北京中考尺規(guī)作圖與理論依據(jù)講義

中考尺規(guī)作圖與理論依據(jù)講義

基本作圖

專(zhuān)注一對(duì)一第1頁(yè)共45頁(yè)郝老/p>

五種基本尺規(guī)作圖圖示作圖原理

.作一個(gè)角等于已知角（已知）

2Na三邊分別

①在Na上以點(diǎn)。為留心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交相等的兩

/a的兩邊丁點(diǎn)尸、。；個(gè)三角形

②作射線(xiàn)ON;（）1全等；

③以點(diǎn)O'為留心，。尸長(zhǎng)為半徑作弧，交ON尸點(diǎn)全等三角

M；形對(duì)應(yīng)角

*相等；

④以點(diǎn)M為留心，尸2長(zhǎng)為半徑作弧，交步驟③中的0(/]?

弧『點(diǎn)N；兩點(diǎn)確定

一條直線(xiàn)

⑤過(guò)點(diǎn)N作射線(xiàn)05,N.4。為即為所求作的角

五種基本尺規(guī)作圖圖示作圖原理

3.作已知角的平分線(xiàn)（已知N/05）

三邊分別相等的兩

①以點(diǎn)。為留心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交

個(gè)三角形全等；

08、04于點(diǎn)M、N；

全等三角形對(duì)應(yīng)角

②分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于為半j/vA相等;

徑作弧,兩弧在N408的內(nèi)部相交于點(diǎn)P；

兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)

③作射線(xiàn)0尸,0尸即為所求作的角平分線(xiàn)

五種基本尺規(guī)作圖圖示作圖原理

作線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)（一知線(xiàn)段月）如

4.5到線(xiàn)段兩端距離相

①分別以點(diǎn)46為圓心，大于氏為半徑,4?\R等的點(diǎn)在這條線(xiàn)段

在48兩側(cè)作弧，分別交于點(diǎn)M、N;1N的垂直平分線(xiàn)匕

個(gè)11

兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)

②作直線(xiàn)MN,3/N即為所求作的垂直平分線(xiàn)

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五種基本尺規(guī)作圖圖不作圖原理

5.過(guò)一點(diǎn)作己,知直線(xiàn)的垂線(xiàn)(己知點(diǎn)尸和直

線(xiàn)/)圓弧上的點(diǎn)到圓心

的距離等于半徑

(1)過(guò)直線(xiàn)上一點(diǎn)作己知直線(xiàn)的垂線(xiàn)

K；

①以點(diǎn)P為圓心，任意長(zhǎng)為半徑向點(diǎn)P兩側(cè)的直

4B到線(xiàn)段兩端距離相

線(xiàn)/上作弧,交直線(xiàn)，于/、6兩點(diǎn)；

米N等的點(diǎn)在這條線(xiàn)段

②分別以點(diǎn)，、3為圜心，大于今43氏為半徑

的垂直平分線(xiàn)上；

向比線(xiàn)附兩側(cè)作弧,分別交于點(diǎn)M、N；

兩點(diǎn)確定一條M線(xiàn)

③作自線(xiàn)即為所求作的垂線(xiàn)

五種基本尺規(guī)作圖圖示作圖原理

(2)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作己知直線(xiàn)的垂線(xiàn)

①任意取一點(diǎn)M，使點(diǎn)M和點(diǎn)尸在直線(xiàn)/的兩

側(cè)；到線(xiàn)段兩端距離相

②以點(diǎn)P為圓心，PM氏為半徑作弧，交直線(xiàn)/等的點(diǎn)在這條線(xiàn)段

4M

于力、5兩點(diǎn)；1的垂直平分線(xiàn)上；

③分別以點(diǎn)4B為留心，大于2/e長(zhǎng)為半徑■兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)

作弧，在點(diǎn)M的同側(cè)交于點(diǎn)N;

④作直線(xiàn)尸N,PN即為所求作的垂線(xiàn)

常添結(jié)論

1、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理及逆定理

垂直于一條線(xiàn)段并且平分這條線(xiàn)段的直線(xiàn)是這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)。

線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)和這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。逆定理：和一條線(xiàn)

段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上。

2、角的平分線(xiàn)及其性質(zhì)

一條射線(xiàn)把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線(xiàn)叫做這個(gè)角的平分線(xiàn)。角的平分線(xiàn)有下面的性質(zhì)定理：

(1)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。

專(zhuān)注一對(duì)一第3頁(yè)共45頁(yè)郝老/p>

（2）到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線(xiàn)上。

3、平行線(xiàn)公理及其推論

平行公理：經(jīng)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)，有且只有一條直線(xiàn)與這條直線(xiàn)平行。

