電動(dòng)力學(xué)-郭碩鴻-第三版-第30次課(6.5電動(dòng)力學(xué)的相對(duì)論不變性)

復(fù)習(xí):§6.3電動(dòng)力學(xué)的相對(duì)論不變性RelativityTheoryofElectromagneticLaw答復(fù)以下問題：電磁運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，比方Maxwell’sequations和電磁波的波動(dòng)方程，在不同的慣性系中具有是否有相同的形式？電磁場(chǎng)在不同的參考系中如何變換？所謂電磁規(guī)律的協(xié)變性是指：電磁運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，比方Maxwell’sequations和電磁波的波動(dòng)方程，在不同的慣性系中有相同的形式，即滿足Lorentz變換的不變性。但它并不要求描述電磁運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的所有物理量都保持不變。如光速c，事件的間隔等，在不同的慣性系中保持不變，而電流密度、電荷密度、電磁場(chǎng)強(qiáng)度等，在不同的參考系中是不同的。本節(jié)主要是研討電磁規(guī)律的Lorentz協(xié)變性，即Maxwell’sequations表示成四維張量形式。一、四維電流密度矢量電荷是洛倫茲標(biāo)量，即，但電荷密度與體積有關(guān)，必然是一個(gè)可變量（設(shè)靜止密度為，它是一不變量）?！葡涤^察者測(cè)量帶電體密度分布為ρ，體積為dV，由長(zhǎng)度收縮：

1、電荷密度的可變性設(shè)帶電體與∑′固連，運(yùn)動(dòng)速度為，2、四維電流分布矢量，而四維速度引入那么可引入四維電流密度

顯然它是四維矢量，它將統(tǒng)一為整體，滿足洛倫茲變換具體形式對(duì)∑系3、電荷守恒定律的四維形式其中:所以上式是協(xié)變的，在任意一個(gè)參考系中成立。二、四維勢(shì)矢量由上式得到一個(gè)啟發(fā)：若將勢(shì)的意義引伸一下，將的方程一起概括在一個(gè)形式統(tǒng)一的方程里。并把看做空間部分，看做時(shí)間部分，即構(gòu)成一個(gè)四維矢量Aμ.變換關(guān)系三、電磁場(chǎng)張量當(dāng)Aμ構(gòu)成四維矢量時(shí),都構(gòu)成四維張量，因此也是四維張量其矩陣形式為反對(duì)稱張量當(dāng)μ=1,2,3，上式表示上式表示同理合起來，寫成這里μ,v,λ取值輪換:μ=1,v=2,λ=3;v=1，λ=2，μ=3;λ=1,μ=2,v=3，得到由此矩陣形式，即可求出電場(chǎng)和磁場(chǎng)各分量的變換關(guān)系式：由此可以看出：電場(chǎng)和磁場(chǎng)不再彼此獨(dú)立，當(dāng)坐標(biāo)系變換時(shí),不是各自獨(dú)立地，而是混合地變換。在一慣性系中純粹是電場(chǎng)或磁場(chǎng)的在另一慣性系中必定是電場(chǎng)和磁場(chǎng)的混合，不可能將某一慣性系中的純粹的靜電場(chǎng)變換到另一慣性系中純粹的靜磁場(chǎng)。如果把電磁場(chǎng)按平行和垂直于相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度的方向分解，那么電磁場(chǎng)的變換式可寫成：當(dāng)vc時(shí)，上式過渡到非相對(duì)論電磁場(chǎng)變換式至此，關(guān)于電磁現(xiàn)象的參考系問題完全得到解決，電動(dòng)力學(xué)根本方程式對(duì)任意慣性參考系成立。在坐標(biāo)變換下，勢(shì)按四維矢量變換，電磁場(chǎng)按四維張得變換。[例1]求勻速運(yùn)動(dòng)的帶電荷為e的粒子的電磁場(chǎng)。Solution:設(shè)∑’系的原點(diǎn)固定在粒子上，那么該粒子相對(duì)于∑’系是靜止的，因而只有靜電場(chǎng)，其電磁場(chǎng)強(qiáng)度為再設(shè)∑系為實(shí)驗(yàn)室參考系，∑’系隨著粒子相對(duì)于∑系沿x軸的速度運(yùn)動(dòng)，由電磁場(chǎng)變換式則有由于故得現(xiàn)在，必須把用∑系中的坐標(biāo)表示，我們?cè)趖=0時(shí)刻在∑系中測(cè)量空間的場(chǎng),于是,根據(jù)Lorentz變換，我們有所以從∑’系的原點(diǎn)到觀察點(diǎn)的距離可表示成這樣，∑系中的電場(chǎng)強(qiáng)度為∑系中的磁場(chǎng)強(qiáng)度為討論：當(dāng)v<<c時(shí)，略去級(jí)項(xiàng)，得到當(dāng)v~c時(shí)，在與方向上（即）在與//的方向上，（即）場(chǎng)分布不再是球?qū)ΨQ的，而是與θ有關(guān)。場(chǎng)向著垂直于速度方向的平面內(nèi)集中，集中的程度與粒子運(yùn)動(dòng)速度有關(guān)。當(dāng)v→c時(shí)，場(chǎng)根本上集中分布在垂直于速度的平面內(nèi),類似于平面波?！痢痢痢痢痢痢?、電磁場(chǎng)不變量從電磁場(chǎng)張量出發(fā)，我們可以得到一些電磁場(chǎng)的不變量。即利用全反對(duì)稱張量，可以由電磁場(chǎng)張量構(gòu)成另一個(gè)不變量根據(jù)這兩個(gè)不變量，可得如下結(jié)論：a)若在某一慣性參考系中，則在任何慣性系中將同樣有b)若在某一慣性參考系中垂直，那么在任何慣性參考系中，永遠(yuǎn)垂直；真空中的平面電磁波，而且，這個(gè)性質(zhì)是不隨參考系不同而改變的?？偨Y(jié):1、