研究生高等代數(shù)復(fù)習(xí)題

研究生高等代數(shù)復(fù)習(xí)題1.設(shè)是數(shù)域上線性空間的線性變換且,證明（1）的特征值為1或0；（2）;（3）.2.已知是n維歐氏空間的正交變換，證明：的不變子空間的正交補(bǔ)也是的不變子空間．3.已知復(fù)系數(shù)矩陣，（1）求矩陣的行列式因子、不變因子和初等因子；（2）求矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.（15分）4.已知二次型，通過某個(gè)正交變換可化為標(biāo)準(zhǔn)形，（1）寫出二次型對(duì)應(yīng)的矩陣A及A的特征多項(xiàng)式，并確定的值；（2）求出作用的正交變換.5.為數(shù)域，，，，為向量空間的一組基，求在這組基下的坐標(biāo)（寫成列向量的形式）.6.設(shè)為階方陣，，證明為冪等矩陣，則.7.若設(shè)W=,試證：W是的子空間，并求出W的一組基及維數(shù).8.設(shè)是一個(gè)n維歐氏空間，為中的正交向量組，令（1）證明：是的一個(gè)子空間；（2）證明：.9.試求矩陣的特征多項(xiàng)式、最小多項(xiàng)式.10.在線性空間中定義變換：（1）證明：是的線性變換.（2）求值域及核的基和維數(shù).11.證明二次型是半正定的.12.求的值，使是正定二次型.（12分）13.設(shè)（1）求A的不變因子.（2）求A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.14.設(shè)的線性變換在標(biāo)準(zhǔn)基下的矩陣為，（1）求的特征值和特征向量，（2）求的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，使在此基下的矩陣為對(duì)角矩陣.15.設(shè)是四維線性空間的一組基，已知線性變換在這組基下的矩陣為（1）求線性變換的秩，（2）求線性變換核與值域.16.求正交變換使二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并判定該二次型是否正定.17.設(shè)是5維的歐幾里得空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，，其中，求的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.18.設(shè)是矩陣，其中（1）求的值；（2）設(shè)，求W的維數(shù)及W的一組基.19.設(shè)是線性空間上的線性變換，滿足，求在基下的矩陣.20.設(shè)是維線性空間上的線性變換，是的一組基.如果是單射，則也是一組基.21.已知二次型，1）寫出二次型的矩陣A；2）求出A的特征值與特征向量；3）求一正交變換，將化為標(biāo)準(zhǔn)形.22.求方陣的不變因子、初等因子和若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.23.設(shè)V是n維歐氏空間，n3,給定非零向量，令證明：（1）是正交變換；（2）如果是正交基，則存在不全為零實(shí)數(shù)使得是V上的恒等變換.24.是和的解空間,則.25.設(shè)和是線性空間中依據(jù)如下方式定義的兩個(gè)線性變換：，，求.26.設(shè)歐氏空間中有，．，，證明：如果，那么．27.求實(shí)二次型的規(guī)范形及符號(hào)差.（15分）28.設(shè)A是一個(gè)8階方陣，它的8個(gè)不變因子為1，1，1，1，1，，，，求A的所有的初等因子及A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.（15分）29.設(shè)為數(shù)域上的維線性空間，且（１）證明：是的一組基；（２）若在基下的坐標(biāo)為，求在基下的坐標(biāo).（14分）30.在三維空間中，已知線性變換在基下的矩陣是，求在基下的矩陣.31.在線性空間中，定義，，其中。（１）證明：是的內(nèi)積，因而按此內(nèi)積構(gòu)成一個(gè)歐氏空間，（２）求的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，（３）求矩陣，使得.32.設(shè)的兩個(gè)子空間為：,.求與的基與維數(shù).33.設(shè)是3維線性空間，為它的一個(gè)基.線性變換，求（１）在基下的矩陣；（２）求核和值域.34.設(shè)是實(shí)數(shù)域上所有階對(duì)稱陣所構(gòu)成的線性空間，對(duì)任意，定義，其中表示的跡.（１）證明：構(gòu)成一歐氏空間；（２）求使的子空間的維數(shù)；（３）求的正交補(bǔ)的維數(shù).35.試找出全體實(shí)2級(jí)矩陣所構(gòu)成的線性空間到的一個(gè)線性同構(gòu).36.求由向量生成的子空間與由向量生成的子空間的交的基和維數(shù).37.設(shè)，求(1)的不變因子、行列式因子、初等因子.(2)的標(biāo)準(zhǔn)形.38.設(shè)是數(shù)域上矩陣關(guān)于矩陣加法和數(shù)乘作成的線性空間，定義變換，.（1）證明：是上的對(duì)合線性變換，即是滿足（恒等變換）的線性變換；（2）求的特征值和特征向量.39.已知實(shí)二次型（1）假設(shè)是負(fù)定二次型，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，試用非退化線性變換化此二次型為標(biāo)準(zhǔn)形并寫出所用的線性變換的矩陣.40.設(shè)是3維歐氏空間V的一組基，這組基的度量矩陣為（1）令，證明是一個(gè)單位向量；（2）若與正交，求.41.已知,是的兩個(gè)子空間，求的一個(gè)基和維數(shù).42.V為定義在實(shí)數(shù)域上的函數(shù)構(gòu)成的線性空間，令證明：W1、W2皆為V的子空間，且.43.由三個(gè)函數(shù)1,生成的實(shí)線性空間記為,求線性變換T:,的跡，行列式和特征多項(xiàng)式.44.求-矩陣的初等因子和不變因子.45.設(shè)為n維歐氏空間V中一個(gè)單位向量，定義V的線性變換如下：證明：為第二類的正交變換（稱為鏡面反射）.46.已知關(guān)于基的坐標(biāo)為（1，0，2），由基到基的過渡矩陣為，求關(guān)于基的坐標(biāo).47.在線性空間P2×2中，(1)求的維數(shù)與一組基；(2)求的維數(shù)與一組基.47’.設(shè)為維線性空間的一個(gè)線性變換，且(恒等變換)，證明:(1)的特征值只能是1或-1；(2).48.已知二次型通過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，求的值及所作的正交變換．49.中，線性變換關(guān)于基，，的矩陣為（1）求關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)基的矩陣；（2）設(shè),,求關(guān)于基的坐標(biāo).（15分）50.設(shè)是的線性變換,（1）求值域的一個(gè)基和維數(shù)；（2）求核的一個(gè)基和維數(shù)．51.（1）實(shí)數(shù)域上3階對(duì)稱矩陣按合同關(guān)系可分為幾類；（2）某四元二次型有標(biāo)準(zhǔn)形，求其規(guī)范形.52.設(shè)（1）求A的最小多項(xiàng)式；（2）求A的初等因子；（3）求A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.53.設(shè)，在中求與同時(shí)正交的單位向量（內(nèi)積按通常的定義）.54.已知的兩個(gè)子空間，，證明：．55.求下面矩陣的列空間在中的正交補(bǔ)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.（15分）56.設(shè)為階方陣，，證明：為冪等矩陣當(dāng)且僅當(dāng).57.設(shè)是數(shù)域P上線性空間V的線性變換