推論：如果兩條直線(xiàn)都和第三條直線(xiàn)平行，那么這兩條直線(xiàn)也互相平行。

5三角形全等的判定定理：

邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS”）

角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或“ASA”）

邊邊邊定理：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊邊邊”或“SSS”）。

有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“斜邊、直角邊”或“HL”）

6等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱(chēng)：等邊對(duì)等角）

推論1：等腰三角形頂角平分線(xiàn)平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、

底邊上的高重合。

推論2：等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°。

7、等腰三角形的判定

等腰三角形的判定定理及推論：

定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱(chēng)：等角對(duì)等邊）。這個(gè)判定定

理常用于證明同一個(gè)三角形中的邊相等。

推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形

推論2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。

推論3：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。

8、三角形中的中位線(xiàn)

連接三角形兩邊中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的中位線(xiàn)。

（1）三角形共有三條中位線(xiàn)，并且它們又重新構(gòu)成一個(gè)新的三角形。

（2）要會(huì)區(qū)別三角形中線(xiàn)與中位線(xiàn)。

三角形中位線(xiàn)定理：三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，并且等于它的一半。三角形中位線(xiàn)定理的作用：

位置關(guān)系：可以證明兩條直線(xiàn)平行。

數(shù)量關(guān)系：可以證明線(xiàn)段的倍分關(guān)系。

9四邊形的內(nèi)角和定理：四邊形的內(nèi)角和等于360°o

10、四邊形的外角和定理：四邊形的外角和等于360°。

11推論：多邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）180°；

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12多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°。

13多邊形的對(duì)角線(xiàn)條數(shù)的計(jì)算公式（）

設(shè)多邊形的邊數(shù)為n,則多邊形的對(duì)角線(xiàn)條數(shù)

14、平行四邊形的性質(zhì)

（1）平行四邊形的鄰角互補(bǔ)，對(duì)角相等。

（2）平行四邊形的對(duì)邊平行且相等。推論：夾在兩條平行線(xiàn)間的平行線(xiàn)段相等。

（3）平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分。

15、平行四邊形的判定

（1）定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形

（2）定理1：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形

（3）定理2：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形

（4）定理3：對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形

（5）定理4：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

16、矩形的概念：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。

17、矩形的性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的一切性質(zhì)；（2）矩形的四個(gè)角都是直角；

（3）矩形的對(duì)角線(xiàn)相等；（4）矩形是軸對(duì)稱(chēng)圖形。

18、矩形的判定

（1）定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形

（2）定理1：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形

定理2：對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形

19菱形1、菱形的概念：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形

20、菱形的性質(zhì)（1）具有平行四邊形的一切性質(zhì)（2）菱形的四條邊相等

（3）菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直，并且每一條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角（4）菱形是軸對(duì)稱(chēng)圖形

20、菱形的判定

（1）定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

（2）定理1：四邊都相等的四邊形是菱形

定理2：對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形

21正方形、正方形的概念：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。

22、正方形的性質(zhì)

（1）具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)

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（2）正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等

（3）正方形的對(duì)角線(xiàn)相等，且互相垂直平分，每一條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角

23、正方形的判定

（1）定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。

（2）定理1：對(duì)角線(xiàn)相等的菱形是正方形。

（3）定理2：對(duì)角線(xiàn)垂直的矩形是正方形。

（4）定理3：有一個(gè)角是直角的菱形是正方形。

24圓的有關(guān)定理及推論：

（1）弧、弦、圓心角之間的關(guān)系：

在同圓或等圓中，如果兩條劣?。▋?yōu)?。?、兩條兩個(gè)圓心角中有一組量對(duì)應(yīng)相等，那么它們所

對(duì)應(yīng)的其余各組量也分別對(duì)應(yīng)相等.

（2）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

垂徑定理的推論：

平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

弦的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧.

（3）在同一圓內(nèi)，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于該弧所對(duì)的圓心角的一半.

直徑或半圓所對(duì)的圓周角是直角；90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑，所對(duì)的弧是半圓。

（4）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：

圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角.

（5）過(guò)不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)有且只有一個(gè)圓.一個(gè)三角形有且只有一個(gè)外接圓.

三角形的外心是三角形三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn).

三角形的外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.

（6）切線(xiàn)的性質(zhì)：與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；

圓心到切線(xiàn)的距離等于半徑；圓的切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑.

（7）切線(xiàn)的識(shí)別:如果一條直線(xiàn)與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這條直線(xiàn)是圓的切線(xiàn).

到圓心的距離等于半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn).

經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直與這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn).

三角形的內(nèi)心是三角形三條內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn).

（8）切線(xiàn)長(zhǎng)定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，它們的切線(xiàn)長(zhǎng)相等.

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這一點(diǎn)和圓心的連線(xiàn)平分這兩條切線(xiàn)的夾角.

