5論文格式及寫作要求樣本

PAGE（先作頁面設(shè)置：A4紙，上邊距為3.0cm，下邊距為2.5cm，左邊距為2.5cm，右邊距為2.5cm。頁眉和頁腳邊距為1.5cm。行間距為1.5倍。）數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)列解題中的應(yīng)用（三號黑體，居中）（中間空一行）摘要（四號黑體，居中）（“摘要”二字中間空一個漢字的位置）（中間空一行）（以下是小四號宋體；摘要中應(yīng)包括：（1）選題的背景；（2）論文的主要內(nèi)容，目錄中的二級標(biāo)題都要列入；（3）寫作的目的和意義。）（背景）數(shù)學(xué)教學(xué)包含數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是優(yōu)化數(shù)學(xué)課堂的一種方式．學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題時，如果以恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法作指導(dǎo)，加之熟練掌握數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，就可以使得各類數(shù)學(xué)問題迎刃而解．實際中，解決各類數(shù)學(xué)問題均需要有相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法作指導(dǎo)，而學(xué)生不一定注重數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)和應(yīng)用．（論文主要內(nèi)容）論文就解決數(shù)列問題的常用數(shù)學(xué)思想方法，包括方程思想、函數(shù)思想、整體思想、化歸思想、分類討論思想、歸納與遞推思想、對稱思想、特殊化思想、數(shù)形結(jié)合思想、極限思想及建模思想作探討．（意義）旨在幫助學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)思想方法的重要性，并能以數(shù)學(xué)思想方法為指導(dǎo)解決數(shù)列問題．（中間空一行）關(guān)鍵詞：（小四號黑體）數(shù)學(xué)思想方法；數(shù)列；應(yīng)用（小四號宋體，中間用分號隔開，末尾不加標(biāo)點。一般寫3至5個為宜）

TheApplicationoftheMathematicalThoughtandMethodintheSolutionofSequenceofNumber（TimesNewRoman字體，四號加粗，居中；第一個單詞和實詞的首字母大寫）（中間空一行）Abstract:（TimesNewRoman字體，小四號加粗，頂格寫）Mathematicalteachingincludestheteachingofmathematicalthoughtandmethod,whichisakindofwayofoptimizingthemathematicalclass.Whenstudentssolvemathematicalproblems，iftheyareguidedbypropermathematicalthoughtandmethod,inadditiontograspthemathematicalknowledgestructureskillfully,thenthevariouskindsofmathematicalproblemswillbereadilysolved.Indailystudy,solvingdifferentkindsofmathematicalproblemsneedsthecorrespondingmathematicalthoughtandmethodtobetheguidance.However,studentsdon’talwayspaymuchattentiontothestudyofmathematicalthoughtandmethod.Therefore,thispaperdiscussesthecommonlyusedmathematicalthoughtandmethodinsolvingtheproblemsofthesequenceofnumber,whichincludingthethoughtofequation,thefunctionalthought,thewholethought,thetransformationthought,thethoughtofclassificationdiscussion,thethoughtofinductionandrecursion,thesymmetricalthought,thethoughtofthecombinationofnumberandform,thelimitthoughtandthethoughtofmodeling.Throughthesediscussions,thisthesisaimstohelpstudentstoknowtheimportanceofthemathematicalthoughtandmethod,andenablesthemtosolvetheproblemsofthesequenceofnumberundertheguidanceofthemathematicalthoughtandmethod.（TimesNewRoman字體，小四號）（中間空一行）Keywords:（TimesNewRoman字體，小四號加粗，頂格寫）themathematicalthoughtandmethod;sequenceofnumber;application（TimesNewRoman字體，小四號，中間用分號隔開，末尾不加標(biāo)點）

