7.1 角與弧度（八大題型）（原卷版）

7．1角與弧度課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）知道弧度制是角的另外一種度量制，能說(shuō)出以半徑為基準(zhǔn)度量角，知道度量單位即1弧度角是如何定義的，能畫出1弧度的角，了解這樣定義的合理性；能說(shuō)出兩種度量制之間的換算關(guān)系是，并能準(zhǔn)確進(jìn)行角的兩種度量之間相互轉(zhuǎn)化；了解其中蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，和數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系性；（2）能感受到引入弧度制的意義，比如，可以使弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式變得比較簡(jiǎn)潔．（1）掌握正角、負(fù)角和零角的概念，理解任意角的意義.（2）熟練掌握象限角、終邊相同的角的概念，會(huì)用集合符號(hào)表示這些角．（3）理解角度制與弧度制的概念，能對(duì)弧度和角度進(jìn)行正確的轉(zhuǎn)換.（4）掌握并能應(yīng)用弧度制下的扇形弧長(zhǎng)公式和面積公式．知識(shí)點(diǎn)01任意角的概念1、角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形．正角：按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角．負(fù)角：按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角．零角：如果一條射線沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個(gè)零角．知識(shí)點(diǎn)詮釋：角的概念是通過(guò)角的終邊的運(yùn)動(dòng)來(lái)推廣的，既有旋轉(zhuǎn)方向，又有旋轉(zhuǎn)大小，同時(shí)沒(méi)有旋轉(zhuǎn)也是一個(gè)角，從而得到正角、負(fù)角和零角的定義．2、終邊相同的角、象限角終邊相同的角為角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合．那么，角的終邊（除端點(diǎn)外）在第幾象限，我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）終邊相同的前提是：原點(diǎn)，始邊均相同；（2）終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同；（3）終邊相同的角有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們相差的整數(shù)倍．3、常用的象限角角的終邊所在位置角的集合x軸正半軸y軸正半軸x軸負(fù)半軸y軸負(fù)半軸x軸y軸坐標(biāo)軸是第一象限角，所以是第二象限角，所以是第三象限角，所以是第四象限角，所以【即學(xué)即練1】（2023·高一校考課時(shí)練習(xí)）已知集合A={|為銳角}，B={|為小于的角}，C={|為第一象限角}，D={|為小于的正角}，則下列等式中成立的是（

）A．A=B B．B=C C．A=C D．A=D知識(shí)點(diǎn)02弧度制1、弧度制的定義長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1（單位可以省略不寫）．2、角度與弧度的換算弧度與角度互換公式：1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad）3、弧長(zhǎng)公式：（是圓心角的弧度數(shù)），扇形面積公式：．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）角有正負(fù)零角之分，它的弧度數(shù)也應(yīng)該有正負(fù)零之分，如等等，一般地，正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0，角的正負(fù)主要由角的旋轉(zhuǎn)方向來(lái)決定．（2）角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是：，其中，是圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)，是半徑．【即學(xué)即練2】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）把下列角度與弧度進(jìn)行互化．(1)；(2)；(3)；(4).(5)(6)(7)(8)(9)(10)題型一：角的概念例1．（2023·新疆塔城·高一塔城地區(qū)第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．銳角是第一象限角 B．終邊相等的角必相等C．小于的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角例2．（2023·高一校考課時(shí)練習(xí)）下列各命題正確的是（

）A．第一象限角都是銳角B．三角形的內(nèi)角必是第一，二象限角C．不相等的角終邊必不相同D．相等的角終邊相同例3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）射線繞端點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)位置，由位置繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到達(dá)位置，得，則射線旋轉(zhuǎn)的方向與角度分別為（）A．逆時(shí)針， B．順時(shí)針，C．逆時(shí)針， D．順時(shí)針，變式1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法正確的有幾個(gè)（

）（1）第一象限的角都是銳角；（2）銳角都是第一象限的角；（3）銳角是大于小于的角；A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)變式2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）時(shí)間經(jīng)過(guò)1小時(shí)50分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度是（

）A． B． C． D．變式3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）手表走過(guò)2小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為（

