5論文格式及寫作要求樣本

PAGE（先作頁面設置：A4紙，上邊距為3.0cm，下邊距為2.5cm，左邊距為2.5cm，右邊距為2.5cm。頁眉和頁腳邊距為1.5cm。行間距為1.5倍。）數(shù)學思想方法在數(shù)列解題中的應用（三號黑體，居中）（中間空一行）摘要（四號黑體，居中）（“摘要”二字中間空一個漢字的位置）（中間空一行）（以下是小四號宋體；摘要中應包括：（1）選題的背景；（2）論文的主要內容，目錄中的二級標題都要列入；（3）寫作的目的和意義。）（背景）數(shù)學教學包含數(shù)學思想方法的教學，數(shù)學思想方法的教學是優(yōu)化數(shù)學課堂的一種方式．學生解決數(shù)學問題時，如果以恰當?shù)臄?shù)學思想方法作指導，加之熟練掌握數(shù)學知識結構，就可以使得各類數(shù)學問題迎刃而解．實際中，解決各類數(shù)學問題均需要有相應的數(shù)學思想方法作指導，而學生不一定注重數(shù)學思想方法的學習和應用．（論文主要內容）論文就解決數(shù)列問題的常用數(shù)學思想方法，包括方程思想、函數(shù)思想、整體思想、化歸思想、分類討論思想、歸納與遞推思想、對稱思想、特殊化思想、數(shù)形結合思想、極限思想及建模思想作探討．（意義）旨在幫助學生認識到數(shù)學思想方法的重要性，并能以數(shù)學思想方法為指導解決數(shù)列問題．（中間空一行）關鍵詞：（小四號黑體）數(shù)學思想方法；數(shù)列；應用（小四號宋體，中間用分號隔開，末尾不加標點。一般寫3至5個為宜）

TheApplicationoftheMathematicalThoughtandMethodintheSolutionofSequenceofNumber（TimesNewRoman字體，四號加粗，居中；第一個單詞和實詞的首字母大寫）（中間空一行）Abstract:（TimesNewRoman字體，小四號加粗，頂格寫）Mathematicalteachingincludestheteachingofmathematicalthoughtandmethod,whichisakindofwayofoptimizingthemathematicalclass.Whenstudentssolvemathematicalproblems，iftheyareguidedbypropermathematicalthoughtandmethod,inadditiontograspthemathematicalknowledgestructureskillfully,thenthevariouskindsofmathematicalproblemswillbereadilysolved.Indailystudy,solvingdifferentkindsofmathematicalproblemsneedsthecorrespondingmathematicalthoughtandmethodtobetheguidance.However,studentsdon’talwayspaymuchattentiontothestudyofmathematicalthoughtandmethod.Therefore,thispaperdiscussesthecommonlyusedmathematicalthoughtandmethodinsolvingtheproblemsofthesequenceofnumber,whichincludingthethoughtofequation,thefunctionalthought,thewholethought,thetransformationthought,thethoughtofclassificationdiscussion,thethoughtofinductionandrecursion,thesymmetricalthought,thethoughtofthecombinationofnumberandform,thelimitthoughtandthethoughtofmodeling.Throughthesediscussions,thisthesisaimstohelpstudentstoknowtheimportanceofthemathematicalthoughtandmethod,andenablesthemtosolvetheproblemsofthesequenceofnumberundertheguidanceofthemathematicalthoughtandmethod.