目錄（四號黑體，居中）（“目錄”二字中間空一個漢字的位置）（中間空一行）（下面的文字為小四號宋體，所有標(biāo)題的第一個漢字對齊，一級標(biāo)題加粗）（注意：標(biāo)題1（引言）、2（文獻(xiàn)綜述）和最后一部分（結(jié)論）以及它們下面的二級標(biāo)題都要用樣本中的標(biāo)題，不得改變）1引言 12文獻(xiàn)綜述 12.1國內(nèi)外研究現(xiàn)狀 12.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀評價 22.3提出問題 23數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)列解題中的應(yīng)用 23.1方程思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用 23.2函數(shù)思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用 53.3整體思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用 123.4化歸轉(zhuǎn)化思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用 153.5分類討論思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用 183.6歸納、遞推思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用 233.7對稱思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用 253.8特殊化思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用 273.9數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用 273.10極限思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用 283.11建模思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用 294結(jié)論 304.1主要發(fā)現(xiàn) 304.2啟示 314.3局限性 314.4努力方向 31參考文獻(xiàn) 32PAGE31引言（一級標(biāo)題小三號黑體，頂格寫）（正文除標(biāo)題外全設(shè)為小四號宋體；1.5倍行距，段落設(shè)為首行縮進(jìn)兩字符，句號全用實心句點，占一個漢字的位置）（引言部分應(yīng)包括選題的背景、目的和意義）（背景）現(xiàn)在的中學(xué)生雖然能夠記住大量的數(shù)學(xué)公式，能說出課本上出現(xiàn)的諸多定義、定理，也做了不少數(shù)學(xué)習(xí)題，可是一旦遇到一個看起來比較新穎的習(xí)題時，還是會有許多學(xué)生感到束手無策，不知從何解起．出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因就在于學(xué)生平時只知道一味地做題，很少注意體會在解題過程中用過的思想方法．事實上“數(shù)學(xué)解題就是命題的連續(xù)變換，而命題的連續(xù)變換就是數(shù)學(xué)基本思想方法反復(fù)運用的過程”．如果缺乏必要的數(shù)學(xué)思想方法做指導(dǎo)，學(xué)生在解題時只能一會兒用這個公式套套，一會兒用那個定理試試，盲目地亂撞，這樣做是很難達(dá)到解題目的．可見，數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問題的指南．要想提高學(xué)生的解題能力，就必須幫助學(xué)生掌握最基本的數(shù)學(xué)思想方法[1]．?dāng)?shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識的精髓，是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，它不僅體現(xiàn)著數(shù)學(xué)理論內(nèi)部所固有的規(guī)律，還反映了人們在對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)認(rèn)識的不斷深化[2]．（目的和意義）數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，也是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接點之一，是高考必考內(nèi)容，數(shù)列部分的內(nèi)容蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想，如化納思想、方程思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想等，特別是數(shù)學(xué)思想方法的考查在高考中逐年在加大份量，因此在數(shù)列解題中要重視充分挖掘題材中的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)運用數(shù)學(xué)思想去分析、解決問題的意識和能力．