2024版創(chuàng)新設(shè)計(jì)高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 人教A版第1節(jié) 平面向量的概念及線性運(yùn)算

第五章

DIWUZHANG平面向量、復(fù)數(shù)

第1節(jié)平面向量的概念及線性運(yùn)算

考試要求L了解向量的實(shí)際背景.2.理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的

含義.3.理解向量的幾何表示.4.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義.

5.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義.6.了解向量線性

運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.

知識(shí)診斷.基礎(chǔ)夯實(shí)

【知識(shí)梳理】

1.向量的有關(guān)概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量,用有向線段表示，此時(shí)有向線段的

方向就是向量的方向.向量油的大小就是向量的運(yùn)度(或稱模)，記作曲.

⑵零向量：長(zhǎng)度為0的向量,記作0.

⑶單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量.

(4)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量.向量8平行，記作。〃瓦

規(guī)定：0與任一向量平行.

⑸相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.

2.向量的線性運(yùn)算

向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律

C

a+*X\z>

(1)交換律：

A/a

求兩個(gè)向量和的g-\-b=b-\-g

加法

運(yùn)算三角形法則(2)結(jié)合律：

Bac

(a+〃)+c=a+S+c)

定b

OA

平行四邊形法則

求兩個(gè)向量差的

減法Q—5=a+(—b)

運(yùn)算a

三角形法則

⑴加|=皿；

規(guī)定實(shí)數(shù)A與向

(2)當(dāng)2>0時(shí)，癡的方向

量a的積是一個(gè)z(//a)=；

與a的方向相同;當(dāng)A

數(shù)乘向量，這種運(yùn)算(A+〃)a=；

<0時(shí)，Xa的方向與a

叫做向量的數(shù)

的方向相反;當(dāng)A=0時(shí)，

乘，記作

Aa=O

3.共線向量定理

向量a(aWO)與方共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)九使/>=而.

［常用結(jié)論］

1.中點(diǎn)公式的向量形式：若P為線段AB的中點(diǎn)，。為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則罰=3

(OA+OB).

2.醇=%為+〃花(九〃為實(shí)數(shù))，若點(diǎn)A,B,C共線(。不在直線8c上)，則2+

〃=1.

3.解決向量的概念問題要注意兩點(diǎn)：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是考

慮向量的方向；二是要特別注意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿足條件.

【診斷自測(cè)】

1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“J”或“X”)

(1)⑷與步|是否相等和a,8的方向無關(guān).()

(2)若a〃A,bile,則a〃c()

(3)向量箱與向量詼?zhǔn)枪簿€向量，則A,B,C,。四點(diǎn)在一條直線上.()

(4)當(dāng)兩個(gè)非零向量a,方共線時(shí)，一定有8=癡，反之成立.()

答案(1)V(2)X(3)X(4)V

解析(2)若方=0,則。與c不一定平行.

(3)共線向量所在的直線可以重合，也可以平行，則A,B,C,D四點(diǎn)不一定在

一條直線上.

2.（多選）下列命題中，正確的是（）

A.若a與方都是單位向量，則a=Z>

B.直角坐標(biāo)平面上的x軸、y軸都是向量

C.若用有向線段表示的向量疵與而不相等，則點(diǎn)M與N不重合

D.海拔、溫度、角度都不是向量

答案CD

解析A錯(cuò)誤，單位向量長(zhǎng)度相等，但是方向不確定；

B錯(cuò)誤，由于只有方向，沒有大小，故x軸、y軸不是向量；

C正確，由于向量起點(diǎn)相同，但長(zhǎng)度不相等或方向不同，所以終點(diǎn)不同；

D正確，海拔、溫度、角度只有大小，沒有方向，故不是向量.

13

3.（必修二P16例8改編）已知a,8是兩個(gè)不共線向量，向量力一役與尹一尹共線，

則實(shí)數(shù)t=.

答案|

解析由題意知，存在實(shí)數(shù)力,使得小一勿=/生-|，，

卜=一3，1

則<解得/=不

［乎=一1,

4.（必修二P14例6改編）在平行四邊形ABC。中，BC的中點(diǎn)為M,且荏=a,AD

=b,用方表示與f=.

答案a+^b

1

解析AM=AB+BM=AB+^BC=AB+^Ab=a?