（TimesNewRoman字體，小四號）（中間空一行）Keywords:（TimesNewRoman字體，小四號加粗，頂格寫）themathematicalthoughtandmethod;sequenceofnumber;application（TimesNewRoman字體，小四號，中間用分號隔開，末尾不加標點）

目錄（四號黑體，居中）（“目錄”二字中間空一個漢字的位置）（中間空一行）（下面的文字為小四號宋體，所有標題的第一個漢字對齊，一級標題加粗）（注意：標題1（引言）、2（文獻綜述）和最后一部分（結論）以及它們下面的二級標題都要用樣本中的標題，不得改變）1引言 12文獻綜述 12.1國內外研究現(xiàn)狀 12.2國內外研究現(xiàn)狀評價 22.3提出問題 23數(shù)學思想方法在數(shù)列解題中的應用 23.1方程思想在數(shù)列解題中的應用 23.2函數(shù)思想在數(shù)列解題中的應用 53.3整體思想在數(shù)列解題中的應用 123.4化歸轉化思想在數(shù)列解題中的應用 153.5分類討論思想在數(shù)列解題中的應用 183.6歸納、遞推思想在數(shù)列解題中的應用 233.7對稱思想在數(shù)列解題中的應用 253.8特殊化思想在數(shù)列解題中的應用 273.9數(shù)形結合思想在數(shù)列解題中的應用 273.10極限思想在數(shù)列解題中的應用 283.11建模思想在數(shù)列解題中的應用 294結論 304.1主要發(fā)現(xiàn) 304.2啟示 314.3局限性 314.4努力方向 31參考文獻 32PAGE31引言（一級標題小三號黑體，頂格寫）（正文除標題外全設為小四號宋體；1.5倍行距，段落設為首行縮進兩字符，句號全用實心句點，占一個漢字的位置）（引言部分應包括選題的背景、目的和意義）（背景）現(xiàn)在的中學生雖然能夠記住大量的數(shù)學公式，能說出課本上出現(xiàn)的諸多定義、定理，也做了不少數(shù)學習題，可是一旦遇到一個看起來比較新穎的習題時，還是會有許多學生感到束手無策，不知從何解起．出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因就在于學生平時只知道一味地做題，很少注意體會在解題過程中用過的思想方法．事實上“數(shù)學解題就是命題的連續(xù)變換，而命題的連續(xù)變換就是數(shù)學基本思想方法反復運用的過程”．如果缺乏必要的數(shù)學思想方法做指導，學生在解題時只能一會兒用這個公式套套，一會兒用那個定理試試，盲目地亂撞，這樣做是很難達到解題目的．可見，數(shù)學思想方法是解決數(shù)學問題的指南．要想提高學生的解題能力，就必須幫助學生掌握最基本的數(shù)學思想方法[1]．數(shù)學思想是數(shù)學知識的精髓，是知識轉化為能力的橋梁，它不僅體現(xiàn)著數(shù)學理論內部所固有的規(guī)律，還反映了人們在對數(shù)學知識本質認識的不斷深化[2]．（目的和意義）數(shù)列是高中數(shù)學中的重要內容，也是初等數(shù)學與高等數(shù)學的銜接點之一，是高考必考內容，數(shù)列部分的內容蘊含著豐富的數(shù)學思想，如化納思想、方程思想、函數(shù)思想、轉化思想等，特別是數(shù)學思想方法的考查在高考中逐年在加大份量，因此在數(shù)列解題中要重視充分挖掘題材中的數(shù)學思想，培養(yǎng)運用數(shù)學思想去分析、解決問題的意識和能力．下文通過典型實例，揭示了幾種重要的數(shù)學思想方法在數(shù)列解題中的應用，旨在拓寬人們分析問題的思路，提高人們解決實際問題的能力．