1.（東城一模）已知銳角NAOB,如圖，

（1）在射線(xiàn)0A上取一點(diǎn)C,以點(diǎn)。為圓心，0C長(zhǎng)為半徑作訓(xùn)，交射線(xiàn)0B于點(diǎn)D,連接CD：

（2）分別以點(diǎn)C,D為圓心，CD長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P,連接CP,DP；

（3）作射線(xiàn)0P交CD于點(diǎn)Q.

根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形，下列結(jié)論中錯(cuò).誤.的是（）

A.CP〃OBB.CP=2QC

C.ZAOP=ZBOPDCDOP

2.（順義一模）已知直線(xiàn)［及直線(xiàn)］外一點(diǎn)p.如圖,

(1)在直線(xiàn)I上取一點(diǎn)A,連接PA：

(2)作PA的垂直平分線(xiàn)MN,分別交直線(xiàn)I,PA于點(diǎn)B,0；

(3)以。為圓心，0B長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交直線(xiàn)MN于另一點(diǎn)Q；

(4)作直線(xiàn)PQ.

根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（)N

A.AOPQ^AOABB.PQ〃AB

C.1

AP_BQD.若PQ=PA,則APQ60

2

3.（門(mén)頭溝一模）已知，如圖，在菱形ABCD中.

分別以為圓心，大于:

(1)C,D

CD長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧分別交于點(diǎn)E,F；

(2)作直線(xiàn)EF,且直線(xiàn)EF恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,且與邊CD交于點(diǎn)M；

B

(3)連接BM.

根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形，判斷下列結(jié)論中錯(cuò).誤.的是（）

A.ZABC=60°B.如果AB=2,那么BM=4

C.BC=2CMD.S2S

AABM△ADM

專(zhuān)注一對(duì)一第7頁(yè)共45頁(yè)郝老/p>

4.(朝陽(yáng)一模)如圖，直線(xiàn)Ii〃l2,點(diǎn)A在直線(xiàn)11上，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，分別交直線(xiàn)

li,I2于B,C兩點(diǎn)，以點(diǎn)C為圓心，CB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與前弧交于點(diǎn)D(不與點(diǎn)B重合)，連接AC,

AD,BC,CD,其中AD交I2于點(diǎn)E.若/ECA=40。，貝0T列^論錯(cuò).誤.的是()

A.ZABC=70°B.ZBAD=80°

C.CE=CDD.CE=AE

5.（平谷一模）已知銳角NAOB.如圖，

(1)在射線(xiàn)OA上取一點(diǎn)C,以點(diǎn)。為圓心，OC長(zhǎng)為半徑作弧DE,交射線(xiàn)OB于點(diǎn)F,連接CF；

(2)以點(diǎn)F為圓心，CF長(zhǎng)為半徑作弧，交弧DE于點(diǎn)G：

(3)連接FG,CG.作射線(xiàn)OG.

根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()

A.ZBOG=ZAOBB.若CG=OC則NAOB=30°

C.OF垂直平分CGD.CG=2FG

6.(豐臺(tái)一模)在。。中按如下步驟作圖：.

(1)作。。的直徑AD；

(2)以點(diǎn)D為圓心，DO長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交。。于B,C兩點(diǎn);

(3)連接DB,DC,AB,AC,BC.

根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形，下列四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是(

A.ZABD=90°B.ZBAD=ZCBD

C.AD±BCD.AC=2CD

7.(燕山一模)已知O。.如圖，

(1)作。。的直徑AB：

(2)以點(diǎn)A為圓心，AO長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交。。于C,D兩點(diǎn);

(3)連接CD交AB于點(diǎn)E,連接AC,BC.

根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形，有下面三個(gè)推斷：

①CE=DE；②BE=3AE；③BC=2CE.

所有正確推斷的序號(hào).

第8頁(yè)共45頁(yè)

1.（延慶一模）已知，如圖，點(diǎn)A是直線(xiàn)I上的一點(diǎn).求作：正方形ABCD,使得點(diǎn)B在直線(xiàn)I上.

（要求保留作圖痕跡，不用寫(xiě)作法）請(qǐng)你說(shuō)明，/BAD=90°的依據(jù)是什么？

A

2.（石景山一模）下面是小石設(shè)計(jì)的“過(guò)直線(xiàn)上一點(diǎn)作這條直線(xiàn)的垂線(xiàn)”的尺規(guī)作圖過(guò)程.

已知：如圖1,直線(xiàn)I及直線(xiàn)I上一點(diǎn)P.