）A．60° B．60° C．30° D．30°【方法技巧與總結(jié)】理解與角的概念有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵關(guān)鍵在于正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等的概念，弄清角的始邊與終邊及旋轉(zhuǎn)方向與大?。硗庑枰莆张袛嘟Y(jié)論正確與否的技巧，判斷結(jié)論正確需要證明，而判斷結(jié)論不正確只需舉一個(gè)反例即可．題型二：終邊相同的角的表示例4．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）在區(qū)間內(nèi)找出與下列各角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角．(1)；(2)；(3)．例5．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式的元素寫出來(lái)：(1)；(2)；(3)；(4)．例6．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）在范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并指出它們是哪個(gè)象限的角：(1)；(2)；(3)；(4)．變式4．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）下列角中哪些角與角的終邊相同：(1)；(2)；(3)；(4).變式5．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并找出集合中適合不等式的元素：(1)；(2)．變式6．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）分別寫出終邊在y軸正半軸、y軸負(fù)半軸和y軸上的角的集合．變式7．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）已知角的頂點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，作出下列各角，指出它們是第幾象限角，并指出在范圍內(nèi)與其終邊相同的角．(1)；(2)；(3)；(4)．變式8．（2023·高一校考課時(shí)練習(xí)）已知，.(1)指出各自終邊所在的象限；(2)在內(nèi)找出與終邊相同的所有角.【方法技巧與總結(jié)】在0°～360°范圍內(nèi)找與給定角終邊相同的角的方法（1）把任意角化為（且）的形式，關(guān)鍵是確定k．可以用觀察法（的絕對(duì)值較小），也可用除法．（2）要求適合某種條件且與已知角終邊相同的角，其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再依條件構(gòu)建不等式求出k的值．題型三：角所在象限的研究例7．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）若角是第二象限角，試確定角，是第幾象限角．例8．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若角是第二象限角，試確定，的終邊所在位置．例9．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若，，試確定，分別是第幾象限角．變式9．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)是第一象限角，試探究：（1）一定不是第幾象限角？（2）是第幾象限角？變式10．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知角的終邊在第四象限.（1）試分別判斷、是哪個(gè)象限的角；（2）求的范圍.變式11．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）已知角α的終邊在第四象限，確定下列各角終邊所在的象限：(1)；(2)；(3)；(4)．【方法技巧與總結(jié)】已知的范圍，確定的范圍，一般應(yīng)先將的范圍用不等式表示，然后再兩邊同除以，根據(jù)的取值進(jìn)行分類討論，以確定的范圍，討論角的范圍時(shí)要做到不重不漏，尤其對(duì)象限界角應(yīng)引起注意．題型四：象限角的判定例10．（2023·甘肅天水·高一秦安縣第一中學(xué)?？计谀┤羰堑诙笙藿?，則是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角例11．（2023·高一單元測(cè)試）若為第二象限角，則的終邊所在的象限是（