2文獻綜述（一級標題小三號黑體，頂格寫）2.1國內外研究現(xiàn)狀(二級標題四號黑體，頂格寫）(如果有三級標題，設為小四號黑體頂格寫)(閱讀最近三至五年有關此選題的所有文獻，歸納總結后按研究成果分類介紹這些文獻的主要結論，同類文獻放在一起介紹；注意下面提到的文獻都算是引用參考文獻，后面按（首次）引用的先后順序排序，在正文中看到的引用文獻編號則從[1]開始，從小到大順次出現(xiàn))現(xiàn)查閱到的參考文獻中，分別就數(shù)學各種思想方法在解決數(shù)列問題中的應用做出說明．其中隋澈在文獻[1]中強調數(shù)學思想對解決數(shù)學問題的重要性，強調只有注重學生數(shù)學思想的培養(yǎng)才能讓學生在遇到陌生問題時有法可尋．范治順在文獻[2]中較詳盡的對解決數(shù)列問題的常用數(shù)學思想方法列舉說明．趙春祥在文獻[3]中僅針對數(shù)列中的四種常用數(shù)學思想舉例說明其用途．王衛(wèi)華、劉玉芳、李會煜、佟建銘在文獻[4、5]中針對數(shù)列中的數(shù)學思想方法展開論述，文獻中常用數(shù)學思想方法列舉全面，舉例說明詳盡．李晶在文獻[6]中針對整體思想展開描述，并舉例說明整體思想在解決數(shù)列問題中的應用．文獻[8]中，張弦、趙丹舉例說明“數(shù)形結合”思想方法在解決數(shù)列問題中的應用．文獻[10-12]中作者應用各類數(shù)學思想方法解決數(shù)學問題舉例說明．黃俊峰在文獻[14]中提出特殊化思想可方便快捷地解決數(shù)列中的一些問題．田照亮在文獻[15]中提出針對某些實際問題可利用數(shù)學建模思想結合數(shù)列知識解決．2.2國內外研究現(xiàn)狀評價（二級標題四號黑體，頂格寫）（對前面的文獻作整體評價，指出還可以繼續(xù)研究的問題，注意指出缺點時語氣要委婉）文獻[1-10]分別就數(shù)學思想方法的重要性及數(shù)學思想方法在數(shù)列解題中的意義舉例作了說明，文獻中主要闡述一種或幾種思想方法在數(shù)列解題中的應用，沒有全面地介紹常用數(shù)學思想方法在數(shù)列解題中的應用．而且文獻中對怎樣應用數(shù)學思想解決數(shù)列問題提及甚少，對學生在應用中存在的問題也未給出詳細深入的說明．2.3提出問題（二級標題四號黑體，頂格寫）（結合2.2中指出的還可以繼續(xù)研究的問題，提出本文要討論的問題）部分高中生已具備較強的學習能力，數(shù)學學習過程中會根據(jù)教師的指導，除學好基礎知識外，還體會數(shù)學思想方法，總結概括以指導方便快捷地解決問題．但對于普通高中多數(shù)學生，要較好地掌握高中數(shù)學基礎知識尚且困難，更談不上留心體會解決問題過程中所涉及的數(shù)學思想方法．因此，除對解決問題的過程中應用的數(shù)學思想方法作介紹外，還需對應用數(shù)學思想方法過程中學生可能遇到的難點及解決辦法作探討，包括對使用這些方法的目的、作用作闡述．3數(shù)學思想方法在數(shù)列解題中的應用（一級標題小三號黑體，頂格寫）3.1方程思想在數(shù)列解題中的應用（二級標題四號黑體，頂格寫）（每個標題下面都應有觀點闡述，如關于中學解題類的論文，應說明標題中的方法怎樣做，并分析學生在運用時存在什么困難，容易忽視什么問題或容易犯什么錯誤，怎樣解決？等等。例題應在解之前加分析（針對較難的例題）或解之后加評注（針對相對簡單的例題），在分析和評注中進一步強調、突出觀點。）用方程思想處理數(shù)列問題，就是將原問題歸結為確定待定未知數(shù)的值，而這些未知數(shù)的確定又通過建立方程組求解來完成．例1是否存在這樣的等差數(shù)列，使它的首項為1，公差不為0，且前3n項中，前n項的和與后2n項的和的比值對于任意自然數(shù)都等于常數(shù)？若存在，請求出數(shù)列的通項公式及該常數(shù)；若不存在，請說明理由．解：若存在這樣的等差數(shù)列，其公差為d，前n項的和記為，則其后2n項的和為．由題意得：記(為常數(shù))將其變形得：（1）將和代入（1）得化簡整理得：（2）要使（2）成為恒等式的充要條件是 解方程組得：又故存在這樣的等差數(shù)列，其通項公式為常數(shù)評注：將問題歸結為對未知數(shù)的確定，運用待定系數(shù)法和通過對方程組的求解來完成．為了求出數(shù)列中的某些量，有時要將已知量、未知量置于方程之中，求出我們關心的量，進而使問題得以解決．這也是方程思想在數(shù)列解題中的應用．