高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊《數(shù)列知識點復(fù)習(xí)講義》(精心整理、史上最全)

數(shù)列知識點復(fù)習(xí)講義（含答案）一．?dāng)?shù)列的概念：數(shù)列是一個定義域為正整數(shù)集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函數(shù)，數(shù)列的通項公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。1．?dāng)?shù)列是按一定順序排列的一列數(shù)，記作簡記.2．?dāng)?shù)列的第項與項數(shù)的關(guān)系若用一個公式給出，則這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式。3．?dāng)?shù)列的項為當(dāng)自變量由小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值，它的圖像是一群孤立的點。4、數(shù)列的遞推公式：表示任一項與它的前一項（或前幾項）間的關(guān)系的公式．5、求數(shù)列中最大最小項的方法：最大最小考慮數(shù)列的單調(diào)性二、等差數(shù)列1、定義：（1）文字表示：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差．（2）符號表示：2、通項公式：若等差數(shù)列的首項是，公差是，則．通項公式的變形：=1\*GB3①；=2\*GB3②．通項公式特點：是數(shù)列成等差數(shù)列的充要條件。3、等差中項若三個數(shù)，，組成等差數(shù)列，則稱為與的等差中項．若，則稱為與的等差中項．即a、b、c成等差數(shù)列4、等差數(shù)列的基本性質(zhì)（1）。（2）（3）5、等差數(shù)列的前項和的公式公式：=1\*GB3①；=2\*GB3②．公式特征：，時是一個關(guān)于n且沒有常數(shù)項的二次函數(shù)形式等差數(shù)列的前項和的性質(zhì)：=1\*GB3①若項數(shù)為，則，且，．=2\*GB3②若項數(shù)為，則，且，（其中，）．=3\*GB3③，，成等差數(shù)列．6、判斷或證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的方法：=1\*GB3①定義法：是等差數(shù)列=2\*GB3②中項法：是等差數(shù)列=3\*GB3③通項公式法：是等差數(shù)列=4\*GB3④前項和公式法：是等差數(shù)列三、等比數(shù)列1、定義：（1）文字表示：如果一個數(shù)列從第項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列稱為等比數(shù)列，這個常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比．（2）符號表示：2、通項公式（1）、若等比數(shù)列的首項是，公比是，則．（2）、通項公式的變形：=1\*GB3①；=2\*GB3②．3、等比中項：在與中插入一個數(shù)，使，，成等比數(shù)列，則稱為與的等比中項．若，則稱為與的等比中項．注意：與的等比中項可能是。4、等比數(shù)列性質(zhì)若是等比數(shù)列，且（、、、），則；若是等比數(shù)列，且（、、），則．5、等比數(shù)列的前項和的公式：（1）公式：．（2）公式特點：（3）等比數(shù)列的前項和的性質(zhì)：=1\*GB3①若項數(shù)為，則．=2\*GB3②．=3\*GB3③，，成等比數(shù)列（）．6、等比數(shù)列判定方法：=1\*GB3①定義法：為等比數(shù)列；=2\*GB3②中項法：為等比數(shù)列；=3\*GB3③通項公式法：為等比數(shù)列；=4\*GB3④前項和法：為等比數(shù)列。四、等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)的比較等差數(shù)列等比數(shù)列定義(為常數(shù),)遞推公式通項公式或（）或中項成等差數(shù)列的充要條件：成等比數(shù)列的充要條件：前項和=1\*GB3①；重要性質(zhì)①②等和性：若（、、、），則③若（、、），則．④構(gòu)成等差數(shù)列.①②等積性：若（、、、），則③若（、、），則④構(gòu)成的數(shù)列是等比數(shù)列.單調(diào)性：設(shè)d為等差數(shù)列的公差，則d>0是遞增數(shù)列；d<0是遞減數(shù)列；d=0是常數(shù)數(shù)列.遞增數(shù)列；遞減數(shù)列；q=1是常數(shù)數(shù)列；q<0是擺動數(shù)列證明方法證明一個數(shù)列為等差數(shù)列的方法：1.定義法2.中項法3.通項公式法：（為常數(shù)）4.前n項和公式法：（A,B為常數(shù)）證明一個數(shù)列為等比數(shù)列的方法：1.定義法2.中項法3.通項公式法：(A,q為不為0的常數(shù))4.