電路與模擬電子技術(shù)基礎(chǔ)-正弦穩(wěn)態(tài)電路

第3章正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析3.1正弦交流電的基本概念隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化的電壓、電流稱為正弦交流電（簡(jiǎn)稱交流電）正弦交流電壓波形圖表達(dá)式u(t)=Umcos(ωt+θu)i(t)=Imcos(ωt+θi)3.1.1周期和頻率周期

角頻率3.1.2幅值和有效值正弦交流電壓的瞬時(shí)值u隨時(shí)間變量t的改變，在Um到-Um之間變化，其瞬時(shí)值的最大值Um稱為幅值或振幅，最小值為-Um

3.1.3相位和相位差在正弦交流電的表達(dá)式中，表示正弦量變化的角度，稱為相位角，簡(jiǎn)稱相位

通常把兩個(gè)同頻率的正弦量的相位之差稱為相位差，用φ表示

例1

已知正弦電壓的振幅為10伏，周期為100ms，初相為

/6。試寫出正弦電壓的函數(shù)表達(dá)式和畫出波形圖。解：角頻率

函數(shù)表達(dá)式為波形如右圖。

例1

已知正弦電壓的振幅為10伏，周期為100ms，初相為

/6。試寫出正弦電壓的函數(shù)表達(dá)式和畫出波形圖。解：角頻率

函數(shù)表達(dá)式為波形如右圖。

例2

試求正弦量的振幅Fm

、初相

與頻率f

。解：將正弦量表達(dá)式化為基本形式：所以Fm=10，

=/3rad,

=100rad/s,f=

/2=50Hz例3已知正弦電壓u(t)和電流i1(t),i2(t)的表達(dá)式為試求:u(t)與i1(t)和i2(t)的相位差。

u(t)與i2(t)的相位差為解：u(t)與i1(t)的相位差為3.2正弦量的相量表示一個(gè)正弦量可由其最大值、角頻率和初相位3個(gè)要素來確定，而在平面坐標(biāo)上的一個(gè)旋轉(zhuǎn)有向線段可以表示正弦量的三要素。(1)復(fù)數(shù)直角坐標(biāo)形式：A=a1+ja2三角形式：A=a(cos

+jsin

)指數(shù)形式：A=aej

極坐標(biāo)形式：A=a

+1ja

a1a20復(fù)數(shù)A的復(fù)平面表示a1=acos

a2=asin

(2)復(fù)數(shù)運(yùn)算A=a1+ja2=aej

，B1=b1+jb2=bejφ

則：A+B

=a1+b1+j(a2+b2)A×B=abej(

+φ)

[例3-2]

已知A=4+j3,B=10∠-60°。試求：A+B，A-B，A·B。解：A=4+j3=5∠36.9°,B=10∠-60°=5-j8.66則A+B=4+j3+5-j8.66=9-j5.66;A-B=4+j3-(5-j8.66)=-1+j11.66A·B=5∠36.9°·10∠-60°=50∠-23.1°分析正弦穩(wěn)態(tài)的有效方法是相量法(Phasormethod)，相量法的基礎(chǔ)是用相量（向量）或復(fù)數(shù)來表示正弦量的振幅和初相。注意：其頻率不變。稱為：f(t)的振幅相量

(3)正弦量的相量表示+1jFm

0相量圖Fm

sin

Fm

cos

正弦量

f(t)的有效值相量

(4)有效值相量正弦量有效值與復(fù)值的關(guān)系：正弦量f(t)是以角速度ω沿反時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)相量在實(shí)軸投影。即：1j

