線性方程組的消元法和矩陣的初等變換分解

和矩陣的初等變換線性方程組的消元解法矩陣的初等變換第一章線性方程組的消元法1整理ppt第一節(jié)線性方程組的消元法一、線性方程組的根本概念1.線性方程組的定義引例

有三家生產(chǎn)同一種產(chǎn)品的工廠A1

、A2

、A3，其年產(chǎn)量分別為40t，20t和10t，該產(chǎn)品每年有兩個用戶B1、B2

，其用量分別為45t和25t2整理ppt引例

有三家生產(chǎn)同一種產(chǎn)品的工廠A1

、A2

、A3，其年產(chǎn)量分別為40t，20t和10t，該產(chǎn)品每年有兩個用戶B1、B2

，其用量分別為45t和25t不妨假設(shè)每噸貨物每公里的運(yùn)費(fèi)為1元，問各廠的產(chǎn)品如何調(diào)配才能使總運(yùn)費(fèi)最少？3整理ppt解設(shè)各廠到各用戶的產(chǎn)品數(shù)量如表1-2依題意，3個廠的總產(chǎn)量和用戶的總用量相等：4整理ppt再來看總運(yùn)費(fèi)，由表1-1：12于是，題目要解決的問題是：使之滿足方程組①和②并使總運(yùn)費(fèi)最少.5整理ppt幾個線性方程聯(lián)立在一起，稱為線性方程組，假設(shè)未知數(shù)的個數(shù)為n，方程個數(shù)為m，那么線性方程組可以寫成如下形式：假設(shè)常數(shù)項均為0，那么稱方程組為齊次線性方程組，否那么，稱為非齊次線性方程組.6整理ppt2.線性方程組的線性組合線性方程的加法：將兩個線性方程(1)(2)的左右兩邊相加得到如下的新線性方程：稱為原來兩個線性方程的和。7整理ppt線性方程乘常數(shù)將線性方程兩邊同乘以非零常數(shù)，線性方程與常數(shù)相乘，也稱為方程的數(shù)乘。線性方程的線性組合將線性方程(1)和(2)分別稱兩個常數(shù)再將所得的兩個方程相加，得到新方程：得到一個新的線性方程：8整理ppt(3)稱為原來兩個方程(1)和(2)的一個稱為這個線性方程的組合系數(shù)。將(1)和(2)看作一個線性方程組，其任意組解一定是線性組合(3)的解。對給定的兩個線性方程組(I)和(II)，如果(II)中每個方程都是(I)中方程的線性組合，就稱(II)是(I)的線性組合。線性組合，假設(shè)方程組(I)和(II)互為線性組合，那么稱這兩個方程組等價，等價的線性方程組一定同解。將方程組(I)變成方程組(II)的過程稱為同解變換。9整理ppt例1二、線性方程組的消元法求解線性方程組1、線性方程組的初等變換10整理ppt解11整理ppt用“回代〞的方法求出解：12整理ppt于是解得(2)13整理ppt小結(jié)：1．上述解方程組的方法稱為消元法．2．始終把方程組看作一個整體變形，用到如下三種變換〔1〕交換方程次序；〔2〕以不等于０的數(shù)乘某個方程；〔3〕一個方程加上另一個方程的k倍．（以替換）定義1上述三種變換均稱為線性方程組的初等變換．（以替換）〔與相互替換〕14整理ppt3．上述三種變換都是可逆的．由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的．故這三種變換是同解變換．定理1線性方程組的初等變換總是把方程組變成同解方程組．15整理ppt2、利用初等變換解一般線性方程組(化為階梯型方程組)16整理ppt2、利用初等變換解一般線性方程組(化為階梯型方程組)17整理ppt2、利用初等變換解一般線性方程組(化為階梯型方程組)18整理ppt2、利用初等變換解一般線性方程組(化為階梯型方程組)19整理ppt2、利用初等變換解一般線性方程組(化為階梯型方程組)20整理ppt21整理ppt22整理ppt23整理ppt定理2在齊次線性方程組證明：顯然，方程組在化成階梯型方程組之后，方程個數(shù)不會超過原方程組中方程個數(shù)，即24整理ppt第二節(jié)矩陣的初等變換

為了簡化方程組的表達(dá)，可以省掉各個未知數(shù)，只考慮系數(shù)和常數(shù)項，把它們排成一個表，用這個表代替線性方程組，直接對這個表進(jìn)行與求解線性方程組相應(yīng)的初等變換，這樣在表達(dá)上可以更加簡潔和直觀。為此，我們將引出矩陣的概念，介紹用矩陣的初等行變換將線性方程組化為階梯型方程組后求解。25整理ppt1.線性方程組的解取決于系數(shù)常數(shù)項一、矩陣及其初等變換26整理ppt對線性方程組的研究可轉(zhuǎn)化為對這張表的研究.線性方程組的系數(shù)與常數(shù)項按原位置可排為27整理ppt

由個數(shù)排成的m

行n

列矩陣的數(shù)表稱為m

行n

列矩陣.簡稱矩陣.記作定義128整理ppt簡記為元素是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣,元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.29整理ppt例如是一個實矩陣,是一個復(fù)矩陣,是一個矩陣,是一個矩陣,是一個矩陣.30整理ppt例如是一個3階方陣.幾種特殊矩陣(2)只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量).行數(shù)與列數(shù)都等于的矩陣，稱為階方陣.也可記作31整理ppt只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量).稱為對角矩陣(或?qū)顷嚒?（3）形如的方陣,不全為032整理ppt注意不同階數(shù)的零矩陣是不相等的.例如記作

（4）元素全為零的矩陣稱為零矩陣，零矩陣記作或.33整理ppt〔5〕方陣稱為單位矩陣〔或單位陣〕.

同型矩陣與矩陣相等的概念

1.兩個矩陣的行數(shù)相等,列數(shù)相等時,稱為同型矩陣.全為134整理ppt

2.兩個矩陣為同型矩陣,并且對應(yīng)元素相等,即則稱矩陣相等,記作例如為同型矩陣.35整理ppt矩陣的轉(zhuǎn)置〔1〕定義設(shè)是一個矩陣，把A的各行都變?yōu)榱?，不改變它們前后的順序而得到的矩陣，稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為A'〔或AT〕即A'=36整理ppt線性方程組稱為方程組的系數(shù)矩陣；稱為方程組的增廣矩陣。37整理ppt下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:定義238整理ppt等價關(guān)系的性質(zhì)：一般，將具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價．同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號是把“r〞換成“c〞)．初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.定義339整理ppt例1求解線性方程組解：用矩陣的初等行變換解方程組40整理ppt41整理ppt42整理ppt特點(diǎn)：〔1〕、可劃出一條階梯線，線的下方全為零；〔2〕、每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個元素為非零元，即非零行的第一個非零元．43整理ppt注意：行最簡形矩陣是由方程組唯一確定的，行階梯形矩陣的行數(shù)也是由方程組唯一確定的．44整理ppt例2求解方程組解對增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換，得45整理ppt顯然無解,故方程組無解.46整理ppt例如，二、用矩陣的初等變換化矩陣為標(biāo)準(zhǔn)型