）A．第二象限 B．第一、二象限C．第一、三象限 D．第二、四象限例12．（2023·遼寧遼陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）若是第二象限角，則是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角變式12．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一呼和浩特市土默特中學(xué)?？计谥校┤艚鞘堑诙笙藿牵瑒t角的終邊所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限變式13．（2023·江西景德鎮(zhèn)·高一統(tǒng)考期中）角是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限變式14．（2023·遼寧大連·高一大連二十四中?？计谥校┤簦瑒t是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角變式15．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊落在x軸的非負(fù)半軸上，是第幾象限角（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【方法技巧與總結(jié)】判斷一個(gè)角在第幾象限或哪條坐標(biāo)軸上的一般方法（1）若的絕對(duì)值比較大，可通過(guò)加上或減去360°的整數(shù)倍得到內(nèi)或內(nèi)的一個(gè)角β；（2）判斷所在象限，則在第幾象限，就在第幾象限．題型五：區(qū)域角的表示例13．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知角的終邊在如圖所示的陰影區(qū)域內(nèi)，則角的取值范圍是．例14．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知角的終邊在下圖中，所表示的范圍內(nèi)（不含邊界），則角的范圍為.例15．（2023·安徽蕪湖·高一?？茧A段練習(xí)）如圖所示，終邊落在陰影部分區(qū)域（包括邊界）的角的集合是．變式16．（2023·山東煙臺(tái)·高一?？计谀┤鐖D所示，終邊落在陰影部分包括邊界的角的集合是.變式17．（2023·黑龍江哈爾濱·高一尚志市尚志中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，寫出頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合．變式18．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，用弧度制表示終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合：.變式19．（2023·山西太原·高一太原五中校考階段練習(xí)）用弧度制表示終邊落在如圖所示陰影部分內(nèi)（含邊界）的角的集合是．變式20．（2023·湖北武漢·高一武漢中學(xué)?？茧A段練習(xí)）集合中，角所表示的取值范圍（陰影部分）正確的是（填序號(hào)）.【方法技巧與總結(jié)】區(qū)域角的寫法可（1）按逆時(shí)針?lè)较蛘业絽^(qū)域的起始和終止邊界；（2）由小到大分別標(biāo)出起始、終止邊界對(duì)應(yīng)的一個(gè)角，，寫出所有與，終邊相同的角；（3）用不等式表示區(qū)域內(nèi)的角，組成集合．題型六：弧度制與角度制的互化例16．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）把下列各角的角度化成弧度：(1)；(2)；(3)；(4)．例17．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）把下列各角從度化為弧度：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).例18．（2023·甘肅武威·高一統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）將下列角度與弧度進(jìn)行互化：(1)(2)(3)(4)(5)【方法技巧與總結(jié)】①在進(jìn)行角度與弧度的換算時(shí)，關(guān)鍵是抓住πrad=180°，這一關(guān)系．②用弧度作為單位時(shí)，常出現(xiàn)，如果題目沒(méi)有特殊的要求，應(yīng)當(dāng)保留的形式，不要寫成小數(shù)．③角度制與弧度制不得混用，如，k∈Z；，k∈Z都是不正確的寫法．題型七：扇形的弧長(zhǎng)及面積公式的應(yīng)用例19．（2023·浙江寧波·高一校考階段練習(xí)）已知一扇形的圓心角為，周長(zhǎng)為，面積為，弧長(zhǎng)為,所在圓的半徑為．(1)若，，求扇形的弧長(zhǎng)；(2)若，，求扇形的半徑和圓心角．例20．（2023·山西晉中·高三介休一中?？茧A段練習(xí)）圓心角為2的扇形的周長(zhǎng)為4，則此扇形的面積為.例21．（2023·山東棗莊·高一統(tǒng)考期末）已知弧長(zhǎng)為的弧所對(duì)圓心角為，則這條弧所在圓的半徑為cm．變式21．（2023·重慶長(zhǎng)壽·高一重慶市長(zhǎng)壽中學(xué)校?？计谥校┮阎刃蔚拿娣e為2，扇形圓心角的弧度數(shù)是2，則扇形的周長(zhǎng)為.變式22．（2023·四川廣元·高一四川省蒼溪中學(xué)校校考期中）半徑為2cm，圓心角為所對(duì)的弧長(zhǎng)為cm.變式23．（2023·上海嘉定·高一校考期中）已知扇形的半徑為，圓心角為，則該扇形的面積為；變式24．（2023·上海奉賢·高一校考期中）已知半徑為的扇形的圓心角為，則扇形的面積為．變式25．（2023·甘肅定西·高一統(tǒng)考期末）如圖1，折扇又名“撒扇”“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，?紙或綾絹?zhàn)錾让娴哪苷郫B的扇子，其展開(kāi)的平面圖如圖2的扇形，其中，則扇面（曲邊四邊形）的面積是.變式26．（2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高一海拉爾第一中學(xué)校考期末）已知扇形的弧長(zhǎng)為，圓心角為，則該扇形的面積為．【方法技巧與總結(jié)】有關(guān)扇形的弧長(zhǎng)，圓心角，面積的題目，一般是知二求一的題目，解此類題目的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用，兩組公式．題型八：扇形中的最值問(wèn)題例22．（2023·遼寧沈陽(yáng)·高一校聯(lián)考期中）已知扇形的圓心角為，所在圓的半徑為r．(1)若，求扇形的弧長(zhǎng)．(2)若扇形的周長(zhǎng)為24，當(dāng)為多少弧度時(shí)，該扇形面積最大？求出最大面積．例23．（2023·上海寶山·高一?？茧A段練習(xí)）已知一扇形的圓心角為，半徑為R，弧長(zhǎng)為l．(1)若，，求扇形的弧長(zhǎng)l；(2)若扇形面積為16，求扇形周長(zhǎng)的最小值，及此時(shí)扇形的圓心角．例24．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若扇形的周長(zhǎng)是一定值C厘米（）．求證：該扇形面積有最大值，并求出面積最大時(shí)圓心角的弧度數(shù)．變式27．（2023·高一單元測(cè)試）一個(gè)扇形的周長(zhǎng)是20cm，問(wèn)它的半徑r多大時(shí)，此扇形的面積最大？最大面積為多少？變式28．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)是圓上的點(diǎn).(1)若，，求劣弧的長(zhǎng)；(2)已知扇形的周長(zhǎng)為，求這個(gè)扇形的面積取得最大值時(shí)圓心角的大小.變式29．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知扇形的圓心角是，半徑是，弧長(zhǎng)為.(1)若，求扇形的面積；(2)若扇形的周長(zhǎng)為，求扇形面積的最大值，并求此時(shí)扇形圓心角的弧度數(shù)．變式30．（2023·江西贛州·高一贛州市贛縣第三中學(xué)校考階段練習(xí)）已知一扇形的圓心角為，半徑為，弧長(zhǎng)為．(1)已知扇形的周長(zhǎng)為，面積是，求扇形的圓心角；(2)若扇形周長(zhǎng)為，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？并求此扇形的最大面積．【方法技巧與總結(jié)】解決最值問(wèn)題采用消元思想或二次函數(shù)思想加以解決一、單選題1．（2023·湖北·高一湖北省天門中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知相互嚙合的兩個(gè)齒輪，大輪50齒，小輪20齒，當(dāng)大輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)小輪轉(zhuǎn)動(dòng)角度是（

