本科畢業(yè)論文-矩陣思想的形成與發(fā)展

瓊州學(xué)院本科畢業(yè)論文矩陣思想的形成與發(fā)展摘要矩陣形式解方程組在中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中已相當(dāng)成熟，但這部著作并沒(méi)有建立起獨(dú)立的矩陣?yán)碚摚鴥H把矩陣看作一種排列形式來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.從18世紀(jì)末到19世紀(jì)中葉，這種排列形式在求解線性方程組和行列形式來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，本文通過(guò)對(duì)矩陣?yán)碚摪l(fā)展過(guò)程中的眾多數(shù)學(xué)家工作的考察，揭示了矩陣思想從萌芽\早期發(fā)展到成熟以及進(jìn)一步完善的全過(guò)程.關(guān)鍵詞：矩陣西爾維斯特凱萊矩陣思想矩陣?yán)碚揂BSTRACTTheTotalprobabilityformulaandbayesianformulaareimportantformulaintheprobabilitytheory,canplayaveryimportantroleinprobabilitycalculate.thistextcarriesoncarefulanalysistotheTotalprobabilityformula,explainitsuseandsuitprobabilitymodelthroughexample;Inordertoresolvearealityproblem,thistextcarriesonseveralpopularizationtoTotalprobabilityformula,throughexample,PopulartheTotalprobabilityformulaandbayesianformulaareextensiverthanordinarytheTotalprobabilityformulaandbayesianformulaonrealityapplication.Usingtheprobabilityandthebayesianformulaandtheirpromotion.Knowaboutclearlythatthemutualinfluencebetweenthesequenceofeventsinacompletesetproperlyandevents.Andunderstandthetwoprobabilityforlifeandproductionprovidesvaluableinformation.Keywords：Exhaustiveevents;Completeprobabilityformula;prove;Popularize;bayesianformula;application.致謝16目錄前言 1頁(yè)全概率公式的應(yīng)用及其推廣 2頁(yè)2.1完備事件組 2頁(yè)2.2全概率公式 2頁(yè)2.3全概率公式的應(yīng)用 2頁(yè)2.3.1全概率公式在摸球模型中的應(yīng)用 2頁(yè)2.3.2全概率公式在實(shí)際比賽中的應(yīng)用 3頁(yè)2.3.3全概率公式在醫(yī)療診斷中的應(yīng)用 3頁(yè)2.4全概率公式的推廣 4頁(yè)2.4.1全概率公式的推廣定理1及其應(yīng)用 4頁(yè)2.4.2全概率公式的推廣定理2及其應(yīng)用 4頁(yè)2.4.3全概率公式的推廣定理3及其應(yīng)用 5頁(yè)2.4.4全概率公式的推廣定理4及其應(yīng)用 6頁(yè)第三章貝葉斯公式的應(yīng)用及其推廣 8頁(yè)3.1貝葉斯公式以及它與全概率公式的聯(lián)系 8頁(yè)3.2貝葉斯公式的應(yīng)用 8頁(yè)3.2.1貝葉斯公式在工廠產(chǎn)品檢查中的應(yīng)用 8頁(yè)3.2.2貝葉斯公式在醫(yī)療診斷中的應(yīng)用 9頁(yè)3.2.3貝葉斯公式在統(tǒng)計(jì)決策中的應(yīng)用 9頁(yè)3.3貝葉斯公式的推廣 11頁(yè)3.3.1貝葉斯公式的推廣定理1 11頁(yè)3.3.2貝葉斯公式的推廣定理1的應(yīng)用 