下文通過典型實例，揭示了幾種重要的數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)列解題中的應(yīng)用，旨在拓寬人們分析問題的思路，提高人們解決實際問題的能力．2文獻(xiàn)綜述（一級標(biāo)題小三號黑體，頂格寫）2.1國內(nèi)外研究現(xiàn)狀(二級標(biāo)題四號黑體，頂格寫）(如果有三級標(biāo)題，設(shè)為小四號黑體頂格寫)(閱讀最近三至五年有關(guān)此選題的所有文獻(xiàn)，歸納總結(jié)后按研究成果分類介紹這些文獻(xiàn)的主要結(jié)論，同類文獻(xiàn)放在一起介紹；注意下面提到的文獻(xiàn)都算是引用參考文獻(xiàn)，后面按（首次）引用的先后順序排序，在正文中看到的引用文獻(xiàn)編號則從[1]開始，從小到大順次出現(xiàn))現(xiàn)查閱到的參考文獻(xiàn)中，分別就數(shù)學(xué)各種思想方法在解決數(shù)列問題中的應(yīng)用做出說明．其中隋澈在文獻(xiàn)[1]中強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想對解決數(shù)學(xué)問題的重要性，強(qiáng)調(diào)只有注重學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)才能讓學(xué)生在遇到陌生問題時有法可尋．范治順在文獻(xiàn)[2]中較詳盡的對解決數(shù)列問題的常用數(shù)學(xué)思想方法列舉說明．趙春祥在文獻(xiàn)[3]中僅針對數(shù)列中的四種常用數(shù)學(xué)思想舉例說明其用途．王衛(wèi)華、劉玉芳、李會煜、佟建銘在文獻(xiàn)[4、5]中針對數(shù)列中的數(shù)學(xué)思想方法展開論述，文獻(xiàn)中常用數(shù)學(xué)思想方法列舉全面，舉例說明詳盡．李晶在文獻(xiàn)[6]中針對整體思想展開描述，并舉例說明整體思想在解決數(shù)列問題中的應(yīng)用．文獻(xiàn)[8]中，張弦、趙丹舉例說明“數(shù)形結(jié)合”思想方法在解決數(shù)列問題中的應(yīng)用．文獻(xiàn)[10-12]中作者應(yīng)用各類數(shù)學(xué)思想方法解決數(shù)學(xué)問題舉例說明．黃俊峰在文獻(xiàn)[14]中提出特殊化思想可方便快捷地解決數(shù)列中的一些問題．田照亮在文獻(xiàn)[15]中提出針對某些實際問題可利用數(shù)學(xué)建模思想結(jié)合數(shù)列知識解決．2.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀評價（二級標(biāo)題四號黑體，頂格寫）（對前面的文獻(xiàn)作整體評價，指出還可以繼續(xù)研究的問題，注意指出缺點時語氣要委婉）文獻(xiàn)[1-10]分別就數(shù)學(xué)思想方法的重要性及數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)列解題中的意義舉例作了說明，文獻(xiàn)中主要闡述一種或幾種思想方法在數(shù)列解題中的應(yīng)用，沒有全面地介紹常用數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)列解題中的應(yīng)用．而且文獻(xiàn)中對怎樣應(yīng)用數(shù)學(xué)思想解決數(shù)列問題提及甚少，對學(xué)生在應(yīng)用中存在的問題也未給出詳細(xì)深入的說明．2.3提出問題（二級標(biāo)題四號黑體，頂格寫）（結(jié)合2.2中指出的還可以繼續(xù)研究的問題，提出本文要討論的問題）部分高中生已具備較強(qiáng)的學(xué)習(xí)能力，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中會根據(jù)教師的指導(dǎo)，除學(xué)好基礎(chǔ)知識外，還體會數(shù)學(xué)思想方法，總結(jié)概括以指導(dǎo)方便快捷地解決問題．但對于普通高中多數(shù)學(xué)生，要較好地掌握高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識尚且困難，更談不上留心體會解決問題過程中所涉及的數(shù)學(xué)思想方法．因此，除對解決問題的過程中應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想方法作介紹外，還需對應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法過程中學(xué)生可能遇到的難點及解決辦法作探討，包括對使用這些方法的目的、作用作闡述．3數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)列解題中的應(yīng)用（一級標(biāo)題小三號黑體，頂格寫）3.1方程思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用（二級標(biāo)題四號黑體，頂格寫）（每個標(biāo)題下面都應(yīng)有觀點闡述，如關(guān)于中學(xué)解題類的論文，應(yīng)說明標(biāo)題中的方法怎樣做，并分析學(xué)生在運用時存在什么困難，容易忽視什么問題或容易犯什么錯誤，怎樣解決？