考點(diǎn)突破?題型剖析

考點(diǎn)一平面向量的有關(guān)概念

例1（1）（多選）下列命題正確的有（）

A.方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線

B.單位向量都相等

C.若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同

D.“若A,B,C,。是不共線的四點(diǎn)，且屈=虎”Q"四邊形ABC。是平行四

邊形”

答案AD

解析方向相反的兩個(gè)非零向量必定平行，所以方向相反的兩個(gè)非零向量一定共

線，故A正確；

單位向量的大小相等，但方向不一定相同，故B錯(cuò)誤；

兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩個(gè)向量相等；但兩個(gè)向量相等，不一定有相

同的起點(diǎn)和終點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；

A,B,C,D是不共線的點(diǎn)，AB=DC,即模相等且方向相同，即平行四邊形

A8CO對(duì)邊平行且相等，反之也成立，故D正確.

⑵設(shè)a,）都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使禍=日成立的充分條件是（）

A.a=—bB.a〃b

C.a=2b且悶=網(wǎng)

答案C

解析因?yàn)橄蛄苛实姆较蚺c向量。方向相同，向量余的方向與向量方方向相同，

且⑷一時(shí)

所以向量a與向量8方向相同，故可排除選項(xiàng)A,B,D.

waa_2b_b

當(dāng)時(shí)，而=時(shí)=而，

故a=2b是含=告成立的充分條件.

感悟提升平行向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)

（1）相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.

（2）共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān).

⑶向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時(shí)，不要把它與函

數(shù)圖象的平移混淆.

（4）非零向量。與言的關(guān)系：言是與a同方向的單位向量.

訓(xùn)練1（1）（多選）下列命題中正確的有（）

A.平行向量就是共線向量

B.相反向量就是方向相反的向量

C.Q與b同向,且同＞向，則

D.兩個(gè)向量平行是這兩個(gè)向量相等的必要不充分條件

答案AD

解析由平行向量和共線向量可知，A正確；

因?yàn)橄喾聪蛄渴欠较蛳喾?，長(zhǎng)度相等的兩個(gè)向量，所以B是錯(cuò)誤的；

因?yàn)橄蛄渴羌扔写笮∮钟蟹较虻牧浚匀我鈨蓚€(gè)向量都不能比較大小，所以C

是錯(cuò)誤的；

因?yàn)閮蓚€(gè)向量平行不能推出兩個(gè)向量相等，而兩個(gè)向量相等，則這兩個(gè)向量一定

平行，因此兩個(gè)向量平行是這兩個(gè)向量相等的必要不充分條件，所以D正確.

(2)如圖，在等腰梯形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)P,點(diǎn)E,F分別在腰

AD,上，Eb過點(diǎn)P,MEF//AB,則下列等式中成立的是()

\.AD=BCB.A<J=BD

C.PE=PFD.EP=PF

答案D

解析根據(jù)向量的定義，疝與比的方向不同，故A錯(cuò)；

危與防的方向不同，故B錯(cuò)；

助與而的方向相反，故C錯(cuò)；

用與蘇方向相同，且大小都等于線段EF長(zhǎng)度的一半，故D正確.

考點(diǎn)二向量的線性運(yùn)算

角度1平面向量加、減運(yùn)算的幾何意義

例2(2023?蕪湖調(diào)研)如圖，等腰梯形4BCO中，A8=3C=CO=3AO,點(diǎn)E為線

段CO上靠近C的三等分點(diǎn)，點(diǎn)尸為線段的中點(diǎn)，則走=()

AD

B.—j^Afi+^AC

A.—

D.—^AB+^AC

C.—

答案A

解析由題圖，得走=危+走=；及+!詼=；（危一砌+］麗+日國(guó)

1―^1—?2—?2—?1—?11—?5—?,,、①

=jAC—7AB+xAB—xAC—4c.故選A.

LLyyJ1010

角度2向量的線性運(yùn)算

例3在△ABC中，BD=^BC,若屈=a,AC=b,則疝等于（）

2,1,?1,2,

A.^a+2bB.^a+^b

-12,-21

C.Qa—g力D.ga——g8

答案A

解析如圖，過點(diǎn)。分別作AC,AB的平行線交AB,AC于點(diǎn)E,F,則四邊形

AEDF為平行四邊形,

所以疝=成+能.