t2

t2tf(t)(5)正弦量與其相量的對(duì)應(yīng)關(guān)系：可見，一個(gè)按正弦規(guī)律變化的電壓和電流，可以用一個(gè)相量(復(fù)常數(shù))來表示。已知正弦量的時(shí)間表達(dá)式，可得相應(yīng)的相量。反過來，已知電壓電流相量，也就知道正弦電壓電流的振幅和初相，再加上角頻率，就能寫出正弦電壓電流的時(shí)間表達(dá)式(兩者存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系)。即或：顯然，有一般地：可以任意選用振幅相量或有效值相量來表示同一個(gè)正弦量；但選用有效值相量更為普遍些。在沒有特指的情況下，指的是有效值相量。相量：用復(fù)平面(二維空間)中的復(fù)常數(shù)表示正弦量的振幅或有效值、初相。(6)相量圖：為了形象描述各個(gè)相量(表示正弦量)之間的相位關(guān)系，把一些相量畫在同一張復(fù)平面內(nèi)。參考相量：上圖中假設(shè)為零相位的相量。例4

已知電流i1(t)=5cos(314t+60

)A,i2(t)=-10sin(314t+60

)A。寫出它們的相量，畫出相量圖，并求i(t)=i1(t)+i2(t)。解：相量圖如圖所示。相量圖的另一個(gè)好處是可以用向量和復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求同頻率正弦電壓或電流之和。平行四邊形法則。從相量圖容易看出各正弦電壓電流的相位關(guān)系：i2(t)超前于i1(t)90°。可得電流的表達(dá)式為3.3

三種基本元件伏安關(guān)系的相量形式電阻元件R

電感元件L

電容元件C

3.3.1

電阻元件R

電阻的向量形式為電阻的模型和向量圖

電阻元件伏安關(guān)系的相量形式當(dāng)電流i(t)=Imcos(

t+

i)時(shí)，電阻上電壓電流關(guān)系：電壓和電流是同頻率的正弦時(shí)間函數(shù)。其振幅或有效值之間服從歐姆定律，其相位差為零(同相)，即時(shí)域：電阻元件的時(shí)域模型及反映電壓電流關(guān)系的波形如下圖示?？梢?，在任一時(shí)刻，電壓的瞬時(shí)值是電流的R倍，電壓與電流同相位。由上述推導(dǎo)，得在關(guān)聯(lián)參考方向下電阻電壓電流的相量形式為這是復(fù)數(shù)方程，同時(shí)提供振幅之間和相位之間的兩個(gè)關(guān)系，即：(1)U=RI(2)

u=

i?；蛳嗔磕Ｐ腿鐖D(a)所示，反映電壓電流相量關(guān)系的相量圖如圖(b)所示，由此可看出電阻電壓與電流的相位相同。

3.3.2

電感元件L

電感元件向量形式的VAR電感的模型和向量圖電感元件伏安關(guān)系的相量形式

當(dāng)i(t)=Imcos(

t+

i)時(shí)電感上電壓電流關(guān)系：伏安關(guān)系的波形如圖(b)?？煽闯鲭姼须妷撼坝陔娏?0°，當(dāng)電感電流由負(fù)值增加經(jīng)過零點(diǎn)時(shí)，其電壓達(dá)到正最大值。電感元件的時(shí)域模型如圖(a)所示由上述推導(dǎo)，得在關(guān)聯(lián)參考方向下電感元件電壓和電流相量的關(guān)系式電感元件的相量模型如圖(a)，伏安相量關(guān)系的相量圖如圖(b)所示。3.3.3

電容元件C

電容元件向量形式的VAR電容的模型和向量圖解=-j9=9∠-90°Ai=9cos(3t-90°)V3.4

基爾霍夫定律的向量表示1．KCL的向量表示對(duì)于具有相同頻率的正弦電路中的任一節(jié)點(diǎn)，流出該節(jié)點(diǎn)的全部支路電流相量的代數(shù)和等于零。2.KVL的向量表示1流出節(jié)點(diǎn)的電流取”+”號(hào)，流入節(jié)點(diǎn)的電流取”-”號(hào)。2流出任一節(jié)點(diǎn)的全部支路電流振幅(或有效值)的代數(shù)和并不一定等于零。即,一般情況下:注意：例5

