概率頻率分布直方圖練習(xí)題及概率統(tǒng)計(jì) 經(jīng)典題易錯(cuò)題

PAGEPAGE61．(本題滿分１２分)某學(xué)校隨機(jī)抽取部分新生調(diào)查其上學(xué)路上所需時(shí)間（單位：分鐘），并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），其中，上學(xué)路上所需時(shí)間的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為，，，，.（１）求直方圖中的值；（２）如果上學(xué)路上所需時(shí)間不少于40分鐘的學(xué)生可申請(qǐng)?jiān)趯W(xué)校住宿，請(qǐng)估計(jì)學(xué)校1000名新生中有多少名學(xué)生可以申請(qǐng)住宿.2、(本題滿分12分)為調(diào)查民營(yíng)企業(yè)的經(jīng)營(yíng)狀況，某統(tǒng)計(jì)機(jī)構(gòu)用分層抽樣的方法從A、B、C三個(gè)城市中，抽取若干個(gè)民營(yíng)企業(yè)組成樣本進(jìn)行深入研究，有關(guān)數(shù)據(jù)見(jiàn)下表：（單位：個(gè)）城市民營(yíng)企業(yè)數(shù)量抽取數(shù)量A4B28C846（1）求、的值；（2）若從城市A與B抽取的民營(yíng)企業(yè)中再隨機(jī)選2個(gè)進(jìn)行跟蹤式調(diào)研，求這2個(gè)都來(lái)自城市A的概率.3、某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成個(gè)等級(jí)，等級(jí)系數(shù)依次為，產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)越大表明產(chǎn)品的質(zhì)量越好.現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件，相應(yīng)的等級(jí)系數(shù)組成一個(gè)樣本，數(shù)據(jù)如下：353385563463475348538343447567該行業(yè)規(guī)定產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的為一等品，等級(jí)系數(shù)的為二等品，等級(jí)系數(shù)的為三等品，為不合格品．（1）試分別估計(jì)該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的一等品率、二等品率和三等品率；（2）從樣本的一等品中隨機(jī)抽取件，求所抽得件產(chǎn)品等級(jí)系數(shù)都是的概率．4、某中學(xué)在校就餐的高一年級(jí)學(xué)生有440名，高二年級(jí)學(xué)生有460名，高三年級(jí)學(xué)生有500名；為了解學(xué)校食堂的服務(wù)質(zhì)量情況，用分層抽樣的方法從中抽取70名學(xué)生進(jìn)行抽樣調(diào)查，把學(xué)生對(duì)食堂的“服務(wù)滿意度”與“價(jià)格滿意度”都分為五個(gè)等級(jí)：1級(jí)（很不滿意）；2級(jí)（不滿意）；3級(jí)（一般）；4級(jí)（滿意）；5級(jí)（很滿意），其統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表（服務(wù)滿意度為，價(jià)格滿意度為）.人數(shù)yx價(jià)格滿意度12345服務(wù)滿意度111220221341337884414641501231（1）求高二年級(jí)共抽取學(xué)生人數(shù)；（2）求“服務(wù)滿意度”為3時(shí)的5個(gè)“價(jià)格滿意度”數(shù)據(jù)的方差；（3）為提高食堂服務(wù)質(zhì)量，現(xiàn)從且的所有學(xué)生中隨機(jī)抽取兩人征求意見(jiàn)，求至少有一人的“服務(wù)滿意度”為1的概率.5、（本小題滿分12分）為調(diào)查乘客的候車情況，公交公司在某站臺(tái)的60名候車乘客中隨機(jī)抽取15人，將他們的候車時(shí)間（單位：分鐘）作為樣本分成5組，如下表所示：（1）估計(jì)這60名乘客中候車時(shí)間少于10分鐘的人數(shù)；組別候車時(shí)間人數(shù)一2二6三4四2五1（2）若從上表第三、四組的6人中隨機(jī)抽取2人作進(jìn)一步的問(wèn)卷調(diào)查，求抽到的兩人恰好來(lái)自不同組的概率．6、（本小題滿分12分）某學(xué)校甲、乙兩個(gè)班參加體育達(dá)標(biāo)測(cè)試，統(tǒng)計(jì)測(cè)試成績(jī)達(dá)標(biāo)人數(shù)情況得到如圖所示的列聯(lián)表，已知在全部學(xué)生中隨機(jī)抽取1人為不達(dá)標(biāo)的概率為.