電路分析第08章正弦穩(wěn)態(tài)分析

第8章

正弦電流電路的穩(wěn)態(tài)分析重點：

相位差

正弦量的相量表示

復阻抗復導納

相量圖

用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路

正弦交流電路中的功率分析1.5電感元件(inductor)與電感有關兩個變量:L,

對于線性電感,有：

=Li

i+–u–+e一、線性定常電感元件：任何時刻，電感元件的磁鏈

與電流i成正比。Liu+–電路符號1.元件特性線性電感的

~i

特性是過原點的直線

iOL=

/i

tg

=N

為電感線圈的磁鏈L

稱為自感系數電感L的單位：H(亨)(Henry，亨利)

H=Wb/A=V?s/A=?s

線性電感電壓、電流關系：u,i

取關聯參考方向:Liu+–e+–根據電磁感應定律與楞次定律或討論：(1)u的大小取決與i

的變化率，與i的大小無關；(微分形式)(2)電感元件是一種記憶元件；(積分形式)(3)當i為常數(直流)時，di/dt

=0

u=0。電感在直流電路中相當于短路；(4)表達式前的正、負號與u，i的參考方向有關。當u，i為關聯方向時，u=Ldi/dt；

u，i為非關聯方向時，u=–Ldi/dt。2.電感的儲能由此可以看出，電感是無源元件，它本身不消耗能量。從t0

到t

電感儲能的變化量：二、時變電感L(t)1.6電容元件(capacitor)一、線性定常電容元件：任何時刻，電容元件極板上的電荷q與電流u成正比。電路符號電容器++++––––+q–qC與電容有關兩個變量:C,q對于線性電容，有：

q=Cu

1.元件特性C

稱為電容器的電容電容C的單位：F(法)(Farad，法拉)

F=C/V=A?s/V=s/常用

F，nF，pF等表示。Ciu+–+–線性電容的q~u

特性是過原點的直線quOC=q/u

tg

線性電容的電壓、電流關系：u,i

取關聯參考方向Ciu+–+–或電容充放電形成電流：(1)u>0，du/dt>0，則i>0，q，正向充電(電流流向正極板)；(2)u>0，du/dt<0，則i<0，q，正向放電(電流由正極板流出)；(3)u<0，du/dt<0，則i<0，q，反向充電(電流流向負極板)；(4)u<0，du/dt>0，則i>0，q，反向放電(電流由負極板流出)；討論：(1)i的大小取決與u

的變化率，與u的大小無關；(微分形式)(2)電容元件是一種記憶元件；(積分形式)(3)當u為常數(直流)時，du/dt

=0

i=0。電容在直流電路中相當于開路，電容有隔直作用；(4)表達式前的正、負號與u，i的參考方向有關。當u，i為關聯方向時，i=Cdu/dt；

u，i為非關聯方向時，i=–Cdu/dt。2.電容的儲能由此可以看出，電容是無源元件，它本身不消耗能量。從t0到t

電容儲能的變化量：二.時變電容c(t):c(t)iu+–+–若則為無源元件

元件是有源的由此可見，時變電容c(t)>0,dc(t)/dt

>0是無源元充分必要條件。若不成立,設在[t1,t2]區(qū)間里，特殊的電壓和特殊的時刻t3,(t3>t2),使W(t3)<0,如選［t1,t2]u0,(-,t1)(t2,)u=0,則有選擇某個①②電容元件與電感元件的比較：電容C電感L變量電流i磁鏈

關系式電壓u

電荷q

結論：(1)元件方程是同一類型；(2)若把u-I，q-

，C-L，i-u互換,可由電容元件的方程得到電感元件的方程；(3)