11頁(yè)全概率公式與貝葉斯公式的綜合應(yīng)用 13頁(yè)4.1全概率公式與貝葉斯公式的綜合應(yīng)用 13頁(yè)第五章小結(jié) 14頁(yè)參考文獻(xiàn) 15頁(yè)致謝 16頁(yè)第一章矩陣思想的萌芽歷史悠久，早在公元一世紀(jì)中國(guó)的《九章算術(shù)》就已經(jīng)用到類似于矩陣的名詞，《九章算術(shù)》方程術(shù)中線性聯(lián)立方程組的普遍乘直除算法，用算籌將系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)排列成一個(gè)長(zhǎng)方陣，這就是矩陣最早雛形，魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽又在《九章算術(shù)》中進(jìn)一步完善，給出了完整的演算程序及劉徽演算程序，矩陣演變的籌算過(guò)程就是現(xiàn)今矩陣的行初等變換，現(xiàn)金矩陣變換中的一些性質(zhì)在方程術(shù)及劉徽注中都可追溯到理論淵源，矩陣在中國(guó)古代的萌芽，蘊(yùn)含了豐富的矩陣算法與程序化等思想，矩陣概念產(chǎn)生并發(fā)展于19世紀(jì)的歐洲，歐洲的社會(huì)環(huán)境與文化背景為矩陣的早期發(fā)展提供了適宜的舞臺(tái)，一大批矩陣?yán)碚摰牡旎咦隽舜罅康墓ぷ?，是矩陣從零散的知識(shí)發(fā)展為系統(tǒng)完善的理論體系，為矩陣?yán)碚摰男纬膳c發(fā)展做出了重要的貢獻(xiàn).第二章矩陣思想的早期孕育2.1矩陣思想的早期孕育《九章算術(shù)》中的解線性方程組是用矩陣的雛形來(lái)解決問(wèn)題，沒(méi)有建立起獨(dú)立完善的矩陣?yán)碚?，?8世紀(jì)中葉開(kāi)始，矩陣的這種陣列形式在不同的領(lǐng)域中應(yīng)用日益廣泛，行列式、代數(shù)性等理論的發(fā)展為其提供了發(fā)展的條件，矩陣的思想得到了進(jìn)一步的孕育與形成，矩陣早期的一些重要概念及思想，是獨(dú)立與矩陣?yán)碚撟陨?，從不同領(lǐng)域及思想的研究發(fā)展而來(lái)，并最終包含在矩陣?yán)碚撝?2.2二次性理論研究中孕育的矩陣思想18世紀(jì)中期，數(shù)學(xué)家們開(kāi)始研究二次曲線和二次曲面的方程簡(jiǎn)化問(wèn)題，即二次型的化簡(jiǎn)，在這一問(wèn)題的研究中，數(shù)學(xué)家們得到了與后來(lái)的矩陣?yán)碚撁芮邢嚓P(guān)的許多概念和結(jié)論.1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉再見(jiàn)三個(gè)變數(shù)的二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)隱含地給出了特征方程的概念，他在化三個(gè)變數(shù)的二次型到它們的主軸上去的著作隱含地出現(xiàn)特征方程的概念.三個(gè)變數(shù)的二次型在當(dāng)時(shí)通常寫(xiě)成，也就是現(xiàn)在的其系數(shù)矩陣為，特征方程為＝0，滿足這個(gè)方程的值稱為特征根，由這些值能得到主軸的長(zhǎng)度.1773年，法國(guó)數(shù)學(xué)家高斯，在《算術(shù)研究》中，將歐拉與拉格朗日的二次型理論進(jìn)行了系統(tǒng)的推廣，給出了兩個(gè)線性變換的復(fù)合，而這個(gè)復(fù)合的新變換其系數(shù)矩陣是原來(lái)兩個(gè)變換的系數(shù)矩陣的乘積，另外，高斯還從拉格朗日的工作中抽象出了型的等價(jià)概念，在研究?jī)蓚€(gè)互逆變換的過(guò)程中孕育了兩個(gè)矩陣的互逆概念.1801年高斯在《算術(shù)研究》中將瑞士數(shù)學(xué)家歐拉、拉格朗日的二次型理論進(jìn)行了系統(tǒng)的推廣.過(guò)程如下：一整數(shù)n如果表示成整數(shù)a\b\x\y的形式稱為用型表出.如果設(shè)，令則F變換成一個(gè)新的形式其中,的系數(shù)依賴于F的系數(shù)和變換本身.高斯指出如果通過(guò)另一個(gè)變換變成，那么這兩個(gè)變換的復(fù)合就是一個(gè)把F變成的新的變換這個(gè)新的變換的系數(shù)矩陣是原來(lái)的兩個(gè)變換的系數(shù)矩陣的乘積.