（1）請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表；（2）若用分層抽樣的方法在所有測(cè)試不達(dá)標(biāo)的學(xué)生中隨機(jī)抽取6人，問(wèn)其中從甲、乙兩個(gè)班分別抽取多少人？（3）從（2）中的6人中隨機(jī)抽取2人，求抽到的兩人恰好都來(lái)自甲班的概率．組別達(dá)標(biāo)不達(dá)標(biāo)總計(jì)甲班8乙班54合計(jì)1207、（本小題滿分12分）對(duì)某校高一年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽去了名學(xué)生作為樣本，得到這名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)，根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表如下：（1）求出表中的值；（2）在所取樣本中，從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于次的學(xué)生中任選人，求至少一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率．8、（本小題滿分12分）某地區(qū)有小學(xué)所，中學(xué)所，大學(xué)所，現(xiàn)采取分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取所學(xué)校對(duì)學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查。（1）求應(yīng)從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目．（2）若從抽取的所學(xué)校中隨機(jī)抽取所學(xué)校做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析，求抽取的所學(xué)校均為小學(xué)的概率．9、（本小題滿分12分）沙糖桔是柑桔類的名優(yōu)品種，因其味甜如砂糖故名.某果農(nóng)選取一片山地種植沙糖桔，收獲時(shí)，該果農(nóng)隨機(jī)選取果樹(shù)20株作為樣本測(cè)量它們每一株的果實(shí)產(chǎn)量（單位：kg），獲得的所有數(shù)據(jù)按照區(qū)間進(jìn)行分組，得到頻率分布直方圖如圖3.已知樣本中產(chǎn)量在區(qū)間上的果樹(shù)株數(shù)是產(chǎn)量在區(qū)間上的果樹(shù)株數(shù)的倍.（1）求,的值；（2）從樣本中產(chǎn)量在區(qū)間上的果樹(shù)隨機(jī)抽取兩株，求產(chǎn)量在區(qū)間上的果樹(shù)至少有一株被抽中的概率.10、(本題滿分13分)我市為增強(qiáng)市民的環(huán)境保護(hù)意識(shí)，面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者.現(xiàn)從符合條件的志愿者中隨機(jī)抽取100名按年齡（單位：歲）分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）若從第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參加廣場(chǎng)的宣傳活動(dòng)，應(yīng)從第3，4，5組各抽取多少名志愿者？（2）請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名志愿者樣本的平均數(shù)；（3）在（1）的條件下，該市決定在這6名志愿者中隨機(jī)抽取2名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗(yàn)，求第4組至少有一名志愿者被抽中的概率.（參考數(shù)據(jù)：）1．(本題滿分１２分)解：（1）由，………….4分則………….6分（2）上學(xué)所需時(shí)間不少于40的學(xué)生的頻率為：………….8分估計(jì)學(xué)校1000名新生中有：………….11分答：估計(jì)學(xué)校1000名新生中有250名學(xué)生可以申請(qǐng)住宿.…12分2、解：（1）由題意得,………………4分所以,……………………6分（2）記從城市A所抽取的民營(yíng)企業(yè)分別為，從城市B抽取的民營(yíng)企業(yè)分別為.則從城市A、B抽取的6個(gè)中再隨機(jī)選2個(gè)進(jìn)行跟蹤式調(diào)研的基本事件有,,,,,,,,,,,,,,共15個(gè)………………8分其中，來(lái)自城市A:,,,,,共６個(gè)………10分因此.