專(zhuān)題21.13配方法的應(yīng)用及材料閱讀題大題專(zhuān)練（重難點(diǎn)培優(yōu)60題）-【拔尖特訓(xùn)】2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題（原卷版）【人教版】

【拔尖特訓(xùn)】2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題（人教版）專(zhuān)題21.13配方法的應(yīng)用及材料閱讀題大題專(zhuān)練（重難點(diǎn)培優(yōu)60題）班級(jí)：___________________姓名：_________________得分：_______________一．解答題（共40小題）1．（2022秋?西寧期末）閱讀下列材料：用配方法不僅可以解一元二次方程，還可以用它來(lái)解決很多問(wèn)題．例如：因?yàn)?a2≥0，所以3a2+1就有最小值1，即3a2+1≥1，只有當(dāng)a＝0時(shí)，才能得到這個(gè)式子的最小值1；同樣，因?yàn)椹?a2≤0，所以﹣3a2+1有最大值1，即﹣3a2+1≤1，只有在a＝0時(shí)，才能得到這個(gè)式子的最大值1．（1）[材料理解]當(dāng)x＝3時(shí)，代數(shù)式﹣3（x+3）2+4有最大（填寫(xiě)“大或小”）值為4；（2）[類(lèi)比應(yīng)用]求證：關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣2k+1＝0總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．【答案】（1）3，大，4；（2）見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)得性質(zhì)得﹣3（x+3）2≤0所以當(dāng)x＝﹣3時(shí)，式子有最大值4；（2）由題意得Δ＝（k﹣3）2﹣4×（﹣2k+1），整理得Δ＝（k+1）2+4，即可判斷Δ＝（k+1）2+4≥4＞0，進(jìn)而得證結(jié)論．【解答】（1）解：代數(shù)式﹣3（x+3）2+4，∵﹣3（x+3）2≤0，∴當(dāng)x＝﹣3時(shí)，式子有最大值4，故答案為：3，大，4；（2）證明：由題意可知，Δ＝（k﹣3）2﹣4×（﹣2k+1）＝k2﹣6k+9+8k﹣4＝k2+2k+5＝k2+2k+1+4＝（k+1）2+4，∵（k+1）2≥0，∴Δ＝（k+1）2+4≥4＞0，∴關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣2k+1＝0總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．【點(diǎn)評(píng)】考查了配方法的應(yīng)用，用配方法解一元二次方程，利用配方法將二次三項(xiàng)式配方，即可求出最值．2．（2023春?武侯區(qū)校級(jí)期中）（1）已知a+b＝5，ab＝2，求a2+b2﹣3ab的值；（2）已知等腰△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c均為整數(shù)，且滿(mǎn)足a2+b2﹣4a﹣6b＝﹣13，求△ABC的周長(zhǎng)．【答案】（1）15；（2）△ABC的周長(zhǎng)為7或8．【分析】（1）利用配方法將a2+b2﹣3ab配方成（a+b）2﹣5ab，再將a+b＝5，ab＝2代入即可求解；（2）利用配方法將a2+b2﹣4a﹣6b＝﹣13配方成（a﹣2）2+（b﹣3）2＝0，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到a＝2，b＝3，根據(jù)△ABC為等腰三角形對(duì)c的值進(jìn)行討論，再分別算出△ABC的周長(zhǎng)即可．【解答】解：（1）a2+b2﹣3ab＝（a2+2ab+b2）﹣5ab＝（a+b）2﹣5ab，∵a+b＝5，ab＝2，∴原式＝52﹣5×2＝15；（2）∵a2+b2﹣4a﹣6b＝﹣13，∴a2+b2﹣4a﹣6b+13＝0，∴（a2﹣4a+4）+（b2﹣6b+9）＝0，∴（a﹣2）2+（b﹣3）2＝0，∴a＝2，b＝3，∵等腰△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c均為整數(shù)，∴c＝2或c＝3，∴a+b+c＝2+3+2＝7或a+b+c＝2+3+3＝8，∴△ABC的周長(zhǎng)為7或8．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查配方法的應(yīng)用、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解題關(guān)鍵．3．（2023春?