這實(shí)際上給出了兩個(gè)線性變換的復(fù)合，而這個(gè)復(fù)合的新變換的系數(shù)矩陣是原來(lái)兩個(gè)變換的系數(shù)矩陣的乘積.隨后，在第六部分，高斯又研究了三元二次型的一個(gè)類似的計(jì)算過(guò)程，這實(shí)際上給出了33矩陣相乘的法則.在這里實(shí)質(zhì)上已孕育了矩陣的乘法思想.高斯盡管把變換的系數(shù)寫(xiě)成矩陣陣列的形式，甚至用單個(gè)的字母S指代一個(gè)特殊的變換，但是沒(méi)有明確指出這種復(fù)合的思想就是乘法.1826年，柯西在《微積分在幾何中的應(yīng)用教程》中討論了二次型束的特征根使束的行列式為零的情況，證明了當(dāng)其中一個(gè)二次姓對(duì)變數(shù)的所有非零實(shí)數(shù)值是正定的時(shí)，束的特征根全為實(shí)數(shù).從18世紀(jì)中期到19世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家們?cè)谘芯慷涡偷倪^(guò)程中涉及到大量的線性變換，得到了許多重要概念和結(jié)論.由于二次型和線性變換均可以使用矩陣來(lái)表示，所以這些概念和結(jié)論就可以自然而然的移植到矩陣?yán)碚撝?因此二次性理論是矩陣思想得以孕育的重要源泉之一.2、行列式計(jì)算中孕育的矩陣思想“從邏輯上來(lái)說(shuō)，矩陣的概念應(yīng)先于行列式的概念，但在歷史上卻正好相反”.18世紀(jì)中葉，數(shù)學(xué)家們開(kāi)始用行列式的法則.解線性方程組，在大量關(guān)于行列式的計(jì)算中用到矩陣的一些基本性質(zhì)，1815年，柯西在一篇關(guān)于行列式理論的基礎(chǔ)性論文中用縮寫(xiě)的記號(hào)（a1,n）代表被其稱之為“對(duì)稱組”的矩陣.另外，在柯西有關(guān)行列式的工作中，還涉及到正定矩陣|對(duì)陣矩陣以及相似變換等問(wèn)題，在相似行列式的研究中，可惜證明了相似變換有相同的特征根.1827年，德國(guó)數(shù)學(xué)家雅可比得出結(jié)論“斜對(duì)陣矩陣的秩是偶數(shù)”.1843年，德國(guó)數(shù)學(xué)家艾森斯坦用明確的符號(hào)ST來(lái)表示兩個(gè)變換S和T的復(fù)合，并在1844年的一篇論文中針對(duì)這種變換的復(fù)合寫(xiě)道：“順便地，在它的基礎(chǔ)上可以建立一個(gè)算法，其中包括把乘除法以及乘冪的一般運(yùn)算規(guī)則應(yīng)用到兩個(gè)線方程組的符號(hào)方程上.正確的符號(hào)方程總是可以得到，它思考的中心問(wèn)題是因子的順序，即方程組復(fù)合的順序往往不可以改變.”很明顯，愛(ài)森斯坦這里所說(shuō)的變換的一般運(yùn)算規(guī)則實(shí)際上就是矩陣的運(yùn)算法則，并指出矩陣運(yùn)算不符合交換律.由此看出，矩陣的概念還沒(méi)有明確給出，在行列式的計(jì)算中，矩陣作為一種工具就已經(jīng)開(kāi)始自由地使用了.但那時(shí)的矩陣僅作為行列式的排列形式，在行列式的計(jì)算中遵循了矩陣的運(yùn)算法則，因此伴隨線性方程組的求解而產(chǎn)生的行列式理論是矩陣思想的另一個(gè)重要源泉.3、微分方程研究中孕育的矩陣思想18世紀(jì)，物理問(wèn)題促進(jìn)了微分方程的研究，微分方程成為一門(mén)獨(dú)立的學(xué)科.18世紀(jì)中期，微分方程的求解成為微分方程課題的主要研究目標(biāo)，在求解的過(guò)程中孕育了大量的矩陣思想.1743－1758年，法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾在研究二階微分方程組是引入了矩陣的特征值和特征向量.1762－1765年，拉格朗日在關(guān)于線性微分方程的著作中明確地出現(xiàn)了特征方程|特征根的概念，1772年，法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯在同一領(lǐng)域的著作中易出現(xiàn)了特征方程的概念.1815年，法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西在研究微分方程問(wèn)題是證明了所有對(duì)角矩陣的特征向量（至少在不等的情況下）都是實(shí)的，得出矩陣可以通過(guò)正交變換而對(duì)角化，并于1829－1830年間第一次證明了實(shí)對(duì)稱矩陣的特征根是實(shí)數(shù)，其中孕育了對(duì)稱矩陣、特征方程、正交變換等矩陣的一些基本概念.1840年，特征方程的術(shù)語(yǔ)第一次出現(xiàn)在柯西的文章《分析與數(shù)學(xué)物理演習(xí)》中.