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1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系第2課時(shí)空間中直線與平面的垂直A級(jí)——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1.已知兩直線的方向向量為a,b,則下列選項(xiàng)中能使兩直線垂直的為 ()A.a=(1,0,0),b=(-3,0,0)B.a=(0,1,0),b=(1,0,1)C.a=(0,1,-1),b=(0,-1,1)D.a=(1,0,0),b=(-1,0,0)【答案】B【解析】因?yàn)閍=(0,1,0),b=(1,0,1),所以a·b=0×1+1×0+0×1=0,所以a⊥b.故選B.2.若直線l的方向向量為v=(2,2,2),向量m=(1,-1,0)及n=(0,1,-1)都與平面α平行,則 ()A.l⊥α B.l∥αC.l?α D.l與α相交但不垂直【答案】A【解析】因?yàn)関·m=2-2+0=0,v·n=0+2-2=0,所以v⊥m且v⊥n.又因?yàn)閙與n不平行,所以v⊥α,即l⊥α.故選A.3.已知a=(0,1,1),b=(1,1,0),c=(1,0,1)分別是平面α,β,γ的法向量,則α,β,γ三個(gè)平面中互相垂直的有 ()A.0對(duì) B.1對(duì) C.2對(duì) D.3對(duì)【答案】A【解析】因?yàn)閍·b=(0,1,1)·(1,1,0)=1≠0,a·c=(0,1,1)·(1,0,1)=1≠0,b·c=(1,1,0)·(1,0,1)=1≠0,所以a,b,c中任意兩個(gè)都不垂直,即α,β,γ中任意兩個(gè)都不垂直.故選A.4.兩平面α,β的法向量分別為μ=(3,-1,z),v=(-2,-y,1),若α⊥β,則y+z的值是 ()A.-3 B.6 C.-6 D.-12【答案】B【解析】因?yàn)棣蹋?3,-1,z),v=(-2,-y,1)分別為α,β的法向量且α⊥β,所以μ⊥v,即μ·v=-6+y+z=0,所以y+z=6.故選B.5.如圖,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,E,F(xiàn)分別是棱BC,DD1上的點(diǎn),如果B1E⊥平面ABF,那么CE與DF的和為 ()A.eq\f(1,2) B.1 C.eq\f(3,2) D.2【答案】B【解析】以D1為原點(diǎn),D1A1,D1C1,D1D所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略),設(shè)CE=x,DF=y(tǒng),則易知E(x,1,1),B1(1,1,0),F(xiàn)(0,0,1-y),B(1,1,1),所以eq\o(B1E,\s\up6(→))=(x-1,0,1),eq\o(FB,\s\up6(→))=(1,1,y).因?yàn)锽1E⊥平面ABF,所以eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(B1E,\s\up6(→))=(1,1,y)·(x-1,0,1)=0,即x+y=1.故選B.6.設(shè)u=(-2,2,t),v=(6,-4,5)分別是平面α,β的法向量,若α⊥β,則實(shí)數(shù)t的值是 ()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】因?yàn)棣痢挺?,所以u(píng)⊥v,則u·v=-12-8+5t=0,解得t=4.故選D.7.(多選)在菱形ABCD中,若eq\o(PA,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量,則以下等式中一定成立的是 ()A.eq\o(PA,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→)) B.eq\o(PA,\s\up6(→))⊥eq\o(CD,\s\up6(→))C.eq\o(PC,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→)) D.eq\o(PC,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))【答案】ABC【解析】由題意知eq\o(PA,\s\up6(→))⊥平面ABCD,所以eq\o(PA,\s\up6(→))與平面上的線AB,CD都垂直,A,B正確;又因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直,可推得對(duì)角線BD⊥平面PAC,故eq\o(PC,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→)),C正確.只有D不一定成立.故選ABC.8.已知平面α內(nèi)有一點(diǎn)M(1,-1,2),平面α的一個(gè)法向量n=(6,-3,6),則點(diǎn)P(2,3,3)與平面α的關(guān)系是________.【答案】P∈平面α【解析】eq\o(MP,\s\up6(→))=(1,4,1),eq\o(MP,\s\up6(→))·n=6-12+6=0,所以eq\o(MP,\s\up6(→))⊥n.因?yàn)閚⊥平面α,M∈平面α,所以P∈平面α.9.已知A(1,-1,3),B(0,2,0),C(-1,0,1),若點(diǎn)D在z軸上且eq\o(AD,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→)),則|eq\o(AD,\s\up6(→))|=________.【答案】eq\r(3)【解析】設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,0,z),則eq\o(AD,\s\up6(→))=(-1,1,z-3),eq\o(BC,\s\up6(→))=(-1,-2,1).由eq\o(AD,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→)),有eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))=1-2+(z-3)=0,所以z=4,所以|eq\o(AD,\s\up6(→))|=eq\r(3).10.如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,M為棱BB1的中點(diǎn),在棱DD1上是否存在點(diǎn)P使MD⊥平面PAC?解:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),C(0,1,0),D(0,0,0),Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,1,\f(1,2))).假設(shè)存在點(diǎn)P(0,0,a)滿足條件,則eq\o(PA,\s\up6(→))=(1,0,-a),eq\o(AC,\s\up6(→))=(-1,1,0),設(shè)平面PAC的法向量n=(x1,y1,z1).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(PA,\s\up6(→))·n=0,,\o(AC,\s\up6(→))·n=0,))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1-az1=0,,-x1+y1=0,))令x1=1,得y1=1,z1=eq\f(1,a),所以n=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,1,\f(1,a))).若MD⊥平面PAC,則eq\o(MD,\s\up6(→))∥n.因?yàn)閑q\o(MD,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-1,-1,-\f(1,2))),所以a=2.