2022年高考數(shù)學(xué)模擬自測題（根據(jù)以往高頻出現(xiàn)知識點編輯）43

2022年高考數(shù)學(xué)模擬自測題(根據(jù)以往高頻出現(xiàn)知

識點編輯)_01D

單選題(共8個，分值共：)

1、已知函數(shù)/'(x)=+3x+1|-a|x|恰有4個零點，則a的取值范圍是().

A.(5,+OO)B.(1,5)

C.(1,+oo)D.(0,1)U(5,+oo)

答案：D

解析：

把/(x)的零點個數(shù)等價于直線y=a與函數(shù)y=k+：+圖象的交點個數(shù)即可解決.

【本題詳解】

當(dāng)％=0時，/(0)=1^0,所以％=0不是/(%)的零點；

當(dāng)工工0時，由/(%)=0,即1/+3%+1|-=0,得。=卜+：+3卜

則/(%)的零點個數(shù)等價于直線y=a與函數(shù)y=k+：+圖象的交點個數(shù).

作出函數(shù)y=卜+：+的大致圖象(如圖所不)，

由圖可知aG(0,1)U(5,4-00).

所以正確答案為：D

2、已知％Q,b,c,y成等差數(shù)列，d,y,e*也成等差數(shù)列，則言的值為()

A.-B.--C.-D.--

3322

答案：D

解析：

以X、y分別表示等差數(shù)列％Q,仇與等差數(shù)列d,y,e,x的公差，即可解決.

【本題詳解】

等差數(shù)列x,Q,b,c,y中，公差di=m=；()/一%),c-a=2d1

5—14

等差數(shù)列d,y,e,x中，公差W=[(*一切，e-d=2d2

故三=弛=竺H=_工

e-d2d2x-y2

所以正確答案為：D

3、已知雙曲線提一\=19>0/>0)的離心率為近，則其漸近線方程是()

A.y=+xB.y=+^-xC.y=+V2xD.y=±V3x

答案：A

解析：

由雙曲線離心率的值得到*b之間的關(guān)系，即可求得雙曲線的漸近線方程.

【本題詳解】

雙曲線.一標(biāo)=l(a>0,b>0)中，c2=a2+b2,又(=&即c=&a,貝Ub=a

則其漸近線方程是y=+^x=+x

所以正確答案為：A

([+烏[(]+“)6,

4、Ix')展開式中x的系數(shù)為()

A.26B.32c.46D.50

答案：B

解析：

先求出(l+x『的展開式的通項，可得/的項相應(yīng)的r的值，即可求解.

【本題詳解】

。+的展開式的通項為=C"’,

(1+1](l+x)6,1-Clx5+4--CftX5=20x3+12x3=32x3

所以l廠^展開式中含丁的項為/，

[l+4](l+x『

所以l尸1展開式中/的系數(shù)為32,

所以正確答案為：B.

5、雙曲線C:9—9=1的虛軸長為()

A.V3B.2V3C.3D.6

答案：D

解析：

根據(jù)題意，由雙曲線的方程求出b的值，即可得答案.

【本題詳解】

2

因為Z>2=9,所以b=3,所以雙曲線的虛軸長為2b=6.

所以正確答案為：D.

6、已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足/(%+2)=)(%),當(dāng)丁€［—1,1］時,/(x)=/+1,貝行(2020.5)=()

A.淑工.2D,1

答案：B

解析：

由/0+2)=/(尤)可知，函數(shù)/(x)的周期為2,利用周期性把所給的自變量轉(zhuǎn)化到區(qū)間［一1,1］上，代入求值即

可.

【本題詳解】

由/0+2)=/(%)可知，函數(shù)/(%)的周期為2,當(dāng)時，/(x)=x2+l,

???/(2020.5)=f(2020+0=/(|)=J+1=

所以正確答案為：B

7、下列關(guān)于命題"若%>1,貝U2x+1>5”(假命題)的否定，正確的是()

A.若x>1,則2x+1<5

B.存在一個實數(shù)化,滿足%>1,但2%+1<5

C.任意實數(shù)萬,滿足x>1,但2x+1<5

D.若存在一個實數(shù)x,滿足XW1,則2x+lW5

答案：B

解析：

先要明確"若x>l，則2x+l>5"是一個全稱命題，因此其否定是特稱命題形式，由此可判斷答案.

【本題詳解】

命題"若久>1,貝Ij2x+1>5〃(假命題)是一個全稱命題，

因此其否定為“存在一個實數(shù)X,滿足x>l,但2x+lS5",

所以正確答案為：B.