前n項和公式法：()設(shè)元技巧三數(shù)等差：四數(shù)等差：三數(shù)等比：四數(shù)等比：五、基本題型一、數(shù)列的概念題型一：數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系例1已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝－2n2＋21n，則該數(shù)列中的數(shù)值最大的項是（）A．第5項 B．第6項C．第4項或第5項 D．第5項或第6項解：，因為，且，最大第5項．變式1.數(shù)列的通項公式為,則數(shù)列各項中最小項是()A．第4項B．第5項C．第6項D．第7項2.已知數(shù)列是遞增數(shù)列，其通項公式為,則實數(shù)的取值范圍是3.已知，則在數(shù)列的最大項為__；題型二：利用Sn與an的關(guān)系求通項公式公式：2．例.已知數(shù)列的前項和，求其通項公式.解析：當(dāng)，當(dāng)又不適合上式，故變式1.若數(shù)列的前n項和為，則（ ）A． B． C． D．2.已知數(shù)列的前項和，則＝3．已知數(shù)列的，則=____。4.數(shù)列的前項和,，則二、等差數(shù)列題型一利用定義法求等差數(shù)列的通項公式例．已知數(shù)列滿足，，則（）A． B． C． D．解：因為，則，又，則，所以數(shù)列是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，所以，所以，則．故選：D變式1.在數(shù)列中，，則的值為（ ）A．49 B．50 C．51 D．522．在數(shù)列中，，.若為等差數(shù)列，則（）A． B． C． D．3．已知數(shù)列滿足，，則（）A． B． C． D．題型二：等差數(shù)列的通項公式及其應(yīng)用例.在等差數(shù)列中，則等于（B）A．40Ｂ．42Ｃ．43Ｄ．45解：變式1.等差數(shù)列中，，，則通項；2．已知{an}是首項為1，公差為3的等差數(shù)列，如果an＝2023，則序號n等于（）A．667B．668C．669D．6753．在數(shù)列中，，，若，則（）A．671 B．672 C．673 D．6744.首項為-24的等差數(shù)列，從第10項起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是_題型三：等差中項及應(yīng)用例．在等差數(shù)列{an}中，a1＋a4＋a7＝58，a2＋a5＋a8＝44，則a3＋a6＋a9的值為（）A．30 B．27 C．24 D．21【詳解】設(shè)b1＝a1＋a4＋a7＝58，b2＝a2＋a5＋a8＝44，b3＝a3＋a6＋a9.因為{an}是等差數(shù)列，所以b1，b2，b3也是等差數(shù)列，得b1＋b3＝2b2，所以b3＝2b2－b1＝2×44－58＝30，即a3＋a6＋a9＝30.故選：A變式1．已知是等差數(shù)列，且是和的等差中項，則的公差為（）A． B． C．1 D．22.在等差數(shù)列中，，則（）A．8 B．12 C．16 D．203.數(shù)列為等差數(shù)列，與的等差中項為5，與的等差中項為7，則通項等于題型四：等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例．在等差數(shù)列中，，，則等于（）A． B． C． D．【詳解】因為，所以公差，又因為，所以，所以，故選：D.變式1．在等差數(shù)列中，，則（）A． B． C． D．2．已知正項等差數(shù)列，若，，則(C)A．B．C．D．三、等差數(shù)列的前n項和題型一：等差數(shù)列前n項和的有關(guān)計算例．在等差數(shù)列{an}中：（1）已知，求；（2）已知，求n.解：（1）由已知條件得，解得，；（2），，.變式1.在等差數(shù)列中，S11＝22，則＝______；2.數(shù)列{}是等差數(shù)列，，則________3．在等差數(shù)列中，若，則=4.在等差數(shù)列{an}中，已知a4＋a8＝16，則該數(shù)列前11項和S11＝()A．58B．88C．143D．1765．記為等差數(shù)列的前項和．若，，則的公差為（）A．1B．2C．4D．86.已知數(shù)列是等差數(shù)列，，其前10項的和，則其公差等于()7.等差數(shù)列項的和等于（）A． B． C． D．8.數(shù)列的通項an=2n＋1，則由(n∈N*)，所確定的數(shù)列的前項和是__________ 9.設(shè)為等差數(shù)列的前n項和，＝14，S10－＝30，則S9＝.10.在等差數(shù)列中,求的值。11.數(shù)列中，……，那么12．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知前6項和為36，最后6項的和為180，Sn＝324(n＞6)，則a9＋a10＝_題型二：等差數(shù)列片段和的性質(zhì)例．記等差數(shù)列的前項和為，已知，，則（C）A． B． C． D．【詳解】因為是等差數(shù)列的前項，由等差數(shù)列前項和的性質(zhì)可知：，，成等差數(shù)列，所以，即，解得：，故選：C.變式1．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，，則（）A．28 B．32 C．16 D．242.等差數(shù)列的前n項和為25，前2n項和為100，則它的前3n和為。3．