專題13.3等腰三角形的性質(zhì)（限時(shí)滿分培優(yōu)訓(xùn)練）-【拔尖特訓(xùn)】2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題（解析版）【人教版】

【拔尖特訓(xùn)】2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題（人教版）專題13.3等腰三角形的性質(zhì)（限時(shí)滿分培優(yōu)訓(xùn)練）班級(jí)：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，試題共23題，其中選擇10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2023?慈溪市校級(jí)開學(xué)）等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為15和7，則它的周長(zhǎng)等于（）A．22 B．29 C．37 D．29或37【答案】C【分析】分兩種情況討論：當(dāng)7是腰時(shí)或當(dāng)15是腰時(shí)．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，知7，7，15不能組成三角形，應(yīng)舍去．【解答】解：當(dāng)7是腰時(shí)，則7+7＜15，不能組成三角形，應(yīng)舍去；當(dāng)15是腰時(shí)，則三角形的周長(zhǎng)是7+15×2＝37．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．此類題不要漏掉一種情況，同時(shí)注意看是否符合三角形的三邊關(guān)系．2．（2022秋?婺城區(qū)期末）等腰三角形的底角為50°，則它的頂角度數(shù)是（）A．50° B．80° C．65°或80° D．50°或80°【答案】B【分析】等腰三角形一內(nèi)角為50°，沒說明是頂角還是底角，所以有兩種情況．【解答】解：50°為底角時(shí)，頂角＝180°﹣2×50°＝80°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；若題目中沒有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時(shí)要注意分情況進(jìn)行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關(guān)鍵．3．（2023?余杭區(qū)校級(jí)模擬）如圖，點(diǎn)D是△ABC的BC邊上一點(diǎn)，AB＝AD＝DC．若∠BAD＝80°，則∠C＝（）?A．50° B．40° C．20° D．25°【答案】D【分析】先根據(jù)AB＝AD，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠B和∠ADB的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求出∠C的大小．【解答】解：∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB，∵∠BAD＝80°，∴∠B＝50°＝∠ADB，∵AD＝DC，∴∠C＝∠DAC，∴∠C=12∠ADB＝故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是利用三角形一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．4．（2020秋?永嘉縣校級(jí)期中）如圖，△ABC中，以B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AC、AB于D、E兩點(diǎn)，并連接BD、DE．若∠A＝30°，AB＝AC，則∠BDE的度數(shù)為（）A．67.5° B．52.5° C．45° D．75°．【答案】A【分析】根據(jù)AB＝AC，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC、∠ACB的度數(shù)，再利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠DBC＝30°，然后即可求出∠BDE的度數(shù)．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠A＝30°，∴∠ABC＝∠ACB=12（180°﹣30°）＝∵以B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧，∴BE＝BD＝BC，∴∠BDC＝∠ACB＝75°，∴∠CBD＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∴∠DBE＝75°﹣30°＝45°，∴∠BED＝∠BDE=12（180°﹣45°）＝故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了學(xué)生對(duì)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，此題的突破點(diǎn)是利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠DBC＝30°，然后即可求得答案．5．（2022秋?平湖市期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝108°，現(xiàn)將三角形的一個(gè)角沿AD折疊，使得點(diǎn)C落在邊AB上的點(diǎn)C′處，若△BC′D是等腰三角形，則∠C的度數(shù)為（）A．36° B．38° C．48° D．84°【答案】C【分析】根據(jù)在△ABC中，∠BAC＝108°，可得∠B，∠C是銳角，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠AC′D＝∠C，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得∠B＝∠BDC′，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求解．