8、函數(shù)/(切=蒿公的圖象大致為()

3

解析：

根據(jù)函數(shù)解析式求得函數(shù)定義域，判斷函數(shù)奇偶性，再取兒個特殊值運用排除法得到答案.

【本題詳解】

由題意知，x2+|x|-2*0,解得x芋±1,所以/(尤)定義域(一8,-1)U(-1,1)(1,+8)關(guān)于原點對稱，又因為

/(-%)==4^=—/(x),所以此函數(shù)為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱，排除A.

\—X)+\—X\—Zx+\x\—z

當(dāng)％=機寸，f=_|<0,排除B.

/(x)=0=%=0,函數(shù)只有1個零點，排除C.

所以正確答案為：D

多選題(共4個，分值共：)

9、已知圓/W：/+(y—2)2=l,點P為x軸上一個動點，過點P作圓M的兩條切線，切點分別為A,B,

直線A8與/WP交于點C,則下列結(jié)論正確的是()

A.四邊形PA/W8周長的最小值為2+26B.|4B|的最大值為2

C.若P(l,0),則△P4B的面積為強.若Q(W，0),則的最大值為:

答案：ACD

解析：

對A,可將四邊形以MB周長轉(zhuǎn)化為2+2|AP|,結(jié)合勾股定理可求最值；對B,由圓內(nèi)最長的弦為直徑可判斷

錯誤；對C,由幾何關(guān)系先求出MP,由等面積法可求出BC,CP,結(jié)合面積公式可求S“4B；對D，分點P是否

與原點重合分類討論，當(dāng)點P不與原點重合時，求出切線長方程和直線MP方程，聯(lián)立可求動點C軌跡，由點與

圓的位置關(guān)系可求iCQImax.

【本題詳解】

如圖所示，對于選項4四邊形R4MB的周長為2+|BP|+|4P|,

4

因為|BP|=|4P|,所以四邊形小M8的周長為2+2|4尸|,設(shè)|MP|=t（tN2）,當(dāng)P與原點重合時最小，則

\AP\=Vt2-1,則四邊形PAMB的周長為2Vt2-1+2,則當(dāng)t取最小值2時，四邊形PAMB的周長最小，

為2a+2,故A正確；

對于選項B,因為圓M：/+。-2）2=1的直徑為2,所以|AB|<2,故B錯誤；

對于選項C,因為P（1,O）,所以|MP|=花,\AP\=2,由等面積法可得|AP|?|4M|=|MP|?|BC|,求得

|BC|=q,MB|=3,|PC|=G，所以APAB的面積為:|4B|“PC|=1故C正確；

對于選項D,當(dāng)點P與原點重合時，|MP|=2,則|PB|則|MC|=也則C（0,|），則|CQ|=4+菖=

等；當(dāng)點P不與原點重合時，設(shè)P（m,O）（團40）,則切點弦AB的方程為-2y+3=0（利用結(jié)論：過圓

-

外一點P（x（）,yo）的切線弦方程為（%o-a）（x-a）+（y0a）（y一b）=N求得），直線MP的方程為y=-+

2,聯(lián)立兩方程，可得C（^,甯），消去m,得動點C的軌跡方程為/+（y—￡f=e）2又因為

Q（*°），所以iCQImax=J（-手）+（：）+；=￡故D正確.

所以正確答案為：ACD.

10、設(shè)數(shù)列｛。工是無窮數(shù)列，若存在正整數(shù)A,使得對任意neN+，均有an+k>an，則稱｛5｝是間隔遞增數(shù)

列，k是｛斯｝的間隔數(shù).則下列說法正確的是（）

A.公比大于1的等比數(shù)列一定是間隔遞增數(shù)列

B.已知即=71+：,則｛an｝是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是4

C.已知an=2n+（—1嚴(yán)，則｛a.｝是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是3

D.已知即=n2-tn+2021,若｛冊｝是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是3,則4st<5

答案：BD

解析：

根據(jù)間隔遞增數(shù)列的定義，結(jié)合數(shù)列的增減性，進而求得答案.