求作：直線(xiàn)PQ,使得PQI.~P1

圖1

作法：如圖2,

①以點(diǎn)P為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交直線(xiàn)I于點(diǎn)A,B；

②分別以點(diǎn)A,B為圓心，以大于二AB的同樣長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在直線(xiàn)I上方交于點(diǎn)Q；

2

③作直線(xiàn)PQ.所以直線(xiàn)PQ就是所求作的直線(xiàn).

根據(jù)小石設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；T——p---------5----------I

（2）完成下面的證明.

圖2

證明：連接QA,QB.

VQA（①）,PA（②）,

PQI（③）（填推理的依據(jù)）.

3.（房山一模）下面是小方設(shè)計(jì)的“作一個(gè)30°角”的尺規(guī)作圖過(guò)程.

已知：直線(xiàn)AB及直線(xiàn)AB外一點(diǎn)P.P

求作：直線(xiàn)AB上一點(diǎn)C,使得/PCB=30。.

作法：

①在直線(xiàn)AB上取一點(diǎn)M；&-B

②以點(diǎn)P為圓心，PM為半徑畫(huà)弧，與直線(xiàn)AB交于點(diǎn)M、N；

③分別以M、N為圓心，PM為半徑畫(huà)弧，在直線(xiàn)AB下方兩弧交于點(diǎn)Q.

④連接PQ,交AB于點(diǎn)O.

⑤以點(diǎn)P為圓心，PQ為半徑畫(huà)弧，交直線(xiàn)AB于點(diǎn)C且點(diǎn)C在點(diǎn)。的左側(cè).則/PCB就是所求作的角.

根據(jù)小方設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，

專(zhuān)注一對(duì)一第9頁(yè)共45頁(yè)郝老/p>

（1）使用直尺和圓規(guī)補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明.

證明：：PM=PN=QM=QN,

四邊形PMQN是_________.

PQ1MN,PQ=2P0（）.（填寫(xiě)推理依據(jù)）

P0

?.?在RtAPOC中，sinzPCB=_=（填寫(xiě)數(shù)值）

PC

?,.ZPCB=30°

4.（密云一模）下面是小菲設(shè)計(jì)的“作一個(gè)角等于已知角的二倍”的尺規(guī)作封過(guò)程.

已知：4ABC中，AC>BC.

求作：ZADB,使得/ADB=2NC./\

作法：如圖，AB

t

①分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于M、N點(diǎn)，作直線(xiàn)MN；

-AC

2

1

②分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于P、Q點(diǎn)，作直線(xiàn)PQ,MN和PQ交

2

于點(diǎn)D；C

③連接AD和BD；/\

④以點(diǎn)D為圓心，AD的長(zhǎng)為半徑作OD.所以/ADB=2/C.A

根據(jù)小菲設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程./4Vs

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：連接CD

：MN和PQ分別為AC、AB的垂直平分線(xiàn),

ACD=AD=

.??◎D是4ABC的外接圓.

?.?點(diǎn)C是。D上的二篇

.??ZADB=2ZC.（）（填推理的依據(jù)）

第10頁(yè)共45頁(yè)

A

5.（西城一模）先閱讀下列材料，再解答問(wèn)題.

尺規(guī)作圖:已知：AABC,D是邊AB上一點(diǎn)，如圖1,

求作：四邊形DBCF,使得四邊形DBCF是平行四邊形.

小明的做法如下：

（1）設(shè)計(jì)方案

先畫(huà)一個(gè)符合題意的草圖，如圖2,

再分析實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的具體方法，

依據(jù)：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.

（2）設(shè)計(jì)作圖步驟，完成作圖

作法：如圖3,

①延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E；

（2）分另IJ作NECP=/EBA,ZADQ=ZABE；

③DQ與CP交于點(diǎn)F.

二四邊形DBCF即為所求.

（3）推埋論證

證明：；NECP=/EBA,

CP〃BA.

同理，DQ〃BE.

四邊形DBCF是平行四邊形.

請(qǐng)你參考小明的做法，再設(shè)計(jì)一種尺規(guī)作圖的方法（與小明的方法不同），使得畫(huà)出的四邊形DBCF是平

行四邊形，并證明.

專(zhuān)注一對(duì)一第11頁(yè)共45頁(yè)郝老/p>

（密云二模）己知：點(diǎn)、點(diǎn)在直線(xiàn)的兩側(cè).

1.ABMNA

（點(diǎn)A到直線(xiàn)MN的距離小于點(diǎn)B到直線(xiàn)MN的距離）.M-N

所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

1.（西城二模）下面是小明設(shè)計(jì)的“在已知三角形的一邊上取一點(diǎn)，使得這點(diǎn)到這個(gè)三角形的另外兩邊的

距離相等”的尺規(guī)作圖過(guò)程：

已知：△ABC.

求作：點(diǎn)D,使得點(diǎn)D在BC邊上，且到AB,AC邊的距離相等.