等等。例題應(yīng)在解之前加分析（針對較難的例題）或解之后加評注（針對相對簡單的例題），在分析和評注中進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)、突出觀點。）用方程思想處理數(shù)列問題，就是將原問題歸結(jié)為確定待定未知數(shù)的值，而這些未知數(shù)的確定又通過建立方程組求解來完成．例1是否存在這樣的等差數(shù)列，使它的首項為1，公差不為0，且前3n項中，前n項的和與后2n項的和的比值對于任意自然數(shù)都等于常數(shù)？若存在，請求出數(shù)列的通項公式及該常數(shù)；若不存在，請說明理由．解：若存在這樣的等差數(shù)列，其公差為d，前n項的和記為，則其后2n項的和為．由題意得：記(為常數(shù))將其變形得：（1）將和代入（1）得化簡整理得：（2）要使（2）成為恒等式的充要條件是 解方程組得：又故存在這樣的等差數(shù)列，其通項公式為常數(shù)評注：將問題歸結(jié)為對未知數(shù)的確定，運用待定系數(shù)法和通過對方程組的求解來完成．為了求出數(shù)列中的某些量，有時要將已知量、未知量置于方程之中，求出我們關(guān)心的量，進(jìn)而使問題得以解決．這也是方程思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用．例2設(shè)數(shù)列的各項均為正數(shù)，且滿足；是滿足的數(shù)列．(l)求滿足的值；(2)又若，對于恒成立，且，數(shù)列的前10項之和為20，求的值．解：（1）依題意代入得當(dāng)時，且當(dāng)時，（2）由，對于恒成立可知數(shù)列為常數(shù)數(shù)列．所以化簡得：又知從而解此方程組得：評注：該題明顯需應(yīng)用方程思想求解，要求學(xué)生能熟練應(yīng)用數(shù)列及對數(shù)的性質(zhì)．例3設(shè)，，求證：對于不可能有某一正整數(shù)，使能被1998整除．證明：由（1）得所以由（1）平方整理得：（2）進(jìn)而有這說明是二次方程的兩個根，根據(jù)韋達(dá)定理有假定存在，滿足1998整除，由3整除1998知3整除，而，故3整除．仿此類推3整除，3整除，…，3整除，3整除，這與矛盾．在求等差數(shù)列、等比數(shù)列中的有關(guān)量時，利用方程思想可以方便地解決數(shù)列中的計算問題．例4有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是12，求此四個數(shù)．解:設(shè)所求的四個數(shù)分別為，，，．則解得：或所以所求四個數(shù)為：0，4，8，16或15，9，3，1．評注：該題解決過程中設(shè)未知數(shù)應(yīng)使未知量個數(shù)盡量少，之后應(yīng)用方程思想列方程組求解．3.2函數(shù)思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用（二級標(biāo)題四號黑體，頂格寫）數(shù)列是特殊的函數(shù)，用函數(shù)觀點把數(shù)列中的數(shù)量關(guān)系表示出來加以研究，這種利用函數(shù)思想合理轉(zhuǎn)化的方法是解決數(shù)列問題的重要策略．例5已知項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列奇數(shù)項的和為44，偶數(shù)項的和為33，求這個數(shù)列的項數(shù)及中間項．解：設(shè)這個數(shù)列共有項，由于是關(guān)于n的一次函數(shù)，則點，，共線．由斜率相等得：解得：所以該數(shù)列共有7項，中間項為11．評注：在等差數(shù)列中，其前n項和公式可以變形為:所以是n的一次函數(shù)，且點均在直線上．因此，在解等差數(shù)列問題時，若能把問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)來研究，就很方便快捷．例6等差數(shù)列的首項，前n項和為，若，問n為何值時，最大?解：因為所以即因為所以因為且均為自然數(shù)，所以又因為且故以為自變量的二次函數(shù)圖像開口向下，于是有最大值．①如果為偶數(shù)，當(dāng)時，有最大值②如果為奇數(shù)，當(dāng)時，有最大值評注：等差數(shù)列的前項和公式為二次函數(shù)，求其最值自然聯(lián)系到用二次函數(shù)求最值的思想，該例中學(xué)生討論的取值是一個難點，最終結(jié)論分奇、偶數(shù)討論也應(yīng)該引起學(xué)生注意．因為數(shù)列本身就是定義域為的函數(shù)，所以可構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的有界性，單調(diào)性等性質(zhì)解決數(shù)列問題．例7(1998年全國高考題)已知數(shù)列是等差數(shù)列，，(l)求數(shù)列的通項；(2)設(shè)數(shù)列的通項（其中，且），記為數(shù)列的前n項和，試比較與的大小，并證明你的結(jié)論．解：（1）（2）與只要比較與的大?。孪霕?gòu)造函數(shù)有：，所以故對所有，都有．①當(dāng)時，；②當(dāng)時，．