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）A．63 B．45 C．36 D．27題型三：等差數(shù)列前n項和與n的比值問題例．在等差數(shù)列中，，其前n項和為，若，則（）A．-4040 B．-2020 C．2020 D．4040解：設(shè)等差數(shù)列的前項和為，則，所以是等差數(shù)列．因為，所以的公差為，又，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，所以故選：C變式1．在等差數(shù)列中，，其前項和為，若，則（）A．0 B．2018 C． D．20202．已知數(shù)列的通項公式是，前項和為，則數(shù)列的前11項和為A． B． C． D．3．設(shè)是等差數(shù)列的前項和，若（）A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．題型四：兩個等差數(shù)列前n項和的比值問題例．已知等差數(shù)列與等差數(shù)列的前項和分別為和，若，則（）A． B． C． D．【詳解】因為，則．故選：C．變式1．已知等差數(shù)列和的前項和分別為和，且有，，則的值為（）A． B． C．2 D．32．已知數(shù)列、都是等差數(shù)列，設(shè)的前項和為，的前項和為.若，則（）A． B． C． D．3.設(shè){}與{}是兩個等差數(shù)列，它們的前項和為和，若，那么題型五：等差數(shù)列前n項和的最值問題（二次函數(shù)、不等式）例．設(shè)是等差數(shù)列的前項和，且，則下列結(jié)論正確的有（）A． B． C． D．【詳解】因為等差數(shù)列的前項和，所以由可知，，拋物線開口向下，其對稱軸在之間，所以拋物線與軸正半軸交點的橫坐標(biāo)范圍是，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知；；；.故選：A變式1．已知{an}為等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n項和，則使得Sn達(dá)到最大值的n是（）A．21 B．20 C．19 D．182．已知等差數(shù)列滿足，是數(shù)列的前n項和，則使取最大值的自然數(shù)n是（）A．4 B．5 C．6 D．73．在等差數(shù)列{}中，=-10，=2，要使前n項和取得最小值，則n等于（）A、5B、6C、7D、5或64.等差數(shù)列中，，，問此數(shù)列前項和最大？并求此最大值。5.在等差數(shù)列中，，且，是其前項和，則A、都小于0，都大于0B、都小于0，都大于0B、都小于0，都大于0D、都小于0，都大于0題型六：等差數(shù)列前n項和偶數(shù)項和奇數(shù)項和與絕對值問題例．已知數(shù)列的前項和為，若，，則（）A． B． C． D．【詳解】數(shù)列的前項和為，若，，可得：，，，所以不正確；可得，可知數(shù)列奇數(shù)項與偶數(shù)項都是等差數(shù)列，公差都是1，，所以正確；，所以不正確；，所以不正確；故選：B．變式1．已知等差數(shù)列的公差為4，項數(shù)為偶數(shù)，所有奇數(shù)項的和為15，所有偶數(shù)項的和為55，則這個數(shù)列的項數(shù)為A．10 B．20 C．30 D．402．已知數(shù)列的前n項和，則的值為()A．68 B．67 C．65 D．563．已知數(shù)列的前n項和，求的值四、等比數(shù)列題型一：等比數(shù)列中的基本運(yùn)算例．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a4－a1＝78，S3＝39，設(shè)bn＝log3an，那么數(shù)列{bn}的前10項和為（）A．log371B．C．50D．55解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a4－a1＝78得a1(q3－1)＝78，又S3＝a1(1＋q＋q2)＝39，解得a1＝q＝3，故an＝3n，所以bn＝log33n＝n，所以數(shù)列{bn}的前10項和為.故選：D.變式1．若數(shù)列是等比數(shù)列，，，則（）A． B． C． D．2．已知等比數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．3.在等比數(shù)列中，，則數(shù)列的通項公式為()A．B．C．D．4.在等比數(shù)列中，，，則的值為（）A．B．C．D．5.數(shù)列中，若，則通項=題型二：等比中項的應(yīng)用例．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，其中公差，若是和的等比中項，則（）A．398 B．388C．189 D．199解：數(shù)列是等差數(shù)列，，其中公差，是和的等比中項，，化為，．所以，則．選：C．變式1.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則等于（）A．5 B．10 C．15 D．202．已知等差數(shù)列的公差，且，，成等比數(shù)列，則()A． B． C． D．3.公差不為零的等差數(shù)列的前項和為.若是的等比中項,,則＝A.18B.24C.60D.90題型三：等比數(shù)列的證明例．