【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝108°，∴∠B+∠C＝72°，∠B，∠C是銳角，由折疊可知∠AC′D＝∠C，∵△BC′D是等腰三角形，∴∠B＝∠BDC′，∴∠AC′D＝∠B+∠C＝2∠B，∴∠C＝48°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟悉相關(guān)的性質(zhì)和定理．6．（2022秋?金東區(qū)期末）如圖，在等腰三角形ABC中，AD是底邊BC上的中線，DE是△ABD高線．圖中與∠BAD一定相等的角有（不含本身）（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】由三線合一得∠DAC＝∠BAD，再由直角三角形兩個(gè)銳角互余得∠BAD＝∠BDE．【解答】解：∵△ABC為等腰三角形，AD是底邊BC上的中線，∴AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠BAD，∵∠BAD+∠ADE＝∠BDE+∠ADE＝90°，∴∠BAD＝∠BDE，∴∠BAD＝∠BDE＝∠DAC，所以有2個(gè)角和它相等，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的三線合一，直角三角形兩銳角互余，掌握這些性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．7．（2023?西湖區(qū)校級(jí)三模）有一道題目：“在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，分別以B、C為圓心，以BC長(zhǎng)為半徑的兩條弧相交于D點(diǎn)，求∠ABD的度數(shù)”．嘉嘉的求解結(jié)果是∠ABD＝10°．淇淇說：“嘉嘉考慮的不周全，∠ABD還應(yīng)有另一個(gè)不同的值．”下列判斷正確的是（）A．淇淇說得對(duì)，且∠ABD的另一個(gè)值是130° B．淇淇說的不對(duì)，∠ABD就得10° C．嘉嘉求的結(jié)果不對(duì)，∠ABD應(yīng)得20° D．兩人都不對(duì)，∠ABD應(yīng)有3個(gè)不同值【答案】A【分析】由題意可知嘉嘉考慮不周全，如圖，當(dāng)點(diǎn)D在△ABC外時(shí)，∠ABD的另一個(gè)值是130°．【解答】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)D在△ABC外時(shí)，∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝70°．∵BC＝BD＝CD，∴∠CBD＝60°，∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝70°+60°＝130°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，正確畫出圖形是解題的關(guān)鍵．8．（2023?海曙區(qū)校級(jí)開學(xué)）△ABC中，AB＝AC，CD為AB上的高，且△ADC為等腰三角形，則∠BCD等于（）A．67.5°或45° B．22.5°或45° C．36°或72° D．67.5°或22.5°【答案】D【分析】根據(jù)題意，應(yīng)該考慮兩種情況，①CD在△ABC內(nèi)部；②CD在△ABC外部．分別結(jié)合已知條件進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：①如圖所示，CD在△ABC內(nèi)部，∵AB＝AC，CD為AB上的高，∴∠B＝∠ACB，∠CDB＝90°，又∵△ADC是等腰三角形，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∴∠B＝∠ACB=12（180°﹣45°）＝∴∠BCD＝∠ACB﹣ACD＝67.5°﹣45°＝22.5°；②如圖所示，CD在△ABC外部，∵AB＝AC，CD為AB上的高，∴∠B＝∠ACB，∠CDB＝90°，又∵△ADC是等腰三角形，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∴∠B＝∠ACB=12×45∴∠BCD＝∠ACB+ACD＝22.5°+45°＝67.5°；所以∠BCD等于22.5°或67.5°．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、角的計(jì)算．注意分類討論．此類題一般是利用等腰三角形的性質(zhì)得出有關(guān)角的度數(shù)，進(jìn)而求出所求角的度數(shù)．9．（2020秋?西湖區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝α，點(diǎn)D在BC上，且BD＝BA，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，且CE＝CA，則∠DAE的大小為（）A．α B．34α C．23α 【答案】D【分析】由AB＝BD，AC＝CE，可得∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE，設(shè)∠BAD＝∠BDA＝x，∠E＝∠CAE＝y(tǒng)，∠DAC＝z，則x+z=αx=z+2y，解得y+z=1【解答】解：∵AB＝BD，AC＝CE，∴∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE，設(shè)∠BAD＝∠BDA＝x，∠E＝∠CAE＝y(tǒng)，∠DAC＝z，則x+z=αx=z+2y解得y+z=12∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE=1故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查等腰三角形的性質(zhì)，內(nèi)角和定理，外角性質(zhì)等知識(shí)．多次利用外角的性質(zhì)得到角之間的關(guān)系式正確解答本題的關(guān)鍵．10．（2023?