高一數(shù)學(xué)-必修一復(fù)習(xí)資料

第一章§1.1集合關(guān)于集合的元素的特征（1）確定性（組成元素不確定的如：我國的小河流）（2）互異性（3）無序性集合相等：構(gòu)成兩個集合的元素完全一樣若集合A中的元素與集合B中的元素完全相同則稱集合A等于集合B,記作A=B.例：已知A={1,1+d，1+2d}，B={1，q，q2}，若A=B，求的，d，q的值。解：d=－34，q=－元素與集合的關(guān)系；（1）如果a是集合A的元素，就說a屬于（belongto）A，記作a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就說a不屬于（notbelongto）A，記作aA子集與真子集：如果集合A中的每一個元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集，記作或.若集合P中存在元素不是集合Q的元素，那么P不包含于Q，或Q不包含P.記作若集合A是集合B的子集，且B中至少有一個元素不屬于A,那么集合A叫做集合B的真子集.或.子集與真子集的性質(zhì)：傳遞性：若，，則空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.常用數(shù)集及其記法非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N正整數(shù)集，記作N*或N+；整數(shù)集，記作Z有理數(shù)集，記作Q實數(shù)集，記作R集合的表示方法列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)。如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號{}內(nèi)。具體方法：在大括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征。如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{直角三角形}，…；自然語言描述法：小于10的所有正偶數(shù)組成的集合。（{2,4,6,8}）問：1、{1，3，5，7，9}如何用自然語言描述法表示？2、用例舉法表示集合練習(xí)：（1）已知集合M={a，b，c}中的三個元素可構(gòu)成某一三角形的三條邊，那么此三角形一定不是（）A直角三角形B銳角三角形C鈍角三角形D等腰三角形集合間的基本運算并集（∪）：一般的由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，成為集合A與B的并集，記作A∪B，即：,韋恩圖如下：交集（∩）：一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作A∩B，即：韋恩圖如下：全集（U）：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就成這個集合為全集，記為U。補集：對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，簡稱為集合A的補集，記作CUA，即CUA={xxU且xA}，韋恩圖如下：AUCUAUCUA練習(xí)：1、若A={0，2，4}，CUA={-1，2}，CUB={-1，0，2}，求B=。2、設(shè)A={x|x>-2},B={x|x<0},求A∩B.3、若A={x|x=4n,n∈Z}，B={x|x=6n,n∈Z}，求A∩B.說明：（1）這兩個集合有先后順序，A到B的映射與B到A的映射是截然不同的，其中表示具體的對應(yīng)法則，可以用多種形式表述．（2）“都有唯一”包含兩層意思：一是必有一個；二是只有一個，也就是說有且只有一個的意思．例：1.已知A={x，y}，B={a，b，c}，從集合A到集合B的所有不同的映射有（）個。2.已知A={x，y}，B={a，b，c}，從集合B到集合A的所有不同的映射有（）個。函數(shù)的表示方法：解析法、列表法、圖像法練習(xí)：1.已知f（x－2）=2x2－9x＋13，求f（x）——配湊法答案：f（x）=2x2－x＋32.已知f（x＋1）=x＋2x，求f（x＋1），f（x2）——換元法答案：f（x＋1）=x2＋2x，（x≥0）；f（x2）=x4－1，（x≤－1或x≥1）3.已知f（x）是一次函數(shù)，且有f[f（x）]=9x＋8，求f（x）——待定系數(shù)法答案：f（x）=3x＋2或f（x）=－3x－44.設(shè)f（x）滿足關(guān)系式f（x）＋2f（1x答案：f（x）=2x－x，x∈{x|x∈R，x≠06.已知x≠0，函數(shù)f（x）滿足f（x－1x）=x2＋1A.f（x）=x＋1xB.f（x）=x2＋2C.f（x）=x2D.f（x）=（x－1x7.已知函數(shù)f（x）=2xA.32B.16C.8D.648.若函數(shù)f（2x＋1）x2－2x，則f（3）=（）9.已知函數(shù)f（x）=x21＋x2，則f（1）＋f（2）＋f（12）＋f（4）＋f（1410.已知f（2x＋11.已知f（x）是二次函數(shù)，且f（0）=0，f（x＋1）=f（x）＋x＋1，求f（x）12.定義在（－1,1）內(nèi)的函數(shù)f（x）滿足：2f（x）－f（－x）=lg（x＋1），求函數(shù)f（x）的解析式.