作法：如圖，

作NBAC的平分線(xiàn)，交BC于點(diǎn)D.

則點(diǎn)D即為所求.

根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：作DELAB于點(diǎn)E,作DFLAC于點(diǎn)F,

VAD平分/BAC,

???=（）（填推理的依據(jù)）.

第12頁(yè)共45頁(yè)

2.（昌平二模）在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問(wèn)題:

已知：Na,直線(xiàn)I和I上兩點(diǎn)A,B.

0

求作：RtAABC,使點(diǎn)C在直線(xiàn)I的上方，且/ABC=90。，ZBAC=Za.

小剛的做法如下：

①以Na的頂點(diǎn)。為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交兩邊于M,N；以A為圓心，同樣長(zhǎng)為半徑作弧，交

直線(xiàn)I于點(diǎn)P；

②以P為圓心，MN的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)Q,作射線(xiàn)AQ；

③以B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交直線(xiàn)I于E,F；

④分別以E,F為圓心，大于JLEF長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在直線(xiàn)I上方交于點(diǎn)G,作射線(xiàn)BG；

2

⑤射線(xiàn)AQ與射線(xiàn)BG交于點(diǎn)C.

RtAABC即為所求.

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明：

連接PQ.

在△OMN和AAOP中，

VON=AP,NM=PQ,OM=AQ,

.?.△OMN絲△AQP（）.（填寫(xiě)推理依據(jù)）

.\ZPAQ=ZO=a.

VCE=CF,BE=BF,

ACB±EF（）.（填寫(xiě)推理依據(jù)）

專(zhuān)注一對(duì)一第13頁(yè)共45頁(yè)郝老/p>

3.（門(mén)頭溝二模）下面是小明同學(xué)設(shè)計(jì)的“過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作己知直線(xiàn)的平行線(xiàn)”的尺規(guī)作圖過(guò)程.

已知：如圖1,直線(xiàn)I和直線(xiàn)I外一點(diǎn)P.

P.

圖1

求作：直線(xiàn)PQ,使直線(xiàn)PQ〃直線(xiàn)I.

作法：如圖2,

①在直線(xiàn)I上任取一點(diǎn)A,作射線(xiàn)AP；

②以P為圓心，PA為半徑作弧，交直線(xiàn)I于點(diǎn)B,連接PB；

1

③以P為圓心，PB長(zhǎng)為半徑作弧，交射線(xiàn)AP于點(diǎn)C；分別以B,C:BC長(zhǎng)為半徑作弧,

為圓心，大于

在AC的右側(cè)兩弧交于點(diǎn)Q；

④作直線(xiàn)PQ；

所以直線(xiàn)PQ就是所求作的直線(xiàn).

根據(jù)上述作圖過(guò)程，回答問(wèn)題:

（1）用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖2中的圖形;

（2）完成下面的證明:

證明：由作圖可知PQ平分/CPB,

1

/.ZCPQ=ZBPQ=ZCPB.

又,.?PA=PB,

.,.ZPAB=ZPBA.(）（填依據(jù)）.

VZCPB=ZPAB+ZPBA,

AZPAB=ZPBA=1ZCPB.

-2

AZCPQ=ZPAB.

，直線(xiàn)PQ〃直線(xiàn)l.()(填依據(jù)).

第14頁(yè)共45頁(yè)

4.（海淀二模）下面是小王同學(xué)“過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作該直線(xiàn)的平行線(xiàn)”的尺規(guī)作圖過(guò)程.

已知：直線(xiàn)I及直線(xiàn)I外一點(diǎn)P.

P-

求作：直線(xiàn)PQ,使得PQ//I.

作法：如圖，

①在直線(xiàn)I外取一點(diǎn)A,作射線(xiàn)AP與直線(xiàn)I交于點(diǎn)B,p.

②以A為圓心，AB為半徑畫(huà)弧與直線(xiàn)I交于點(diǎn)C,連接AC,

③以A為圓心，AP為半徑畫(huà)弧與線(xiàn)段AC交于點(diǎn)Q,

則直線(xiàn)PQ即為所求.

根據(jù)小王設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明.

證明：,,,AB=AC,

ZABC=ZACB,（）.（填推理的依據(jù)）

AP=________

ZAPQ=ZAQP.

???ZABC+ZACB+ZA=180°,ZAPQ+ZAQP+ZA=180°,

，ZAPQ=ZABC.

二PQ〃BC（）.（填推理的依據(jù)）

即PQ//L

專(zhuān)注一對(duì)一第15頁(yè)共45頁(yè)郝老/p>

5.（朝陽(yáng)二模）下面是小東設(shè)計(jì)的“過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作這條直線(xiàn)的平行線(xiàn)”的尺規(guī)作圖過(guò)程.