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N*.（1）證明：{an－1}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項公式.解：（1）證明∵Sn＝n－5an－85，∴Sn＋1＝(n＋1)－5an＋1－85，兩式相減得：an＋1＝1＋5an－5an＋1，整理得：an＋1＝an＋，∴an＋1－1＝(an－1)，又∵a1＝1－5a1－85，即a1＝－14，∴a1－1＝－14－1＝－15，∴數(shù)列{an－1}是以－15為首項，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）可知an－1＝－15×，∴an＝1－15×.變式1．已知是數(shù)列的前項和，且（Ⅰ）求的值，若，試證明數(shù)列為等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式.題型四：等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用例．等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則（）A．10 B．5 C．4 D．解：因為，，所以，所以故選：B變式1.在等比數(shù)列中，若，則此數(shù)列的前10項之積等于（）2.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則。3.在等比數(shù)列中，為其前n項和，若，則的值為4.若是等比數(shù)列，且，則＝5.設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項和為，若成等差數(shù)列，則的值為題型五：等比數(shù)列的函數(shù)特征（單調(diào)性和最值）例．已知數(shù)列是首項不為零的等比數(shù)列，且公比大于0，那么“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的（）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【詳解】因為等比數(shù)列的通項公式為，當(dāng)，時，數(shù)列為遞減數(shù)列，即充分性不成立；當(dāng)“數(shù)列是遞增數(shù)列”時，可能是，，即必要性不成立；即“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件，故選：D.變式1．已知為等比數(shù)列，，，以表示的前項積，則使得達(dá)到最大值的是（）A．4 B．5 C．6 D．72．已知公比的等比數(shù)列的前項和為，則下列結(jié)論一定成立的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則五、等比數(shù)列n項和題型一：等比數(shù)列前n項和公式的基本運(yùn)算例．已知等比數(shù)列的前6項和為，公比為，則（）A． B． C． D．24解：根據(jù)題意，等比數(shù)列的前6項和為，公比為，則有，解可得，則；故選：B．變式1．設(shè)正項等比數(shù)列的前n項和為，若，，則公比q等于（）．A．1 B．2 C．3 D．42.設(shè)等比數(shù)列的公比，前n項和為，則（）A.2 B.4 C. D.3.設(shè)等比數(shù)列前項和為，若，求數(shù)列的公比4.題型二：等比數(shù)列的判斷和性質(zhì)的應(yīng)用例．設(shè)等比數(shù)列前n項和為Sn，若S3＝8，S6＝24，則a10＋a11＋a12＝（）A．32B．64C．72D．216【詳解】由于S3、S6－S3、S9－S6，S12－S9成等比數(shù)列，S3＝8，S6－S3＝16，故其比為2，所以S9－S6＝32，a10＋a11＋a12＝S12－S9＝64．故選：B．變式1．已知數(shù)列是等比數(shù)列，為其前n項和，若，，則（）A．40 B．60 C．32 D．502．設(shè)是等比數(shù)列的前項和，若，則（）A． B． C． D．3.已知數(shù)列是等比數(shù)列，且4.在等比數(shù)列中，，公比q是整數(shù)，則=___；5．在等比數(shù)列中,若是方程的兩根，則=_________.題型三：等比數(shù)列奇偶項和的性質(zhì)例．已知等比數(shù)列共有32項，其公比，且奇數(shù)項之和比偶數(shù)項之和少60，則數(shù)列的所有項之和是（）A．30 B．60 C．90 D．120【詳解】設(shè)等比數(shù)列的奇數(shù)項之和為，偶數(shù)項之和為則，又，則，解得，故的所有項之和是.故選：D變式1．已知等比數(shù)列中，，，，則（）A．2 B．3 C．4 D．52．已知一個等比數(shù)列首項為1，項數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項之和為85，偶數(shù)項之和為170，則這個數(shù)列的公比和項數(shù)分別為（）A．8，2 B．2，4 C．4，10 D．