評注：該題求出的前項和后，利用對數(shù)的性質(zhì)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解，學(xué)生利用作商構(gòu)造函數(shù)討論大小是處理本題的難點．例8已知函數(shù)，且構(gòu)成一個數(shù)列，又．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)證明．證明：（1）令故所以(2)所以可得：例9設(shè)數(shù)列通項公式：（1）求；（2）若對一切恒成立，求的取值范圍．解：（1）（2），增大，無限減少，所以要使恒成立，必有：，整理得：，所以或．故或數(shù)列是定義在自然數(shù)集或它的有限子集的函數(shù)．尤其是等差數(shù)列的通項公式，前項和公式，分別是關(guān)于的一次函數(shù)和二次函數(shù)．用函數(shù)的觀點去處理數(shù)列的問題，能使我們更深刻地理解數(shù)列．例10在等差數(shù)列中已知，，求的值．解：由題意知：，，設(shè)等差數(shù)列前n項和解之得：所以故例11設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，已知，，．（1）求公差d的取值范圍；（2）指出中的哪一個值最大并說明理由．解：（1）因為所以又所以，即解之得：（2）因為又，所以當(dāng)最小時，最大．由得：又，故最大．?dāng)?shù)列是按一定次序排列的一列數(shù)，它可以看作是一個定義域為正整數(shù)或是它的有限子集的函數(shù)當(dāng)自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值，因此數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，用函數(shù)的思想研究解決數(shù)列的有關(guān)問題是必須掌握的一種方法[3]．例12(高考題改編)在等差數(shù)列中，，，則的最大值為多少．解：由及，得所以考察二次函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)有最大值，又所以當(dāng)或時，有最大值42．評注：數(shù)列的通項公式、前n項和的公式，都可以看成關(guān)于n的函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)去求解．3.3整體思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用（二級標(biāo)題四號黑體，頂格寫）整體思想是數(shù)學(xué)解題中的一種常用的思想方法，它是從整體觀點出發(fā)研究問題的心理活動過程，是將已知條件或需要解決的問題看作一個整體，通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)，并注意已知條件及待求結(jié)論在這個“整體”中的地位和作用，然后通過對整體結(jié)構(gòu)的調(diào)節(jié)和轉(zhuǎn)化使問題獲解．有些數(shù)列問題，如果分開求解，運算過程會比較麻煩或者解題思路不清晰；如果通過對問題的整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，通?？梢院喕忸}過程，減少運算量．例13等差數(shù)列，的前n項和分別為與，若=，求的值．解：因為，所以評注：該題注意到，之后，與，與就可以聯(lián)系在一起了，從而將從整體上把已知條件與待求式子聯(lián)系起來，解題思路便容易找到．該題要求學(xué)生熟練掌握等差數(shù)列性質(zhì)．整體思想在數(shù)列中體現(xiàn)一種運算策略，就是將一些較為復(fù)雜的式子看作一個整體，進(jìn)行整體代入，整體換元，整體消元．例2一個等比數(shù)列，前項和為48，前項和為60，求其前項的和解：設(shè)數(shù)列的首項為，公比為則所以化簡得：又所以評注：處理題目時，避開具體細(xì)節(jié)和局部特征，從對象的整體的共性去思考，往往能簡化運算，從而使解題簡便．例14(2005全國卷Ⅰ)設(shè)正項等比數(shù)列首項，前項和為，且．(1)求的通項;(2)求的前項和．解：（1）由得：，即．得：．因為，所以解得：，所以，（2）因為是首項，公比的等比數(shù)列，故，．則數(shù)列的前項和為：則兩式相減得：，即評注：該題主要考查等比數(shù)列的基本知識，考查分析問題能力和推理能力．由式運用整體消元的思想比較容易得到所求結(jié)果．該題如果先求出公差，再求通項則比較繁瑣；第二問考查的是典型的分組求和與錯位相減法，錯位相減法是運用整體變形思想的一種方法．此外，“整體代入法”、“倒序相加法”也蘊含著整體變形的思想．3.4化歸轉(zhuǎn)化思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用（二級標(biāo)題四號黑體，頂格寫）化歸思想就是利用所學(xué)的知識和方法去揭示新與舊、復(fù)雜與簡單、抽象與具體、整體與局部等問題之間的關(guān)系，并通過一系列的變換，化未知為已知的解題過程．例15等差數(shù)列的前n項和為，已知是的最大值，且求使的n的最大值．解：因為是的最大值，所以公差因為又因為所以，因為，所以當(dāng)時，，即當(dāng)時，評注：該題求使的的最大值，首先可能會想利用前項和公式討論，但行不通，故考慮從數(shù)列的結(jié)構(gòu)及變化趨勢分析，得出結(jié)論．