）A． B． C． D．2．（2023·安徽銅陵·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知扇形的周長(zhǎng)為，圓心角為，則此扇形的面積為（

）A． B． C． D．3．（2023·安徽·池州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知角終邊上有一點(diǎn)，則為（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角4．（2023·江蘇鹽城·高一鹽城市大豐區(qū)新豐中學(xué)校考階段練習(xí)）磚雕是我國(guó)古建筑雕刻中的重要藝術(shù)形式，傳統(tǒng)磚雕精致細(xì)膩、氣韻生動(dòng)、極富書卷氣.如圖所示，一扇環(huán)形磚雕，可視為將扇形OCD截去同心扇形OAB所得圖形，已知，，，則該扇環(huán)形磚雕的面積為（

）.A． B． C． D．5．（2023·廣東廣州·高三廣東廣雅中學(xué)校考階段練習(xí)）扇子是引風(fēng)用品，夏令必備之物.我國(guó)傳統(tǒng)扇文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，是中華文化的一個(gè)組成部分.歷史上最早的扇子是一種禮儀工具，后來(lái)慢慢演變?yōu)榧{涼、娛樂(lè)、觀賞的生活用品和工藝品.扇子的種類較多，受大眾喜愛(ài)的有團(tuán)扇和折扇.如圖1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊紙或綾絹?zhàn)錾让娑瞥傻?完全打開(kāi)后的折扇為扇形（如圖2），若圖2中，，分別在，上，，的長(zhǎng)為，則該折扇的扇面的面積為（

）

圖1

圖2A． B． C． D．6．（2023·上海嘉定·高一?？计谥校┤羰堑谝幌笙藿牵瑒t下列各角是第三象限角的是（

）A． B． C． D．7．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）一個(gè)半徑為R的扇形，它的周長(zhǎng)是，則這個(gè)扇形所含弓形的面積是（

）A． B．C． D．8．（2023·四川達(dá)州·高一校考階段練習(xí)）已知為第二象限角，則所在的象限是（

）A．第一或第二象限 B．第二或第三象限C．第二或第四象限 D．第一或第三象限二、多選題9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，A，B是單位圓上的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，0)，∠BOA＝60°，質(zhì)點(diǎn)A以1rad/s的角速度按逆時(shí)針?lè)较蛟趩挝粓A上運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)B以2rad/s的角速度按順時(shí)針?lè)较蛟趩挝粓A上運(yùn)動(dòng)，則（

）A．經(jīng)過(guò)1s后，∠BOA的弧度數(shù)為＋3B．經(jīng)過(guò)s后，扇形AOB的弧長(zhǎng)為C．經(jīng)過(guò)s后，扇形AOB的面積為D．經(jīng)過(guò)s后，A，B在單位圓上第一次相遇10．（2023·遼寧撫順·高一撫順縣高級(jí)中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪個(gè)象限的角（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．（2023·湖北黃岡·高一?？茧A段練習(xí)）若是第二象限的角，則的終邊所在位置可能是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限12．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·高一?？计谀┮阎獅第一象限角}，{銳角}，{小于的角}，那么A、B、C關(guān)系是（）A． B．C． D．三、填空題13．（2023·湖北武漢·高三華中師大一附中校考期中）杭州第屆亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)，于年月日至月日在中國(guó)浙江省杭州市舉行，本屆亞運(yùn)會(huì)的會(huì)徽名為“潮涌”，主體圖形由扇面、錢塘江、錢江