故這2個(gè)都來(lái)自城市A的概率為.………12分3、解：（1）由樣本數(shù)據(jù)知，30件產(chǎn)品中，一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件.……3分∴樣本中一等品的頻率為，故估計(jì)該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的一等品率為,……4分二等品的頻率為，故估計(jì)該廠產(chǎn)品的二等品率為,……5分三等品的頻率為，故估計(jì)該廠產(chǎn)品的三等品率為．………6分（2）樣本中一等品有6件，其中等級(jí)系數(shù)為7的有3件，等級(jí)系數(shù)為8的有3件，…7分記等級(jí)系數(shù)為7的3件產(chǎn)品分別為、、，等級(jí)系數(shù)為8的3件產(chǎn)品分別為、、,則從樣本的一等品中隨機(jī)抽取2件的所有可能為：,,，，，,,,,，,,,共15種，…………10分記從“一等品中隨機(jī)抽取2件，2件等級(jí)系數(shù)都是8”為事件，則包含的基本事件有共3種，………11分故所求的概率.……12分4、解：（1）共有1400名學(xué)生，高二級(jí)抽取的人數(shù)為（人）…………3分（2）“服務(wù)滿意度為3”時(shí)的5個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，……………4分所以方差………………7分（3）符合條件的所有學(xué)生共7人，其中“服務(wù)滿意度為2”的4人記為“服務(wù)滿意度為1”的3人記為.……9分在這7人中抽取2人有如下情況：共21種情況.……11分其中至少有一人的“服務(wù)滿意度為1”的情況有15種.……12分所以至少有一人的“服務(wù)滿意度”為1的概率為……14分5、.解：（1）由頻率分布表可知：這15名乘客中候車時(shí)間少于10分鐘的人數(shù)為8，所以，這60名乘客中候車時(shí)間少于10分鐘的人數(shù)大約等于人.…4分（2）設(shè)第三組的乘客為，第四組的乘客為1，2；“抽到的兩個(gè)人恰好來(lái)自不同的組”為事件.………………5分所得基本事件共有15種，即：…8分其中事件包含基本事件，共8種，………10分由古典概型可得，………12分6、.解：（1）組別達(dá)標(biāo)不達(dá)標(biāo)總計(jì)甲班54862乙班54458合計(jì)10812120……3分（2）由表可知：用分層抽樣的方法從甲班抽取的人數(shù)為人，……………4分從乙班抽取的人數(shù)為人……………5分（3）設(shè)從甲班抽取的人為，從乙班抽取的人為1，2；“抽到的兩個(gè)人恰好都來(lái)自甲班”為事件.………6分所得基本事件共有15種，即：……………8分其中事件包含基本事件，共6種，……10分由古典概型可得……………………12分7、（本小題滿分12分）解：（1）因?yàn)椋浴?分又因?yàn)?，所以…………?分所以，……………4分（2）設(shè)參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在內(nèi)的學(xué)生為，參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在內(nèi)的學(xué)生為；……………5分任選名學(xué)生的結(jié)果為：共種情況；……………8分其中至少一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的情況有，共種情況…10分每種情況都是等可能出現(xiàn)的，所以其中至少一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率為.……………12分8、（1）解：從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目為3,2,1.…………3分（2）解：在抽取到得6所學(xué)校中，3所小學(xué)分別記為,2所中學(xué)分別記為大學(xué)記為，則抽取2所學(xué)校的所有可能結(jié)果為,,,,,,,,,,,,,,.共15種?！?分從6所學(xué)校中抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)（記為事件A）的所有可能結(jié)果為,，共3種，所以…………12分9、（1）解:樣本中產(chǎn)量在區(qū)間上的果樹(shù)有（株），…………1分樣本中產(chǎn)量在區(qū)間上的果樹(shù)有（株），……………2分依題意，有，即.①…………3分根據(jù)頻率分布直方圖可知，②…………4分解①②得:.……………6分（2）解：樣本中產(chǎn)量在區(qū)間上的果樹(shù)有株，分別記為………7分產(chǎn)量在區(qū)間上的果樹(shù)有株，分別記為.