而依據(jù)題設(shè)已知條件，利用劃歸思想可將求劃歸為，劃歸為，從而作出判斷．將研究對象在一定條件下轉(zhuǎn)化并歸結(jié)為另一種研究對象的思想稱之為化歸轉(zhuǎn)化思想．它一般表現(xiàn)為將有待解決的問題進(jìn)行不斷的轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式化、簡單的問題，使之逐步成為熟悉的、或已經(jīng)解決過的問題模式．例16(2005重慶)數(shù)列滿足：且，記．求數(shù)列的通項公式及數(shù)列的前項和．解：由得：帶入遞推關(guān)系式，整理得：即，可改寫為，則是首相為，公比的等比數(shù)列．故即由題設(shè)得：故評注：該題通過整體代入轉(zhuǎn)化將不是等比數(shù)列的問題轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列問題求解．例17(2005天津卷)已知：．當(dāng)時，，這時數(shù)列的前項和．解：當(dāng)時，，這時數(shù)列的前項和（1）（1）式兩邊同時乘以得：（2）（1）式減去（2）式得：若時，等式兩邊同除得：；若，評注:觀察的特征，即考慮利用錯位相減進(jìn)行化歸結(jié)合等比數(shù)列求和解決．3.5分類討論思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用（二級標(biāo)題四號黑體，頂格寫）分類思想是解決區(qū)分不同的數(shù)學(xué)對象或不同情況的一種重要思想．?dāng)?shù)列中的量在不同范圍取值時會有不同的情況，因此應(yīng)適當(dāng)對某些量進(jìn)行分類討論．如等比數(shù)列的前n項和公式要分q=1和ql兩種情況．分類就是按照一定的標(biāo)準(zhǔn)，把研究對象分成幾個互不重疊的部分．它既是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，也是一種重要的解題策略．在數(shù)學(xué)中分類求解的問題很多，在數(shù)列中也不例外．例18(上海市1989年高考題)已知等比數(shù)列的首項，公比，且，設(shè)數(shù)列的通項，數(shù)列，的前n項和分別記，，試比較與的大小．解:當(dāng)時，，因為所以當(dāng)時令得：，舍去；．當(dāng)時，，，所以即當(dāng)時即當(dāng)時，所以即綜上所述:當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，評注：該題針對等比數(shù)列前項和，需對的取值分情況討論．同學(xué)求解過程中難度在于除對的取值分和兩種情況外，在情型中還需對的取值有恰當(dāng)?shù)娜∩?，才能順利解決問題．例19(1997年全國高考題)已知數(shù)列，都是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比分別為p，q，其中，且，，設(shè)為數(shù)列的前n項和，求．解：因為所以當(dāng)時，因為所以時，所以（２）當(dāng)時，因為，所以在解答某些數(shù)學(xué)問題時，有時會有多種情況，對各種情況需加以分類，并逐類求解，然后綜合求解，這就是分類討論法．有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想，分類討論在高考試題中占有重要的位置．例20(2005全國卷Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項和（1）求的取值范圍;（2）設(shè)，記的前項和為，試比較與的大?。猓海?）因為是等比數(shù)列，，可得，當(dāng)時；當(dāng)時，即，上式等價于不等式組：（）（1）或（）（2）解（1）式得：解（2），由于可為奇數(shù)、可為偶數(shù)，得：綜上，的取值范圍是（2）由得：于是又因為且或當(dāng)或時：即當(dāng)且時即當(dāng)或時即評注：一般的，涉及到等比數(shù)列前項的和，要討論公比的各種情況;比較兩個數(shù)大小在作差以后，能因式分解的要討論各個因式的符號．例21(2005江西卷)已知數(shù)列的前項和滿足：，且，求數(shù)列的通項公式．解：先考慮偶數(shù)項有：…，所以同理考慮奇數(shù)項有：…，所以于是綜上可得：評注：這道題是數(shù)列中常見的下標(biāo)與項數(shù)n有關(guān)的題型，特別是項數(shù)n與-1有關(guān)的問題，一般的要討論n為奇數(shù)與偶數(shù)情況．分類討論是指在研究問題時，若對事物的整體研究有困難，可轉(zhuǎn)而研究事物的各個局部，通過對局部的研究，完成對整體的研究，要求學(xué)生思維慎密、嚴(yán)謹(jǐn)、不重復(fù)、不遺漏．3.6歸納、遞推思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用（二級標(biāo)題四號黑體，頂格寫）歸納、遞推是由個別、特殊事例，經(jīng)過觀察、分析作出猜想的推論方式，是邏輯思維的一種重要方法．解決數(shù)列問題中經(jīng)常用到歸納遞推思想．例22已知數(shù)列滿足關(guān)系，，求的通項公式．解：由已知數(shù)列中，，，，，觀察各項分子的變化規(guī)律：分母的變化規(guī)律：通過觀察、分析、歸納得：評注：該類題型通過列舉、歸納得出結(jié)論，考試中出現(xiàn)頻率高，學(xué)生解答過程中需注意觀察與聯(lián)想緊密結(jié)合．