2，8數(shù)列知識點復(fù)習(xí)講義－教師版一．?dāng)?shù)列的概念：數(shù)列是一個定義域為正整數(shù)集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函數(shù)，數(shù)列的通項公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。1．?dāng)?shù)列是按一定順序排列的一列數(shù)，記作簡記.2．?dāng)?shù)列的第項與項數(shù)的關(guān)系若用一個公式給出，則這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式。3．?dāng)?shù)列的項為當(dāng)自變量由小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值，它的圖像是一群孤立的點。4、數(shù)列的遞推公式：表示任一項與它的前一項（或前幾項）間的關(guān)系的公式．5、求數(shù)列中最大最小項的方法：最大最小考慮數(shù)列的單調(diào)性二、等差數(shù)列1、定義：（1）文字表示：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差．（2）符號表示：2、通項公式：若等差數(shù)列的首項是，公差是，則．通項公式的變形：=1\*GB3①；=2\*GB3②．通項公式特點：是數(shù)列成等差數(shù)列的充要條件。3、等差中項若三個數(shù)，，組成等差數(shù)列，則稱為與的等差中項．若，則稱為與的等差中項．即a、b、c成等差數(shù)列4、等差數(shù)列的基本性質(zhì)（1）。（2）（3）5、等差數(shù)列的前項和的公式公式：=1\*GB3①；=2\*GB3②．公式特征：，時是一個關(guān)于n且沒有常數(shù)項的二次函數(shù)形式等差數(shù)列的前項和的性質(zhì)：=1\*GB3①若項數(shù)為，則，且，．=2\*GB3②若項數(shù)為，則，且，（其中，）．=3\*GB3③，，成等差數(shù)列．6、判斷或證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的方法：=1\*GB3①定義法：是等差數(shù)列=2\*GB3②中項法：是等差數(shù)列=3\*GB3③通項公式法：是等差數(shù)列=4\*GB3④前項和公式法：是等差數(shù)列三、等比數(shù)列1、定義：（1）文字表示：如果一個數(shù)列從第項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列稱為等比數(shù)列，這個常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比．（2）符號表示：2、通項公式（1）、若等比數(shù)列的首項是，公比是，則．（2）、通項公式的變形：=1\*GB3①；=2\*GB3②．3、等比中項：在與中插入一個數(shù)，使，，成等比數(shù)列，則稱為與的等比中項．若，則稱為與的等比中項．注意：與的等比中項可能是。4、等比數(shù)列性質(zhì)若是等比數(shù)列，且（、、、），則；若是等比數(shù)列，且（、、），則．5、等比數(shù)列的前項和的公式：（1）公式：．（2）公式特點：（3）等比數(shù)列的前項和的性質(zhì)：=1\*GB3①若項數(shù)為，則．=2\*GB3②．=3\*GB3③，，成等比數(shù)列（）．6、等比數(shù)列判定方法：=1\*GB3①定義法：為等比數(shù)列；=2\*GB3②中項法：為等比數(shù)列；=3\*GB3③通項公式法：為等比數(shù)列；=4\*GB3④前項和法：為等比數(shù)列。四、等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)的比較等差數(shù)列等比數(shù)列定義(為常數(shù),)遞推公式通項公式或（）或中項成等差數(shù)列的充要條件：成等比數(shù)列的充要條件：前項和=1\*GB3①；=2\*GB3②重要性質(zhì)①②等和性：若（、、、），則③若（、、），則．④構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列.①②等積性：若（、、、），則③若（、、），則④構(gòu)成的數(shù)列是等比數(shù)列.單調(diào)性：設(shè)d為等差數(shù)列的公差，則d>0是遞增數(shù)列；d<0是遞減數(shù)列；d=0是常數(shù)數(shù)列.遞增數(shù)列；遞減數(shù)列；q=1是常數(shù)數(shù)列；q<0是擺動數(shù)列證明方法證明一個數(shù)列為等差數(shù)列的方法：1.定義法2.中項法3.通項公式法：（為常數(shù)）4.前n項和公式法：（A,B為常數(shù)）證明一個數(shù)列為等比數(shù)列的方法：1.定義法2.中項法3.通項公式法：(A,q為不為0的常數(shù))4.前n項和公式法：()設(shè)元技巧三數(shù)等差：四數(shù)等差：三數(shù)等比：四數(shù)等比：五、基本題型一、數(shù)列的概念題型一：數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系例1已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝－2n2＋21n，則該數(shù)列中的數(shù)值最大的項是（）A．