高一數學-必修一復習資料

第一章§1.1集合關于集合的元素的特征（1）確定性（組成元素不確定的如：我國的小河流）（2）互異性（3）無序性集合相等：構成兩個集合的元素完全一樣若集合A中的元素與集合B中的元素完全相同則稱集合A等于集合B,記作A=B.例：已知A={1,1+d，1+2d}，B={1，q，q2}，若A=B，求的，d，q的值。解：d=－34，q=－元素與集合的關系；（1）如果a是集合A的元素，就說a屬于（belongto）A，記作a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就說a不屬于（notbelongto）A，記作aA子集與真子集：如果集合A中的每一個元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集，記作或.若集合P中存在元素不是集合Q的元素，那么P不包含于Q，或Q不包含P.記作若集合A是集合B的子集，且B中至少有一個元素不屬于A,那么集合A叫做集合B的真子集.或.子集與真子集的性質：傳遞性：若，，則空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.常用數集及其記法非負整數集（或自然數集），記作N正整數集，記作N*或N+；整數集，記作Z有理數集，記作Q實數集，記作R集合的表示方法列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內。如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號{}內。具體方法：在大括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征。如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{直角三角形}，…；自然語言描述法：小于10的所有正偶數組成的集合。（{2,4,6,8}）問：1、{1，3，5，7，9}如何用自然語言描述法表示？2、用例舉法表示集合練習：（1）已知集合M={a，b，c}中的三個元素可構成某一三角形的三條邊，那么此三角形一定不是（）A直角三角形B銳角三角形C鈍角三角形D等腰三角形集合間的基本運算并集（∪）：一般的由所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合，成為集合A與B的并集，記作A∪B，即：,韋恩圖如下：交集（∩）：一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作A∩B，即：韋恩圖如下：全集（U）：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就成這個集合為全集，記為U。補集：對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，簡稱為集合A的補集，記作CUA，即CUA={xxU且xA}，韋恩圖如下：AUCUAUCUA練習：1、若A={0，2，4}，CUA={-1，2}，CUB={-1，0，2}，求B=。2、設A={x|x>-2},B={x|x<0},求A∩B.3、若A={x|x=4n,n∈Z}，B={x|x=6n,n∈Z}，求A∩B.說明：（1）這兩個集合有先后順序，A到B的映射與B到A的映射是截然不同的，其中表示具體的對應法則，可以用多種形式表述．（2）“都有唯一”包含兩層意思：一是必有一個；二是只有一個，也就是說有且只有一個的意思．例：1.已知A={x，y}，B={a，b，c}，從集合A到集合B的所有不同的映射有（）個。2.已知A={x，y}，B={a，b，c}，從集合B到集合A的所有不同的映射有（）個。函數的表示方法：解析法、列表法、圖像法練習：1.已知f（x－2）=2x2－9x＋13，求f（x）——配湊法答案：f（x）=2x2－x＋32.已知f（x＋1）=x＋2x，求f（x＋1），f（x2）——換元法答案：f（x＋1）=x2＋2x，（x≥0）；f（x2）=x4－1，（x≤－1或x≥1）3.已知f（x）是一次函數，且有f[f（x）]=9x＋8，求f（x）——待定系數法答案：f（x）=3x＋2或f（x）=－3x－44.設f（x）滿足關系式f（x）＋2f（1x答案：f（x）=2x－x，x∈{x|x∈R，x≠06.已知x≠0，函數f（x）滿足f（x－1x）=x2＋1A.f（x）=x＋1xB.f（x）=x2＋2C.f（x）=x2D.f（x）=（x－1x7.已知函數f（x）=2xA.32B.16C.8D.648.若函數f（2x＋1）x2－2x，則f（3）=（）9.已知函數f（x）=x21＋x2，則f（1）＋f（2）＋f（12）＋f（4）＋f（1410.已知f（2x＋11.已知f（x）是二次函數，且f（0）=0，f（x＋1）=f（x）＋x＋1，求f（x）12.定義在（－1,1）內的函數f（x）滿足：2f（x）－f（－x）=lg（x＋1），求函數f（x）的解析式.