C和L稱為對偶元件,

、q等稱為對偶元素。*顯然，R、G也是一對對偶元素:I=U/R

U=I/GU=RI

I=GU基本概念按物理量是否隨時間改變，可分為恒定量，變動量。①大小和方向都不隨時間而改變，用大寫字母表示U,I.②隨時間變化的量,每個時刻值稱為瞬時值u(t),i(t)tOi(t)tt0i(t0)O③大小、方向隨時間做周期變化的電流(電壓)稱為周期電流(電壓)工程上往往以頻率區(qū)分電路：工頻50Hz中頻400-2000Hz高頻電路④交變電流：在一個周期內平均值為零的周期電流,稱為交變電流。即tiTtiO8.1正弦量的基本概念一.正弦量的三要素在選定的參考方向下，可以用數學式表達瞬時值電流i(t)：i(t)=Imsin(wt+y)Im,w,y這3個量一確定，正弦量就完全確定了。所以，稱這3個量為正弦量的三要素：i+_u波形：tiO/T(1)幅值

(amplitude)(振幅、最大值)Im：反映正弦量變化幅度的大小。(2)角頻率(angularfrequency)w

：反映正弦量變化快慢。C=d(wt+

)/dt為相角隨時間變化的速度。

正弦量的三要素：相關量：頻率f(frequency)和周期T(period)。頻率f：每秒重復變化的次數。周期T：重復變化一次所需的時間。f=1/T單位：w：rad?s-1，弧度?秒-1

f：Hz，赫(茲)

T：s，秒(3)初相位(initialphaseangle)y：反映了正弦量的計時起點。

(wt+y)表示正弦量隨時間變化的進程，稱之為相位角。它的大小決定了該時刻正弦量的值。當t=0時，相位角(wt+y)=y，故稱y為初相位角，簡稱初相位。同一個正弦量，計時起點不同，初相位不同。tiO

=0

=/2

=-/2一般規(guī)定：|

|。二.相位差(phasedifference)：兩個同頻率正弦量相位角之差。設u(t)=Umsin(wt+yu),i(t)=Imsin(wt+yi)則相位差j=(wt+yu)-(wt+yi)=yu-yi

j>0，u領先(超前)ij

角，或i落后(滯后)

uj角(u比i先到達最大值)；

j<0，i領先(超前)u

j

角，或u落后(滯后)

i

j

角(i比u先到達最大值)。從波形圖上看相位差可取變化趨勢相同點來看。

tu,iu

iyuyijOj=0，同相：j=(180o)

，反相：規(guī)定：|

|(180°)。特例：

tu,iu

iO

tu,iu

iO

=p/2：u領先ip/2,不說u落后i3p/2；i落后up/2,

不說

i領先

u3p/2。

tu,iu

iO同樣可比較兩個電壓或兩個電流的相位差。8.2周期性電流、電壓的有效值周期性電流、電壓的瞬時值隨時間而變，為了確切的衡量其大小工程上采用有效值來量。電流有效值定義為：瞬時值的平方在一個周期內積分的平均值再取平方根。物理意義：周期性電流i流過電阻R，在一周期T內吸收的電能，等于一直流電流I流過R,在時間T內吸收的電能，則稱電流I為周期性電流i的有效值。有效值也稱均方根值(root-meen-square，簡記為rms。)1.有效值(effectivevalue)定義W2=I2RTRi(t)RI同樣，可定義電壓有效值：2.正弦電流、電壓的有效值設i(t)=Imsin(t+

)同理，可得正弦電壓有效值與最大值的關系：若一交流電壓有效值為U=220V，則其最大值為Um

311V；U=380V，Um

537V。工程上說的正弦電壓、電流一般指有效值，如設備銘牌額定值、電網的電壓等級等。但絕緣水平、耐壓值指的是最大值。因此，在考慮電器設備的耐壓水平時應按最大值考慮。測量中，電磁式交流電壓、電流表讀數均為有效值。*區(qū)分電壓、電流的瞬時值、最大值、有效值的符號。為什么用正弦量?主要考慮以下幾點：1.正弦量是最簡單的周期量之一，同頻正弦量在加、減、微分、積分運算后得到的仍為同頻正弦量；2.應用廣泛；3.非正弦量用傅立葉級數展開后得到一系列正弦函數。例.同頻方波相加方波方波不是方波8.3復數復習1.復數A表示形式：一個復數A可以在復平面上表示為從原點到A的向量，此時a可看作與實軸同方向的向量，b可看作與虛軸同方向的向量。由平行四邊形法則。則a+jb即表示從原點到A的向量，其模為|A|，幅角為