第三章矩陣?yán)碚摰膭?chuàng)立二、矩陣?yán)碚摰膭?chuàng)立4.1西爾維斯特的矩陣思想詹姆斯.約瑟夫.西爾維斯特出生于英國(guó)倫敦的一個(gè)猶太人家庭.1829年西爾維斯特進(jìn)入埋設(shè)在利物浦的皇家學(xué)會(huì)學(xué)校學(xué)習(xí),他學(xué)習(xí)努力,成績(jī)突出.1831年10月西爾維斯特進(jìn)入內(nèi)殿法學(xué)協(xié)會(huì),并于1850年取得律師資格,在這期間他和同時(shí)進(jìn)入林肯法律學(xué)會(huì)的凱萊建立起了甚好的友誼.1878年西爾維斯特在巴爾的摩創(chuàng)辦了美國(guó)歷史上第一個(gè)數(shù)學(xué)雜志－《美國(guó)數(shù)學(xué)雜志》，并為這本雜志寫(xiě)了30篇論文，對(duì)美國(guó)大學(xué)的數(shù)學(xué)研究有很大的影響，推動(dòng)了美國(guó)純數(shù)學(xué)的發(fā)展.西爾維斯特一生致力于純數(shù)學(xué)的研究，他和凱萊.哈密頓等人一起開(kāi)創(chuàng)了自牛頓一來(lái)英國(guó)純粹數(shù)學(xué)的繁榮局面，西爾維斯特在代數(shù)方面做出了重要貢獻(xiàn)，在不同的領(lǐng)域里孕育了豐富的矩陣思想.西爾維斯特引進(jìn)了有關(guān)矩陣的許多數(shù)學(xué)名詞，給出了矩陣的一些重要概念與結(jié)論.1850年，西爾維斯特在研究方程的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)不相同的線性方程組時(shí)，由于無(wú)法使用行列式，所以引入了“矩陣”－一詞來(lái)表示“一項(xiàng)有m行n列元素組成的矩陣行列”，這是矩陣一詞的最早使用，1851年，西爾維斯特在研究二次曲線和二次曲面切觸和相交時(shí)，需要考慮二次曲線和二次曲面束的分類，他的分類方法引進(jìn)了初等因子、不等因子的概念，西爾維斯特還證明了初等因子與不變因子的結(jié)論：如果|A+B|的任一階的全部子式有一個(gè)公共因子+,則當(dāng)A和B經(jīng)過(guò)一個(gè)線性變換同時(shí)變換以后，這個(gè)因子仍將是同階子式組的公共因子.如果全部i階子式有因子(+),(i+h)階子式將包含因子(+),對(duì)每個(gè)i,i階子式的最大公因子中所出現(xiàn)的各線性因子的方冪是的或任何一般行列式A的初等因子.對(duì)每個(gè)i,被所除的商稱為的不變因子.也是在1851年,西爾維斯特對(duì)于矩陣的等價(jià)得出結(jié)論:如果矩陣A與B等階,那么B的i行子式的行列式的每一個(gè)最大公因子與A的i行子式的每一個(gè)最大公因子是相等的.西爾維斯特得出了與矩陣有關(guān)的著名定理.1852年,西爾維斯特對(duì)于矩陣的合同發(fā)現(xiàn)著名的“慣性定律”：“對(duì)角矩陣G=與H=合同，則g>0的個(gè)數(shù)與h>0的個(gè)數(shù)相同.”雅可比于1857年重新發(fā)現(xiàn)了該結(jié)論.在研究二次曲線和二次曲面切觸和相交時(shí)，需要考慮二次曲線和二次曲面束寫(xiě)成的形式，這里他考察了行列式.的行列式的元素是的多項(xiàng)式，西爾維斯特證明了“如果的任意階的全部子式有一個(gè)公共因子，則當(dāng)A和B經(jīng)過(guò)一個(gè)線性變換同時(shí)變換以后，這個(gè)因子仍將是同階子式組的公共因子.”“如果全部i階子式有因子，階子式將包含因子.對(duì)每個(gè)i，i階子式的最大公因子中所出現(xiàn)的各線性因子的方冪是的或任何一般行列式A的初等因子.