第5項 B．第6項C．第4項或第5項 D．第5項或第6項解：，因為，且，最大項為第5項．變式1.數(shù)列的通項公式為,則數(shù)列各項中最小項是(B)A．第4項B．第5項C．第6項D．第7項2.已知數(shù)列是遞增數(shù)列，其通項公式為,則實數(shù)的取值范圍是3.已知，則在數(shù)列的最大項為__（答：）；題型二：利用Sn與an的關(guān)系求通項公式公式：2．例.已知數(shù)列的前項和，求其通項公式.解析：當(dāng)，當(dāng)又不適合上式，故變式1.若數(shù)列的前n項和為，則（ A ）A． B． C． D．2.已知數(shù)列的前項和，則＝3．已知數(shù)列的，則=____100__。4.數(shù)列的前項和,，則二、等差數(shù)列題型一利用定義法求等差數(shù)列的通項公式例．已知數(shù)列滿足，，則（）A． B． C． D．解：因為，則，又，則，所以數(shù)列是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，所以，所以，則．故選：D變式1.在數(shù)列中，，則的值為（D ）A．49 B．50 C．51 D．522．在數(shù)列中，，.若為等差數(shù)列，則（A）A． B． C． D．3．已知數(shù)列滿足，，則（D）A． B． C． D．題型二：等差數(shù)列的通項公式及其應(yīng)用例.在等差數(shù)列中，則等于（B）A．40Ｂ．42Ｃ．43Ｄ．45解：變式1.等差數(shù)列中，，，則通項（答：）；2．已知{an}是首項為1，公差為3的等差數(shù)列，如果an＝2023，則序號n等于（D）A．667B．668C．669D．6753．在數(shù)列中，，，若，則（D）A．671 B．672 C．673 D．6744.首項為-24的等差數(shù)列，從第10項起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是_（答：）題型三：等差中項及應(yīng)用例．在等差數(shù)列{an}中，a1＋a4＋a7＝58，a2＋a5＋a8＝44，則a3＋a6＋a9的值為（）A．30 B．27 C．24 D．21【詳解】設(shè)b1＝a1＋a4＋a7＝58，b2＝a2＋a5＋a8＝44，b3＝a3＋a6＋a9.因為{an}是等差數(shù)列，所以b1，b2，b3也是等差數(shù)列，得b1＋b3＝2b2，所以b3＝2b2－b1＝2×44－58＝30，即a3＋a6＋a9＝30.故選：A變式1．已知是等差數(shù)列，且是和的等差中項，則的公差為（）A． B． C．1 D．2【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為.由已知條件，得即，解得.故選：A2．（在等差數(shù)列中，，則（）A．8 B．12 C．16 D．20【詳解】由題意，數(shù)列為等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)得，，

則，所以.故選：B.3.數(shù)列為等差數(shù)列，與的等差中項為5，與的等差中項為7，則通項等于題型四：等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例．在等差數(shù)列中，，，則等于（）A． B． C． D．【詳解】因為，所以公差，又因為，所以，所以，故選：D.變式1．在等差數(shù)列中，，則（）A． B． C． D．【詳解】解：設(shè)數(shù)列的公差為，則，所以，所以.故選：C.2．已知正項等差數(shù)列，若，，則(C)A．B．C．D．【詳解】在等差數(shù)列中，依題意，，故，解得，，故和是的兩根，解得，，，因為為正項等差數(shù)列，故公差，從而，，則，即，所以.故選：.三、等差數(shù)列的前n項和題型一：等差數(shù)列前n項和的有關(guān)計算例．在等差數(shù)列{an}中：（1）已知，求；（2）已知，求n.解：（1）由已知條件得，解得，；（2），，.變式1.在等差數(shù)列中，S11＝22，則＝______（答：2）；2.數(shù)列{}是等差數(shù)列，，則_____49____3．在等差數(shù)列中，若，則=464.在等差數(shù)列{an}中，已知a4＋a8＝16，則該數(shù)列前11項和S11＝(B)A．58B．88C．143D．1765．記為等差數(shù)列的前項和．若，，則的公差為（C）A．1B．2C．4D．86.已知數(shù)列是等差數(shù)列，，其前10項的和，則其公差等于(D)7.等差數(shù)列項的和等于（B）A． B． C． D．8.數(shù)列的通項an=2n＋1，則由(n∈N*)，所確定的數(shù)列的前項和是__________ 9.設(shè)為等差數(shù)列的前n項和，＝14，S10－＝30，則S9＝.解：設(shè)等差數(shù)列的首項為a1，公差為d，由題意得，聯(lián)立解得a1=2,d=1，所以S9＝10.在等差數(shù)列中,求的值。31.511.數(shù)列中，……，那么50512．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知前6項和為36，最后6項的和為180，Sn＝324(n＞6)，則a9＋a10＝__36題型二：等差數(shù)列片段和的性質(zhì)例．