歸納思想是一種由特殊事例導(dǎo)出一般原理的思維方法，特別是運用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，關(guān)鍵在于時命題成立的推證，此步證明要具有目標(biāo)意識，應(yīng)注意與最終要達(dá)到的解題目標(biāo)進(jìn)行分析比較，以此確定和調(diào)控解題的方向，最終實現(xiàn)目標(biāo)，完成解題[4]．例23（2005北京卷）設(shè)數(shù)列的首項，且，記，求；判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論．解：（1），；（2）因為，所以，，猜想：是公比為的等比數(shù)列．證明如下：因為，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列．評注：“先猜后證”是解題的一種重要方法．先猜：不僅要猜結(jié)論，還要猜思路．后證:要用數(shù)學(xué)歸納法證明，有時也用其它證明方法．在實際應(yīng)用上，往往是“邊猜邊證”，把歸納猜想與演繹證明有機(jī)地結(jié)合起來，交互運用．另外，在求數(shù)列的通項公式解決有關(guān)數(shù)列比較大小的問題時，常運用歸納思想．3.7對稱思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用（二級標(biāo)題四號黑體，頂格寫）圖形對稱、數(shù)式對稱都是對稱思想在數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)．在等差數(shù)列、等比數(shù)列中用對稱的思想觀察、思考問題可使問題快速求解．例24已知等差數(shù)列的前五項和為45，第10項為30，求此前五項．解：設(shè)前五項分項為：則所以即又因為所以故前五項分別為：3，6，9，12，15．評注：該題利用對稱的思想假設(shè)未知數(shù)，從而簡化計算，方便求解結(jié)果．例25設(shè)等差數(shù)列的前n項和為已知，，．（1）求公差d的取值范圍；（2）指出中的哪一個值最大并說明理由解：（1）因為所以又所以，解之得：（2），可知等差數(shù)列是個單調(diào)遞減數(shù)列，若在中存在一個自然數(shù)，使，而，則就是中值最大者．因為，所以，所以是中值最大者．評注：該題根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，考慮利用對稱思想簡便得出結(jié)果．3.8特殊化思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用（二級標(biāo)題四號黑體，頂格寫）特殊化思想作為解題方法，有利于增強(qiáng)思維的嚴(yán)密性，形成完整的邏輯思維特殊化思想作為技巧在邏輯上是不嚴(yán)密的．特殊化思想也可以作為一種嚴(yán)密的解題方法．由反例來否定命題;還可以運用特例，得到問題的必要條件，然后再通過檢驗、證明，形成問題的充要條件．例26（2000年全國高考）（1）已知數(shù)列，其中，且數(shù)列為等比數(shù)列，求常數(shù);（2）設(shè)，是公比不相等的兩個等比數(shù)列，，證明數(shù)列不是等比數(shù)列．分析：（1）選取數(shù)列的前三項，它們必構(gòu)成等比數(shù)列，求得或3．再檢驗或3是否使得數(shù)列所有項成為等比數(shù)列即可．（2）若能找到某三項不成等比數(shù)列，即可證明數(shù)列不是等比數(shù)列．不妨證明它的前三項不成等比數(shù)列，便可得數(shù)列不是等比數(shù)列．評注：通常利用等比數(shù)列的定義來判斷是否是等比數(shù)列．而本題顯然計算量過大．第（1）小題先找到滿足等比數(shù)列的必要條件，而后證明其充要性．第（2）小題采用反例來否定一個命題是最簡潔而有說服力的方法．3.9“數(shù)形結(jié)合”思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用（二級標(biāo)題四號黑體，頂格寫）數(shù)形結(jié)合的基本思想是根據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，通過表象或再造想象構(gòu)造出與之相適應(yīng)的幾何圖形，并利用圖形的特征和規(guī)律解決數(shù)的問題；或?qū)D形信息部分或全部轉(zhuǎn)換成代數(shù)信息，削弱或清除形的推理部分，使要解決的形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的討論[13]．?dāng)?shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題的重要方法之一，在各類考試中具有舉足輕重的作用．下面就數(shù)列問題用數(shù)形結(jié)合的思想解答，目的在領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合思想．例27等差數(shù)列中，，若，則數(shù)列的前幾項的和最大？解：因為，，所以等差數(shù)列前項和是關(guān)于的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)（如圖），由于，所以當(dāng)或時，取最大值．