例2設數(shù)列的各項均為正數(shù)，且滿足；是滿足的數(shù)列．(l)求滿足的值；(2)又若，對于恒成立，且，數(shù)列的前10項之和為20，求的值．解：（1）依題意代入得當時，且當時，（2）由，對于恒成立可知數(shù)列為常數(shù)數(shù)列．所以化簡得：又知從而解此方程組得：評注：該題明顯需應用方程思想求解，要求學生能熟練應用數(shù)列及對數(shù)的性質．例3設，，求證：對于不可能有某一正整數(shù)，使能被1998整除．證明：由（1）得所以由（1）平方整理得：（2）進而有這說明是二次方程的兩個根，根據(jù)韋達定理有假定存在，滿足1998整除，由3整除1998知3整除，而，故3整除．仿此類推3整除，3整除，…，3整除，3整除，這與矛盾．在求等差數(shù)列、等比數(shù)列中的有關量時，利用方程思想可以方便地解決數(shù)列中的計算問題．例4有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是12，求此四個數(shù)．解:設所求的四個數(shù)分別為，，，．則解得：或所以所求四個數(shù)為：0，4，8，16或15，9，3，1．評注：該題解決過程中設未知數(shù)應使未知量個數(shù)盡量少，之后應用方程思想列方程組求解．3.2函數(shù)思想在數(shù)列解題中的應用（二級標題四號黑體，頂格寫）數(shù)列是特殊的函數(shù)，用函數(shù)觀點把數(shù)列中的數(shù)量關系表示出來加以研究，這種利用函數(shù)思想合理轉化的方法是解決數(shù)列問題的重要策略．例5已知項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列奇數(shù)項的和為44，偶數(shù)項的和為33，求這個數(shù)列的項數(shù)及中間項．解：設這個數(shù)列共有項，由于是關于n的一次函數(shù)，則點，，共線．由斜率相等得：解得：所以該數(shù)列共有7項，中間項為11．評注：在等差數(shù)列中，其前n項和公式可以變形為:所以是n的一次函數(shù)，且點均在直線上．因此，在解等差數(shù)列問題時，若能把問題轉化為一次函數(shù)來研究，就很方便快捷．例6等差數(shù)列的首項，前n項和為，若，問n為何值時，最大?解：因為所以即因為所以因為且均為自然數(shù)，所以又因為且故以為自變量的二次函數(shù)圖像開口向下，于是有最大值．①如果為偶數(shù)，當時，有最大值②如果為奇數(shù)，當時，有最大值評注：等差數(shù)列的前項和公式為二次函數(shù)，求其最值自然聯(lián)系到用二次函數(shù)求最值的思想，該例中學生討論的取值是一個難點，最終結論分奇、偶數(shù)討論也應該引起學生注意．因為數(shù)列本身就是定義域為的函數(shù)，所以可構造適當?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的有界性，單調性等性質解決數(shù)列問題．例7(1998年全國高考題)已知數(shù)列是等差數(shù)列，，(l)求數(shù)列的通項；(2)設數(shù)列的通項（其中，且），記為數(shù)列的前n項和，試比較與的大小，并證明你的結論．解：（1）（2）與只要比較與的大?。孪霕嬙旌瘮?shù)有：，所以故對所有，都有．①當時，；②當時，．評注：該題求出的前項和后，利用對數(shù)的性質與對數(shù)函數(shù)的單調性即可求解，學生利用作商構造函數(shù)討論大小是處理本題的難點．例8已知函數(shù)，且構成一個數(shù)列，又．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)證明．證明：（1）令故所以(2)所以可得：例9設數(shù)列通項公式：（1）求；（2）若對一切恒成立，求的取值范圍．解：（1）（2），增大，無限減少，所以要使恒成立，必有：，整理得：，所以或．故或數(shù)列是定義在自然數(shù)集或它的有限子集的函數(shù)．尤其是等差數(shù)列的通項公式，前項和公式，分別是關于的一次函數(shù)和二次函數(shù)．