記等差數(shù)列的前項和為，已知，，則（C）A． B． C． D．【詳解】因為是等差數(shù)列的前項，由等差數(shù)列前項和的性質(zhì)可知：，，成等差數(shù)列，所以，即，解得：，故選：C.變式1．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，，則（B）A．28 B．32 C．16 D．242.等差數(shù)列的前n項和為25，前2n項和為100，則它的前3n和為。（答：225）3．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則（B）A．63 B．45 C．36 D．27題型三：等差數(shù)列前n項和與n的比值問題例．在等差數(shù)列中，，其前n項和為，若，則（）A．-4040 B．-2020 C．2020 D．4040解：設(shè)等差數(shù)列的前項和為，則，所以是等差數(shù)列．因為，所以的公差為，又，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，所以故選：C變式1．在等差數(shù)列中，，其前項和為，若，則（）A．0 B．2018 C． D．2020【詳解】設(shè)的公差為d，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得為等差數(shù)列，的公差為.，，解得.則.故選：D.2．已知數(shù)列的通項公式是，前項和為，則數(shù)列的前11項和為A． B． C． D．【詳解】由題意知數(shù)列為等差數(shù)列，∴．∴，∴數(shù)列的前11項和為．選D．3．設(shè)是等差數(shù)列的前項和，若（A）A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解：題型四：兩個等差數(shù)列前n項和的比值問題例．已知等差數(shù)列與等差數(shù)列的前項和分別為和，若，則（）A． B． C． D．【詳解】因為，則．故選：C．變式1．已知等差數(shù)列和的前項和分別為和，且有，，則的值為（）A． B． C．2 D．3【詳解】因為為等差數(shù)列，故，即，同理可得：，所以.故選：B．2．已知數(shù)列、都是等差數(shù)列，設(shè)的前項和為，的前項和為.若，則（）A． B． C． D．【詳解】∵，∴，故選：A3.設(shè){}與{}是兩個等差數(shù)列，它們的前項和分別為和，若，那么（答：）題型五：等差數(shù)列前n項和的最值問題（二次函數(shù)、不等式）例．設(shè)是等差數(shù)列的前項和，且，則下列結(jié)論正確的有（）A． B． C． D．【詳解】因為等差數(shù)列的前項和，所以由可知，，拋物線開口向下，其對稱軸在之間，所以拋物線與軸正半軸交點的橫坐標(biāo)范圍是，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知；；；.故選：A變式1．已知{an}為等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n項和，則使得Sn達(dá)到最大值的n是（）A．21 B．20 C．19 D．18【詳解】∵(a2－a1)＋(a4－a3)＋(a6－a5)＝3d，∴99－105＝3d.∴d＝－2.又∵a1＋a3＋a5＝3a1＋6d＝105，∴a1＝39.∴Sn＝na1＋d＝－n2＋40n＝－(n－20)2＋400.∴當(dāng)n＝20時，Sn有最大值．故選：B.2．已知等差數(shù)列滿足，是數(shù)列的前n項和，則使取最大值的自然數(shù)n是（）A．4 B．5 C．6 D．7【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，依題意，，解得：，于是得，由得，，因此，數(shù)列是遞減等差數(shù)列，其前5項均為正，從第6項開始為負(fù)，則其前5項和最大，所以使取最大值的自然數(shù)n是5.故選：B3．在等差數(shù)列{}中，=-10，=2，要使前n項和取得最小值，則n等于（D）A、5B、6C、7D、5或64.等差數(shù)列中，，，問此數(shù)列前多少項和最大？并求此最大值。（答：前13項和最大，最大值為169）；5.在等差數(shù)列中，，且，是其前項和，則A、都小于0，都大于0B、都小于0，都大于0B、都小于0，都大于0D、都小于0，都大于0（答：B）題型六：等差數(shù)列前n項和偶數(shù)項和奇數(shù)項和與絕對值問題例．已知數(shù)列的前項和為，若，，則（）A． B． C． D．【詳解】數(shù)列的前項和為，若，，可得：，，，所以不正確；可得，可知數(shù)列奇數(shù)項與偶數(shù)項都是等差數(shù)列，公差都是1，，所以正確；，所以不正確；，所以不正確；故選：B．變式1．已知等差數(shù)列的公差為4，項數(shù)為偶數(shù)，所有奇數(shù)項的和為15，所有偶數(shù)項的和為55，則這個數(shù)列的項數(shù)為A．10 B．20 C．30 D．40【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，項數(shù)為，前項和為，則，即這個數(shù)列的項數(shù)為20，故選擇B.2．已知數(shù)列的前n項和，則的值為()A．