已知：直線(xiàn)I及直線(xiàn)I外一點(diǎn)P.

P

求作：直線(xiàn)PQ,使得PQ〃I.

作法：如圖，

①任意取一點(diǎn)K,使點(diǎn)K和點(diǎn)P在直線(xiàn)I的兩旁；

②以P為圓心，PK長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交I于點(diǎn)A,B,連接AP；

③分別以點(diǎn)P，B為圓心，以AB,PA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q和點(diǎn)A在直線(xiàn)PB的兩旁）；

④作直線(xiàn)PQ.

所以直線(xiàn)PQ就是所求作的直線(xiàn).

根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明.

證明：連接BQ,

VPQ=,BQ=,

.??四邊形PABQ是平行四邊形（）（填推理依據(jù)）.

：.PQ//\.

第16頁(yè)共45頁(yè)

6.（平谷二模）下面是小元設(shè)計(jì)的“過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的平行線(xiàn)”的尺規(guī)作圖過(guò)程.

已知：如圖，直線(xiàn)I和直線(xiàn)外一點(diǎn)P.

P.

求作：過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)I的平行線(xiàn).

作法：如圖，

①在直線(xiàn)I上任取點(diǎn)0；

②作直線(xiàn)P0；

③以點(diǎn)0為圓心0P長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，交直線(xiàn)PO于點(diǎn)A,交直線(xiàn)I于點(diǎn)B；

④連接AB,以點(diǎn)B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交。。于點(diǎn)C（點(diǎn)A與點(diǎn)C不重合）：

⑤作直線(xiàn)CP；

則直線(xiàn)CP即為所求.

根據(jù)小元設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，完成以下任務(wù).

（1）補(bǔ)全圖形；

（2）完成下面的證明：

證明：連接BP、BC

AB=BC

...AB

BC

z=z,

XV0B=0P,

Z____=Z____,

ZCPB=Z0BP,

：.CP//\()(填推理的依據(jù)).

專(zhuān)注一對(duì)一第17頁(yè)共45頁(yè)郝老/p>

6.（順義二模）下面是小東設(shè)計(jì)的“以線(xiàn)段AB為一條對(duì)角線(xiàn)作一個(gè)菱形”的尺規(guī)作圖過(guò)程.

已知：線(xiàn)段AB.

A'——JB

求作：菱形ACBD.

作法：如圖,

①以點(diǎn)A為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑作。A；

②以點(diǎn)B為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑作。B,交。A于C,D兩點(diǎn);

③連接AC,BC,BD,AD.

所以四邊形ACBD就是所求作的菱形.

根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程,

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明:點(diǎn)B,C,D在。A上,

AB=AC=AD(）（填推理的依據(jù)）.

同理點(diǎn)A,C,D在。B上,

AB=BC=BD.

四邊形ACBD是菱形）（填推理的依據(jù)）.

7.（豐臺(tái)二模）下面是小文設(shè)計(jì)的“過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線(xiàn)”的作圖過(guò)程.

已知：。。和圓外一點(diǎn)P.求作：過(guò)點(diǎn)P的。。的切線(xiàn).

P

作法：①連接OP；

②以0P為直徑作。M,交。。于點(diǎn)A,B；

③作直線(xiàn)PA,PB；

所以直線(xiàn)PA,PB為。。的切線(xiàn).

根據(jù)小文設(shè)計(jì)的作圖過(guò)程，完成下面的證明.

證明：連接OA,0B.

「OP為。M的直徑,

-,.ZOAP=Z°(

A0A1AP,IBP.

VOA,OB為。。半徑,

直線(xiàn)PA,PB為。。的切線(xiàn).（）（填推理的依據(jù)）.

第18頁(yè)共45頁(yè)

8.（房山二模）下面是“作一個(gè)30°角”的尺規(guī)作圖過(guò)程.

9.（東城二模）下面是“作一個(gè)45°角”的尺規(guī)作圖過(guò)程.

已知：平面內(nèi)一點(diǎn)A.

求作：ZA,使得/A45°.1__._J_三_

作法：如圖，V7

卬作射線(xiàn)AB；

會(huì)在射線(xiàn)AB上取一點(diǎn)O,以。為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作圓，與射線(xiàn)AB相交于點(diǎn)C；

1

9分別以A,C為圓心，大于-AC長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D,作射線(xiàn)OD交O于點(diǎn)

2E；

@作射線(xiàn)AE.

則NEAB即為所求的角.

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明.

證明：VAD=CD,AO=CO,

ZAOE=Z=°.