…8分從這株果樹(shù)中隨機(jī)抽取兩株共有15種情況：，，.……………10分其中產(chǎn)量在上的果樹(shù)至少有一株共有9種情況：，.………11分記“從樣本中產(chǎn)量在區(qū)間上的果樹(shù)隨機(jī)抽取兩株，產(chǎn)量在區(qū)間上的果樹(shù)至少有一株被抽中”為事件，則.……………12分10、解：(1)第3組的人數(shù)為0.3×100=30,第4組的人數(shù)為0.2×100=20,第5組的人數(shù)為0.1×100=10.……2分因?yàn)榈?,4,5組共有60名志愿者,所以利用分層抽樣的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每組抽取的人數(shù)分別為:第3組:×6=3;第4組:×6=2;第5組:×6=1.所以應(yīng)從第3,4,5組中分別抽取3人,2人,1人.………………4分（2）根據(jù)頻率分布直方圖，樣本的平均數(shù)的估計(jì)值為:（歲）所以，樣本平均數(shù)為31.25歲.……………………8分(3)記第3組的3名志愿者為A1,A2,A3,第4組的2名志愿者為B1,B2,第5組的1名志愿者為C1.則從6名志愿者中抽取2名志愿者有:(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有15種.…………10分其中第4組的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有9種……11分根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式，得………12分答：第4組至少有一名志愿者被抽中的概率為……13分概率統(tǒng)計(jì)經(jīng)典題易錯(cuò)題1、（2010年遼寧高考試題節(jié)選）將這200只家兔隨機(jī)地分成兩組，每組100只，其中一組注射藥物A，另一組注射藥物B。甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同組的概率。錯(cuò)解：錯(cuò)因分析：（1）誤認(rèn)為甲乙分在不同組的概率是相同的。（2），（3）關(guān)鍵原因是沒(méi)弄清基本事件是什么？古典概型要求基本事件有限個(gè)并且是等可能發(fā)生的。正確解答：法1：法2：法3：法4：變式練習(xí)：（2012濰坊一模）某工廠將甲、乙等五名新招聘員工分配到三個(gè)不同的車間．每個(gè)車間至少分配一名員工，若甲、乙兩名員工必須分到同一個(gè)車間，則不同分法的種數(shù)為。2、（2012年青島一模試題改編）一個(gè)盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個(gè)函數(shù)：,,，，，．（1）從中任意抽取張卡片，①求兩張卡片上寫著的函數(shù)都是奇函數(shù)的概率；②設(shè)所抽取奇函數(shù)的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。（2）從中任意抽取張卡片，在其中有一張卡片上寫著的函數(shù)為奇函數(shù)的條件下，求兩張卡片上寫著的函數(shù)都是奇函數(shù)的概率。（3）不放回地逐次抽取張卡片，①求兩張卡片上寫著的函數(shù)都是奇函數(shù)的概率。②設(shè)所抽取奇函數(shù)的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。（4）不放回地逐次抽取張卡片，在第一次抽取的卡片上寫著的函數(shù)為奇函數(shù)的條件下，求兩張卡片上寫著的函數(shù)都是奇函數(shù)的概率。（5）不放回地逐次抽取張卡片，在其中有一張卡片上寫著的函數(shù)為奇函數(shù)的條件下，求兩張卡片上寫著的函數(shù)都是奇函數(shù)的概率。（6）有放回地逐次抽取張卡片，①求兩張卡片上寫著的函數(shù)都是奇函數(shù)的概率。②設(shè)所抽取奇函數(shù)的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。（7）有放回地逐次抽取張卡片，在第一次抽取的卡片上寫著的函數(shù)為奇函數(shù)的條件下，求兩張卡片上寫著的函數(shù)都是奇函數(shù)的概率。（8）有放回地逐次抽取張卡片，在其中有一張卡片上寫著的函數(shù)為奇函數(shù)的條件下，求兩張卡片上寫著的函數(shù)都是奇函數(shù)的概率。分析：（1）通過(guò)本題的變式訓(xùn)練，弄清一下取兩個(gè)、不放回地逐次抽取、有放回地逐次抽取這三種不同的抽取方法。（2）弄清條件概率。3、條件概率，相互獨(dú)立事件，互斥（對(duì)立）事件甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球。