又因?yàn)?≤a≤1,所以不存在點(diǎn)P使MD⊥平面PAC.B級(jí)——能力提升練11.已知eq\o(AB,\s\up6(→))=(1,5,-2),eq\o(BC,\s\up6(→))=(3,1,z),若eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→)),eq\o(BP,\s\up6(→))=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,則實(shí)數(shù)x,y,z分別為 ()A.eq\f(33,7),-eq\f(15,7),4 B.eq\f(40,7),-2,4C.eq\f(40,7),-eq\f(15,7),4 D.4,eq\f(40,7),-15【答案】C【解析】因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→)),所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))=0,即3+5-2z=0,得z=4.因?yàn)锽P⊥平面ABC,所以eq\o(BP,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(BP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→)),則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((x-1)+5y+6=0,,3(x-1)+y-12=0,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=\f(40,7),,y=-\f(15,7).))故選C.12.(多選)已知點(diǎn)A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),點(diǎn)D滿足條件:DB⊥AC,DC⊥AB,AD=BC,則點(diǎn)D的坐標(biāo)可以為 ()A.(1,1,1) B.(-1,-1,-1)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3),\f(1,3),\f(1,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,3),-\f(1,3),-\f(1,3)))【答案】AD【解析】設(shè)D(x,y,z),則eq\o(BD,\s\up6(→))=(x,y-1,z),eq\o(CD,\s\up6(→))=(x,y,z-1),eq\o(AD,\s\up6(→))=(x-1,y,z),eq\o(AC,\s\up6(→))=(-1,0,1),eq\o(AB,\s\up6(→))=(-1,1,0),eq\o(BC,\s\up6(→))=(0,-1,1).因?yàn)镈B⊥AC?-x+z=0①,DC⊥AB?-x+y=0②,AD=BC?(x-1)2+y2+z2=2③,聯(lián)立①②③得x=y(tǒng)=z=1或x=y(tǒng)=z=-eq\f(1,3),所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,1,1)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,3),-\f(1,3),-\f(1,3))).故選AD.13.已知平面α的一個(gè)法向量a=(x,1,-2),平面β的一個(gè)法向量b=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-1,y,\f(1,2))),若α⊥β,則x-y=________.【答案】-1【解析】因?yàn)棣痢挺?,所以a⊥b,所以-x+y-1=0,得x-y=-1.14.在△ABC中,A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1).若向量n是與eq\o(AB,\s\up6(→))共線的單位向量,則向量n的坐標(biāo)為_(kāi)_______;若向量n與平面ABC垂直,且|n|=eq\r(21),則n的坐標(biāo)為_(kāi)_______.【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),6),\f(\r(6),6),-\f(\r(6),3)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(\r(6),6),-\f(\r(6),6),\f(\r(6),3)))(-2,4,1)或(2,-4,-1)【解析】據(jù)題意,得eq\o(AB,\s\up6(→))=(-1,-1,2),eq\o(AC,\s\up6(→))=(1,0,2).設(shè)n=(x,y,z),若向量n是與eq\o(AB,\s\up6(→))共線的單位向量,則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,-1)=\f(y,-1)=\f(z,2),,x2+y2+z2=1,))可得n=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),6),\f(\r(6),6),-\f(\r(6),3)))或n=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(\r(6),6),-\f(\r(6),6),\f(\r(6),3))).若n與平面ABC垂直,則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up6(→))=0,,n·\o(AC,\s\up6(→))=0,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-x-y+2z=0,,x+2z=0,))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=4z,,y=-2x.))又因?yàn)閨n|=eq\r(21),所以eq\r(x2+y2+z2)=eq\r(21),解得y=4或y=-4.當(dāng)y=4時(shí),x=-2,z=1;當(dāng)y=-4時(shí),x=2,z=-1.所以n=(-2,4,1)或n=(2,-4,-1).15.如圖,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,且MD=NB=1,E為BC的中點(diǎn).在線段AN上是否存在點(diǎn)S,使得ES⊥平面AMN?解:如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系.依題意,易得A(1,0,0),M(0,0,1),N(1,1,1),Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),1,0)).假設(shè)在線段AN上存在點(diǎn)S,使得ES⊥平面AMN.因?yàn)閑q\o(AN,\s\up6(→))=(0,1,1),可設(shè)eq\o(AS,\s\up6(→))=λeq\o(AN,\s\up6(→))=(0,λ,λ).又因?yàn)閑q\o(EA,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),-1,0)),所以eq\o(ES,\s\up6(→))=eq\o(EA,\s\up6(→))+eq\o(AS,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),λ-1,λ)).由ES⊥平面AMN,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(ES,\s\up6(→))·\
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