威海模擬）如圖，在第1個(gè)△ABA1中，∠B＝30°，AB＝A1B，在A1B上取一點(diǎn)C，延長(zhǎng)AA1到A2，使得A1A2＝A1C；在A2C上取一點(diǎn)D，延長(zhǎng)A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…按此作法進(jìn)行下去，第n個(gè)三角形的以An為頂點(diǎn)的內(nèi)角的度數(shù)為（）A．30°2n+1 B．75°2n-1 C．75°【答案】B【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠BA1A的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)分別求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度數(shù)，找出規(guī)律即可得出第n個(gè)三角形的以An為頂點(diǎn)的內(nèi)角的度數(shù)．【解答】解：∵在△ABA1中，∠B＝30°，AB＝A1B，∴∠BA1A=180°-∠B2∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，∴∠CA2A1=∠BA同理可得∠DA3A2＝18.75°，∠EA4A3＝9.375°，∴第n個(gè)三角形的以An為頂點(diǎn)的內(nèi)角的度數(shù)為75°2故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)題意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度數(shù)，找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題）11．（2016秋?諸暨市期中）等腰三角形一個(gè)角等于100°，則它的一個(gè)底角是40°．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由條件可知該角只能為頂角，再利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和可求得底角．【解答】解：∵該角為100°，∴這個(gè)角只能是等腰三角形的頂角，∴該等腰三角形的頂角為100°，∴底角為180°-100°2=故答案為：40．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的兩底角相等是解題的關(guān)鍵．12．（2015秋?西湖區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD＝BC，那么∠A＝36度．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】設(shè)∠A＝x，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求解．【解答】解：設(shè)∠A＝x．∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝x；∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC＝∠ABD+∠A＝2x；∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCD＝2x，∴∠DBC＝x；∵x+2x+2x＝180°，∴x＝36°，∴∠A＝36°．故答案為：36．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)；利用了三角形的內(nèi)角和定理得到相等關(guān)系，通過列方程求解是正確解答本題的關(guān)鍵．13．（2023?金華開學(xué)）在△ABC中，AB＝AC，且過△ABC某一頂點(diǎn)的直線可將△ABC分成兩個(gè)等腰三角形，則∠BAC的度數(shù)為108°或90°【答案】108°或【分析】因?yàn)轭}中沒有指明是過頂角的頂點(diǎn)還是過底角的頂點(diǎn)，故應(yīng)該分四情況進(jìn)行分析，利用等腰三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：①如圖①，∵AB＝AC，BD＝CD，CD＝AD，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴4∠B＝180°，∴∠B＝45°，∠C＝45°，∠BAC＝90°．②如圖②，∵AB＝AC，AD＝BD，AC＝CD，∴∠B＝∠C＝∠BAD，∠CAD＝∠CDA，∵∠CDA＝∠B+∠BAD＝2∠B，∴∠BAC＝3∠B，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°，∠C＝36°，∠BAC＝108°．③如圖③，∵AB＝AC，AD＝BD＝BC，∴∠B＝∠C，∠A＝∠ABD，∠BDC＝∠C，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A，∴∠ABC＝∠C＝2∠A，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴5∠A＝180°，∴∠A＝36°，∠C＝72°，∠ABC＝72°．④如圖④，∵AB＝AC，AD＝BD，CD＝BC，∴∠ABC＝∠C，∠A＝∠ABD，∠CDB＝∠CBD，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A，∴∠ABC＝∠C＝3∠A，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴7∠A＝180°，∴∠A＝（1807）°，∠C＝（5407）°，∠ABC＝（故答案為：108°或【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理的綜合運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是分類思想的運(yùn)用．14．（2023?慈溪市校級(jí)開學(xué)）如圖，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，OA＝OB＝OC，∠BAC＝45°，則∠BOC＝90°．【答案】90°．