揚(yáng)州市高郵市第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高郵市第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高二（上）期末試卷（數(shù)學(xué)）一、單項(xiàng)選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分）在每小題給出的選項(xiàng)中只有一個(gè)選項(xiàng)符合要求.1.在等差數(shù)列中，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則數(shù)列的公差為（）A. B. C.4 D.【答案】A【解析】【分析】由已知條件列方程組求解即可【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，因?yàn)?，，所以，解得，故選：A2.橢圓：的左焦點(diǎn)為，橢圓上的點(diǎn)與關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則的值是（）A.3 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】令橢圓C的右焦點(diǎn)，由已知條件可得四邊形為平行四邊形，再利用橢圓定義計(jì)算作答.【詳解】令橢圓C的右焦點(diǎn)，依題意，線段與互相平分，于是得四邊形為平行四邊形，因此，而橢圓：的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，所以.故選：D3.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A. B.8 C.1或 D.或【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式及等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則因?yàn)?，所以，即，解得或，所以?故選：C.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及求導(dǎo)法則求導(dǎo)函數(shù)即可.【詳解】.故選：B.5.已知圓：，點(diǎn)，則點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最小距離為（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】寫出圓的圓心和半徑，求出距離的最小值，再結(jié)合圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離最小值的方法即可求解.【詳解】由圓：，得圓，半徑為，所以，所以點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最小距離為.故選：C.6.若函數(shù)在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)極值點(diǎn)的意義,可知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).結(jié)合零點(diǎn)存在定理,即可求得的取值范圍.【詳解】函數(shù)則因?yàn)楹瘮?shù)在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)即在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知滿足即可代入可得解得故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)極值點(diǎn)的意義,函數(shù)零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用,屬于中檔題.7.德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者之一，他從幾何問(wèn)題出發(fā)，引進(jìn)微積分概念.在研究切線時(shí)認(rèn)識(shí)到，求曲線的切線的斜率依賴于縱坐標(biāo)的差值和橫坐標(biāo)的差值，以及當(dāng)此差值變成無(wú)限小時(shí)它們的比值，這也正是導(dǎo)數(shù)的幾何意義．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若，且對(duì)，，且總有，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由，得在上單調(diào)遞增，并且由的圖象是向上凸，進(jìn)而判斷選項(xiàng).【詳解】由，得在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，故A不正確；對(duì)，，且，總有，可得函數(shù)的圖象是向上凸，可用如圖的圖象來(lái)表示，由表示函數(shù)圖象上各點(diǎn)處的切線的斜率，由函數(shù)圖象可知，隨著的增大，的圖象越來(lái)越平緩，即切線的斜率越來(lái)越小，所以，故B不正確；，表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，由圖可知，所以D正確，C不正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查以數(shù)學(xué)文化為背景，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，屬于中檔題型.8.已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A是的左頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為直徑的圓交的一條漸近線于、兩點(diǎn)，以為直徑的圓與軸交于兩點(diǎn)，且平分，則雙曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.3【答案】B【解析】【分析】由直徑所對(duì)圓周角是直角，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)和角平分線定義可解.【詳解】由圓的性質(zhì)可知，，，所以，因?yàn)?，所以又因?yàn)槠椒?，所以，由，得，所以，即所以故選：B二、多項(xiàng)選擇題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）在每小題給出的選項(xiàng)中有多個(gè)選項(xiàng)符合要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A.數(shù)列是遞減數(shù)列 B.C.是中最小項(xiàng) D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項(xiàng)求和公式可得、，結(jié)合通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)求和公式計(jì)算，依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，因?yàn)椋?A：由，得等差數(shù)列為遞增數(shù)列，故A錯(cuò)誤；B：，故B正確；C：，因?yàn)?，由二次函?shù)的性質(zhì)可知當(dāng)或時(shí)，取到最小值，即為中最小項(xiàng)，故C正確；D：，，由，得，故D錯(cuò)誤.故選：BC10.已知，下列說(shuō)法正確的是（）A.在處的切線方程為 B.的單調(diào)遞減區(qū)間為C.的極大值為 D.方程有兩個(gè)不同的解【答案】BC【解析】【分析】對(duì)于A，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解，對(duì)于B，求導(dǎo)后，由導(dǎo)數(shù)小于零求解，對(duì)于C，求導(dǎo)后求極值，對(duì)于D，函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷【詳解】對(duì)于A，由（），得，，則，所以在處的切線方程為，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，由，得，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以B正確，對(duì)于C，由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，所以C正確，對(duì)于D，由C選項(xiàng)可知的最大值為，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，所以有1個(gè)解，所以D錯(cuò)誤，故選：BC11.設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的x的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】首先根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)，利用其導(dǎo)數(shù)得到的單調(diào)性，然后結(jié)合奇函數(shù)，將不等式轉(zhuǎn)化為求解.【詳解】解：設(shè)，則，當(dāng)時(shí)總有成立，即當(dāng)時(shí)，

0恒成立，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，又，函數(shù)為定義域上的偶函數(shù)，又，所以不等式等價(jià)于，即或，即或，所以