對(duì)每個(gè)i，被所除的商稱為的不變因子.”西爾維斯特在矩陣思想的形成與發(fā)展中,特別是矩陣的早期發(fā)展中作了重大貢獻(xiàn),他的工作不僅體現(xiàn)在對(duì)矩陣?yán)碚搩?nèi)容上的發(fā)展,即從不同領(lǐng)域的研究中發(fā)展出來(lái)的有關(guān)矩陣的概念與結(jié)論,而且還有其更深刻的一面,一方面他的工作使得當(dāng)時(shí)比較零散的矩陣知識(shí)趨于系統(tǒng)化|理論化為凱萊創(chuàng)立矩陣?yán)碚撎峁┝擞欣麠l件,另一方面,西爾維斯特的行列式和矩陣思想,為代數(shù)不變量理論的創(chuàng)立奠定了重要基礎(chǔ).2、凱萊的矩陣思想凱萊出生于英國(guó)的薩里郡里士滿,1839年入劍橋大學(xué)三一學(xué)院學(xué)習(xí),期間他廣泛閱讀高斯\拉格朗日等數(shù)學(xué)大師的著作,利用了大量的時(shí)間研究數(shù)學(xué),在數(shù)學(xué)上的成績(jī)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了其他人,1842年,以劍橋大學(xué)數(shù)學(xué)榮譽(yù)學(xué)位考試一等的身份畢業(yè),獲得了史密斯金考試的第一名,被選為三一學(xué)院的研究員和助教.1846年,進(jìn)入林肯法律協(xié)會(huì)學(xué)習(xí)并于1849年成為律師,期間他和西爾維斯特開(kāi)始了長(zhǎng)期的友誼與合作.1883年,凱萊被任命為英國(guó)科學(xué)促進(jìn)會(huì)主席.凱萊是英國(guó)純數(shù)學(xué)的近代學(xué)派帶頭人,一生發(fā)表了影響深淵的數(shù)學(xué)理論數(shù)千篇,他的數(shù)學(xué)論文幾乎涉及純粹數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域,收集在《橢圓函數(shù)專論》一書(shū).在矩陣術(shù)語(yǔ)創(chuàng)用以前，凱萊對(duì)于矩陣的有關(guān)概念及其性質(zhì)就有所研究，1843年，凱萊即以研究三階以上高階矩陣的行列式理論.1846年，凱萊定義了轉(zhuǎn)置矩陣、對(duì)陣矩陣、斜對(duì)稱矩陣等概念，由于這時(shí)沒(méi)有給出矩陣名詞，及其確切定義，因此有關(guān)矩陣得知是零散地滲透于行列式等理論之中.1855年，凱萊注意到用矩陣形式表示線性方程組以及線性變換非常方便，因而引進(jìn)矩陣以簡(jiǎn)化記號(hào).并且他注意到在線性方程組中使用矩陣式非常方便的.因而引進(jìn)矩陣以簡(jiǎn)化記號(hào).它使用矩陣形式來(lái)表示方程組，凱萊“對(duì)矩陣的發(fā)展全然是從行列式的概念而來(lái)，或是作為表達(dá)一個(gè)變換的方便而來(lái)的”，這使得矩陣脫離行列式與線性變換而成為一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)概念.1858年，凱萊發(fā)表了重要文章《矩陣論的研究報(bào)告》，系統(tǒng)地闡述了矩陣的基本理論，在該文中，他用單個(gè)的字母表示矩陣，定義了零矩陣、單位矩陣等特殊矩陣，定義了兩個(gè)矩陣相等、相加:以及數(shù)乘矩陣、指出了矩陣加法的可交換性與可結(jié)合型、數(shù)與矩陣的數(shù)乘等運(yùn)算和算律.在該文中，凱萊從兩個(gè)變換的復(fù)合給出了兩個(gè)矩陣乘積的定義，由變換與的出新變換這個(gè)新變換的系數(shù)矩陣是變換與的系數(shù)矩陣的乘積.并且他用新的簡(jiǎn)化記號(hào)表示兩個(gè)矩陣的乘積，即另一方面，如果改變兩個(gè)變換與相乘的順序，則，這個(gè)新變換的稀疏矩陣就是變換與的系數(shù)矩陣的乘積，即，由此得出矩陣乘法一般不滿足交換律.凱萊還定義了兩個(gè)矩陣的乘積，乘積中元素是左邊因子的第i行元素和右邊因子的第j列元素乘積之和，并著重強(qiáng)調(diào)，矩陣乘法是可結(jié)合的.