【分析】根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)可知∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠ACO，∠OBC＝∠OCB，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理解答即可．【解答】解：∵OA＝OB＝OC，∴△AOB、△BOC、△AOC是等腰三角形，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠ACO，∠OBC＝∠OCB，∴2∠OAB+2∠OAC+2∠OBC＝180°，∵∠BAC＝45°，∴∠OAB+∠OAC＝45°，∴2∠OAB+2∠OAC＝90°，∴2∠OBC＝180°﹣2（∠OAB+∠OAC）＝90°，∴∠BOC＝180°﹣2∠OBC＝90°，故答案為：90°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在△ABC中，AB＝AC，P是BC邊上的一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥AC，BD是AC邊上的高，若PE＝5cm，PF＝3cm，則BD＝8cm．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】連接AP，由圖形表示出△ABC與△ABP、△APC的關(guān)系，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形的面積公式可得到PF+PE＝BD，即可得到BD．【解答】解：連接AP．∵AB＝AC，∴S△ABC＝S△ABP+S△ACP=12AB?PE+12AC?PF=∴PF+PE＝BD，∵PE＝5cm，PF＝3cm，∴BD＝8cm，故答案為：8cm．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形面積的綜合運(yùn)用，此題的關(guān)鍵是利用面積公式將PE，PF，BD聯(lián)系在一起．16．（2023?濱江區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，∠BOC＝9°，點(diǎn)A在OB上，且OA＝1，按以下要求畫圖：以點(diǎn)A為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點(diǎn)A1，得第一條線段AA1；再以A1為圓心、1為半徑向右畫弧交OB于點(diǎn)A2，得第二條線段A1A2；再以A2為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點(diǎn)A3，得第三條線段A2A3……這樣一直畫下去，最多能畫9條線段．【答案】9．【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)依次可得∠A1AB，∠A2A1C，∠A3A2B，∠A4A3C的度數(shù)．然后分析，依此得到規(guī)律，再根據(jù)三角形外角小于90°即可求解．【解答】解：∵AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，∴∠AOA1＝∠OA1A，∠A1AA2＝∠A1A2A，…，∵∠BOC＝9°，∴∠A1AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°的度數(shù)，∠A4A3C＝45°，…，∴9°n＜90°．∴n＜10．∵n為整數(shù)，∴n＝9．故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是找出規(guī)律．三．解答題（共7小題）17．（2022秋?金東區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E．（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度數(shù)；（2）若AE＝5，△CBD的周長(zhǎng)為17，求△ABC的周長(zhǎng)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）首先利用三角形內(nèi)角和求得∠ABC的度數(shù)，然后減去∠ABD的度數(shù)即可得到答案；（2）將△ABC的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為AB+AC+BC的長(zhǎng)即可求得．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∵∠A＝40°，∴∠ABC＝∠C=12×（180﹣40∵M(jìn)N是AB的垂直平分線∴△ABD是等腰三角形，∴∠ABD＝∠A＝40°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°；（2）∵△ABD是等腰三角形∴AD＝BD，∵C△CBD＝BC+CD+BD＝17，∴BC+CD+AD＝BC+AC＝17，∵AE＝5∴AB＝2AE＝10，∴C△ABC＝AB+BC+AC＝10+17＝27．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)及等腰三角形的判定與性質(zhì)，相對(duì)比較簡(jiǎn)單，屬于基礎(chǔ)題．18．（2019?杭州）如圖，在△ABC中，AC＜AB＜BC．（1）已知線段AB的垂直平分線與BC邊交于點(diǎn)P，連接AP，求證：∠APC＝2∠B．（2）以點(diǎn)B為圓心，線段AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，與BC邊交于點(diǎn)Q，連接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可知PA＝PB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠B＝∠BAP，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可證得APC＝2∠B；（2）根據(jù)題意可知BA＝BQ，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠BAQ＝∠BQA，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和公式即可解答．