已知試求電流i(t)及其有效值相量。解：根據(jù)圖(a)電路的時(shí)域模型，得圖(b)所示的相量模型——將時(shí)域模型中各電流符號(hào)用相應(yīng)的相量符號(hào)表示。ii1i2(a)iS(b)列圖(b)相量模型中節(jié)點(diǎn)1的KCL方程，由此可得則：相量圖如右圖所示，用來檢驗(yàn)復(fù)數(shù)計(jì)算的結(jié)果是否基本正確。有效值相量íí2í1+1jKVL:相量形式的KVL定律：對(duì)于具有相同頻率的正弦電流電路中的任一回路，沿該回路全部支路電壓相量的代數(shù)和等于零。相量形式為：1與回路繞行方向相同的電壓取”+”號(hào)，相反的電壓取”-”號(hào)。2沿任一回路全部支路電壓振幅(或有效值)的代數(shù)和并不一定等于零，即一般來說注意例6

求uS(t)和相應(yīng)的相量，并畫出相量圖。已知解：根據(jù)電路的時(shí)域模型，畫出右圖相量模型,并計(jì)算出電壓相量。+u1--u3++u2-+uS-+--++

-+

-圖(b)，以順時(shí)針為繞行方向，列出的相量形式KVL方程由相量得時(shí)間表達(dá)式各相量的關(guān)系如右圖j+13.5阻抗與導(dǎo)納3.5.1阻抗與導(dǎo)納3.5.2阻抗與導(dǎo)納的串并聯(lián)3.5.1阻抗與導(dǎo)納阻抗：可得歐姆定律的相量形式：

導(dǎo)納：顯然：N0+-分析RLC串聯(lián)電路相量模型如圖(b)所示。等效阻抗其中：當(dāng)X=XL-XC>0時(shí)，

Z>0，電壓超前于電流，電路呈感性，等效為R串聯(lián)電感；當(dāng)X=XL-XC<0時(shí)，

Z<0，電流超前于電壓，電路呈容性，等效為R串聯(lián)電容；

當(dāng)X=XL-XC=0時(shí)，

Z=0，電壓與電流同相，電路呈電阻性，等效為R。電壓三角形如下：感性XL>XC容性XL<XC

Z

Z例11

u(t)=10cos2tV。試求i(t),uR(t),uL(t),uC(t)。解：相量模型如圖(b)所示。等效阻抗相量電流RLC元件上的電壓相量時(shí)間表達(dá)式

各電壓電流的相量圖如圖(c)所示。端口電壓u(t)的相位超前于端口電流相位i(t)45°，該RLC串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的端口特性等效于一個(gè)電阻與電感的串聯(lián)，即具有電感性。3.5.2阻抗的串并聯(lián)阻抗的串聯(lián)阻抗的并聯(lián)導(dǎo)納3.5.2.1.阻抗的串聯(lián)在正弦交流穩(wěn)態(tài)電路中，若有n個(gè)阻抗串聯(lián)，則總電壓為

等效阻抗為串聯(lián)阻抗的分壓公式為3.5.2.2阻抗的并聯(lián)兩阻抗的并聯(lián)及等效兩阻抗并聯(lián)時(shí)的分流公式為3.5.2.3導(dǎo)納復(fù)阻抗的倒數(shù)稱導(dǎo)納導(dǎo)納并聯(lián)n個(gè)導(dǎo)納并聯(lián)組成的單口網(wǎng)絡(luò)，就端口特性來說，等效于一個(gè)導(dǎo)納，其等效導(dǎo)納值等于各并聯(lián)導(dǎo)納之和，即電壓與其端口電流相量的關(guān)系為第k個(gè)導(dǎo)納中的電流與端口電流相量的關(guān)系為這是導(dǎo)納并聯(lián)時(shí)的分流公式。例9

