)題意填寫下表。r(cm)102030S(cm2)從表中所填數(shù)據(jù)可以看出：S的值隨r的值的變化而＿＿；用含r的式子表示s=＿＿。變化100Л400Л900Л（3）用10m長(zhǎng)的繩子圍一個(gè)矩形。當(dāng)矩形的一邊長(zhǎng)x分別為3m,3.5m,4m,4.5m時(shí)，它的鄰邊長(zhǎng)y分別為多少？y的值隨x的值的變化而變化嗎？矩形的一邊長(zhǎng)x(m)33.544.5x鄰邊y(m)從表中所填數(shù)據(jù)可以看出：y的值隨x的值的變化而＿＿；用含x的式子表示y=______變化21.50.515-x5-x常量、變量必須存在于一個(gè)變化過程中。判斷一個(gè)量是常量還是變量，需看哪些方面？歸納小結(jié):１.看它是否在一個(gè)變化的過程中；２.看它在這個(gè)變化過程中的取值情況。在一個(gè)變化過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量叫變量；在一個(gè)變化過程中，數(shù)值始終不變的量叫常量。例如，問題1關(guān)系式s=60t中有變量____和____，t=1時(shí)，則s=；t=2時(shí)，則s=…….由此，可以得出，當(dāng)t取定一個(gè)值時(shí)，s有(

)值與其對(duì)應(yīng)。我們就說，S是t的函數(shù)，t是自變量,S是因變量.唯一確定的st60120y=5-xS=兀r2S=60ty=10x一般地，在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x與y,并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值,y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng),那么就說y是x的函數(shù),x叫做自變量,y是因變量.如果x＝a時(shí),y＝b,那么b就叫做當(dāng)自變量的值為a時(shí)的函數(shù)值。１.指出下列關(guān)系式中的變量與常量：(1)y=5x－6(2)y=(3)y=4X2＋5x－7(4)C=4a２.圓的周長(zhǎng)c=2Лr中,___是__的函數(shù),___是自變量；y=5x－6中，＿是＿的函數(shù)，＿是自變量，當(dāng)x=4時(shí)，函數(shù)值y=＿＿＿。1．小軍用50元錢去買單價(jià)是8元的筆記本，則他剩余的錢Q（元）與他買這種筆記本的本數(shù)x之間的關(guān)系是（）

A．Q=8xB．Q=8x-50C．Q=50-8xD．Q=8x+502、若球體體積為V，半徑為R，則V=下列說法正確的()A、V、兀、R是變量，是常量B、R是變量，V、、兀是常量C、V是變量，、兀、R是常量D、V、R是變量，、兀是常量y

=

y、X303.設(shè)圓柱的高h(yuǎn)不變,圓柱的體積v與圓柱的底面半徑r之間的關(guān)系式是v=兀r2h.在這個(gè)式子中,變量是_______,常量是____,＿＿是自變量，＿是＿＿的函數(shù)。4．長(zhǎng)方形相鄰兩邊長(zhǎng)分別為x、y，面積為30，則用含x的式子表示y為______，則這個(gè)問題中，_____常量；_______是變量。＿＿是自變量，＿是＿＿的函數(shù)。V、r兀,hrrvxxy5．寫出下列問題中的關(guān)系式，并指出自變量與函數(shù)．（1）直角三角形中一個(gè)銳角α與另一個(gè)銳角β之間的關(guān)系．試用含α的式子表示β。

（2）一盛滿30噸水的水箱，每小時(shí)流出0.5噸水，試用流水時(shí)間t（小時(shí)）表示水箱中的剩水量y（噸）．解：由題意得β

=90°—αα是自變量，β是α的函數(shù)。解：由題意得y=30-0.5tt是自變量，y是t的函數(shù)。（3）用總長(zhǎng)為80m的籬笆圍成長(zhǎng)方形場(chǎng)地，長(zhǎng)方形的面積S(m2)隨一邊長(zhǎng)X(m)的變化而變化。3.下列關(guān)系中，y不是x函數(shù)的是（