【本題詳解】

n

對于A設(shè)數(shù)歹U｛即｝的公比為q,則-an=一的小-1=aiqT（qk-1），

因為q>l,所以q九T（qk—l）>0,若由V0,則時+工一Q九<0,不是間隔遞增數(shù)列，故A錯誤；

對于B,即+|-即=6+1+熹）—（n+：）=Ul—導(dǎo)｝易得t（n）=1—嬴是遞增數(shù)列，

5

則t(l)=M，所以k>3時，｛a/一定是間隔遞增數(shù)列，且最小間隔數(shù)是4,故B正確；

n+knnk

對于C,an+k-an=2(n+k)+(-l)-[2n+(-l)]=2k+(-l)[(-l)-1],

當(dāng)n為奇數(shù)時，an+k一=2k-[(-1)上一1],顯然k=l?時，而+k-斯〉。，

k

當(dāng)n為偶數(shù)時，an+k-an=2k+[(-l)-1]?顯然k=2時，an+k-an>0,故C錯誤；

對于D,由｛&J是間隔遞增數(shù)列，則即+上>0n對neN*恒成立，

即(n+k)2—t(n+fc)+2021—(n2-tn+2021)=2kn+k2—tk>0對neN*恒成立，貝!]2k+k.2—tk>0

恒成立，

因為最小間隔是3,所以2卜+卜2一塊>0即卜>?：—2對于/<:23恒成立，且AW2時，k<t-2,于是4<t<

5,故D正確.

所以正確答案為：BD.

11、已知正方體力BCD—4B1GD1的棱長為2,M為棱CQ上的動點，AM，平面a,下面說法正確的是()

A.若N為。％中點，當(dāng)4M+MN最小時，器=1一五

B.當(dāng)點”與點Q重合時，若平面a截正方體所得截面圖形的面積越大，則其周長就越大

C.直線AB與平面a所成角的余弦值的取值范圍為[白，號]

D.若點M為CG的中點，平面a過點8,則平面a截正方體所得截面圖形的面積為：

答案：AD

解析：

利用展開圖判定4、M、N三點共線，進而利用相似三角形判定選項A正確；通過兩個截面的面積不相等且周

長相等判定選項B錯誤；建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求線面角的余弦值的取值范圍，進而判定選項

C正確；建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面垂直得出點E的位置、判定截面的形狀是梯形，利用空間向量求梯形

的高，進而求出截面的面積，判定選項D正確.

【本題詳解】

對于A：將矩形"CGA與矩形CGD1D展開成一個平面(如圖所示)

若AM+MN最小，則4、M、N三點共線,

因為“】||皿，所以需=笫=^^=2-或，

所以MC=(2-夜)DN=?CCi，

即把=土超=1一立，

CG22

6

即選項A正確；

對于B：當(dāng)點M與點Q重合時，

連接公。、BD、&B、AC.AG(如圖所示)

在正方體ABCD-4/他12中，CCi，平面4BCD,

BDu平面4BCD,所以8DJLCG，

又因為B0J.4C,且4CnCG=C,

所以B。，平面ZCCi，

又ACiu平面ACC］，所以BDJLAQ,

同理可證40

因為&DCBD=D,

所以4G上平面

易知△&BD是邊長為2口的等邊三角形，

其面積為SAABD=fx(2V2)2=2V3,

周長為27^x3=6或：

設(shè)瓦F,Q,N,G,〃分別是4Di，BBi，BC,CD,的中點,

易知六邊形EFQNGH是邊長為企的正六邊形，

且平面EFQNGH||平面&BD,

正六邊形EFQNGH的周長為6企，

面積為6xx(V2)2=3V3.

則4&BD的面積小于正六邊形EFQNGH的面積，

它們的周長相等，

即選項B錯誤；

對于C：以點。為原點，DA.DC、DDi所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)

7

則4(2,0,0),很(2,2,0),設(shè)M(0,2,a)(0WaW2),

因為AM_L平面a,所以前是平面a的一個法向量，

且俞=(-2,2,a),AB=(0,2,0),

\cos(AM,AB)\=G[y<y]-

所以直線AB與平面a所成角的正弦值的取值范圍為殍，同

則直線AB與平面a所成角的余弦值的取值范圍為性耳

即選項C錯誤；

對于D：以點。為原點，。4、0C、所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)

連接AC、BD,設(shè)平面a交棱為￡>i于點E(b,0,2),"(0,2,1),

所以彳M=(-2,2,1),因為4M_L平面a,DEu平面a,

所以AMJLCE,即

AM-DE=-2b+2=0,得b=1,

所以E(l,0,2),即點E是&5的中點，

同理點F是&Bi的中點，貝I]EF||8。且EF力BD,

所以四邊形EFBD是梯形，且B￡>=2&，EF=夜，

設(shè)a=麗=(1,0,2),〃=贏=母，當(dāng),。),

則a2=5,a?〃=圣

8

所以梯形EFBD的高，即點E到直線BD的距離

為Ja2-（a?〃）2=^5-1=券

所以梯形EFBD的面積為S=1x（V2+272）x券=￡

即選項D正確.