§1.3函數的基本性質增函數：一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數。注意：函數的單調性是在定義域內的某個區(qū)間上的性質，是函數的局部性質；必須是對于區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2；當x1<x2時，總有f(x1)<f(x2)．減函數：一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)＞f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是減函數。函數的單調性定義：如果函數y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數或是減函數，那么就說函數y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調區(qū)間。例1：物理學中的玻意耳定律P=（k為正常數）告訴我們，對于一定量的氣體，當其體積V減少時，壓強P將增大。試用函數的單調性證明之。（設V1＞V2＞0）判斷函數單調性的方法步驟:利用定義證明函數f(x)在給定的區(qū)間D上的單調性的一般步驟：①任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)；③變形（通常是因式分解和配方）；④定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負）；⑤下結論（即指出函數f(x)在給定的區(qū)間D上的單調性）.練習：用函數單調性的定義證明f（x）=x＋2x在（2若3x－3－y≥5－x－5y成立，則（）A、x＋y﹥0B、x＋y﹤0C、x＋y≥0D、x＋y≤03、函數y=log1/2（4＋3x－x2）的一個單調遞增區(qū)間是（）A.（－∞，32）B.[32，＋∞﹚C.（－1，32）D.[4.下列函數中，在區(qū)間（0,2）上為增函數的是（）A.y=－x＋1B.y=xC.y=x2－4x＋5D.y=25.函數f（x）=11＋xA.（0,1）B，（0,1]C.[0,1）D.[0,1]6.已知函數f（x）ax2＋2ax＋1，x∈[－3,2]的最大值為4，求其最小值.

函數的奇偶性和周期性：函數的奇偶性定義：1．偶函數：一般地，對于函數的定義域內的任意一個，都有，那么就叫做偶函數．（學生活動）依照偶函數的定義給出奇函數的定義．2．奇函數：一般地，對于函數的定義域的任意一個，都有，那么就叫做奇函數．注意：①函數是奇函數或是偶函數稱為函數的奇偶性，函數的奇偶性是函數的整體性質；②由函數的奇偶性定義可知，函數具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內的任意一個，則也一定是定義域內的一個自變量（即定義域關于原點對稱）．3．具有奇偶性的函數的圖象的特征：偶函數的圖象關于軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱．練習：1.已知函數f（x）是定義在（－∞，＋∞）上的偶函數，當x∈（－∞，0）時，f（x）=x－x4，則當x∈（0，＋∞）時，f（x）=2.已知f（x）是定義在R上的偶函數.且在[0，＋∞﹚上為增函數，若f（a）≥f（2），則實數a的取值范圍是：3.函數f（x）對任意實數x滿足條件f（x＋2）=1f（xf（f（5））=第二章基本初等函數§2.1指數函數一、指數和指數冪的運算n次方根的含義一般地，若，則x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈Ｎ＊n次方根的寫法零的n次方根為零，記為小結：正數的偶次方根有兩個，并且互為相反數；負數沒有偶次方根；零的任何次方根為零?！纠?】寫出下列數的n次方根(1)16的四次方根；（２）－２７的五次方根；（３）９的六次方根解：（１）（２）（３）３、n次方根的性質歸納：n次方根的運算性質為（１）（２）n為奇數，n為偶數,【例2】求下列各式的值（1）（a>b）解：＝－８；＝＝１０；＝；＝.[隨堂練習]1.求出下列各式的值(a>1)解：（1）；（2）（3）3a-3【例3】：求值：分析：（1）題需把各項被開方數變?yōu)橥耆椒叫问?，然后再利用根式運算性質；解：[隨堂練習]2．若。解：3．計算解：-9+第二節(jié)1、分數指數冪規(guī)定：（1）、正數的正分數指數冪的意義為：正數的負分數指數冪的意義與負整數冪的意義相同.即：（2）、0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪無意義.2、分數指數冪的運算性質整數指數冪的運算性質，對于分數指數冪同樣適用，即：（1）（2）（3））３、無理指數冪思考：若＞0，P是一個無理數，則該如何理解？自主學習：學生閱讀教材第６２頁中的相關內容歸納得出：的不足近似值，從由小于的方向逼近，的過剩近似值從大于的方向逼近。所以，當不足近似值從小于的方向逼近時，的近似值從小于的方向逼近.當的過剩似值從大于的方向逼近時，的近似值從大于的方向逼近，(如課本圖所示)所以，是一個確定的實數.總結：一般來說，無理數指數冪是一個確定的實數，有理數指數冪的性質同樣適用于無理數指數冪.這樣冪的性質就推廣到了實數范圍練習：[輕松過關]１、下列式子中計算正確的是（D）ABCD2下列式子中計算正確的有（A）（１）；（２）（３）A0B1C2D3３、的值是（Ｂ）Ａ２ＢＣＤ８４、下列說法正確的是（Ｃ）Ａ無意義ＢＣＤ５、用計算器算０．０１２８；（保留４個有效數字）６、已知，則＝７；７、計算的值解：原式＝[適度拓展]８、化簡：（e=2.718）解：原式＝+=２9、已知求的值解原式＝，提示：）[綜合提高]１０、已知：，，求的值.解：由，又1<a<b，∴，從而得，∴原式===.二、指數函數及其性質xy0xy0y=2x當＞1時，函數的圖象為：xy0圖象特征函數性質＞10＜＜1＞10＜＜1向軸正負方向無限延伸函數的定義域為R圖象關于原點和軸不對稱非奇非偶函數函數圖象都在軸上方函數的值域為R+函數圖象都過定點（0，1）=1自左向右，圖象逐漸上升自左向右，圖象逐漸下降增函數減函數在第一象限內的圖象縱坐標都大于1在第一象限內的圖象縱坐標都小于1＞0，＞1＞0，＜1在第二象限內的圖象縱坐標都小于1在第二象限內的圖象縱坐標都大于1＜0，＜1＜0，＞1利用函數的單調性，結合圖象還可以看出：（1）在（＞0且≠1）值域是（2）若（3）對于指數函數（＞0且≠1），總有（4）當＞1時，若＜，則＜；練習：1、函數2、當（－，１）