用函數(shù)的觀點去處理數(shù)列的問題，能使我們更深刻地理解數(shù)列．例10在等差數(shù)列中已知，，求的值．解：由題意知：，，設等差數(shù)列前n項和解之得：所以故例11設等差數(shù)列的前n項和為，已知，，．（1）求公差d的取值范圍；（2）指出中的哪一個值最大并說明理由．解：（1）因為所以又所以，即解之得：（2）因為又，所以當最小時，最大．由得：又，故最大．數(shù)列是按一定次序排列的一列數(shù)，它可以看作是一個定義域為正整數(shù)或是它的有限子集的函數(shù)當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數(shù)值，因此數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，用函數(shù)的思想研究解決數(shù)列的有關問題是必須掌握的一種方法[3]．例12(高考題改編)在等差數(shù)列中，，，則的最大值為多少．解：由及，得所以考察二次函數(shù)，當時，函數(shù)有最大值，又所以當或時，有最大值42．評注：數(shù)列的通項公式、前n項和的公式，都可以看成關于n的函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的性質去求解．3.3整體思想在數(shù)列解題中的應用（二級標題四號黑體，頂格寫）整體思想是數(shù)學解題中的一種常用的思想方法，它是從整體觀點出發(fā)研究問題的心理活動過程，是將已知條件或需要解決的問題看作一個整體，通過研究問題的整體形式、整體結構，并注意已知條件及待求結論在這個“整體”中的地位和作用，然后通過對整體結構的調節(jié)和轉化使問題獲解．有些數(shù)列問題，如果分開求解，運算過程會比較麻煩或者解題思路不清晰；如果通過對問題的整體結構進行分析，通?？梢院喕忸}過程，減少運算量．例13等差數(shù)列，的前n項和分別為與，若=，求的值．解：因為，所以評注：該題注意到，之后，與，與就可以聯(lián)系在一起了，從而將從整體上把已知條件與待求式子聯(lián)系起來，解題思路便容易找到．該題要求學生熟練掌握等差數(shù)列性質．整體思想在數(shù)列中體現(xiàn)一種運算策略，就是將一些較為復雜的式子看作一個整體，進行整體代入，整體換元，整體消元．例2一個等比數(shù)列，前項和為48，前項和為60，求其前項的和解：設數(shù)列的首項為，公比為則所以化簡得：又所以評注：處理題目時，避開具體細節(jié)和局部特征，從對象的整體的共性去思考，往往能簡化運算，從而使解題簡便．例14(2005全國卷Ⅰ)設正項等比數(shù)列首項，前項和為，且．(1)求的通項;(2)求的前項和．解：（1）由得：，即．得：．因為，所以解得：，所以，（2）因為是首項，公比的等比數(shù)列，故，．則數(shù)列的前項和為：則兩式相減得：，即評注：該題主要考查等比數(shù)列的基本知識，考查分析問題能力和推理能力．由式運用整體消元的思想比較容易得到所求結果．該題如果先求出公差，再求通項則比較繁瑣；第二問考查的是典型的分組求和與錯位相減法，錯位相減法是運用整體變形思想的一種方法．此外，“整體代入法”、“倒序相加法”也蘊含著整體變形的思想．3.4化歸轉化思想在數(shù)列解題中的應用（二級標題四號黑體，頂格寫）化歸思想就是利用所學的知識和方法去揭示新與舊、復雜與簡單、抽象與具體、整體與局部等問題之間的關系，并通過一系列的變換，化未知為已知的解題過程．例15等差數(shù)列的前n項和為，已知是的最大值，且求使的n的最大值．解：因為是的最大值，所以公差因為又因為所以，因為，所以當時，，即當時，評注：該題求使的的最大值，首先可能會想利用前項和公式討論，但行不通，故考慮從數(shù)列的結構及變化趨勢分析，得出結論．而依據(jù)題設已知條件，利用劃歸思想可將求劃歸為，劃歸為，從而作出判斷．將研究對象在一定條件下轉化并歸結為另一種研究對象的思想稱之為化歸轉化思想．它一般表現(xiàn)為將有待解決的問題進行不斷的轉化，把不熟悉、不規(guī)范、復雜的問題轉化為熟悉、規(guī)范甚至模式化、簡單的問題，使之逐步成為熟悉的、或已經解決過的問題模式．