涇陽(yáng)縣期中）已知x2+y2+z2﹣2x+4y﹣6z+14＝0，求x+y+z的值．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】利用配方法把原式化為平方和的形式，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)分別求出x、y、z，代入計(jì)算即可．【解答】解：x2+y2+z2﹣2x+4y﹣6z+14＝0，x2﹣2x+1+y2+4y+4+z2﹣6z+9＝0，（x﹣1）2+（y+2）2+（z﹣3）2＝0，則x﹣1＝0，y+2＝0，z﹣3＝0，解得，x＝1，y＝﹣2，z＝3，則x+y+z＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是配方法的應(yīng)用，掌握完全平方公式、靈活運(yùn)用配方法是解題的關(guān)鍵．4．（2022春?金牛區(qū)校級(jí)月考）已知a2+b2﹣4a+6b+13＝0，求ab的值．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】將原方程左邊配成兩個(gè)完全平方的和，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得a、b的值，代入計(jì)算可得．【解答】解：∵a2+b2﹣4a+6b+13＝0，即a2﹣4a+4+b2+6b+9＝0，∴（a﹣2）2+（b+3）2＝0，根據(jù)非負(fù)數(shù)性質(zhì)得：a﹣2＝0，b+3＝0，解得：a＝2，b＝﹣3，則ab＝2﹣3=1【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查配方的能力，熟練掌握完全平方式的特點(diǎn)是解題關(guān)鍵．5．（2022春?雅安期中）已知：x2+y2+z2﹣2x﹣4y﹣6z+14＝0，求（xz）y的值．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】利用配方法把原式化為平方和的形式，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)分別求出x、y、z，代入計(jì)算即可．【解答】解：x2+y2+z2﹣2x﹣4y﹣6z+14＝0，x2﹣2x+1+y2﹣4y+4+z2﹣6z+9＝0，（x﹣1）2+（y﹣2）2+（z﹣3）2＝0，則x﹣1＝0，y﹣2＝0，z﹣3＝0，解得，x＝1，y＝2，z＝3，則（xz）y＝9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是配方法的應(yīng)用，掌握完全平方公式、靈活運(yùn)用配方法是解題的關(guān)鍵．6．（2021秋?南江縣校級(jí)月考）用配方法說(shuō)明：不論m為何值，m2﹣8m+20的值都大于0．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】先對(duì)代數(shù)式m2﹣8m+20進(jìn)行配方，然后根據(jù)配方后的形式，由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可證得．【解答】解：m2﹣8m+20＝m2﹣8m+16+4＝（m﹣4）2+4，∵無(wú)論m取何值，（m﹣4）2≥0，∴（m﹣4）2+4＞0，即m2﹣8m+20的值都大于0．【點(diǎn)評(píng)】此題考查配方法的運(yùn)用，配方不僅應(yīng)用于解一元二次方程，還可以應(yīng)用于判斷代數(shù)式的值或判斷代數(shù)式的符號(hào)．7．（2021春?鳳翔縣期末）閱讀材料：我們知道x2≥0，（a±b）2≥0這一性質(zhì)在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，比如探求多項(xiàng)式3x2+6x﹣2的最小值時(shí)，我們可以這樣處理：3x2+6x﹣2＝3（x2+2x）﹣2＝3（x2+2x+12﹣12）﹣2＝3[（x+1）2﹣12]﹣2＝3（x+1）2﹣5．因?yàn)椋▁+1）2≥0，所以3（x+1）2﹣5≥0﹣5，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，3（x+1）2﹣5取得最小值﹣5．（1）求多項(xiàng)式2x2﹣8x+3的最小值，并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的x的取值．（2）求多項(xiàng)式x2﹣2x+y2﹣4y+7的最小值．【答案】（1）﹣5；2；（2）2．【分析】（1）模仿例題計(jì)算即可；（2）根據(jù)完全平方公式對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行變形，根據(jù)平方的非負(fù)性解答．