模擬低通濾波器設(shè)計

PAGEPAGE6模擬低通濾波器設(shè)計模擬低通濾波器指標(biāo)：由參數(shù)Ap、As、Ωs（阻帶截止頻率），和Ωp(通帶截止頻率)給出(Ωs=2πfsΩp=2πfp) 設(shè)計目標(biāo)：確定濾波器階次N和截止頻率Ωc。 要求：（1）在Ω=Ωp，-10lg|Ha(jΩ)|2=Ap,或（2）在Ω=Ωs，-10lg|Ha(jΩ)|2=As,或解出N： （N四舍五入）為了在Ωp精確地滿足指標(biāo)要求，要求：或者在Ωs精確地滿足指標(biāo)要求，要求：巴特沃斯濾波器的設(shè)計:巴特沃斯低通濾波器幅度平方函數(shù)定義為式中，N為正整數(shù)，代表濾波器的階數(shù)。注：巴特沃斯低通濾波器在通帶內(nèi)有最大平坦的幅度特性。隨著Ω由0增大，|Ha(jΩ)|2單調(diào)減小，N越大，通帶內(nèi)特性越平坦，過渡帶越窄。在幅度平方函數(shù)式中代入Ω=s/j,可得Ha(s)Ha(-s)的極點(diǎn)為k=1,2,…,2N為形成穩(wěn)定的濾波器，Ha(s)Ha(-s)的2N個極點(diǎn)中只取S左半平面的N個極點(diǎn)為Ha(s)的極點(diǎn)，而右半平面的N個極點(diǎn)構(gòu)成Ha(-s)的極點(diǎn)。 Ha(s)的表示式為【例1】設(shè)計一個模擬低通巴特沃斯濾波器，指標(biāo)如下：(1)通帶截止頻率：Ωp=0.2π；通帶最大衰減：Ap=7dB。(2)阻帶截止頻率：Ωs=0.3π；阻帶最小衰減：As=16dB。解：由Ωp，得：由Ωs，得：在上面兩個Ωc之間選Ωc=0.5。最后可得（級聯(lián)型）：【例2】導(dǎo)出三階（N=3）巴特沃斯模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。 設(shè)Ωc＝2rad/s。【解】 幅度平方函數(shù)是令Ω2=-s2即s=jΩ，則有各極點(diǎn): k=1,2,…,6由s1,s2,s3三個極點(diǎn)構(gòu)成的系統(tǒng)函數(shù)為:切比雪夫Ⅰ型低通濾波器的設(shè)計：切比雪夫Ⅰ型低通濾波器的幅度平方函數(shù)為： ( )式中，ε為小于1的正數(shù)，它是表示通帶波紋大小的一個參數(shù)，ε越大，波紋也越大。Ωc為通帶截止頻率，也是濾波器的某一衰減分貝處的通帶寬度（這一分貝數(shù)不一定是3dB。也就是說，在切比雪夫?yàn)V波器中，Ωc不一定是3dB的帶寬）。CN(x)是N階切比雪夫多項(xiàng)式，定義為 |x|≤1(通帶) |x|>1(阻帶)4脈沖響應(yīng)不變法【例】設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為利用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成H(z)?！窘狻恐苯拥玫綌?shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為設(shè)T=1，則有模擬濾波器的頻率響應(yīng)Ha(jΩ)為:數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)H(ejω)為:脈沖響應(yīng)不變法基本原理其中：模擬濾波器的數(shù)字化由脈沖響應(yīng)不變法的變換原理將Ha(s)直接轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器H(z)。假設(shè)：模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)只有單階極點(diǎn)，且假定分母的階次于分子的階次，則：Ha(s)采樣：Z變換：為使濾波器增益不隨T變化，令：則有:此時:【例】設(shè)計一個數(shù)字低通濾波器，指標(biāo)如下：【解】首先將數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)，即：其中T為采樣周期。這里假設(shè)T=1。代碼如下：T=1; %采樣周期Wp=0.2*pi/T;Rp=1;Ws=0.35*pi/T;Rs=10;[N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');[B,A]=butter(N,Wc,‘s’); %求Ha(s)[Bz,Az]=impinvar(B,A,1/T); %求H(z)[c,b,a]=dir2par(Bz,Az) %由直接型轉(zhuǎn)化為并聯(lián)型結(jié)果為：c=0b=0.7719-0.0680-0.77190.2398a=1.0000-0.87740.21361.0000-1.04100.5276雙線性變換法例題：設(shè)計巴特沃斯低通數(shù)字濾波器，其技術(shù)指標(biāo)如下：