例16(2005重慶)數(shù)列滿足：且，記．求數(shù)列的通項公式及數(shù)列的前項和．解：由得：帶入遞推關系式，整理得：即，可改寫為，則是首相為，公比的等比數(shù)列．故即由題設得：故評注：該題通過整體代入轉化將不是等比數(shù)列的問題轉化成等比數(shù)列問題求解．例17(2005天津卷)已知：．當時，，這時數(shù)列的前項和．解：當時，，這時數(shù)列的前項和（1）（1）式兩邊同時乘以得：（2）（1）式減去（2）式得：若時，等式兩邊同除得：；若，評注:觀察的特征，即考慮利用錯位相減進行化歸結合等比數(shù)列求和解決．3.5分類討論思想在數(shù)列解題中的應用（二級標題四號黑體，頂格寫）分類思想是解決區(qū)分不同的數(shù)學對象或不同情況的一種重要思想．數(shù)列中的量在不同范圍取值時會有不同的情況，因此應適當對某些量進行分類討論．如等比數(shù)列的前n項和公式要分q=1和ql兩種情況．分類就是按照一定的標準，把研究對象分成幾個互不重疊的部分．它既是一種重要的數(shù)學思想方法，也是一種重要的解題策略．在數(shù)學中分類求解的問題很多，在數(shù)列中也不例外．例18(上海市1989年高考題)已知等比數(shù)列的首項，公比，且，設數(shù)列的通項，數(shù)列，的前n項和分別記，，試比較與的大小．解:當時，，因為所以當時令得：，舍去；．當時，，，所以即當時即當時，所以即綜上所述:當時，當時，當時，評注：該題針對等比數(shù)列前項和，需對的取值分情況討論．同學求解過程中難度在于除對的取值分和兩種情況外，在情型中還需對的取值有恰當?shù)娜∩?，才能順利解決問題．例19(1997年全國高考題)已知數(shù)列，都是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比分別為p，q，其中，且，，設為數(shù)列的前n項和，求．解：因為所以當時，因為所以時，所以（２）當時，因為，所以在解答某些數(shù)學問題時，有時會有多種情況，對各種情況需加以分類，并逐類求解，然后綜合求解，這就是分類討論法．有關分類討論思想的數(shù)學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想，分類討論在高考試題中占有重要的位置．例20(2005全國卷Ⅰ)設等比數(shù)列的公比為，前項和（1）求的取值范圍;（2）設，記的前項和為，試比較與的大小．解：（1）因為是等比數(shù)列，，可得，當時；當時，即，上式等價于不等式組：（）（1）或（）（2）解（1）式得：解（2），由于可為奇數(shù)、可為偶數(shù)，得：綜上，的取值范圍是（2）由得：于是又因為且或當或時：即當且時即當或時即評注：一般的，涉及到等比數(shù)列前項的和，要討論公比的各種情況;比較兩個數(shù)大小在作差以后，能因式分解的要討論各個因式的符號．例21(2005江西卷)已知數(shù)列的前項和滿足：，且，求數(shù)列的通項公式．解：先考慮偶數(shù)項有：…，所以同理考慮奇數(shù)項有：…，所以于是綜上可得：評注：這道題是數(shù)列中常見的下標與項數(shù)n有關的題型，特別是項數(shù)n與-1有關的問題，一般的要討論n為奇數(shù)與偶數(shù)情況．分類討論是指在研究問題時，若對事物的整體研究有困難，可轉而研究事物的各個局部，通過對局部的研究，完成對整體的研究，要求學生思維慎密、嚴謹、不重復、不遺漏．3.6歸納、遞推思想在數(shù)列解題中的應用（二級標題四號黑體，頂格寫）歸納、遞推是由個別、特殊事例，經過觀察、分析作出猜想的推論方式，是邏輯思維的一種重要方法．解決數(shù)列問題中經常用到歸納遞推思想．例22已知數(shù)列滿足關系，，求的通項公式．解：由已知數(shù)列中，，，，，觀察各項分子的變化規(guī)律：分母的變化規(guī)律：通過觀察、分析、歸納得：評注：該類題型通過列舉、歸納得出結論，考試中出現(xiàn)頻率高，學生解答過程中需注意觀察與聯(lián)想緊密結合．歸納思想是一種由特殊事例導出一般原理的思維方法，特別是運用數(shù)學歸納法證明問題時，關鍵在于時命題成立的推證，此步證明要具有目標意識，應注意與最終要達到的解題目標進行分析比較，以此確定和調控解題的方向，最終實現(xiàn)目標，完成解題[4]．