【解答】解：（1）2x2﹣8x+3＝2（x2﹣4x）+3＝2（x2﹣4x+4﹣4）+3＝2[（x﹣2）2﹣4]+3＝2（x﹣2）2﹣5，∵（x﹣2）2≥0，∴2（x﹣2）2﹣5≥0﹣5，∴當(dāng)x＝2時(shí)，2（x﹣2）2﹣5取得最小值﹣5；（2）x2﹣2x+y2﹣4y+7＝（x2﹣2x+1）+（y2﹣4y+4）+2＝（x﹣1）2+（y﹣2）2+2，∵（x﹣1）2≥0，（y﹣2）2≥0，∴（x﹣1）2+（y﹣2）2+2≥2，∴當(dāng)x＝1，y＝2時(shí)，x2﹣2x+y2﹣4y+7有最小值2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法，完全平方公式，偶次方的非負(fù)性，解題的關(guān)鍵是根據(jù)完全平方公式對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行配方．8．（2020秋?婺城區(qū)校級(jí)期末）閱讀下面的解答過(guò)程，求y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8＝y(tǒng)2+4y+4+4＝（y+2）2+4≥4，∵（y+2）2≥0即（y+2）2的最小值為0，∴y2+4y+8的最小值為4．仿照上面的解答過(guò)程，（1）求m2+2m+4的最小值；（2）求4﹣x2+2x的最大值．【答案】（1）3；（2）5．【分析】（1）（2）利用完全平方公式把原式變形，根據(jù)偶次方的非負(fù)性解答即可．【解答】解：（1）m2+2m+4＝m2+2m+1+3＝（m+1）2+3，∵（m+1）2≥0，∴（m+1）2+3≥3，即m2+2m+4的最小值為3；（2）4﹣x2+2x＝﹣x2+2x+4＝﹣（x2﹣2x+1）+5＝﹣（x﹣1）2+5，∵（x﹣1）2≥0，∴﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣（x﹣1）2+5≤5，即4﹣x2+2x的最大值為5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是配方法的應(yīng)用，掌握完全平方公式、偶次方的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．9．（2020春?濱湖區(qū)期中）閱讀理解：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0且（n﹣4）2＝0，∴m＝n＝4．方法應(yīng)用：（1）a2+4a+b2+4＝0，則a＝﹣2，b＝0；（2）已知x+y＝8，xy﹣z2﹣4z＝20，求（x+y）z的值．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)完全平方公式把原式的左邊變形，根據(jù)偶次方的非負(fù)性求出a、b；（2）用x表示y，把原式變形，根據(jù)偶次方的非負(fù)性、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的概念解答即可．【解答】解：（1）∵a2+4a+b2+4＝0，∴a2+4a+4+b2＝0，∴（a+2）2+b2＝0，∴（a+2）2＝0，b2＝0，∴a＝﹣2，b＝0，故答案為：﹣2；0；（2）∵x+y＝8，∴y＝8﹣x，原式變形為x（8﹣x）﹣z2﹣4z＝20，整理得，8x﹣x2﹣z2﹣4z＝20，∴x2﹣8x+16+z2+4z+4＝0，∴（x﹣4）2+（z+2）2＝0，∴（x﹣4）2＝0，（z+2）2＝0，∴x＝4，z＝﹣2，∴y＝8﹣x＝4，∴（x+y）z=1【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是配方法的應(yīng)用，掌握完全平方公式、偶次方的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．10．（2022春?港北區(qū)期中）（閱讀材料）把代數(shù)式通過(guò)配湊等手段，得到局部完全平方式，再進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算和解題，這種解題方法叫做配方法．配方法在代數(shù)式求值、解方程、最值問(wèn)題中都有著廣泛的應(yīng)用．例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．解：原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3﹣1）（a+3+1）＝（a+2）（a+4）．②求x2+6x+11的最小值．解：原式＝x2+6x+9+2＝（x+3）2+2．由于（x+3）2≥0，所以（x+3）2+2≥2，即x2+6x+11的最小值為2．