§2.2對數函數對數與對數運算對數：一般地，若，那么數叫做以a為底N的對數，記作叫做對數的底數，N叫做真數.2、對數式與指數式的互化在對數的概念中，要注意：（1）底數的限制＞0，且≠1（2）指數式對數式冪底數←→對數底數指數←→對數冪←N→真數恒等式：=N負數和零沒有對數。Loga1=0；logaa=1兩類對數：①以10為底的對數稱為常用對數，常記為.②以無理數e=2.71828…為底的對數稱為自然對數，常記為.例：求下列各式中x的值（1）（2）（3）（4）分析：將對數式化為指數式，再利用指數冪的運算性質求出x.解：（1）（2）（3）（4），所以對數的運算運算性質： 如果，且，，，那么：eq\o\ac(○,1)·＋；eq\o\ac(○,2)－；eq\o\ac(○,3)．換底公式 （，且；，且；）．證明：設ax=b，所以logcax=logcb，因為logcax=xlogca；所以X=logcax/logca=logcb/logca=logab換底公式推論（1）；（2）．對數函數的圖象（1）（2）（3）（4） 圖象特征函數性質函數圖象都在y軸右側函數的定義域為（0，＋∞）圖象關于原點和y軸不對稱非奇非偶函數向y軸正負方向無限延伸函數的值域為R函數圖象都過定點（1，1）自左向右看，圖象逐漸上升自左向右看，圖象逐漸下降增函數減函數第一象限的圖象縱坐標都大于0第一象限的圖象縱坐標都大于0第二象限的圖象縱坐標都小于0第二象限的圖象縱坐標都小于0

§2.3冪函數定義：一般地，形如（R）的函數稱為冪孫函數，其中是自變量，是常數.如等都是冪函數，冪函數與指數函數，對數函數一樣，都是基本初等函數.五種基本冪函數：yy=x3y=x-1定義域RRR奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第Ⅰ象限單調增減性在第Ⅰ象限單調遞增在第Ⅰ象限單調遞增在第Ⅰ象限單調遞增在第Ⅰ象限單調遞增在第Ⅰ象限單調遞減定點（1，1）（1，1）（1，1）（1，1）（1，1）冪函數性質：（1）所有的冪函數在（0，+∞）都有定義，并且圖象都過點（1，1）（原因：）；（2）＞0時，冪函數的圖象都通過原點，并且在[0，+∞]上，是增函數（從左往右看，函數圖象逐漸上升）.特別地，當＞1，＞1時，∈（0，1），的圖象都在圖象的下方，形狀向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因嗎？）當∠α＜1時，∈（0，1），的圖象都在的圖象上方，形狀向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能說出原因嗎？）（3）α＜0時，冪函數的圖象在區(qū)間（0，+∞）上是減函數.在第一家限內，當向原點靠近時，圖象在軸的右方無限逼近軸正半軸，當慢慢地變大時，圖象在軸上方并無限逼近軸的正半軸.例題：證明冪函數上是增函數證：任?。紕t==因＜0，＞0所以，即上是增函數.

第三章函數的應用§3.1函數與方程零點定義：對于函數，把使成立的實數叫做函數的零點．函數零點的意義：函數的零點就是方程實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標．即：方程有實數根函數的圖象與軸有交點函數有零點．函數零點的求法：求函數的零點：①（代數法）求方程的實數根；②（幾何法）對于不能用求根公式