例23（2005北京卷）設數(shù)列的首項，且，記，求；判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結論．解：（1），；（2）因為，所以，，猜想：是公比為的等比數(shù)列．證明如下：因為，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列．評注：“先猜后證”是解題的一種重要方法．先猜：不僅要猜結論，還要猜思路．后證:要用數(shù)學歸納法證明，有時也用其它證明方法．在實際應用上，往往是“邊猜邊證”，把歸納猜想與演繹證明有機地結合起來，交互運用．另外，在求數(shù)列的通項公式解決有關數(shù)列比較大小的問題時，常運用歸納思想．3.7對稱思想在數(shù)列解題中的應用（二級標題四號黑體，頂格寫）圖形對稱、數(shù)式對稱都是對稱思想在數(shù)學中的體現(xiàn)．在等差數(shù)列、等比數(shù)列中用對稱的思想觀察、思考問題可使問題快速求解．例24已知等差數(shù)列的前五項和為45，第10項為30，求此前五項．解：設前五項分項為：則所以即又因為所以故前五項分別為：3，6，9，12，15．評注：該題利用對稱的思想假設未知數(shù)，從而簡化計算，方便求解結果．例25設等差數(shù)列的前n項和為已知，，．（1）求公差d的取值范圍；（2）指出中的哪一個值最大并說明理由解：（1）因為所以又所以，解之得：（2），可知等差數(shù)列是個單調遞減數(shù)列，若在中存在一個自然數(shù)，使，而，則就是中值最大者．因為，所以，所以是中值最大者．評注：該題根據(jù)等差數(shù)列的性質，考慮利用對稱思想簡便得出結果．3.8特殊化思想在數(shù)列解題中的應用（二級標題四號黑體，頂格寫）特殊化思想作為解題方法，有利于增強思維的嚴密性，形成完整的邏輯思維特殊化思想作為技巧在邏輯上是不嚴密的．特殊化思想也可以作為一種嚴密的解題方法．由反例來否定命題;還可以運用特例，得到問題的必要條件，然后再通過檢驗、證明，形成問題的充要條件．例26（2000年全國高考）（1）已知數(shù)列，其中，且數(shù)列為等比數(shù)列，求常數(shù);（2）設，是公比不相等的兩個等比數(shù)列，，證明數(shù)列不是等比數(shù)列．分析：（1）選取數(shù)列的前三項，它們必構成等比數(shù)列，求得或3．再檢驗或3是否使得數(shù)列所有項成為等比數(shù)列即可．（2）若能找到某三項不成等比數(shù)列，即可證明數(shù)列不是等比數(shù)列．不妨證明它的前三項不成等比數(shù)列，便可得數(shù)列不是等比數(shù)列．評注：通常利用等比數(shù)列的定義來判斷是否是等比數(shù)列．而本題顯然計算量過大．第（1）小題先找到滿足等比數(shù)列的必要條件，而后證明其充要性．第（2）小題采用反例來否定一個命題是最簡潔而有說服力的方法．3.9“數(shù)形結合”思想在數(shù)列解題中的應用（二級標題四號黑體，頂格寫）數(shù)形結合的基本思想是根據(jù)數(shù)的結構特征，通過表象或再造想象構造出與之相適應的幾何圖形，并利用圖形的特征和規(guī)律解決數(shù)的問題；或將圖形信息部分或全部轉換成代數(shù)信息，削弱或清除形的推理部分，使要解決的形的問題轉化為數(shù)量關系的討論[13]．數(shù)形結合是數(shù)學解題的重要方法之一，在各類考試中具有舉足輕重的作用．下面就數(shù)列問題用數(shù)形結合的思想解答，目的在領會數(shù)形結合思想．例27等差數(shù)列中，，若，則數(shù)列的前幾項的和最大？解：因為，，所以等差數(shù)列前項和是關于的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質（如圖），由于，所以當或時，取最大值．評注：解決數(shù)列問題，數(shù)形結合思想作用很大，我們知道等差數(shù)列的通項及前n項和分別為關于的一次函數(shù)和二次函數(shù)，因此可借助函數(shù)圖像解決該類問題．