因?yàn)?)=］病，

所以港=1^方，AF=^AC,

2—］-21

所以無t力=式^+］衣'=3。+1。.

角度3利用向量的線性運(yùn)算求參數(shù)

例4在△A3C中，AB=2,BC=3小,ZABC=30°,AO為3C邊上的高.若屈)=

1A3+//AC,貝!J2—〃=.

答案3

解析如圖.

\'AD為8C邊上的高，

：.ADA.BC.

'：AB=2,ZABC=30°,

BD=-\[3=^BC,

.,.AD=AB+Bb=AB+^BC=AB+^AC—AB）=^AB+^AC.

又?.,屐）=%油+厭，

??z—3，〃—3，故見一〃—3，

感悟提升平面向量線性運(yùn)算的常見類型及解題策略

（1）向量求和用平行四邊形法則或三角形法則；求差用向量減法的幾何意義.

⑵求參數(shù)問題可以通過向量的運(yùn)算將向量表示出來，進(jìn)行比較，求參數(shù)的值.

訓(xùn)練2（1）（2022?青島模擬）已知平面四邊形45CD滿足病=；病，平面內(nèi)點(diǎn)E滿足

BE=3CE,C。與AE交于點(diǎn)M,若夙f=x協(xié)+）疝，則x+y等于（）

A尚B.—|

44

C.2D.-2

答案c

解析如圖所示，

AD

BCE

易知8C=4AO,CE=2AD,

BM=AM-AB=^AE-AB=^AB+BE)-AB=^AB+6Ab)-AB=-^AB+2Ab,

24

所以x=-g,y=2,故x+y=Q.

(2)(2023?福州質(zhì)檢)在平行四邊形ABC。中，M是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，且瓶=；

AC,設(shè)油=a,AD=b,則必+血=(用。，)表示).

1?

答案2a~3b

解析由向量加法的平行四邊形法則，得

AC=AB+AD=a+b,則最7=；(a+Z>),

所以說1+訕=一篇7+磊_/^/=屈一2翁/="一1(“+))=鏟—欣.

考點(diǎn)三共線向量定理的應(yīng)用

例5(1)(2022?綿陽(yáng)二診)已知平面向量a,b不共線，AB=4a+6b,BC=-a+

3b,CD=a+3b,則()

A.A,B,。三點(diǎn)共線B.A,B,。三點(diǎn)共線

C.B,C,。三點(diǎn)共線D.A,C,。三點(diǎn)共線

答案D

解析對(duì)于A,BD=BC+CD=-a+3b+(a+3b^6b,與協(xié)不共線，A不正

確；

對(duì)于B,AB=4a+6b,BC=~a+3b,則施與就不共線，B不正確；

對(duì)于C,BC=~a+3b,CD=a+3b,則比與詼不共線，C不正確；

對(duì)于D,AC=AB+BC=4a+6b+(~a+3b)=3a+9b=3CD,即?！ń穑志€

段AC與CD有公共點(diǎn)C,所以A,C,。三點(diǎn)共線，D正確.故選D.

(2)(2023?山西大學(xué)附中診斷)如圖所示，已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過點(diǎn)G作直

線分別與AB，AC兩邊交于M,N兩點(diǎn)，1§：XAB=AM,yAC=AN,則的值為

xy

A

答案A

解析延長(zhǎng)AG交3C于點(diǎn)”（圖略），則”為的中點(diǎn),

VG為△ABC的重心，

I3X2,；利=如+嗣.

,：M,G,N三點(diǎn)共線，

.1.1-.

??式+豆=1，

即｝+；=3.故選A.

xy

感悟提升利用共線向量定理解題的策略

（1）4〃）=4=勸（后0）是判斷兩個(gè)向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思

想的運(yùn)用.

⑵當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線，即A,B,C三點(diǎn)共線

0麴，危共線.

⑶若a與b不共線且則2=^=0.

（4）O4=AdB4-//0CG，〃為實(shí)數(shù)），若A,B,C三點(diǎn)共線（。不在直線上），則

2+〃=1.