。所以復數A又可表示為A=|A|ejq

=|A|q

AbReImaOA=a+jbAbReImaO

兩種表示法的關系：A=a+jbA=|A|ejq

=|A|q

直角坐標表示極坐標表示或2.復數運算則A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)(1)加減運算——直角坐標若A1=a1+jb1，A2=a2+jb2A1A2ReImO加減法可用圖解法。(2)乘除運算——極坐標若A1=|A1|

1，若A2=|A2|

2

則A1

A2=|A1||A2|q1+q2乘法：模相乘，角相加；除法：模相除，角相減。例1.5

47+1025=(3.41+j3.657)+(9.063-j4.226)=12.47-j0.567=12.48-2.61例2.(3)旋轉因子：復數ejq

=cosq+jsinq

=1∠qA?ejq

相當于A逆時針旋轉一個角度q，而模不變。故把ejq

稱為旋轉因子。ejp/2

=j,e-jp/2

=-j,ejp=–1故+j,–j,-1都可以看成旋轉因子。8.4正弦量的相量表示兩個正弦量i1i2i1+i2

i3wwwIm1Im2Im3

1

2

3無論是波形圖逐點相加，或用三角函數做都很繁。因同頻的正弦量相加仍得到同頻的正弦量，所以，只要確定初相位和最大值(或有效值)就行了。于是想到復數，復數向量也是一個大小、一個幅角，因此，我們可以把正弦量與復數對應起來，以復數計算來代替正弦量的計算，使計算變得較簡單。1.正弦量的相量表示造一個復函數沒有物理意義

若對A(t)取虛部：是一個正弦量，有物理意義。對于任意一個正弦時間函數都可以找到唯一的與其對應的復指數函數：A(t)包含了三要素：Im、

、w，復常數包含了I

m,

。A(t)還可以寫成復常數加一個小圓點是用來和普通的復數相區(qū)別(強調它與正弦量的聯系)，同時也改用“相量”，而不用“向量”，是因為它表示的不是一般意義的向量，而是表示一個正弦量。同樣可以建立正弦電壓與相量的對應關系：

相量圖(相量和復數一樣可以在平面上用向量表示)：

不同頻率的相量不能畫在一張向量圖上。

q稱為正弦量i(t)對應的相量。我們用向量和一個正弦時間函數對應看看它的幾何意義：請看演示ejt

為一模為1、幅角為

t

的相量。隨t的增加，模不變，而幅角與t成正比，可視其為一旋轉相量，當t從0~T時，相量旋轉一周回到初始位置，

t

從0~2。已知例1.試用相量表示i,u.解：例2.試寫出電流的瞬時值表達式。解：2.相量運算(1)同頻率正弦量相加減故同頻的正弦量相加減運算就變成對應的向量相加減運算。i1

i2=i3a

b=clga+lgb=lgc這實際上是一種變換思想例．同頻正弦量的加、減運算可借助相量圖進行。相量圖在正弦穩(wěn)態(tài)分析中有重要作用，尤其適用于定性分析。y1y2ReIm將正弦量與相量建立起對應關系這實際上是一種變換思想，由時域變換到頻域：時域：在變量是時間函數條件下研究網絡，以時間為自變量分析電路。頻域：在變量經過適當變換的條件下研究網絡，以頻率為自變量分析電路。相量法：將正弦時間函數“變換”為相量后再進行分析,屬于頻域分析。2.正弦量的微分，積分運算證明：3.相量法的應用求解正弦電流電路的穩(wěn)態(tài)解(微分方程的特解)例一階常系數線性微分方程自由分量(齊次方程解)：Ae-R/Lt強制分量(特解)：Imsin(wt+yi)Ri(t)u(t)L+-wt+