§1.3函數(shù)的基本性質(zhì)增函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)。注意：函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；必須是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2；當(dāng)x1<x2時，總有f(x1)<f(x2)．減函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)＞f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)。函數(shù)的單調(diào)性定義：如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。例1：物理學(xué)中的玻意耳定律P=（k為正常數(shù)）告訴我們，對于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減少時，壓強P將增大。試用函數(shù)的單調(diào)性證明之。（設(shè)V1＞V2＞0）判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟:利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：①任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)；③變形（通常是因式分解和配方）；④定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負(fù)）；⑤下結(jié)論（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）.練習(xí)：用函數(shù)單調(diào)性的定義證明f（x）=x＋2x在（2若3x－3－y≥5－x－5y成立，則（）A、x＋y﹥0B、x＋y﹤0C、x＋y≥0D、x＋y≤03、函數(shù)y=log1/2（4＋3x－x2）的一個單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.（－∞，32）B.[32，＋∞﹚C.（－1，32）D.[4.下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,2）上為增函數(shù)的是（）A.y=－x＋1B.y=xC.y=x2－4x＋5D.y=25.函數(shù)f（x）=11＋xA.（0,1）B，（0,1]C.[0,1）D.[0,1]6.已知函數(shù)f（x）ax2＋2ax＋1，x∈[－3,2]的最大值為4，求其最小值.

函數(shù)的奇偶性和周期性：函數(shù)的奇偶性定義：1．偶函數(shù)：一般地，對于函數(shù)的定義域內(nèi)的任意一個，都有，那么就叫做偶函數(shù)．（學(xué)生活動）依照偶函數(shù)的定義給出奇函數(shù)的定義．2．奇函數(shù)：一般地，對于函數(shù)的定義域的任意一個，都有，那么就叫做奇函數(shù)．注意：①函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；②由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個，則也一定是定義域內(nèi)的一個自變量（即定義域關(guān)于原點對稱）．3．具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征：偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱．練習(xí)：1.已知函數(shù)f（x）是定義在（－∞，＋∞）上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈（－∞，0）時，f（x）=x－x4，則當(dāng)x∈（0，＋∞）時，f（x）=2.已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù).且在[0，＋∞﹚上為增函數(shù)，若f（a）≥f（2），則實數(shù)a的取值范圍是：3.函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x滿足條件f（x＋2）=1f（xf（f（5））=第二章基本初等函數(shù)§2.1指數(shù)函數(shù)一、指數(shù)和指數(shù)冪的運算n次方根的含義一般地，若，則x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈Ｎ＊n次方根的寫法零的n次方根為零，記為小結(jié)：正數(shù)的偶次方根有兩個，并且互為相反數(shù)；負(fù)數(shù)沒有偶次方根；零的任何次方根為零?！纠?】寫出下列數(shù)的n次方根(1)16的四次方根；（２）－２７的五次方根；（３）９的六次方根解：（１）（２）（３）３、n次方根的性質(zhì)歸納：n次方根的運算性質(zhì)為（１）（２）n為奇數(shù)，n為偶數(shù),【例2】求下列各式的值（1）（a>b）解：＝－８；＝＝１０；＝；＝.[隨堂練習(xí)]1.求出下列各式的值(a>1)解：（1）；（2）（3）3a-3【例3】：求值：分析：（1）題需把各項被開方數(shù)變?yōu)橥耆椒叫问?，然后再利用根式運算性質(zhì)；解：[隨堂練習(xí)]2．若。解：3．計算解：-9+第二節(jié)1、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：（1）、正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義為：正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義與負(fù)整數(shù)冪的意義相同.即：（2）、0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義.2、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，對于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪同樣適用，即：（1）（2）（3））３、無理指數(shù)冪思考：若＞0，P是一個無理數(shù)，則該如何理解？自主學(xué)習(xí)：學(xué)生閱讀教材第６２頁中的相關(guān)內(nèi)容歸納得出：的不足近似值，從由小于的方向逼近，的過剩近似值從大于的方向逼近。所以，當(dāng)不足近似值從小于的方向逼近時，的近似值從小于的方向逼近.當(dāng)?shù)倪^剩似值從大于的方向逼近時，的近似值從大于的方向逼近，(如課本圖所示)所以，是一個確定的實數(shù).總結(jié)：一般來說，無理數(shù)指數(shù)冪是一個確定的實數(shù)，有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪.這樣冪的性質(zhì)就推廣到了實數(shù)范圍練習(xí)：[輕松過關(guān)]１、下列式子中計算正確的是（D）ABCD2下列式子中計算正確的有（A）（１）；（２）（３）A0B1C2D3３、的值是（Ｂ）Ａ２ＢＣＤ８４、下列說法正確的是（Ｃ）Ａ無意義ＢＣＤ５、用計算器算０．０１２８；（保留４個有效數(shù)字）６、已知，則＝７；７、計算的值解：原式＝[適度拓展]８、化簡：（e=2.718）解：原式＝+=２9、已知求的值解原式＝，提示：）[綜合提高]１０、已知：，，求的值.解：由，又1<a<b，∴，從而得，∴原式===.二、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)xy0xy0y=2x當(dāng)＞1時，函數(shù)的圖象為：xy0圖象特征函數(shù)性質(zhì)＞10＜＜1＞10＜＜1向軸正負(fù)方向無限延伸函數(shù)的定義域為R圖象關(guān)于原點和軸不對稱非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象都在軸上方函數(shù)的值域為R+函數(shù)圖象都過定點（0，1）=1自左向右，圖象逐漸上升自左向右，圖象逐漸下降增函數(shù)減函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1＞0，＞1＞0，＜1在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1＜0，＜1＜0，＞1利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出：（1）在（＞0且≠1）值域是（2）若（3）對于指數(shù)函數(shù)（＞0且≠1），總有（4）當(dāng)＞1時，若＜，則＜；練習(xí)：1、函數(shù)2、當(dāng)（－，１）