訓(xùn)練3（1）（2023?哈爾濱調(diào)研）設(shè)ei與e2是不共線的非零向量，若kex+ez與e\+kei

共線且方向相反，則上的值是（）

A.-lB.1

C.±lD.任意不為零的實(shí)數(shù)

答案A

解析設(shè)上ei+e2=〃?（ei+-2）,且加＜0,

因?yàn)榫c62是不共線的非零向量，

k=m,m=-1,

所以,,解得仁T故選A

J=mk,

（2）（2022.安徽十校聯(lián)考）如圖，在△ABC中，AD=2DB,P為CD上一點(diǎn),且滿足

AP=eR）,則加的值為（）

A--4

C4D4

答案C

解析由屐）=2加，可得福=|屈）,

即才A=mAC+2^5=mAC+^D.

因?yàn)镃,P,。三點(diǎn)共線，

31

所以m+^=i,?故選c.

r■等和線的應(yīng)用拓展視野

等和（高）線定理

（1）由三點(diǎn)共線結(jié)論推導(dǎo)等和（高）線定理：如圖，由三點(diǎn)共線結(jié)論可知，若罰=

2。4+〃03（九〃GR）,則％+〃=1,由△045與△04夕相似，必存在一個(gè)常數(shù)

k,k^R,使得辦舁，則存心%舁=雙為+初為，又舁&x次+y麗（x,

y￡R）,.?.x+y=M2+〃）=Z；反之也成立.

（2）平面內(nèi)一組基底為，為及任一向量辦，，0P'=k0A+n0B^,"6R）,若點(diǎn)P

在直線A3上或在平行于的直線上，則4+〃=武定值）；反之也成立，我們把

直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和（高）線.

例給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量才1和彷，它們的夾角為120。，如圖，點(diǎn)C在以

。為圓心的圓弧檢上運(yùn)動(dòng)，若比=工醇+），為，其中x,yGR,則x+y的最大值

是.

答案2

解析法一由已知可設(shè)。4為x軸的正半軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系

（圖略）.

其中A（l,0）,一:，坐）,C（cos。，sin，），（其中NAOC=。，0W但用.

則有近=（cosO,sinO）=x（l,0）+｛一坐），

（v

x-]=COS仇

即近

2y-sm。仇

得x=Wsin9+cos仇y=^^sin仇

x+y=^sin0+cos夕+^^sin8=V§sin6+cos8=2sin（e+知

27r

其中OWOWw，所以（x+y）max=2,

當(dāng)且僅當(dāng)。=押取得.

法二如圖，

連接交。。于點(diǎn)。,

設(shè)沆）=灰，

由于加=x5X+y彷，

所以沆）=r（x5X+y浦）.

因?yàn)?。，A,B三點(diǎn)在同一直線上，

所以加+?=1,x+y=:,

由于|歷|=4為=人

當(dāng)OOUB時(shí)t取到最小值g,

當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)A或點(diǎn)8重合時(shí)，取到最大值1,

故1Wx+yW2.故x+y的最大值為2.

法三（等和線法）連接A3,

過。作直線/〃則直線/為以晶，為為基底的平面向量基本定理系數(shù)的等和

線，顯然當(dāng)/與圓弧相切于G時(shí)，定值最大，

因?yàn)镹AOB=120。，

所以災(zāi)'1=宓+彷，

所以x+y的最大值為2.

訓(xùn)練如圖，在△A3C中，H為BC上異于B,。的任一點(diǎn)，M為A”的中點(diǎn)，若

AM=AAB+/iAC,則4+〃=.

答案!

解析由等和線定理可知2+〃=翳=/

分層精練?鞏固提升

【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】

1.給出下列命題，正確的命題為（）

A.向量屈的長(zhǎng)度與向量函的長(zhǎng)度相等

B.向量a與萬平行，則。與萬的方向相同或相反

C.\a\+\b\=\a-b\^a與b方向相反

D.若非零向量。與非零向量8的方向相同或相反，則a+8與a,8之一的方向相

同

答案A

解析對(duì)于A,向量屈與向量麗的長(zhǎng)度相等，方向相反，命題成立；

對(duì)于B,當(dāng)a=0時(shí)，不成立；

對(duì)于C,當(dāng)a,b之一為零向量時(shí)，不成立；

對(duì)于D,當(dāng)a+Z>=0時(shí)，a+〃的方向是任意的，它可以與a,8的方向都不相同.