利用一般的代數(shù)運(yùn)算和矩陣運(yùn)算的相似性得出矩陣的一些結(jié)論，他把方程組的解用矩陣的逆來(lái)表示給出“當(dāng)時(shí)逆矩陣的概念就沒(méi)有了”，即當(dāng)行列式為零時(shí)矩陣不可逆，并把這一結(jié)論稱為“當(dāng)時(shí)矩陣是不定的”.文章中凱萊還用矩陣的簡(jiǎn)化記法推出了方陣的特征方程和特征根的重要結(jié)論：“每一個(gè)矩陣都滿足它的特征方程”，這是“矩陣?yán)碚撝凶钪匾睦碚撝弧?凱萊對(duì)于二、三階矩陣的情況給出證明，并且說(shuō)明沒(méi)有必要去驗(yàn)證一般的矩陣，由于愛(ài)爾蘭數(shù)學(xué)家哈密頓的四元數(shù)理論涉及到的一個(gè)線性變換滿足他的特征方程，所以該結(jié)論被稱為“凱萊－哈密頓定理”.凱萊的這一結(jié)論遵循矩陣乘法的特殊規(guī)則以及不滿足交換律的特征，具有四元素理論所不具備的將復(fù)數(shù)當(dāng)作矩陣看待的思想，為進(jìn)一步將矩陣論與超出復(fù)數(shù)相聯(lián)系來(lái)研究超復(fù)數(shù)提供的新工具.凱萊的《矩陣論的研究報(bào)告》的公開(kāi)發(fā)表標(biāo)志著矩陣?yán)碚撟鳛橐粋€(gè)獨(dú)立數(shù)學(xué)分支的誕生，作為矩陣?yán)碚摰膭?chuàng)造者，凱萊在矩陣?yán)碚摰膭?chuàng)立與發(fā)展中做了開(kāi)創(chuàng)性的工作，他是第一個(gè)把矩陣作為獨(dú)立的概念提出來(lái)，并作為獨(dú)立的理論加以研究的數(shù)學(xué)家.從矩陣概念的引入、相關(guān)概念的定義、運(yùn)算的定性與求法到矩陣的一些重要結(jié)論的建立，凱萊關(guān)于這個(gè)課題發(fā)表了一系列研究成果，使得矩陣從零散的知識(shí)發(fā)展為系統(tǒng)完善的理論體系.3、西爾維斯特與凱萊矩陣思想的來(lái)源分析西爾維斯特在矩陣?yán)碚摰脑缙诎l(fā)展中作了重要貢獻(xiàn)，他引進(jìn)了有關(guān)矩陣的許多數(shù)學(xué)名詞，給出了矩陣的一些重要概念與結(jié)論，得出了與矩陣有關(guān)的若干著名定理，這些成就為凱萊創(chuàng)立矩陣?yán)碚摰於撕芎玫幕A(chǔ).作為矩陣?yán)碚撝匾旎说臄?shù)學(xué)家西爾維斯特，分析其在矩陣?yán)碚摲矫娴墓ぷ?，我們可以得出如下結(jié)論：矩陣思想孕育的三條線索：代數(shù)性理論的研究，行列式的計(jì)算以及微分方程的研究，是西爾維斯特矩陣?yán)碚撍枷雭?lái)源的三條主要途徑.從18世紀(jì)到19世紀(jì)上半葉，雖然還沒(méi)有明確提出矩陣的研究，但眾多的數(shù)學(xué)家們?cè)谶@些問(wèn)題的研究中都討論了線性變換這一概念，并用術(shù)語(yǔ)“矩形陣列”來(lái)代表線性變換的系數(shù)矩陣，同時(shí)還給出了有關(guān)線性的許多概念和大量結(jié)論，而且這些概念和結(jié)論大都可以直接移植到矩陣?yán)碚撝?，這無(wú)疑為西爾維斯特研究矩陣?yán)碚撎峁┝顺渥愕滤夭暮脱芯糠椒?其次，和同時(shí)代數(shù)學(xué)家們廣泛交流研究成果也是西爾維斯特在矩陣?yán)碚摲矫嫒〉猛怀龀删偷囊粋€(gè)重要因素.西爾維斯特愿意傳播自己的思想，愿意交流數(shù)學(xué)研究的成果，他和德摩根、凱萊、施泰納、克里斯托弗爾以及克利福德等許多著名數(shù)學(xué)家都有密切聯(lián)系，在交流研究成果的同時(shí)，西爾維斯特也很自然從其他數(shù)學(xué)家那里獲得許多系的思想方法，這為他的矩陣?yán)碚撗芯亢退麆?chuàng)用的矩陣一詞的廣泛使用提供了十分有利的條件.當(dāng)然，矩陣思想孕育的三條線索也是凱萊矩陣思想的來(lái)源，特別是行列式理論和二次理論是凱萊矩陣思想的主要來(lái)源.凱萊前期有關(guān)矩陣的大部分工作都是滲透在行列式和二次型的研究工作之中；另外，與同時(shí)代數(shù)學(xué)家們的交流，特別是與好友西爾維斯特之間數(shù)學(xué)研究成果的交流是凱萊矩陣思想的另一個(gè)重要源泉.西爾維斯特早期的矩陣工作已經(jīng)使得當(dāng)時(shí)零散的矩陣知識(shí)趨于系統(tǒng)化、理論化，二者之間的學(xué)術(shù)交流無(wú)疑為凱萊創(chuàng)立矩陣?yán)碚摰於肆己玫幕A(chǔ).