u=wt+

i+q

i=

u-qq=tg-1(wL/R)用相量法求：qRL小結①正弦量相量時域頻域②相量法只適用于激勵為同頻正弦量的非時變線性電路。③相量法可以用來求強制分量是正弦量的任意常系數線性微分方程的特解，即可用來分析正弦穩(wěn)態(tài)電路。N線性N線性w1w2非線性w不適用正弦波形圖相量圖8.5,6電阻、電感和電容元件的正弦電壓電流及相量關系一.電阻時域形式：相量形式：相量模型uR(t)i(t)R+-有效值關系：UR=RI相位關系：

u=

i(u,i同相)R+-功率：波形圖及相量圖：

t

iOuRpR

u=

i二.電感時域形式：i(t)uL(t)L+-相量形式：相量模型有效值關系：U=wLI相位關系：

u=

i+90°

(u超前

i90°)j

L+-

i感抗的物理意義：(1)表示限制電流的能力；(2)頻率和感抗成正比,w

0直流（XL=0),w

開路；(3)由于感抗的存在使電流落后電壓.。wXL寫法注意：XL=L，稱為感抗，單位為(歐姆)BL=-1/L，感納，單位為S(同電導)功率：波形圖：

t

iOuLpL三、電容時域形式：相量形式：相量模型有效值關系：IC=wCU相位關系：

i=

u+90°

(i超前

u90°)

uiC(t)u(t)C+-+-令XC=-1/wC，稱為容抗，單位為W(歐姆)

BC=wC，

稱為容納，單位為S頻率和容抗成反比,w

0，|XC|

直流開路(隔直)

w，|XC|0

高頻短路(旁路作用)w|XC|功率：波形圖：

t

iCOupC8.7基爾霍夫定律的相量形式和電路的相量模型1.基爾霍夫定律的相量形式同頻率的正弦量加減可以用對應的相量形式來進行計算。因此，在正弦電流電路中，KCL和KVL可用相應的相量形式表示：上式表明：流入某一節(jié)點的所有電流用相量表示時仍滿足KCL；而任一回路所有支路電壓用用相量表示時仍滿足KVL。2.電路的相量模型(phasormodel)時域列解微分方程求非齊次方程特解頻域列解代數方程LCRuSiLiCiR+-jw

L1/jw

CR+-時域電路頻域電路3.相量圖1.同頻率的正弦量才能表示在同一個向量圖中2.反時針旋轉角速度3.選定一個參考相量(設初相位為零。)例：上例中選為ùR

參考相量=用途：②利用比例尺定量計算①定性分析小結：1.求正弦穩(wěn)態(tài)解是求微分方程的特解，應用相量法將該問題轉化為求解復數代數方程問題。2.引入相量運算電路，不必列寫時域微分方程，而直接列寫代數方程。3.引入阻抗以后，可將所有網絡定理和方法都應用于交流，直流（f=0)是一個特例。8.8電阻、電感和電容串聯的電路LCRuuLuCi+-+-+-j

LR+-+-+-用相量法分析R、L、C串聯電路的正弦穩(wěn)態(tài)響應。由KVL：Z—復阻抗；R—電阻(阻抗的實部)；X—電抗(阻抗的虛部)；|Z|—復阻抗的模；

—阻抗角。關系：或R=|Z|cos

X=|Z|sin

|Z|RXj阻抗三角形|Z|=U/I

=

u-

i具體分析一下R、L、C串聯電路：Z=R+j(wL-1/wC)=|Z|∠jwL>1/wC，X>0，j>0，電路為感性，電壓領先電流；wL<1/wC，X<0，j<0，電路為容性，電壓落后電流；wL=1/wC，X=0，j=0，電路為電阻性，電壓與電流同相。畫相量圖：選電流為參考向量(wL>1/wC)三角形UR、UX、U

稱為電壓三角形，它和阻抗三角形相似。即

UX例.LCRuuLuCi+-+-+-已知：R=15,L=0.3mH,C=0.2F,求i,uR,uL,uC.解：其相量模型為j

LR+-+-+-8.9電阻、電感和電容并聯的電路由KCL：iLCRuiLiC+-iLj

LR+-Y—復導納；G—電導(導納的實部)；B—電納(導納的虛部)；|Y|—復阻抗的模；

—阻抗角。關系：或G=|Y|cos

'B=|Y|sin'|Y|GBj

導納三角形|Y|=I/U

=

i-

uY=G+j(wC-1/wL)=|Y|∠j

wC>1/wL，B>0，j'>0，電路為容性，i領先u；wC<1/wL，B<0，j'<0，電路為感性，i落后u；wC=1/wL，B=0，j

=0，電路為電阻性，i與u同相。畫相量圖：選電壓為參考向量(wC<1/wL，<0)