求圖(a)網(wǎng)絡(luò)在

=1rad/s和

=2rad/s時(shí)的等效阻抗和等效電路。解：

=1rad/s時(shí)的相量模型如圖(b)所示，等效阻抗.L=1HR=1

C=0.5Fab(a)等效電路如圖(c)所示同理，

=2rad/s時(shí)的相量模型如圖(b)所示，求得等效阻抗為等效電路如圖(e)，相應(yīng)的時(shí)域等效電路為一個(gè)0.5Ω的電阻與1/3F電容的串聯(lián)。A4:7.2A3.6正弦穩(wěn)態(tài)電路分析將正弦穩(wěn)態(tài)電路與直流電阻電路比較，若正弦交流電路的各電壓、電流用向量表示，電阻和電導(dǎo)用阻抗和導(dǎo)納表示，則計(jì)算直流電阻電路的一些公式、分析方法及定律就可以完全用到正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析和計(jì)算中來。[例3-10]已知iS(t)=4cos4tA，uS(t)=5cos(4t+36.9?)V。試?yán)茂B加原理求圖(a)所示電路的電流i(t)。

解：（1）當(dāng)iS(t)單獨(dú)作用時(shí)，uS(t)置零相當(dāng)于短路，得相量模型圖(b)所示，由分流公式得(2)當(dāng)uS(t)單獨(dú)作用時(shí)，iS(t)置零相當(dāng)于開路，相量模型圖(c)得

（3）根據(jù)疊加定理，在iS(t)和uS(t)共同作用下的響應(yīng)為故i(t)=1.77cos(4t-81.9?)

A1H2Ω0.125F＋uS－iSij4Ω2Ω4∠0°ì1m-j2Ωj4Ω2Ωì2m-j2Ω+5∠36.9°-[例3-11]電路相量模型如圖（a）所示，已知ùSm=10∠0°V

，試用戴維南定理求電流相量ì2m。解：（1）首先求開路電壓如圖（b）所示，端口開路電流ìm=0,j200Ω阻抗上電壓為0，故可得（2）求等效阻抗Z0，如圖（c）所示，電壓源置零，可得（3）可得等效電路如圖（d）所示，利用KVL可得j200Ω100Ωì2m-j50Ω+ùSm-100Ωj200Ω100Ωì2=0-j50Ω+ùSm-+ùOCm-j200Ω100Ω←Zo-j50ΩZoì2m+ùOCm-100Ω3.7正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率瞬時(shí)功率有功功率及功率因數(shù)無(wú)功功率和視在功率3.7.1瞬時(shí)功率3.7.2有功功率及功率因數(shù)平均功率不僅取決于電壓電流有效值乘積UI，還與阻抗角

Z=

u-

I有關(guān)。

功率因數(shù)

Z=

u-

i為功率因數(shù)角。當(dāng)二端網(wǎng)絡(luò)為無(wú)源元件R、L、C組成時(shí)：|

Z|<90,0<pf<1。

Z<0,電路呈容性，電流導(dǎo)前電壓；

Z>0,電路感呈性，電流滯后電壓。

網(wǎng)絡(luò)吸收的平均功率P與cos

Z的大小密切相關(guān)，cos

Z表示功率的利用程度，稱為功率因數(shù)

3.7.3無(wú)功功率和視在功率上式第二項(xiàng)的最大值為二端網(wǎng)絡(luò)的無(wú)功功率Q

。即可驗(yàn)證L和C時(shí)的特殊情況。視在功率表示一個(gè)電氣設(shè)備的容量，是單口網(wǎng)絡(luò)所吸收平均功率的最大值，單位：伏安(VA)。例如我們說某個(gè)發(fā)電機(jī)的容量為100kVA，而不說其容量為100kWS=UI[例3-12]求P、Q、S。已知關(guān)聯(lián)參考方向下無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)的端口電壓u(t)和i(t)分別為:(1)u(t)=10cos(100t+70?)，i(t)=2cos(100t+40?)；解：（1）端口電壓有效值、電流有效值及阻抗角分別為U=5V，I=A，?Z=φu–φi