請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下列問(wèn)題：（1）在橫線(xiàn)上添上一個(gè)常數(shù)項(xiàng)使之成為完全平方式：a2+4a+4；（2）用配方法因式分解：a2﹣12a+35；（3）求x2+8x+7的最小值．【答案】（1）4；（2）（a﹣5）（a﹣7）；（3）x2+8x+7的最小值為﹣9．【分析】（1）根據(jù)常數(shù)項(xiàng)等于一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方進(jìn)行配方即可；（2）將35化為36﹣1，前三項(xiàng)配成完全平方式，再利用平方差公式進(jìn)行因式分解；（3）將x2+8x+7轉(zhuǎn)化為（x+4）2﹣9，再利用完全平方式最小值為0，即可求解．【解答】解：（1）a2+4a+4＝（a+2）2，故答案為：4；（2）a2﹣12a+35＝a2﹣12a+36﹣1＝（a﹣6）2﹣1＝（a﹣6+1）（a﹣6﹣1）＝（a﹣5）（a﹣7）；（3）x2+8x+7＝x2+8x+16﹣9＝（x+4）2﹣9，∵（x+4）2≥0，∴（x+4）2﹣9≥﹣9，∴x2+8x+7的最小值為﹣9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法的應(yīng)用，因式分解的應(yīng)用，明確如何配方及偶次方的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．11．（2023春?宿遷期末）求代數(shù)式x2﹣4x+3的最小值時(shí)，我們通常運(yùn)用“a2≥0”這個(gè)公式對(duì)代數(shù)式進(jìn)行配方來(lái)解決．比如x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1，∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2﹣1≥﹣1，∴x2﹣4x+3的最小值是﹣1．試?yán)谩芭浞椒ā苯鉀Q下列問(wèn)題：（1）填空：x2+6x+11＝（x+▲3）2+▲2；（2）求x2+y2+2x﹣4y+8的最小值；（3）如圖，將邊長(zhǎng)為2的正方形一邊保持不變，另一組對(duì)邊增加2a+2（a＞0）得到如圖2所示的新長(zhǎng)方形，此長(zhǎng)方形的面積為S1；將正方形的邊長(zhǎng)增加a+1（a＞0），得到如圖3所示的新正方形，此正方形的面積為S2．①用含a的代數(shù)式表示出S1，S2；②比較S1，S2的大?。敬鸢浮浚?）3；2；（2）3；（3）S1＜S2．【分析】（1）依據(jù)題意，由完全平方公式a2+2ab+b2＝（a+b）2，即可進(jìn)行變形得解；（2）依據(jù)題意，對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行配方，進(jìn)而根據(jù)偶次方的非負(fù)性可以得解；（3）①依據(jù)題意，根據(jù)圖形進(jìn)行計(jì)算即可得解；②依據(jù)題意，根據(jù)①所求S1和S2，通過(guò)作差法進(jìn)行比較大小即可得解．【解答】解：（1）依據(jù)題意，x2+6x+11＝x2+6x+9+2＝（x+3）2+2．故答案為：3；2．（2）由題意，x2+y2+2x﹣4y+8＝x2+2x+1+y2﹣4y+4+3＝（x+1）2+（y﹣2）2+3．∵（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0，∴（x+1）2+（y﹣2）2+3≥3．∴x2+y2+2x﹣4y+8≥3．∴x2+y2+2x﹣4y+8的最小值為3．（3）①由題意，根據(jù)圖形可得，S1＝2（2a+2），S2＝（a+3）2．②由①可得，S2﹣S1＝（a+3）2﹣2（2a+2）＝a2+6a+9﹣4a﹣4＝a2+2a+5＝a2+2a+1+4＝（a+1）2+4．∵（a+1）2≥0，∴（a+1）2+4≥4＞0．∴S2﹣S1＞0．∴S2＞S1，即S1＜S2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查配方法的應(yīng)用，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用完全平方公式是關(guān)鍵．12．（2023春?廣陵區(qū)期末）將一個(gè)式子或一個(gè)式子的某一部分通過(guò)恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和，這種方法稱(chēng)之為配方法．這種方法常常被用到式子的恒等變形中，以挖掘題目中的隱含條件，是解題的有力手段之一．例如，求代數(shù)式x2+2x+3的最小值解：原式＝x2+2x+1+2＝（x+1）2+2．∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2+2≥2．∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，x2+2x+3的最小值是2．（1）請(qǐng)仿照上面的方法求代數(shù)式x2+6x﹣1的最小值．（2）已知△ABC的三邊a，b，c滿(mǎn)足a2﹣6b＝﹣14，b2﹣8c＝﹣23，c2﹣4a＝8．求△ABC的周長(zhǎng)．【答案】（1）﹣10，（2）9．【分析】（1）直接運(yùn)用配方法將代數(shù)式化成（x+m）2+n的形式，然后求解即可；（2）把關(guān)于a、b、c的三個(gè)方程加起來(lái)，然后分別對(duì)關(guān)于a、b、c的式子進(jìn)行配方，并根據(jù)式子的特點(diǎn)求解．【解答】解：（1）原式＝x2+6x+9﹣10＝（x+3）2﹣10．∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2﹣10≥﹣10．∴當(dāng)x＝﹣3時(shí)，x2+6x﹣1的最小值是﹣10．（2）∵a2﹣6b＝﹣14，b2﹣8c＝﹣23，c2﹣4a＝8，∴a2﹣6b+b2﹣8c+c2﹣4a＝﹣29．∴（a2﹣4a+4）+（b2﹣6b+9）+（c2﹣8c+16）﹣29＝﹣29．即（a﹣2）2+（b﹣3）2+（c﹣4）2＝0．∵（a﹣2）2≥0，（b﹣3）2≥0，（c﹣4）2≥0．∴（a﹣2）2＝0，（b﹣3）2＝0，（c﹣4）2＝0，解得a＝2，b＝3，c＝4．∴△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c＝9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法的應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)有：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)均為0．13．（2023春?銀川校級(jí)期末）先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問(wèn)題，例題：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：因?yàn)閙2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，所以m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0，所以（m+n）2+（n﹣3）2＝0，所以m+n＝0，n﹣3＝0，所以m＝﹣3，n＝3．問(wèn)題：（1）若x2+2xy+5y2+4y+1＝0，求x和y的值；（2）已知a，b，c是等腰△ABC的三邊長(zhǎng)，且a，b滿(mǎn)足a2+b2＝10a+8b﹣41，求△ABC的周長(zhǎng)．【答案】（1）x=-12，（2）13或14．【分析】（1）仿照例題的思路，配成兩個(gè)完全平方式，然后利用偶次方的非負(fù)性，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）仿照例題的思路，配成兩個(gè)完全平方式，再利用偶次方的非負(fù)性，先求出a，b的值，然后分兩種情況，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）∵x2+2xy+5y2+4y+1＝0，∴x2+2xy+y2+4y2+4y+1＝0，∴（x+y）2+（2y+1）2＝0，∴x+y＝0，2y+1＝0，∴x=-12，（2）∵a2+b2＝10a+8b﹣41，∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16＝0，∴（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，∴a﹣5＝0，b﹣4＝0，∴a＝5，b＝4，因?yàn)椤鰽BC是等腰三角形，所以c＝5或4，分兩種情況：當(dāng)c＝5時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)為5+5+4＝14，當(dāng)c＝4，△ABC的周長(zhǎng)為5+4+4＝13，所以△ABC的周長(zhǎng)為13或14．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法的應(yīng)用，偶次方的非負(fù)性，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握完全平方式是解題的關(guān)鍵．14．（2023春?