【解答】解：（1）證明：∵線段AB的垂直平分線與BC邊交于點(diǎn)P，∴PA＝PB，∴∠B＝∠BAP，∵∠APC＝∠B+∠BAP，∴∠APC＝2∠B；（2）根據(jù)題意可知BA＝BQ，∴∠BAQ＝∠BQA，∵∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B+∠BAQ，∴∠BQA＝2∠B，∵∠BAQ+∠BQA+∠B＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)，難度適中．19．（2023春?武功縣期末）【問題背景】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AC、BC上，連接BD，DE．已知∠ABC＝2∠C，BD＝CD．?【問題探究】（1）若∠A＝∠DEC，試說明AB＝EC；（2）若AB＝BD，求∠A的度數(shù)．【答案】（1）見解答過程；（2）72°．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及角的和差求出∠ABD＝∠C，利用AAS證明△ABD≌△ECD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得解；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求解即可．【解答】解：（1）∵BD＝CD，∴∠C＝∠DBC，∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝2∠C，∴∠ABD＝∠C，在△ABD和△ECD中，∠A=∠DEC∠ABD=∠C∴△ABD≌△ECD（AAS），∴AB＝EC；（2）∵AB＝BD，∴∠A＝∠BDA，由（1）知，∠ABD＝∠DBC＝∠C，∵∠ADB＝∠DBC+∠C，∴∠A＝∠ADB＝2∠ABD，∵∠A+∠ABD+∠ADB＝180°，∴∠A+∠A+12∠A＝∴∠A＝72°．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用AAS證明△ABD≌△ECD是解題的關(guān)鍵．20．（2022秋?永城市校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，D為線段CE的中點(diǎn)，BE＝AC．（1）求證：AD⊥BC．（2）若∠BAC＝75°，求∠B的度數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）連接AE，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可知BE＝AE＝AC，根據(jù)等腰三角形三線合一即可知AD⊥BC（2）設(shè)∠B＝x°，由（1）可知∠BAE＝∠B＝x°，然后根據(jù)三角形ABC的內(nèi)角和為180°列出方程即可求出x的值．【解答】解：（1）連接AE，∵EF垂直平分AB∴AE＝BE∵BE＝AC∴AE＝AC∵D是EC的中點(diǎn)∴AD⊥BC（2）設(shè)∠B＝x°∵AE＝BE∴∠BAE＝∠B＝x°∴由三角形的外角的性質(zhì)，∠AEC＝2x°∵AE＝AC∴∠C＝∠AEC＝2x°在三角形ABC中，3x°+75°＝180°x°＝35°∴∠B＝35°【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確理解等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，本題屬于中等題型．21．（2021秋?東臺(tái)市期中）如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝72°，（1）若BD⊥AC于D，求∠ABD的度數(shù)；（2）若CE平分∠ACB，求證：AE＝BC．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和解答即可．（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和解答．【解答】解：（1）∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝72°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∵BD⊥AC于D，∴∠DBC＝90°﹣72°＝18°，∴∠ABD＝72°﹣18°＝54°；（2）∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝72°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∠A＝36°∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB＝36°，∴∠A＝∠ACE，∴AE＝EC，∵∠ABC＝72°，∴∠BEC＝72°，∴BC＝CE，∴AE＝BC．【點(diǎn)評(píng)】此題考查等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和解答．22．（2022秋?和平區(qū)校級(jí)期末）如圖所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)D，交AC于F．（1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度數(shù)；（2）若點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，求證：∠CFD=12∠【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）求得∠A的度數(shù)后利用四邊形的內(nèi)角和定理求得結(jié)論即可；（2）連接FB，根據(jù)AB＝BC，且點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，得到BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF=12∠ABC，證得∠CFD＝∠C