'8.10復阻抗、復導納及其等效變換1.復阻抗正弦激勵下純電阻ZR=R純電感ZL=jwL=jXL純電容

ZC=1/jwC=-jXCZ+-無源線性+-2.復導納Y|Z|RXj阻抗三角形|Y|GBj

導納三角形3.復阻抗和復導納等效關系一般情況G

1/RB

1/X。若Z為感性，X>0，則B<0，即仍為感性。ooZRjXooGjBY同樣，若由Y變?yōu)閆，則有：ooZRjXooGjBY8.11阻抗串聯、并聯的電路同直流電路相似：ZZ1Z2+++---Y+-Y1Y2例：已知Z1=10+j6.28

,Z2=20-j31.9

,Z3=15+j15.7

。求

Zab。Z1Z2Z3ab8.12用相量法分析電路的正弦穩(wěn)態(tài)響應電阻電路與正弦電流電路相量法分析比較：可見，二者依據的電路定律是相似的。只要作出正弦電流電路的相量模型，便可將電阻電路的分析方法正弦穩(wěn)態(tài)的相量分析中。列寫電路的節(jié)點電壓方程+_+_21Y1Y2Y3Y4Y5例1.解：法一：電源變換解：例2.Z2Z1ZZ3Z2Z1

Z3Z+-法二：戴維南等效變換Z0Z+-例3.用疊加定理計算電流Z2Z1Z3+-解：Z2Z1Z3Z2Z1Z3+-已知平衡電橋Z1=R1,Z2=R2,Z3=R3+jw

L3。

求：Zx=Rx+jwLx。由平衡條件：Z1Z3=

Z2Zx

得R1(R3+jw

L3)=R2(Rx+j

wLx)∴Rx=R1R3/R2,Lx=L3R1/R2如果被測元件是電容，電橋還能平衡嗎？例4.解：Z1Z2ZxZ3

*|Z1|

1

?|Z3|

3

=|Z2|

2

?|Zx|

x

|Z1|

|Z3|

=|Z2|

|Zx|

1

+

3

=

2

+

x

已知：Z=10+j50W,Z1=400+j1000W。例5.解：ZZ1+_用相量圖分析例6.ooabR2R1R1+_+-+-+-移相橋電路。當R2由0時，解：當R2=0，q=-180；當R2

，q=0。且R2

，|q|。已知：U=115V,U1=55.4V,U2=80V,R1=32W,f=50Hz

求：線圈的電阻R2和電感L2。已知的都是有效值，畫相量圖進行定性分析。例7.解：R1R2L2+_+_+_q2q或解得：R1R2L2+_+_+_8.13正弦電流電路中的功率無源一端口網絡吸收的功率(u,i關聯)1.瞬時功率(instantaneouspower)無源+ui_第一種分解方法；第二種分解方法。第一種分解方法：

tOUIcos

(1-cos2t)-

UIsin

sin2t第二種分解方法：

p有時為正,有時為負；

p>0,電路吸收功率：p<0，電路發(fā)出功率；UIcos

(1-cos2t)為不可逆分量，相當于電阻元件消耗的功率。UIsin

sin2t為可逆分量，周期性交變，相當于電抗吸收的瞬時功率，與外電路周期性交換。

t

iOupUIcos

-

UIcos(2t)瞬時功率實用意義不大，一般討論所說的功率指一個周期平均值。2.平均功率(averagepower)P：

=

u-

i：功率因數角。對無源網絡，為其等效阻抗的阻抗角。即

P=|Z|I2cos=RI2cos

：功率因數。P的單位：Wcosj

=P/(UI)一般地,有0

cosj1X>0,j>0,感性，滯后功率因數X<0,j<0,容性，超前功率因數例：cosj

=0.5(滯后)，則j=60o(電壓領先電流60o)。cosj1,純電阻0，純電抗平均功率實際上是電阻消耗的功率，即為有功功率代表電路實際消耗的平均功率，它不僅與電壓電流有效值有關，而且與cosj有關，這是交流和直流的很大區(qū)別,主要由于存在儲能元件產生了阻抗角。已知：電動機PD=1000W，U=220V，f=50Hz，C=30