江陵縣期末）閱讀下面內(nèi)容：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了《二次根式》和《乘法公式》，聰明的你可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，∵(a-b)2=a-2ab+b≥0，∴a+b（1）當(dāng)x＞0時(shí)，x+1x的最小值為2；當(dāng)x＜0時(shí)，x+1x的最大值為（2）當(dāng)x＞0時(shí)，求y=x【答案】（1）2，﹣2；（2）11．【分析】（1）根據(jù)題中的不等式求解；（2）先把代數(shù)式變形，再利用題中的不等式求解．【解答】解：（1）∵x＞0，∴x+1x≥2∵x＜0，∴x+1x=-[﹣x+（-∵﹣x+（-1x）≥∴x+1x故答案為：2，﹣2；（2）∵x＞0，∴y=x2+3x+16x=x+3+16x≥∴y的最小值為11．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法的應(yīng)用，理解題中的新方法是解題的關(guān)鍵．15．（2023?秦淮區(qū)二模）在第一階段質(zhì)量監(jiān)測(cè)的選擇題中，我們發(fā)現(xiàn)在三邊長(zhǎng)分別為a，b，c（a＜b＜c）的三角形中，有a+（1）推導(dǎo)該結(jié)論的一種思路可以用如圖的框圖表示，請(qǐng)?zhí)顚?xiě)其中的空格．?（2）推導(dǎo)該結(jié)論的其他思路還有：①利用a+b＞c，a=(a)2②利用a+b＞c，使用平方差公式，…③利用a+b＞c，…上述思路都不完整，請(qǐng)寫(xiě)出一種完整的推導(dǎo)思路．【答案】（1）①a+2ab+b②a+ba+b＞ca+b＞c【分析】（1）①根據(jù)完全平方公式即可得出結(jié)論；②根據(jù)二次根式的性質(zhì)可以得出結(jié)果；③根據(jù)①②得出的結(jié)果很容易可以得出兩個(gè)代數(shù)式的大小關(guān)系；根據(jù)三邊關(guān)系以及二次根式的性質(zhì)即可得出兩個(gè)空的不等關(guān)系；（2）可以選擇①②③中的任意一種進(jìn)行作答即可．【解答】解：（1）①(a故答案為：a+2ab②(a+b故答案為：a+b．∵a，b，c是三角形的三邊，∴a+b＞c，∴a+b＞故答案為：a+b＞ca+b＞（2）選①，∵a+b＞c，∴(a∴(a∵2ab＞0∴(a∴a+【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行配方，以及運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解的內(nèi)容，要能靈活運(yùn)用因式分解解決問(wèn)題．16．（2023春?邛崍市期末）材料一：我們定義：如果兩個(gè)多項(xiàng)式A與B的差為常數(shù)，且這個(gè)常數(shù)為正數(shù)，則稱(chēng)A是B的“雅常式”，這個(gè)常數(shù)稱(chēng)為A關(guān)于B的“雅常值”．如多項(xiàng)式A＝a2+2a+1，B＝（a+4）（a﹣2），A﹣B＝（a2+2a+1）﹣（a+4）（a﹣2）＝（a2+2a+1）﹣（a2+2a﹣8）＝9，A是B的“雅常式”，A關(guān)于B的“雅常值”為9．材料二：把形如ax2+bx+c的二次三項(xiàng)式配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆寫(xiě)，即a2+2ab+b2＝（a+b）2，例如：我們可以將代數(shù)式a2+6a+10進(jìn)行變形，其過(guò)程如下：a2+6a+10＝（a2+6a）+10＝（a2+6a+9）+10﹣9＝（a+3）2+1，∵（a+3）2≥0，∴（a+3）2+1≥1，因此，該式有最小值1．（1）已知多項(xiàng)式M是多項(xiàng)式N的“雅常式”，如果M＝a2+2a﹣1，N＝（a+3）（a﹣1），請(qǐng)求出M關(guān)于N的“雅常值”；（2）多項(xiàng)式Q＝x2+2x﹣n的最小值為﹣3，求出n的值；若P＝（x+m）2（m為常數(shù)）是Q的“雅常式”，求P關(guān)于Q的“雅常值”．【答案】（1）2；（2）3．【分析】（1）計(jì)算M﹣N，即可求出M關(guān)于N的“雅常值”；（2）根據(jù)多項(xiàng)式Q＝x2+2x﹣n的最小值為﹣3，求出n的值；求出P﹣Q＝（2m﹣2）x+m2+2，由M是N的“雅常式”得出2m﹣2＝0，得出m＝1，進(jìn)而求出P﹣Q＝3．