成立的x

的取值范圍是．故選：AB．12.已知拋物線，點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線與兩點(diǎn)，設(shè)，，下列說(shuō)法正確的有（）A.B.的最小值為C.D.【答案】ABD【解析】【分析】首先設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，消去，得，分別寫出，式子，然后逐項(xiàng)驗(yàn)證，對(duì)于A直接得出，對(duì)于B利用弦長(zhǎng)公式再結(jié)合二次函數(shù)求最值即可，對(duì)于C，直接利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即可，對(duì)于D，利用即可驗(yàn)證.【詳解】設(shè)直線的方程為，則由，消去整理，得，因?yàn)橹本€交拋物線與兩點(diǎn)，設(shè)，，則所以，，故A正確.，m=0時(shí)等號(hào)成立，故B正確.，同理，可得，則，故C不正確..,即，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】解決本題的關(guān)鍵就是設(shè)出直線的方程為，這樣很大程度減小了運(yùn)算量，聯(lián)立直線方程與拋物線，進(jìn)而利用韋達(dá)定理寫出交點(diǎn)縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，在逐項(xiàng)驗(yàn)證即可.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知函數(shù)，，則曲線在處的切線方程為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得在點(diǎn)處的切線方程.【詳解】由，求導(dǎo)，知，又，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.故答案為：14.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件求出正項(xiàng)等比數(shù)列的公比即可計(jì)算作答.【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，依題意，，即，而，解得，所以.故答案為：15.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，雙曲線左支上點(diǎn)滿足，則的面積為_(kāi)________．【答案】3【解析】【分析】由雙曲線方程可得，利用雙曲線定義，以及直角三角形的勾股定理可得，由此求得答案.【詳解】由雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，雙曲線左支上點(diǎn)滿足，可得:，則，且，故，所以，故，故答案為：316.阿波羅尼斯與阿基米德、歐幾里得被稱為亞歷山大時(shí)期的數(shù)學(xué)三巨匠．“阿波羅尼斯圓”是他的代表成果之一：平面上動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A，B的距離之比滿足(且，t為常數(shù))，則點(diǎn)的軌跡為圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則P點(diǎn)的軌跡為圓，該圓方程為_(kāi)________；過(guò)點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn)，且，則_________．【答案】①.②.【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)可得圓的方程，利用垂徑定理可求.【詳解】設(shè)，則，整理得到，即.因?yàn)?，故為的中點(diǎn)，過(guò)圓心作的垂線，垂足為，則為的中點(diǎn)，則，故，解得，故答案為：，.四、解答題（本大題共6小題，共70分）17.已知在公差不為0的等差數(shù)列中，，且構(gòu)成等比數(shù)列的前三項(xiàng)．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列___________，求數(shù)列的前項(xiàng)和．請(qǐng)?jiān)冖伲虎?；③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線上，并完成解答．【答案】（1），（2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）設(shè)的公差為，根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)得到，即可求，從而求出的通項(xiàng)公式，所以，即可求出等比數(shù)列的公比，從而求出的通項(xiàng)公式；（2）若選①：則，利用裂項(xiàng)相消法求和即可；若選②：則，根據(jù)等比數(shù)列求和公式計(jì)算可得；若選③：則利用分組求和法求和即可；【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)的公差為，成等比數(shù)列，，，解得或，，，即，，的公比，，【小問(wèn)2詳解】解：若選①：則，；若選②：則，；若選③：則，.18.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)P(0，f(0))處的切線方程是（1）求a、b的值；（2）求函數(shù)的極值.【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析．【解析】【分析】（1）求出曲線的斜率，切點(diǎn)坐標(biāo)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)值域斜率的關(guān)系，即可求出，．（2）求出導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得到函數(shù)的極值．【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在點(diǎn)P(0，f(0))處的切線方程是，所以切線斜率是，且，求得，即點(diǎn)又函數(shù)，則所以依題意得解得（2）由（1）知所以令，解得或當(dāng)，或；當(dāng)，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是所以當(dāng)變化時(shí)，和變化情況如下表：0極大值極小值所以，19.已知數(shù)列中，，且（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出；（2）數(shù)列前項(xiàng)和為，求．【答案】（1）證明見(jiàn)解析，（2）【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義可證是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求.（2）利用錯(cuò)位相減法可求.【小問(wèn)1詳解】因，是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，，.【小問(wèn)2詳解】，，，.20.已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．（1）求橢圓的方程；（2）已知直線的傾斜角為銳角，與圓相切，與橢圓交于、兩點(diǎn)，且的面積為，求直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入橢圓方程計(jì)算，求出a、b的值即可；(2)設(shè)l的方程為：，，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得，直線方程聯(lián)立橢圓方程并消去y，利用韋達(dá)定理表示出，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出，進(jìn)而列出關(guān)于k的方程，解之即可.【小問(wèn)1詳解】橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．則，解得，【小問(wèn)2詳解】設(shè)l方程為：與圓相切設(shè)點(diǎn)，∴（則Δ>0，，，，，，，，，故，21.已知曲線在處的切線方程為，且.（1）求的解析式；（2）若時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出m，利用直線的點(diǎn)斜式方程即可得出切線方程；(2)由(1)將不等式變形為，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在、、時(shí)的單調(diào)性，即可得出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】，∴，，，，，切線方程為，即，∴.【小問(wèn)2詳解】令，，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即符合題意；當(dāng)時(shí)，設(shè)，①當(dāng)，，，所以在上單調(diào)遞增，，所以在上單調(diào)遞增，所以，故符合題意；②當(dāng)時(shí)，，，所以在上遞增，在上遞減，且，所以當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，且，故，，舍去.綜上：22.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，．（1）求拋物線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，試問(wèn)拋物線上是否存在定點(diǎn)使得直線與的斜率互為倒數(shù)？若存在求出點(diǎn)