先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以和表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是___②④_____（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）。①；②；③事件與事件相互獨(dú)立；④是兩兩互斥的事件；⑤的值不能確定，因?yàn)樗c中哪一個(gè)發(fā)生有關(guān)。分析：，4、在區(qū)間[0,2]上任取兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，則函數(shù)f(x)＝x3＋ax－b在區(qū)間[－1,1]上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)的概率是______．分析：幾何概型。研究f(x)＝x3＋ax－b的單調(diào)性，并利用零點(diǎn)存在定理。答案：5、某大學(xué)為調(diào)查來(lái)自南方和北方的同齡大學(xué)生的身高差異，從2011級(jí)的年齡在18～19歲之間的大學(xué)生中隨機(jī)抽取了一自南方和北方的大學(xué)生各10名，測(cè)量他們的身高,量出的身高如下（單位:cm）南方：158，170，166，169，180，175，171，176，162，163北方：183，173，169，163，179，171，157，175，178，166（1）根據(jù)抽測(cè)結(jié)果，做出莖葉圖，并根據(jù)你填寫的莖葉圖，對(duì)來(lái)自南方和北方的大學(xué)生的身高作比較，寫出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)論．（2）設(shè)抽測(cè)的10名南方大學(xué)生的平均身高為,將10名同學(xué)的身高依次輸入按程序框圖進(jìn)行運(yùn)算,問(wèn)輸出的大小為多少？并說(shuō)明的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義．若將樣本頻率視為總體的概率,現(xiàn)從來(lái)自南方的大學(xué)生中隨機(jī)抽取3名同學(xué)，記其中身高不低于平均身高的同學(xué)的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX若從抽測(cè)的10名南方大學(xué)生中隨機(jī)抽取3名同學(xué)，記其中身高不低于平均身高的同學(xué)的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX注意：提示學(xué)生高度重視審題！區(qū)別第（3）問(wèn)和第（4）問(wèn)。第（3）問(wèn)是二項(xiàng)分布問(wèn)題，，X0123P第（4）問(wèn)是超幾何分布問(wèn)題。X0123P6、某學(xué)校舉行知識(shí)競(jìng)賽,第一輪選拔共設(shè)有四個(gè)問(wèn)題，規(guī)則如下：每位參加者計(jì)分器的初始分均為10分，答對(duì)問(wèn)題分別加1分、2分、3分、6分，答錯(cuò)任一題減2分；每回答一題，計(jì)分器顯示累計(jì)分?jǐn)?shù)，當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)小于8分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局；當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)大于或等于14分時(shí)，答題結(jié)束，進(jìn)入下一輪；當(dāng)答完四題，累計(jì)分?jǐn)?shù)仍不足14分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局，當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)大于或等于14分時(shí)，答題結(jié)束，進(jìn)入下一輪；當(dāng)答完四題，累計(jì)分?jǐn)?shù)仍不足14分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局；每位參加者按問(wèn)題順序作答，直至答題結(jié)束.假設(shè)甲同學(xué)對(duì)問(wèn)題回答正確的概率依次為，且各題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響.(Ⅰ)求甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率；（Ⅱ）用表示甲同學(xué)本