68 B．67 C．65 D．56【詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，符合上式，所以，所以．故選：A.3．已知數(shù)列的前n項和，求的值四、等比數(shù)列題型一：等比數(shù)列中的基本運(yùn)算例．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a4－a1＝78，S3＝39，設(shè)bn＝log3an，那么數(shù)列{bn}的前10項和為（）A．log371B．C．50D．55解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a4－a1＝78得a1(q3－1)＝78，又S3＝a1(1＋q＋q2)＝39，解得a1＝q＝3，故an＝3n，所以bn＝log33n＝n，所以數(shù)列{bn}的前10項和為.故選：D.變式1．若數(shù)列是等比數(shù)列，，，則（）A． B． C． D．【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，則.所以，.選：C.2．已知等比數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，因為，所以，即，解得，所以.故選：B.3.在等比數(shù)列中，，則數(shù)列的通項公式為(A)A．B．C．D．4.在等比數(shù)列中，，，則的值為（C）A．B．C．D．5.數(shù)列中，若，則通項=題型二：等比中項的應(yīng)用例．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，其中公差，若是和的等比中項，則（）A．398 B．388C．189 D．199解：數(shù)列是等差數(shù)列，，其中公差，是和的等比中項，，化為，．所以，則．選：C．變式1.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則等于（）A．5 B．10 C．15 D．20【詳解】解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a2a4＝a32，a4a6＝a52，∴a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a32＋2a3a5＋a52＝（a3＋a5）2＝25，又等比數(shù)列各項均為正數(shù)，∴a3＋a5＝5，選項A正確2．已知等差數(shù)列的公差，且，，成等比數(shù)列，則()A． B． C． D．由題意可知，得，解得或，因為，故，所以.故選：A.3.公差不為零的等差數(shù)列的前項和為.若是的等比中項,,則＝A.18B.24C.60D.90【解析】由得得,再由得則,所以,.故選C題型三：等比數(shù)列的證明例．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N*.（1）證明：{an－1}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項公式.解：（1）證明∵Sn＝n－5an－85，∴Sn＋1＝(n＋1)－5an＋1－85，兩式相減得：an＋1＝1＋5an－5an＋1，整理得：an＋1＝an＋，∴an＋1－1＝(an－1)，又∵a1＝1－5a1－85，即a1＝－14，∴a1－1＝－14－1＝－15，∴數(shù)列{an－1}是以－15為首項，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）可知an－1＝－15×，∴an＝1－15×.變式1．已知是數(shù)列的前項和，且（Ⅰ）求的值，若，試證明數(shù)列為等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式.【詳解】（Ⅰ）因為Sn＝2an＋n－4，所以當(dāng)n＝1時，S1＝2a1＋1－4，解得a1＝3.因為Sn＝2an＋n－4，所以當(dāng)n≥2時，Sn－1＝2an－1＋(n－1)－4，Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)，即an＝2an－1－1，所以an－1＝2(an－1－1)，又bn＝an－1，所以bn＝2bn－1，且b1＝a1－1＝2≠0，所以數(shù)列{bn}是以b1＝2為首項，2為公比的等比數(shù)列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知數(shù)列{bn}是以b1＝2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，，．題型四：等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用例．等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則（）A．10 B．5 C．4 D．解：因為，，所以，所以故選：B變式1.在等比數(shù)列中，若，則此數(shù)列的前10項之積等于（C）2.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則（答：10）。3.在等比數(shù)列中，為其前n項和，若，則的值為（答：4