2.設(shè)。是非零向量，義是非零實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.a與2a的方向相反B.a與Ma的方向相同

C.|—D.|-Aa|^|2|a

答案B

解析對(duì)于A,當(dāng)4>0時(shí)，a與癡的方向相同，當(dāng)人<0時(shí)，a與〃的方向相反，

故A不正確；

對(duì)于C,|—za|=|—z||a|,由于|—用的大小不確定，故|一腦|與同的大小關(guān)系不確

定，故C不正確；

對(duì)于D,1711a是向量，而|一表示長(zhǎng)度，兩者不能比較大小，故D不正確；只有

B正確.

3.（多選）（2022.廈門調(diào)研）下列能化簡(jiǎn)為質(zhì)的是（）

A.QC-QP+CQ^.AB+（PA+BQ）

CW+PC）+（BA-gC）D.PA+AB-BQ

答案ABC

解析對(duì)于A,QC-QP+CQ=PC+CQ=PQ,符合題意；

對(duì)于B,AB+(PA+BQ)=(PA+AB)+BQ=PB+BQ=PQ,符合題意；

對(duì)于C,(AB+PC)+(BA-QC)=(A^+BA)+(CQ-&)=O+PQ=PQ,符合題

意；

對(duì)于D,PA+AB-BQ=PB-BQ^PQ,不符合題意.故選ABC.

4.設(shè)a=(AB+CD)+(BC+DA),b是一個(gè)非零向量，則下列結(jié)論不正確的是

()

A.a//bB.a+b=a

C.a-\-b—bD.|a+i>|=|a|+|i>|

答案B

解析由題意得，a=(AB+CD)+(BC+DA)=Ac4-CA=0,且b是一個(gè)非零向

量，

所以?！ǚ殖闪ⅲ訟正確；

由以上可知。+。=兒所以B不正確，C正確；

由|Q+[=IM，悶+步|=步|,

所以舊+臼=同+步|,所以D正確.

5.(2023?棗莊調(diào)研)已知a,b是兩個(gè)不共線的平面向量，向量箱=癡+兒AC=a

一〃伙九〃eR),若筋〃At,則有()

A：+〃=2B.2—//=1

C./〃=-1D.z//=1

答案C

解析因?yàn)榇！ú?，所以存在?shí)數(shù)攵使荏=疏.

因?yàn)锳3=2a+4AC=ci—卜ib(Z,〃WR),

所以2a+b=Z(a—〃〃)，

f2=左，

可得[z所以勿=—1,故選C.

u=一%

6.(2022?長(zhǎng)春調(diào)研)在AABC中，延長(zhǎng)8c至點(diǎn)M使得BC=2CM,連接AM,點(diǎn)N

為AM上一點(diǎn)且病=；/必，若俞=2牯+〃危，則%+〃=()

A.gB.；

C.-gD.一；

答案A

解析由題意，知俞協(xié)+麗f)

=7AB+|x|BC=|Afi+^(AC—AB)=—

又俞=2屈+〃危，

所以2=—1,"=3,貝!]%+〃='.

7.(2023?廣州質(zhì)檢)在平行四邊形A8CD中，M,N分別是AO,CO的中點(diǎn)，若血

=mBN=b,則肪=()

3222

B.^a+^b

C.%+%D.|/z+%

答案B

解析因?yàn)樗倪呅蜛BC。是平行四邊形，M,N分別為AD,CO的中點(diǎn)，所以的

=AM-AB=^AD-AB,BN=BC+CN=AD-^AB,

又血=a,BN=b,所以;疝一屈=a,①

AD—^AB=b,②

(/--x—-?42—?24

由①②得4。=1。-ga,AB=-^b—^a,

則防=疝一屈=&-|@一阜一?=表+多,故選B.

8.已知向量a,分不共線，且c=ia+),d=a+(2A—l)b,若c與d共線反向，則

實(shí)數(shù)A的值為.

答案

解析由于c與d共線反向，

則存在實(shí)數(shù)%使。=〃（Z〈0）,

于是=k[a+（2A—1）Z>],

整理得加+》=癡+（2求一k）b.

,入=k,

由于a,8不共線，所以有…，，,

2/.K—K=I,

整理得2產(chǎn)一%一1=0,

解得2=1或2=一去

又因?yàn)椋?lt;0,所以2<0,故a=-g.