評注：解決數(shù)列問題，數(shù)形結(jié)合思想作用很大，我們知道等差數(shù)列的通項及前n項和分別為關(guān)于的一次函數(shù)和二次函數(shù)，因此可借助函數(shù)圖像解決該類問題．3.10極限思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用（二級標(biāo)題四號黑體，頂格寫）極限是微積分中最基本、最主要的概念，它從數(shù)量上描述變量在變化過程中的變化趨勢，而在無限變化過程中考察變量的變化趨勢的思想就是極限思想[14]．下面舉例說明極限思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用．例28某城市2004年末汽車保有量為30萬輛，預(yù)計此后每年報廢上一年末汽車保有量的，并且每年新增汽車數(shù)量相同．為保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛？解：設(shè)2002年末汽車保有量為萬輛，以后各年末汽車保有量依次為萬輛，萬輛，…，每年新增汽車萬輛，則對于，有所以（1）當(dāng)，即時，，符合題意；（2）當(dāng)，即時，，且從而數(shù)列逐項增加，并且可以任意靠近，因此，如果要求汽車保有量不超過60萬輛，即則即（萬輛）．綜上所述，每年新增汽車不應(yīng)超過3．6萬輛．3.11建模思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用（二級標(biāo)題四號黑體，頂格寫）所謂數(shù)學(xué)建模，是指當(dāng)需要從定量的角度分析和研究一個實際問題時，用數(shù)學(xué)的符號和語言，把它表述為數(shù)學(xué)式子，也就是數(shù)學(xué)模型，然后用通過計算得到的模型結(jié)果來解釋實際問題，并接受實際的檢驗．這個建立數(shù)學(xué)模型的全過程就稱為數(shù)學(xué)建模[15]．?dāng)?shù)學(xué)建模思想多用于解決與實際聯(lián)系緊密的問題．例29某企業(yè)2004年的純利潤為500萬元，因設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降．若不能進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元，今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第年(今年為第一年)的利潤為萬元（n為正整數(shù)）．（1）設(shè)從今年起的前n年，若該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤為萬元，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計純利潤為萬元（須扣除技術(shù)改造資金），求，的表達(dá)式；（2）依上述預(yù)測，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤？解：（1）依題設(shè)，；．(2)．因為函數(shù)在上為增函數(shù)，所以當(dāng)時；當(dāng)時所以，當(dāng)時，．答：至少經(jīng)過4年，該企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計純利潤．評注：數(shù)學(xué)應(yīng)用問題中許多需應(yīng)用建模的思想建立數(shù)學(xué)模型求解．該題即需要建立數(shù)學(xué)模型，（1）建立數(shù)學(xué)模型后發(fā)現(xiàn)其與數(shù)列知識聯(lián)系緊密，故利用數(shù)列知識幫助求解；（2）中作差后應(yīng)用函數(shù)思想求解方便．4結(jié)論（一級標(biāo)題小三號黑體，頂格寫）4.1主要發(fā)現(xiàn)（二級標(biāo)題四號黑體，頂格寫）（寫本論文得出主要結(jié)論）數(shù)列是高考中的一種重要題型，題型靈活多變，一般的學(xué)生難于把握，在解決過程中困難重重，慌亂之中縱有幾次試手，也不能快速找到清晰的解題思路．然而當(dāng)學(xué)生能靈活應(yīng)用各種數(shù)學(xué)思想方法，以其為指導(dǎo)，并掌握數(shù)列中的基礎(chǔ)知識以后，問題將能夠迎刃而解，使得解決數(shù)列問題時思路清晰，運算簡便．尤其是應(yīng)用整體思想，函數(shù)思想在解決數(shù)列單選題及填空題時作用很大．4.2啟示（二級標(biāo)題四號黑體，頂格寫）（寫論文的過程中受到的啟發(fā)）從以上可以看出數(shù)列與數(shù)、式、函數(shù)、方程、不等式有著密切的聯(lián)系，在處理數(shù)列綜合問題時，若能靈活運用這些數(shù)學(xué)思想與方法，則會取得事半功倍的效果．教師在講解具體數(shù)學(xué)內(nèi)容和方法時，應(yīng)高度重視數(shù)學(xué)思想方法的挖掘和滲透，讓學(xué)生領(lǐng)悟其價值，滋生應(yīng)用的意識，從而掌握數(shù)學(xué)思想方法這個銳利的武器而受益終生．同時學(xué)生在解題和學(xué)習(xí)的過程中也應(yīng)該認(rèn)真思考，發(fā)現(xiàn)和歸納數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用．4.3局限性（二級標(biāo)題四號黑體，頂格寫）（本論文研究的不足之處）本