=70-40=30?因此，P=UIcos?Z=10cos30?=8.66WQ=UIsin?Z=10sin30?=5varS=UI=10VA無(wú)功功率Q>0，該二端網(wǎng)絡(luò)呈感性。（2）u(t)=20cos(50t+20?)，i(t)=2cos(50t+50?)。解：（2）端口電壓有效值、電流有效值及阻抗角分別為U=10V，I=A，?Z=φu–φi

=20-50=-30?因此，P=UIcos?Z=20cos(-30?)=17.32WQ=UIsin?Z=20sin(-30?)=-10varS=UI=20VA無(wú)功功率無(wú)功功率Q<0，該二端網(wǎng)絡(luò)呈容性。[例3-13]

電路相量模型如圖，端口電壓的有效值U=100V.試求該網(wǎng)絡(luò)的P、Q、S、pf。解:設(shè)端口電壓相量為：16

j16

-j14

+-網(wǎng)絡(luò)的等效阻抗：因此故：S=UI=100×10=1000VA由于

Z=-36.9,所以pf=cos

Z=cos(-36.9)=0.8(導(dǎo)前）P=Scos

Z=800WQ=Ssin

Z=-600Var3.8正弦穩(wěn)態(tài)電路中的諧振

諧振電路是電路分析和通信技術(shù)中的基本電路，人們利用諧振現(xiàn)象做成了各種功能電路，用來選擇信號(hào)和處理信號(hào)。最常用的諧振電路是串聯(lián)諧振和并聯(lián)諧振電路。含有電感、電容和電阻元件的單口網(wǎng)絡(luò)，在某些工作頻率上，出現(xiàn)端口電壓和電流相位相同的情況時(shí)，稱電路發(fā)生諧振。能發(fā)生諧振的電路，稱為諧振電路。諧振電路在電子和通信工程中得到廣泛應(yīng)用。這時(shí)，Q=QL+QC=0

。電源只供給電阻消耗能量，L和C之間能量自行交換。3.8.1串聯(lián)諧振

RLC串聯(lián)電路

串聯(lián)諧振電路的特性圖(a)表示RLC串聯(lián)諧振電路，圖(b)是相量模型，由此求出驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗為RLC串聯(lián)諧振條件與諧振特性其中R0ω0ωX-1

C

L容性電阻性感性X<0X=0X>0當(dāng)時(shí)，

Z=0,|Z(j

)|=R,電壓u(t)與電流i(t)相位相同，電路發(fā)生諧振。即，RLC串聯(lián)電路的諧振條件為ω0稱為固有諧振角頻率，簡(jiǎn)稱諧振角頻率，它由元件參數(shù)L和C確定。1諧振條件當(dāng)電路激勵(lì)信號(hào)的頻率與諧振頻率相同時(shí)，電路發(fā)生諧振。用頻率表示的諧振條件為RLC串聯(lián)電路在諧振時(shí)的感抗和容抗在量值上相等，感抗或容抗的大小稱為諧振電路的特性阻抗，即它同樣是有元件L和C的參數(shù)確定。RLC串聯(lián)電路發(fā)生諧振時(shí)，阻抗的電抗分量導(dǎo)致即阻抗呈現(xiàn)純電阻，達(dá)到最小值。電路諧振電流為2諧振時(shí)的電壓和電流電流有效值達(dá)到最大值，且電流與電壓源電壓同相。此時(shí)電阻、電感和電容上的電壓分別為其中稱為串聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因數(shù)。電路諧振時(shí)的相量圖如圖。電感電壓或電容電壓的幅度為電壓源電壓幅度的Q倍，即LC串聯(lián)部分相當(dāng)于短路例3-15

電路如圖,已知求:(l)頻率

為何值時(shí)，電路發(fā)生諧振。

(2)電路