時(shí)代已經(jīng)為一個(gè)新理論的誕生做好了準(zhǔn)備.凱萊真是在這樣的時(shí)刻出場(chǎng)的它順應(yīng)時(shí)代的需要、憑借個(gè)人的才識(shí)、完成了這個(gè)新理論成立中的最后也是最關(guān)鍵的一步，雖然開(kāi)來(lái)的《矩陣論的研究報(bào)告》是一篇總結(jié)性的論文，并沒(méi)有囊括當(dāng)時(shí)已有的所有的矩陣知識(shí)，其中的成果也并非全是他凱萊一人的工作，但他對(duì)矩陣的一些基本概念、基本運(yùn)算、基本性質(zhì)以及一些重要結(jié)論進(jìn)行了論述，是第一篇有關(guān)矩陣研究的專題論文，也是第一篇系統(tǒng)÷全面地介紹矩陣知識(shí)的公開(kāi)發(fā)表的著述.單從這一層面上，我們說(shuō)凱萊是矩陣?yán)碚摰膭?chuàng)立者，他也是當(dāng)之無(wú)愧的.凱萊和西爾維斯特等人一起發(fā)展了行列式和矩陣的理論，共同奠定了不變量的理論基礎(chǔ).他們對(duì)矩陣?yán)碚摰呢暙I(xiàn)，與其個(gè)人出眾的才華、超強(qiáng)的預(yù)見(jiàn)力、勤奮好學(xué)堅(jiān)持不懈的精神以及他們所處的文化背景、前人的思想、數(shù)學(xué)家團(tuán)體的內(nèi)聚力，還有國(guó)家重視鼓勵(lì)學(xué)術(shù)的政策，都有密不可分的關(guān)系.第四章矩陣思想的發(fā)展與影響三、矩陣思想的發(fā)展與影響1、矩陣思想的發(fā)展凱萊創(chuàng)立矩陣?yán)碚撝螅瑪?shù)學(xué)家們并沒(méi)有停止對(duì)矩陣的研究，在19世紀(jì)下半葉，許多數(shù)學(xué)家在不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域進(jìn)一步研究和發(fā)展著矩陣?yán)碚?其中西爾維斯特÷弗羅伯紐斯和約當(dāng)?shù)染褪撬麄冎械闹匾?1884年，西爾維斯特提出了對(duì)角矩陣和數(shù)量矩陣的概念，并且由矩陣加法定義和乘法定義得出對(duì)角矩陣和數(shù)量矩陣的加法與乘法運(yùn)算規(guī)則.由此進(jìn)一步得到“由數(shù)量矩陣構(gòu)成的線性系統(tǒng)，是數(shù)環(huán)K為具有單位元素的交換環(huán)，并且對(duì)于中任意矩陣X都有AX=XA，則稱A是數(shù)量矩陣.”并給出證明.同年，西爾維斯特給出了“零性”的概念和“零性律”：如果A是一個(gè)階矩陣，秩就是A中非零子式的最大階數(shù)，如果A是n階方陣，把矩陣的階數(shù)與秩的差叫做矩陣的零性.兩個(gè)（而且可以推廣為任意有限數(shù)目）矩陣乘積的零性不能比任意因子的零性小，也不能比組成這一乘積的因子的零性之和大.這是矩陣?yán)碚撝械闹匾l(fā)現(xiàn)，是現(xiàn)代矩陣?yán)碚撝嘘P(guān)于矩陣乘積的秩的一個(gè)著名定理.繼凱萊在1858年解決了方程中A為2階和3階的情況之后，西爾維斯特于1882年研究了和的解的情況.1883年，西爾維斯特建立差值公式第一次試圖解釋矩陣的解析函數(shù)有截然不同的征根.1884年，西爾維斯特幾次試圖確定矩陣方程在特殊情形下解的個(gè)數(shù).同年，西爾維斯特否定了英國(guó)數(shù)學(xué)家克利福德1875年試圖證明的結(jié)論“每一個(gè)與A可換的矩陣是A的多項(xiàng)式”，然后對(duì)方程AX=BX進(jìn)行了研究，給出該方程有非零解的充要條件是A與B有相同的特征根，并指出的解X的每一個(gè)特征根都是的根，其中的矩陣都是2階矩陣.在矩陣論的發(fā)展史上，弗羅伯紐斯的貢獻(xiàn)是不可磨滅的.