所以正確答案為：AD.

12、已知P是雙曲線C：?—3=1上任意一點，A,B是雙曲線的兩個頂點，設(shè)直線PA,PB的斜率分別為自,

k2（七七羊。）若|心|+伙21"恒成立，且實數(shù)t的最大值為1，則下列說法正確的是（）

A.雙曲線的方程為彳-y2=1

B.雙曲線的離心率為近

C.函數(shù)y=loga^x+1-遍）（a>O,axl）的圖象恒過雙曲線C的一個焦點

D.直線x—y=0與雙曲線C有兩個交點

答案：AC

解析:

根據(jù)已知可得七七為定值，結(jié)合基本不等式求出IBI+IBI的取值范圍，得到t的最大值，從而取出m,逐項

判斷即可.

【本題詳解】

設(shè)P(x,y),(x*±2),2(—2,0),B(2,0),則?一'=1,

y

所以的=x^2f

yy_y2_m

所以kk2=—x—=——=-

1x+2x-2X2-44

又1自1+1的122<卜也=2$=Vm,

當(dāng)且僅當(dāng)他il=\k2\=亨等號成立,

又1心|+忙2|23且實數(shù)t的最大值為1，

所以g元=1,即m=1,

所以雙曲線的方程為?！獃2=i,故A正確；

則雙曲線的離心率e=2=Jl+§==，故B錯誤；

雙曲線的焦點坐標(biāo)為（土花,0）,

函數(shù)y=Zoga（x+1-遮）（a>0,aHl）的圖像過定點（通,0）,故C正確;

雙曲線的漸近線為y=±：%,而直線x—y=0的斜率為

所以直線x-y=0與雙曲線C有沒有交點，故D錯誤.

9

所以正確答案為：AC.

填空題（共3個，分值共：）

13、函數(shù)f（x）=8的定義域為.

答案：（—8,—3]

解析：

解指數(shù)不等式得出定義域.

【本題詳解】

即定義域為（-8,-3].

故答案為：（—8,—3]

14、若函數(shù)/（x）=2sino）x+2cos（cox+§（coK0）的一個周期是則3的取值可以是.（寫出一

個即可）.

答案：4（答案不唯一）

解析：

先利用三角函數(shù)恒等變換公式對函數(shù)化簡，然后利用周期公式求解即可

【本題詳解】

/（%）=2sina）x+2cos（3%+：）=（2—V2）sintox+\[2cosa）x=V8-4V2sin（（ox+<p）,其中tan<p==

V2+1,

則/（x）的最小正周期7=言，

從而冷卻壯幻，

解得3=4k（keZ,且上。0）

故答案為：4（答案不唯一）

15>若Vx€R,三。€[5,8],/+ax+[a?>2%+am—5,則m的取值范圍為.

答案：（一8曰

解析：

一元二次不等式，對任意的實數(shù)都成立，與x軸最多有一個交點；由對勾函數(shù)的單調(diào)性可以求出m的范圍.

【本題詳解】

由/+ax+1a2>2%4-am—5,得％2+（a—2）x4-|a2—am+5）0.由題意可得maG[5,8],（a—2）2—

4a?—am+5）40,即maW[5,8],ni4±+!+1.因為a€[5,8],所以+±故m

\2J4a4a4822

故答案為：（—8,|j

解答題（共6個，分值共：）

10

16>已知角ae(p7r),sma=|.

(1)求tcma的值；

(2)求tanG+a)的值.

答案：

(1)--

4

⑵i

7

解析：

(1)根據(jù)平方關(guān)系求出cosa,再根據(jù)商數(shù)關(guān)系即可得出答案;

(2)直接利用兩角和的正切公式即可得出答案.

(1)

解：因為角a6譏a=I，

所以cosa=-V1—sin2a=—^

所以="上=-

cosa4

(2)

tan—￥tana1一一

4___41

解:tan?+a)=TC-3

1-tan—tanai+-1

44

17、如圖，已知平行四邊形ABC。的三個頂點8、C、。的坐標(biāo)分別是(-1,3)、(3,4)、(2,2),

(2)求頂點A的坐標(biāo).