ZEAB=°.()(填推理的依據(jù))

專(zhuān)注一對(duì)一第19頁(yè)共45頁(yè)郝老/p>

1.（西城一模）閱讀下面材料：在復(fù)習(xí)課上，圍繞一道作圖題，老師讓同學(xué)們嘗試應(yīng)用學(xué)過(guò)的知識(shí)設(shè)計(jì)

多種不同的作圖方法，并交流其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理.

已知：直線(xiàn)和直線(xiàn)外的一點(diǎn)P.求作：過(guò)點(diǎn)P且與直線(xiàn)I垂直的直線(xiàn)PQ,垂足為點(diǎn)Q.

某同學(xué)的作圖步驟如下：

步驟作法推斷

第一步以點(diǎn)P為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑作弧，交直線(xiàn)1于A,B兩點(diǎn).PAPB

第二步連接PA,PB,作APB的平分線(xiàn)，交直線(xiàn)1于點(diǎn)Q.APQ______

直線(xiàn)PQ即為所求作.PQ1

請(qǐng)你根據(jù)該同學(xué)的作圖方法完成以下推理:

PAPB，APQ,

PQI.（依據(jù)：）.

2.（石景山一模）小林在沒(méi)有量角器和圓規(guī)的情況下，利用刻度尺和一副

三角板畫(huà)出了一個(gè)角的平分線(xiàn)，他的做法是這樣的：如圖，

（1）利用刻度尺在AOB的兩邊OA,0B上分別取OMON；

（2）利用兩個(gè)三角板，分別過(guò)點(diǎn)M,N畫(huà)OM,ON的垂線(xiàn)，交點(diǎn)為P；

（3）畫(huà)射線(xiàn)0P.

則射線(xiàn)0P為AOB的平分線(xiàn).

請(qǐng)寫(xiě)出小林的畫(huà)法的依據(jù).

3.（懷柔一模）閱讀下面材料：在數(shù)學(xué)課上，老師提出利用尺規(guī)作圖完成下面問(wèn)題:

已知：SBC.

求作：&ABC的內(nèi)切圓.

小明的

如圖：（1）作/ABC,/ACB的平分線(xiàn)BE和CF,兩線(xiàn)相交于點(diǎn)0;

（2）過(guò)點(diǎn)。作OD_LBC,垂足為點(diǎn)D;

（3）點(diǎn)0為圓心，0D長(zhǎng)為半徑作。0.

所以，。。即為所求作的圓.

請(qǐng)回答：該尺規(guī)作圖的依據(jù)是,

第20頁(yè)共45頁(yè)

4.（平谷一模）下面是“作已知角的角平分線(xiàn)”的尺規(guī)作圖過(guò)程.

請(qǐng)回答：該尺規(guī)作圖的依據(jù)是

請(qǐng)回答：該尺規(guī)作圖的依據(jù)是

6.（東城一模）己知：正方形ABCD.求作：正方形ABCD的外接圓.

專(zhuān)注一對(duì)一第21頁(yè)共45頁(yè)

作法：如圖，

（1）分別連接AC,BD,交于點(diǎn)0；

（2）以點(diǎn)0為圓心，0A長(zhǎng)為半徑作。0.

?0即為所求作的圓.

請(qǐng)回答：該作圖的依據(jù)是.

7.（朝陽(yáng)一模）下面是“經(jīng)過(guò)已知直線(xiàn)外一點(diǎn)作這條直線(xiàn)的垂線(xiàn)”的尺規(guī)作圖過(guò)程.

已知：直線(xiàn)a和直線(xiàn)外一點(diǎn)P.求作：直線(xiàn)a的垂線(xiàn)，使它經(jīng)過(guò)P.

作法：如圖，

（1）在直線(xiàn)a上取一點(diǎn)A,連接PA；

（2）分別以點(diǎn)A和點(diǎn)P為圓心，大于AP的長(zhǎng)為半徑作弧,

兩弧相交于B,C兩點(diǎn)，連接BC交PA于點(diǎn)D；

（3）以點(diǎn)D為圓心，DP為半徑作圓，交直線(xiàn)a于點(diǎn)E,作直線(xiàn)PE.

所以直線(xiàn)PE就是所求作的垂線(xiàn).

請(qǐng)回答：該尺規(guī)作圖的依據(jù)是.

8.（豐臺(tái)一模）下面是“作一個(gè)角等于已知角”的尺規(guī)作圖過(guò)程.

已知：ZA.求作：一個(gè)角，使它等于/A.

作法：如圖，

（1）以點(diǎn)A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作。A,交NA的

兩邊于B,C兩點(diǎn)；

（2）以點(diǎn)C為圓心，BC長(zhǎng)為半徑作弧，與OA交于

點(diǎn)D,作射線(xiàn)AD.

所以NCAD就是所求作的角.

請(qǐng)回答：該尺規(guī)作圖的依據(jù)是

第22頁(yè)共45頁(yè)

9.（大興一模）下面是“求作NAOB的角平分線(xiàn)”的尺規(guī)作圖日程.