F。

求負載電路的功率因數。+_DC例.解：4.視在功率(表觀功率)S反映電氣設備的容量。3.無功功率(reactivepower)Q表示交換功率的值，單位：var(乏)。Q>0，表示網絡吸收無功功率；Q<0，表示網絡發(fā)出無功功率。Q的大小反映網絡與外電路交換功率的大小。是由儲能元件L、C的性質決定的5.R、L、C元件的有功功率和無功功率uiR+-PR=UIcos

=UIcos0=UI=I2R=U2/RQR=UIsin

=UIsin0=0對電阻，u,i同相，故Q=0，即電阻只吸收(消耗)功率，不發(fā)出功率。iuL+-PL=UIcos

=UIcos90=0QL=UIsin

=UIsin90=UI對電感，u領先

i90°,

故PL=0，即電感不消耗功率。由于QL>0，故電感吸收無功功率。iuC+-PC=UIcos

=Uicos(-90)=0QC=UIsin

=UIsin(-90)=-UI對電容，i領先

u90°,

故PC=0，即電容不消耗功率。由于QC<0，故電容發(fā)出無功功率。6.電感、電容的無功補償作用LCRuuLuCi+-+-+-

t

iOuLuCpLpC當L發(fā)出功率時，C剛好吸收功率，則與外電路交換功率為pL+pC。因此，L、C的無功具有互相補償的作用。7.交流電路功率的測量uiZ+-W**i1i2R電流線圈電壓線圈單相功率表原理：電流線圈中通電流i1=i；電壓線圈串一大電阻R(R>>L)后，加上電壓u，則電壓線圈中的電流近似為i2

u/R2。指針偏轉角度(由M確定)與P成正比，由偏轉角(校準后)即可測量平均功率P。使用功率表應注意：(1)同名端：在負載u,i關聯方向下，電流i從電流線圈“*”號端流入，電壓u正端接電壓線圈“*”號端，此時P表示負載吸收的功率。(2)量程：P的量程=U的量程

I的量程

cos

(表的)測量時，P、U、I均不能超量程。例.三表法測線圈參數。已知f=50Hz，且測得U=50V，I=1A，P=3W。解：RL+_ZVAW**8.14復功率1.復功率負載+_有功，無功，視在功率的關系：有功功率:P=UIcosj

單位：W無功功率:P=UIsinj單位：var視在功率:P=UI

單位：VAjSPQjZRXjUURUXRX+_+_oo+_功率三角形阻抗三角形電壓三角形電壓、電流的有功分量和無功分量：(以感性負載為例)RX+_+_+_

GB+_根據定義(放出無功)電抗元件吸收無功，在平均意義上不做功。反映了電源和負載之間交換能量的速率。無功的物理意義:復功率守恒定理：在正弦穩(wěn)態(tài)下，任一電路的所有支路吸收的復功率之和為零。即此結論可用特勒根定理證明。一般情況下：+_+_+_已知如圖，求各支路的復功率。例.+_10∠0oA10Wj25W5W-j15W解一：+_10∠0oA10Wj25W5W-j15W解二：2、功率因數提高設備容量S(額定)向負載送多少有功要由負載的阻抗角決定。P=ScosjS75kVA負載cosj

=1,

P=S=75kWcosj

=0.7,P=0.7S=52.5kW一般用戶：異步電機空載cosj

=0.2~0.3

滿載cosj

=0.7~0.85日光燈cosj

=0.45~0.6(1)設備不能充分利用，電流到了額定值，但功率容量還有；(2)當輸出相同的有功功率時，線路上電流大I