答案:

(1)BC=(4,1)

(2)(-2,1)

解析：

(1)由點8、C的坐標(biāo)即可求解BC的坐標(biāo):

(2)設(shè)頂點A的坐標(biāo)為(x,y),由四邊形A8CD為平行四邊形，有麗=而，從而即可求解.

(1)

11

解：因為點8、C的坐標(biāo)分別是(-1,3)、(3,4),

所以阮=(3,4)-(-1,3)=(4,1)；

(2)

解：設(shè)頂點A的坐標(biāo)為(x,y),

因為四邊形ABCD為平行四邊形，D的坐標(biāo)是(2,2),

所以說=而，即(4,1)=(2—居2-y),

所以仁江：，解%蠢2,

所以頂點A的坐標(biāo)為(一2,1).

18、如圖，在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊為a,b,c,已知a=6,A=60。，8=75°.

(1)求角C；

(2)求邊c.

答案：

(1)C=45。

(2)c=2-76

解析：

(1)根據(jù)三角形三個內(nèi)角和等于180。即可求解；

(2)結(jié)合己知條件，根據(jù)正弦定理即可求解.

(1)

解：在AABC中，因為A=60。，8=75。，所以角C=180。-4-B=180°-60°-75°=45°；

(2)

解：在△ABC中，因為a=6,4=60°,又由(1)知C=45°,

a_c

所以由正弦定理有荒彳一藏，即擊=爰，解得c=2痣

~2T

19、已知函數(shù)/(%)=2s出(3%),其中常數(shù)3>0.

(1)若3=2,將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移m個單位，得到的函數(shù)y=g(x)的圖象，求g(x)；

0

(2)若y=/(x)在［一%爭上單調(diào)遞增，求3的取值范圍；

(3)對(1)中的g(x),區(qū)間［a,b］(a,b￡R且aVb)滿足：y=g(%)在［a,b］上至少含有30個零點，在所

有滿足上述條件的［a,0中，求b-a的最小值.

12

答案：

(1)g(x)=2sin(2x4-

(2)(0,|]

(3)—

2

解析：

(1)由/(x)=2si幾2%向左平移2個單位可得g(%)=2s譏[2(x+弓)],化簡即可；

--7coT>.T--r

￡2,從而求出口的取值范圍；

I7r

(3)令g(x)=0,得工=”一久代2),可得相鄰兩個零點之間的距離為三可知b—a>14T+J=警，可

LoNNN

求出匕-Q的最小值.

(1)

若3=2,由題意得/(%)=2s譏2%,向左平移g個單位，得到的函數(shù)

y—g(x)-2sin[2(x+*)]=2sin(2x+g).

故g(x)=2sin(2x+》

(2)

(JL)>0,當(dāng)%6[—('爭]時'6t)X6[——60,6L>]

又=y=/(%)=2s譏3%在[一孑，引單調(diào)遞增，

/兀、兀

一二3>——

：?22加，解得。<3嵋，

??.3的取值范圍為(0,|].

(3)

由函數(shù)y=g(x)=2sin(2x+g)可知，

令。(%)=0，得2x4--=kn(kGZ),即％=——-(k6Z).

326

.??相鄰兩個零點之間的距離為多且周期7=兀，

則要使y=/(x)在[a,b]上至少含有30個零點，至少包含14.5個周期.

即b—a》14T+-=—.

22

故b—a的最小值為2歲.

20、已知函數(shù)/(x)=2工一%且/'(2)=:

(1)求實數(shù)a的值并判斷該函數(shù)的奇偶性；

(2)判斷函數(shù)/(x)在(1,+8)上的單調(diào)性并證明.

答案：

13

(1)a=-1,函數(shù)/(%)=2%+或為奇函數(shù)

(2)/(%)在(1,+8)上是增函數(shù)，證明見解析

解析：

(1)根據(jù)/(2)=會代入函數(shù)解析即可求解;

(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可.

99

⑵4a

=---=-

II./222

a=-1；

所以/(%)=2%+定義域為｛%|xH0｝關(guān)于原點對稱，

/(-x)=2(-%)+^=-2x-i=-(2%+》=-/(%),

函數(shù)〃%)=2乂+：為奇函數(shù).

(2)

函數(shù)f(x)在(1,+oo)上是增函數(shù)，

證明：任取%1，%2€(1,+8),設(shè)％1<%2，則

1111Xi—%2

(%2)-(%i)=-%1)+(---)=)

ff2x2+--(2x1+—)=2(X22(X2-/+(――)

%2X1x2X1

/、c1、(%2一%1)(2久1%2-1)

=3-^1)(2----