9.若點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足|西一而=|西+近一2次則

△ABC的形狀為.

答案直角三角形

解析OB+OC-2OA=（OB-OA）+（OC-OA）=AB+AC,OB-OC=CB=AB-

AC,

：.\AB+AC\=\AB-AC\.

故A,B,C為矩形的三個(gè)頂點(diǎn)，△ABC為直角三角形.

10.（2023?南通段考）已知△ABC的重心為G,若反;=》卷+），辰;，則x—y=

答案一1

解析法一連接AG,并延長(zhǎng)AG交8C于點(diǎn)。（圖略）.

因?yàn)椤鰽BC的重心為G,

-—**2-?21―?―?1―?1-?

所以AG=wAO=§X/（AB+AC）=§AB+wAC,①

由南=屈+或得后一協(xié)=屈+薪，

即廢7=（九+1）麗+展，②

f..1f2

產(chǎn)+1=?x=~y

由①②得彳[解得J]

、尸》〔尸于

所以x—y=-1.

法二因?yàn)殄?=x肪+y危，

所以訪+x(原一GX)+y(Gt—6X)=0,

即(1+九)擊+(—x—力襦+)，沆=0,

因?yàn)镚為△ABC的重心，

所以(1+x)：(―x—y):y=1：1：1,

'=_2

1+x=-x—y,x3'

所以解得<.

[―X—y=y,\

所以X—y=-1.

11.已知a,8不共線，OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,設(shè)fGR,如果

3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在實(shí)數(shù)t使C,D,E三點(diǎn)在一條直線上？若

存在，求出實(shí)數(shù)，的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

解由題設(shè)知，CD—d—c=2b—3a,

CE=e—c=(1-3)a+tb,

C,D,E三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)&,使得無=攵&),

即Q—3)a+rf>=—3ka+2kb,

整理得。-3+3k)a=(2&—。4

因?yàn)閍,辦不共線，

t—3+3攵=0,解得尸.

所以有,

2k—t=0,

故存在實(shí)數(shù)，=，使C,D,E三點(diǎn)在一條直線上.

12.如圖，在△ABC中，。為的四等分點(diǎn)，且靠近8點(diǎn)，E,E分別為AC,AD

的三等分點(diǎn)，且分別靠近A,。兩點(diǎn)，設(shè)矗=a,AC=b.

A

E

F

B

D

(1)試用a,6表示比，AD,BE-,

(2)證明：B,E,尸三點(diǎn)共線.

⑴解在△ABC中，因?yàn)閰f(xié)=a,AC=b,

所以冊(cè)=?！?萬一。，

AD=^+Bb=AB+^BC=a+^b—a)=^a+^b,

BE=BA+AE=—AB+|AC=~a+^b.

(2)證明因?yàn)閼?yīng)'=-a+；〃，

BF=BA+AF=—AB+|xb=—a+|Qa+^=—^a+^Z>=^—a+|^,

所以濟(jì)=3牖，即臍與麗共線，且有公共點(diǎn)8,所以B,E,f三點(diǎn)共線.

【B級(jí)能力提升】

13.(多選)(2022?濟(jì)南調(diào)研)下列命題正確的是()

A.若A,B,C,。四點(diǎn)在同一條直線上，且AB=C￡>,則磊=詼

B.在△ABC中，若O點(diǎn)滿足次+為+灰'=0,則。點(diǎn)是△ABC的重心

C.若Q=(1,1),把a(bǔ)向右平移2個(gè)單位，得到的向量的坐標(biāo)為(3,1)

一CA

D.在△ABC中，若于=2=+=，則P點(diǎn)的軌跡經(jīng)過△ABC的內(nèi)心

l|CA|\CB\)

答案BD

解析對(duì)于A,如圖，

1111

ABDC

A,B,C,。四點(diǎn)滿足條件，但協(xié)力詼，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,設(shè)的中點(diǎn)為。，當(dāng)宓+為+沆=0時(shí)，能得到宓=一(彷+的,

所以昂=一2歷，所以。是△ABC的重心，故B正確.

對(duì)于C,向量由向量的方向和模確定，平移不改變這兩個(gè)量，故