§2.2對數(shù)函數(shù)對數(shù)與對數(shù)運算對數(shù)：一般地，若，那么數(shù)叫做以a為底N的對數(shù)，記作叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).2、對數(shù)式與指數(shù)式的互化在對數(shù)的概念中，要注意：（1）底數(shù)的限制＞0，且≠1（2）指數(shù)式對數(shù)式冪底數(shù)←→對數(shù)底數(shù)指數(shù)←→對數(shù)冪←N→真數(shù)恒等式：=N負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)。Loga1=0；logaa=1兩類對數(shù)：①以10為底的對數(shù)稱為常用對數(shù)，常記為.②以無理數(shù)e=2.71828…為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，常記為.例：求下列各式中x的值（1）（2）（3）（4）分析：將對數(shù)式化為指數(shù)式，再利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)求出x.解：（1）（2）（3）（4），所以對數(shù)的運算運算性質(zhì)： 如果，且，，，那么：eq\o\ac(○,1)·＋；eq\o\ac(○,2)－；eq\o\ac(○,3)．換底公式 （，且；，且；）．證明：設(shè)ax=b，所以logcax=logcb，因為logcax=xlogca；所以X=logcax/logca=logcb/logca=logab換底公式推論（1）；（2）．對數(shù)函數(shù)的圖象（1）（2）（3）（4） 圖象特征函數(shù)性質(zhì)函數(shù)圖象都在y軸右側(cè)函數(shù)的定義域為（0，＋∞）圖象關(guān)于原點和y軸不對稱非奇非偶函數(shù)向y軸正負(fù)方向無限延伸函數(shù)的值域為R函數(shù)圖象都過定點（1，1）自左向右看，圖象逐漸上升自左向右看，圖象逐漸下降增函數(shù)減函數(shù)第一象限的圖象縱坐標(biāo)都大于0第一象限的圖象縱坐標(biāo)都大于0第二象限的圖象縱坐標(biāo)都小于0第二象限的圖象縱坐標(biāo)都小于0

§2.3冪函數(shù)定義：一般地，形如（R）的函數(shù)稱為冪孫函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù).如等都是冪函數(shù)，冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)一樣，都是基本初等函數(shù).五種基本冪函數(shù)：yy=x3y=x-1定義域RRR奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第Ⅰ象限單調(diào)增減性在第Ⅰ象限單調(diào)遞增在第Ⅰ象限單調(diào)遞增在第Ⅰ象限單調(diào)遞增在第Ⅰ象限單調(diào)遞增在第Ⅰ象限單調(diào)遞減定點（1，1）（1，1）（1，1）（1，1）（1，1）冪函數(shù)性質(zhì)：（1）所有的冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義，并且圖象都過點（1，1）（原因：）；（2）＞0時，冪函數(shù)的圖象都通過原點，并且在[0，+∞]上，是增函數(shù)（從左往右看，函數(shù)圖象逐漸上升）.特別地，當(dāng)＞1，＞1時，∈（0，1），的圖象都在圖象的下方，形狀向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因嗎？）當(dāng)∠α＜1時，∈（0，1），的圖象都在的圖象上方，形狀向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能說出原因嗎？）（3）α＜0時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù).在第一家限內(nèi)，當(dāng)向原點靠近時，圖象在軸的右方無限逼近軸正半軸，當(dāng)慢慢地變大時，圖象在軸上方并無限逼近軸的正半軸.例題：證明冪函數(shù)上是增函數(shù)證：任?。紕t==因＜0，＞0所以，即上是增函數(shù).

第三章函數(shù)的應(yīng)用§3.1函數(shù)與方程零點定義：對于函數(shù)，把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點．函數(shù)零點的意義：函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)．即：方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點．函數(shù)零點的求法：求函數(shù)的零點：①（代數(shù)法）求方程的實數(shù)根；②（幾何法）對于不能用求根公式