他在矩陣的特征方程÷特征根、矩陣的秩、正交矩陣、矩陣方程等方面做了大量的工作.1878年，弗羅伯紐斯引進(jìn)了西爾維斯特矩陣的行列式因子、不變因子和初等因子等概念，給出了正交矩陣、相似矩陣、合同矩陣等概念，指出了各種不同類型的矩陣的關(guān)系，討論了正交矩陣與合同矩陣的一些重要性質(zhì).1879年，弗羅伯紐斯引進(jìn)了矩陣的秩的概念給出了復(fù)數(shù)域上矩陣不變因子的伴隨矩陣、等價(jià)的兩個(gè)斜對(duì)稱矩陣合同、偶數(shù)階的斜對(duì)稱矩陣的子式的最大公因式是完全平方數(shù)等結(jié)論，弗羅伯紐斯于1878年到1880年期間引入了符號(hào)矩陣代數(shù)，論證了在初等因子觀點(diǎn)下的矩陣代數(shù)具有的優(yōu)點(diǎn).1896年，弗羅伯紐斯給出凱萊－哈密頓定理的第一個(gè)一般性證明，得出并證明了關(guān)于特征根的一般結(jié)論，給出了關(guān)于對(duì)稱矩陣、特征方程、矩陣的秩等方面的大量結(jié)論.約當(dāng)在矩陣?yán)碚摲矫娴墓ぷ髦饕诰仃嚨臉?biāo)準(zhǔn)型方面，1870年，它證明了舉證可變到標(biāo)準(zhǔn)型，這也就是我們現(xiàn)在所謂的矩陣的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)化問(wèn)題.2、矩陣?yán)碚摰挠绊憚P萊創(chuàng)立的矩陣?yán)碚摚l(fā)展到19世紀(jì)末已經(jīng)包含了眾多數(shù)學(xué)家們的思想，也深深影響著數(shù)學(xué)的許多研究領(lǐng)域以及物理學(xué)等其他學(xué)科.例如，弗羅伯紐斯引入的符號(hào)矩陣代數(shù)，論證了在初等因子觀點(diǎn)下的矩陣代數(shù)具有的優(yōu)點(diǎn)，創(chuàng)立了我們現(xiàn)代意義下的矩陣?yán)碚摚诰仃嚴(yán)碚摰陌l(fā)展史上具有深遠(yuǎn)的影響：基靈用初等因子理論作為工具，給出了維爾斯特拉斯理論的集合解釋，為克萊因進(jìn)一步發(fā)展李代數(shù)結(jié)構(gòu)理論起了基礎(chǔ)性的作用；凱萊把超附屬當(dāng)作矩陣看待的思想，將矩陣?yán)碚撆c超復(fù)數(shù)等線性結(jié)合代數(shù)聯(lián)系起來(lái)，為進(jìn)一步研究超復(fù)數(shù)代數(shù)提供了新的工具，等等.另外，矩陣論給出的矩陣乘法的特殊規(guī)則以及不滿足交換律的特征，在代數(shù)不變量理論中成為重要而基本的內(nèi)容.19世紀(jì)末不變量理論同意了數(shù)學(xué)的很多領(lǐng)域，并通過(guò)微分不變量對(duì)物理學(xué)產(chǎn)生影響，泰特評(píng)價(jià)矩陣?yán)碚摰膭?chuàng)造是“凱萊正在為未來(lái)的一代物理學(xué)家鍛造武器”.20世紀(jì)初，矩陣?yán)碚摰玫搅诉M(jìn)一步的發(fā)展，現(xiàn)在矩陣已由最初作為一種工具而發(fā)展成為一門(mén)獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支——矩陣論，而矩陣論又可分為矩陣方程、矩陣分解論和廣義逆矩陣論等矩陣的現(xiàn)代理論，矩陣及其理論現(xiàn)已廣泛地應(yīng)用于現(xiàn)代科技的各個(gè)領(lǐng)域，在物理學(xué)、控制論、機(jī)器人理論、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科有大嶺的應(yīng)用.矩陣在其他領(lǐng)域中的應(yīng)用四、矩陣在其他領(lǐng)域中的應(yīng)用18世紀(jì)，數(shù)學(xué)與力學(xué)緊密結(jié)合.進(jìn)入20世紀(jì)，隨著物理科學(xué)家的發(fā)展，數(shù)學(xué)相機(jī)應(yīng)用于相對(duì)論、量子理學(xué)等方面.從1904年到1910年Hilbert連續(xù)在文章中應(yīng)用矩陣來(lái)研究積分方程，然后又將積分方程應(yīng)用到數(shù)學(xué)物理問(wèn)題中.1925年，海森堡的無(wú)窮矩陣?yán)碚摫粦?yīng)用到量子論上，矩陣力學(xué)形成.1927年，希爾伯特等人開(kāi)始用積分方程等分析工具研究量子理論，在抽象希爾伯特空間中研究量子力學(xué)特征值等問(wèn)題.20世紀(jì)40年代，由于電子計(jì)算機(jī)的應(yīng)用，數(shù)學(xué)向其他科學(xué)領(lǐng)域廣泛滲透，.現(xiàn)代數(shù)學(xué)在向外滲透的過(guò)程中，數(shù)學(xué)的核心領(lǐng)域越來(lái)