3.10極限思想在數(shù)列解題中的應用（二級標題四號黑體，頂格寫）極限是微積分中最基本、最主要的概念，它從數(shù)量上描述變量在變化過程中的變化趨勢，而在無限變化過程中考察變量的變化趨勢的思想就是極限思想[14]．下面舉例說明極限思想在數(shù)列解題中的應用．例28某城市2004年末汽車保有量為30萬輛，預計此后每年報廢上一年末汽車保有量的，并且每年新增汽車數(shù)量相同．為保護城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應超過多少輛？解：設2002年末汽車保有量為萬輛，以后各年末汽車保有量依次為萬輛，萬輛，…，每年新增汽車萬輛，則對于，有所以（1）當，即時，，符合題意；（2）當，即時，，且從而數(shù)列逐項增加，并且可以任意靠近，因此，如果要求汽車保有量不超過60萬輛，即則即（萬輛）．綜上所述，每年新增汽車不應超過3．6萬輛．3.11建模思想在數(shù)列解題中的應用（二級標題四號黑體，頂格寫）所謂數(shù)學建模，是指當需要從定量的角度分析和研究一個實際問題時，用數(shù)學的符號和語言，把它表述為數(shù)學式子，也就是數(shù)學模型，然后用通過計算得到的模型結果來解釋實際問題，并接受實際的檢驗．這個建立數(shù)學模型的全過程就稱為數(shù)學建模[15]．數(shù)學建模思想多用于解決與實際聯(lián)系緊密的問題．例29某企業(yè)2004年的純利潤為500萬元，因設備老化等原因，企業(yè)的生產能力將逐年下降．若不能進行技術改造，預測從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元，今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進行技術改造，預測在未扣除技術改造資金的情況下，第年(今年為第一年)的利潤為萬元（n為正整數(shù)）．（1）設從今年起的前n年，若該企業(yè)不進行技術改造的累計純利潤為萬元，進行技術改造后的累計純利潤為萬元（須扣除技術改造資金），求，的表達式；（2）依上述預測，從今年起該企業(yè)至少經過多少年，進行技術改造后的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤？解：（1）依題設，；．(2)．因為函數(shù)在上為增函數(shù)，所以當時；當時所以，當時，．答：至少經過4年，該企業(yè)進行技術改造后的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤．評注：數(shù)學應用問題中許多需應用建模的思想建立數(shù)學模型求解．該題即需要建立數(shù)學模型，（1）建立數(shù)學模型后發(fā)現(xiàn)其與數(shù)列知識聯(lián)系緊密，故利用數(shù)列知識幫助求解；（2）中作差后應用函數(shù)思想求解方便．4結論（一級標題小三號黑體，頂格寫）4.1主要發(fā)現(xiàn)（二級標題四號黑體，頂格寫）（寫本論文得出主要結論）數(shù)列是高考中的一種重要題型，題型靈活多變，一般的學生難于把握，在解決過程中困難重重，慌亂之中縱有幾次試手，也不能快速找到清晰的解題思路．然而當學生能靈活應用各種數(shù)學思想方法，以其為指導，并掌握數(shù)列中的基礎知識以后，問題將能夠迎刃而解，使得解決數(shù)列問題時思路清晰，運算簡便．尤其是應用整體思想，函數(shù)思想在解決數(shù)列單選題及填空題時作用很大．4.2啟示（二級標題四號黑體，頂格寫）（寫論文的過程中受到的啟發(fā)）從以上可以看出數(shù)列與數(shù)、式、函數(shù)、方程、不等式有著密切的聯(lián)系，在處理數(shù)列綜合問題時，若能靈活運用這些數(shù)學思想與方法，則會取得事半功倍的效果．教師在講解具體數(shù)學內容和方法時，應高度重視數(shù)學思想方法的挖掘和滲透，讓學生領悟其價值，滋生應用的意識，從而掌握數(shù)學思想方法這個銳利的武器而受益終生．同時學生在解題和學習的過程中也應該認真思考，發(fā)現(xiàn)和歸納數(shù)學思想在解題中的應用．4.3局限性（二級標題四號黑體，頂格寫）（本論文研究的不足之處）本