圓錐曲線的方程知識(shí)梳理-2024屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

圓錐曲線的方程知識(shí)梳理1.橢圓的定義我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的．定義幾何式：|MF1|＋|MF2|＝2a；代數(shù)式：，。一般地集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}，|F1F2|=2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)：=1\*GB3①若a>c，則集合P為；=2\*GB3②若a=c，則集合P為；=3\*GB3③若a<c，則集合P為。2.雙曲線的定義（1）平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2(|F1F2|＝2c＞0)的距離差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫雙曲線的焦距.此定義為雙曲線的第一定義.其數(shù)學(xué)表達(dá)式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0：=1\*GB3①若a<c，則集合P為；=2\*GB3②若a＝c，則集合P為；=3\*GB3③若a>c，則集合P為；=4\*GB3④若2a=0,則集合P為。（2）第二定義：平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離比為定值的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)時(shí)為，當(dāng)時(shí)為，當(dāng)時(shí)為，其中定點(diǎn)稱為焦點(diǎn)，定直線為準(zhǔn)線，定值稱為的離心率.3．橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)橢圓a>b>0雙曲線a>0，b>0標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)及判斷對(duì)稱性范圍頂點(diǎn)坐標(biāo)長(zhǎng)軸短軸實(shí)軸虛軸通徑漸近線無(wú)離心率、范圍及作用a,b,c的關(guān)系說(shuō)明：橢圓雙曲線的方程可化為一個(gè)統(tǒng)一的形式，即Ax2+By2=1（各自限制條件不一）。①在橢圓中a和b分別叫橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)；在雙曲線中a和b分別叫雙曲線的和；②在橢圓中e越接近１，則c越接近a，從而越小，因此橢圓越；反之，e越接近于0，c越接近于0，從而b越接近于a，這時(shí)橢圓就接近于；當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，c=0，這時(shí)兩焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A．③在雙曲線中x2與y2的系數(shù)符號(hào)，決定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，x2,y2哪個(gè)系數(shù)為正，焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上，而橢圓的焦點(diǎn)所在位置與分母的大小有關(guān),所以由方程定焦點(diǎn)：橢圓看大小，雙曲線看符號(hào)。4.與漸近線有關(guān)的常用結(jié)論①與雙曲線具有相同漸近線的雙曲線方程可以設(shè)為。②漸近線為的雙曲線方程可以設(shè)為。abc漸近線方程為bx±ay=0的雙曲線可設(shè)為b2x2a2y2=λ(λ≠0)abc漸近線為的雙曲線方程可以設(shè)為；③雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為（虛半軸長(zhǎng)）。=4\*GB3④等軸雙曲線：實(shí)軸與虛軸相等的雙曲線稱為等軸雙曲線，等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于eq\r(2)。5．拋物線的定義與幾何性質(zhì)拋物線定義平面內(nèi)到定點(diǎn)F與定直線（F點(diǎn)在直線外）___________的點(diǎn)的軌跡注：若F在直線上，則軌跡為_(kāi)____________離心率圖象PP叫做________,P_____0,P越大，拋物線的開(kāi)口越______標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)___________判斷焦點(diǎn)的位置對(duì)稱軸范圍焦點(diǎn)準(zhǔn)線方程焦半徑焦點(diǎn)弦6.求軌跡方程的常用方法：⑴直接法：直接通過(guò)建立、之間的關(guān)系，構(gòu)成,是求軌跡的最基本的方法.（建設(shè)限代化）⑵待定系數(shù)法：可先根據(jù)條件設(shè)所求曲線的方程,再由條件確定其待定系數(shù),代回所列的方程即可.⑶代入法(相關(guān)點(diǎn)法或轉(zhuǎn)移法).⑷定義法：如果能夠確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某已知曲線的定義,則可由曲線的定義直接寫出方程.⑸交軌法(參數(shù)法)：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到,也沒(méi)有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí),可考慮將、均用一中間變量(參數(shù))表示,得參數(shù)方程,再消去參數(shù)得普通方程.7．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，通常將直線的方程不同時(shí)為代入圓錐曲線的方程，消去(也可以消去)得到一個(gè)關(guān)于變量(或)的一元方程，即消去后，得，(1)當(dāng)時(shí)，則有，直線與曲線；，直線與曲線；，直線與曲線。(2)當(dāng)時(shí)，即得到一個(gè)一次方程，則與相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)。此時(shí)，若為雙曲線，則直線與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系是，若為拋物線，則直線與拋物線的對(duì)稱軸的位置關(guān)系是。【注】平行于（不重合）漸近線的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，過(guò)平面內(nèi)一定點(diǎn)作直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，這樣的直線可以為4條、3條、2條，或者0條.8．中點(diǎn)弦問(wèn)題：若是橢圓的一條弦，其中點(diǎn)M坐標(biāo)為，則直線的斜率為。運(yùn)用點(diǎn)差法求的斜率：設(shè)都在橢圓上，則，兩式相減，得，，從而，故。運(yùn)用類比思想，可以推出已知是雙曲線的弦，中點(diǎn)M，則；已知是拋物線的弦，中點(diǎn)M，則。9．弦長(zhǎng)公式：若直線與二次曲線的交點(diǎn)為A()和B()方法一：聯(lián)立直線與二次曲線方程求出兩交點(diǎn)兩點(diǎn)間距離方法二：利用弦長(zhǎng)公式：==.10.焦點(diǎn)三角形：橢圓雙曲線上的點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點(diǎn)三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面積為S，則在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中，(1)當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，θ最大．(2)S＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ＝＝c|y0|，當(dāng)|y0|＝b時(shí)，即點(diǎn)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，S取最大值，最大值為bc.(3)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為．則在雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)中，(1)焦點(diǎn)三角形中，，其面積為：.(2)雙曲線的焦點(diǎn)三角形的內(nèi)心的軌跡為(3)焦點(diǎn)三角形角平分線的性質(zhì)點(diǎn)是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，是雙曲線的焦點(diǎn)，是的角平分線上一點(diǎn)，且，則，即動(dòng)點(diǎn)的點(diǎn)的軌跡為.11.雙曲線上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)為雙曲線上的任意兩點(diǎn)，且，則.【推廣1】直線過(guò)雙曲線的中心，與雙曲線交于兩點(diǎn)，為雙曲線上的任意一點(diǎn)，則（均存在）.【推廣2】設(shè)直線交雙曲線于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．若為的中點(diǎn)，則.【推廣3】為雙曲線上的任意一點(diǎn),則.反過(guò)來(lái)也成立，將雙曲線改為橢圓，相應(yīng)的結(jié)論如何變化？試寫出。若曲線的焦點(diǎn)在軸上，相應(yīng)的結(jié)論又如何變化？試寫出。12.拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)（1）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，則①，；②，；③；④.（2）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為（斜率為）的直線交拋物線于（在上方）兩點(diǎn)，則①；②；③.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線軸，交拋物線于兩點(diǎn)，弦長(zhǎng)，此時(shí)的弦長(zhǎng)稱為通徑，此為所有的焦點(diǎn)弦中最短的弦.（3）過(guò)拋物線的