向量積數(shù)量積混合積高等數(shù)學(xué)

*三、向量的混合積第二節(jié)一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束數(shù)量積向量積*混合積

第七章1整理ppt一、兩向量的數(shù)量積沿與力夾角為的直線移動,1.定義設(shè)向量的夾角為

,稱

記作數(shù)量積(點(diǎn)積).引例.

設(shè)一物體在常力F作用下,位移為s,則力F

所做的功為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2整理ppt記作故2.性質(zhì)為兩個非零向量,那么有

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束3整理ppt3.運(yùn)算律(1)交換律(2)結(jié)合律(3)分配律事實(shí)上,當(dāng)時,顯然成立;機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束4整理ppt例1.

證明三角形余弦定理證:那么如圖.設(shè)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束5整理ppt4.數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)那么當(dāng)為非零向量時,由于兩向量的夾角公式,得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束6整理ppt例2.三點(diǎn)

AMB.解:那么求故機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束7整理ppt為

).求單位時間內(nèi)流過該平面域的流體的質(zhì)量P(流體密度例3.

設(shè)均勻流速為的流體流過一個面積為A的平面域,與該平面域的單位垂直向量解:單位時間內(nèi)流過的體積的夾角為且為單位向量機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束8整理ppt二、兩向量的向量積引例.

設(shè)O為杠桿L的支點(diǎn),有一個與杠桿夾角為符合右手規(guī)那么矩是一個向量

M:的力F作用在杠桿的P點(diǎn)上,則力F

作用在杠桿上的力機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束9整理ppt1.定義定義向量方向:(叉積)記作且符合右手規(guī)那么模:向量積,

稱引例中的力矩思考:

右圖三角形面積S＝機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束10整理ppt2.性質(zhì)為非零向量,那么∥∥3.運(yùn)算律(2)分配律(3)結(jié)合律(證明略)證明:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束11整理ppt4.向量積的坐標(biāo)表示式設(shè)那么機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束12整理ppt向量積的行列式計(jì)算法(行列式計(jì)算見P339～P342)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束13整理ppt例4.三點(diǎn)角形

ABC

的面積解:如下圖,求三機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束14整理ppt一點(diǎn)M

的線速度例5.設(shè)剛體以等角速度

繞l

軸旋轉(zhuǎn),導(dǎo)出剛體上的表示式.解:

在軸l

上引進(jìn)一個角速度向量使其在l

上任取一點(diǎn)O,作它與那么點(diǎn)M離開轉(zhuǎn)軸的距離且符合右手法那么的夾角為

,

方向與旋轉(zhuǎn)方向符合右手法那么,向徑機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束15整理ppt*三、向量的混合積1.定義三向量稱數(shù)量混合積

.記作幾何意義為棱作平行六面體,底面積高故平行六面體體積為那么其機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束16整理ppt2.混合積的坐標(biāo)表示設(shè)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束17整理ppt3.性質(zhì)(1)三個非零向量共面的充要條件是(2)輪換對稱性:(可用三階行列式推出)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束18整理ppt例6.一四面體的頂點(diǎn)4),求該四面體體積.解:四面體的體積等于以向量為棱的平行六面體體積的故機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束19整理ppt例7.

證明四點(diǎn)共面.解:

因故A,B,C,D

四點(diǎn)共面.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束20整理ppt內(nèi)容小結(jié)設(shè)1.向量運(yùn)算加減:數(shù)乘:點(diǎn)積:叉積:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束21整理ppt混合積:2.向量關(guān)系:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束22整理ppt思考與練習(xí)1.設(shè)計(jì)算并求夾角

的正弦與余弦.答案:2.用向量方法證明正弦定理:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束23整理ppt證:由三角形面積公式所以因機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束24整理ppt

作業(yè)

P3103,4,6,7,9(1);(2),10,12第三節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束25整理ppt備用題1.向量的夾角且解：機(jī)動目錄