已知：如圖，鈍角NAOB.求作：/AOB的角平分線(xiàn).V-

作法：o

①在0A和0B上，分別截取OD、0E,使OD=OE；

②分別以D、E為圓心，大于;DE的長(zhǎng)為半徑作弧，在/于點(diǎn)C;

1d

③作射線(xiàn)0C.維

所以，射線(xiàn)0C就是所求作的NAOB的角平分線(xiàn).\____________

OB

請(qǐng)回答：該尺規(guī)作圖的依據(jù)是__________________________________________________________________

10.（順義一模）在數(shù)學(xué)課上，老師提出一個(gè)問(wèn)題“用直尺和圓規(guī)作一個(gè)矩形”.

請(qǐng)回答：小華的作圖依據(jù)是.

專(zhuān)注一對(duì)一第23頁(yè)共45頁(yè)郝老/p>

11.(通州一模)尺規(guī)作圖：過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的平行線(xiàn).

已知：如圖，直線(xiàn)I與直線(xiàn)I外一點(diǎn)P.求作：過(guò)點(diǎn)P與直線(xiàn)I平行的直線(xiàn).

P

作法如下:

(1)在直線(xiàn)I上任取兩點(diǎn)A,B,連接AP,BP；

(2)以點(diǎn)B為圓心，AP長(zhǎng)為半徑作弧;

如圖所示，兩弧交于點(diǎn)M.

(3)過(guò)點(diǎn)P、M作直線(xiàn).

(4)直線(xiàn)PM即為所求.

所以直線(xiàn)PM為所求.

請(qǐng)回答：PM平行與I的依據(jù)是.

12.(門(mén)頭溝一模)下圖是“已知一條直角邊和斜邊做直角三角形”的尺規(guī)作圖過(guò)程.

已知：線(xiàn)段a、b,

求作：RtABC.使得斜邊ABb,ACa-~—

b

作法：如圖.’

(1)作射線(xiàn)AP,截取線(xiàn)段ABb；

(2)以AB為直徑，作。0；

(3)以點(diǎn)A為圓心，a的長(zhǎng)為半徑作弧交。0于點(diǎn)C；

(4)連接AC、CB.

ABC即為所求作的直角三角形.

請(qǐng)回答：該尺規(guī)作圖的依據(jù)是________________________________________________

第24頁(yè)共45頁(yè)

13.(燕山一模)在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問(wèn)題:

尺規(guī)作圖：確定圖中CD所在圓的圓心.

已知：CD.求作：CD所在圓的圓心0.

請(qǐng)你回答：瞳瞳的作圖依據(jù)是___________________________________________________________________

【平谷一?！?/p>

16.全等三角形“SSS”判定定理；全等三角形對(duì)應(yīng)角相等；兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn).

石景山1.16.閱讀下面材料：

在數(shù)學(xué)課上，老師請(qǐng)同學(xué)思考如下問(wèn)題：

已知：在△ABC中，zA=90°.

求作：0P,使得點(diǎn)P在邊AC上，且。P與AB,

BC都相切.

如圖，

(1)作/ABC的平分線(xiàn)BF,與AC交于點(diǎn)P;

(2)以點(diǎn)P為圓心，AP長(zhǎng)為半徑作。P.

所以。P即為所求.

小軒的主要作法如下：

老師說(shuō)：“小軒的作法正確.”

請(qǐng)回答：OP與BC相切的依據(jù)是

專(zhuān)注一對(duì)一第25頁(yè)共45頁(yè)郝老/p>

1、【石景山一?！?/p>

16.閱讀下面材料：

在數(shù)學(xué)課上，老師請(qǐng)同學(xué)思考如下問(wèn)題：

已知：在AABC中，NA=90°.A

求作：。P,使得點(diǎn)P在邊AC上，且。P與AB,/X

BC都相切.//\

8乙--------^c

小軒的主要作法如下：

如圖，"F

(1)作nABC的平分線(xiàn)BF,與AC交于點(diǎn)P;

(2)以點(diǎn)P為圓心，AP長(zhǎng)為半徑作0P.

所以。P即為所求.

老師說(shuō)：“小軒的作法正確.”

請(qǐng)回答：0P與BC相切的依據(jù)是.

1、【年懷柔一模】

16.數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們圍繞一道尺規(guī)作圖題展開(kāi)討論，盡可能想出不同的作法:

已知：如圖，直線(xiàn)L和L外一點(diǎn)P.P?

求作：直線(xiàn)PQ,使PQJ_L于點(diǎn)Q.

小強(qiáng)的作法如下：

1.在直線(xiàn)L上任取一點(diǎn)A,連接PA；