【解答】解：（1）∵M(jìn)＝a2+2a﹣1，N＝（a+3）（a﹣1），∴M﹣N＝a2+2a﹣1﹣（a+3）（a﹣1）＝a2+2a﹣1﹣（a2+2a﹣3）＝2，∴M關(guān)于N的“雅常值”為2；（2）∵Q＝x2+2x﹣n＝（x+1）2﹣1﹣n≥﹣1﹣n，又多項(xiàng)式Q＝x2+2x﹣n的最小值為﹣3，∴﹣1﹣n＝﹣3，∴n＝2；∵P＝（x+m）2，∴P﹣Q＝（x+m）2﹣（x2+2x﹣2）＝x2+2mx+m2﹣x2﹣2x+2＝（2m﹣2）x+m2+2，∵P＝（x+m）2（m為常數(shù)）是Q的“雅常式”，∴2m﹣2＝0，∴m＝1，∴m2+2＝12+2＝3，∴P關(guān)于Q的“雅常值”為3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，新定義，學(xué)生的理解能力以及知識(shí)的遷移能力，整式的加減等知識(shí)，理解A是B的“雅常式”的定義是解題的關(guān)鍵．17．（2023春?平陰縣期末）閱讀材料：把代數(shù)式通過(guò)配湊等手段，得到局部完全平方式，再進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算和解題，這種解題方法叫做配方法．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師在求代數(shù)式x2﹣4x+5的最小值時(shí)，利用公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，對(duì)式子作如下變形：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1．因?yàn)椋▁﹣2）2≥0，所以（x﹣2）2+1≥1，因此（x﹣2）2+1有最小值為1，即x2﹣4x+5的最小值為1．通過(guò)閱讀，解下列問(wèn)題：（1）代數(shù)式x2+6x+12的最小值為3；（2）求代數(shù)式﹣x2+2x+9的最大或最小值．【答案】（1）3；（2）最大值為10．【分析】利用配方法將代數(shù)式進(jìn)行變形后再利用偶次冪的非負(fù)性即可求得答案．【解答】解：（1）原式＝（x2+6x+9）+3＝（x+3）2+3，∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2+3≥3，即代數(shù)式x2+6x+12的最小值為3，故答案為：3；（2）原式＝﹣（x2﹣2x）+9＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+9＝﹣（x2﹣2x+1）+1+9＝﹣（x﹣1）2+10，∴﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣（x﹣1）2+10≤10，則代數(shù)式﹣x2+2x+9的最大值為10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查配方法的應(yīng)用及偶次冪的非負(fù)性，利用配方法將原式化為“完全平方式+常數(shù)”的形式是解題的關(guān)鍵．18．（2023春?新都區(qū)期末）我國(guó)當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生有一首關(guān)于數(shù)形結(jié)合的詞：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛．?dāng)?shù)無(wú)形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微．?dāng)?shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事非，切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離!”．這首小詞形象、生動(dòng)、深刻地指明了“數(shù)形結(jié)合”的價(jià)值，也揭示了“數(shù)形結(jié)合”的本質(zhì)，而數(shù)形結(jié)合的方法是我們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題常用到的思想方法．如圖，我們通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．（1）圖中所表示的數(shù)學(xué)等式為（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）利用（1）中得到結(jié)論，解決問(wèn)題：①已知13x2﹣6xy+y2﹣4x+1＝0，求（x+y）2024?x2023的值；②已知（x﹣2022）2+（2023﹣x）2＝25，求（x﹣2022）（2023﹣x）的值．【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）①2；②﹣12．【分析】（1）根據(jù)大正方形的面積＝兩個(gè)小正方形的面積+兩個(gè)小長(zhǎng)方形的面積列得等式即可；（2）①利用完全平方公式將原式進(jìn)行變形，再根據(jù)偶次冪的非負(fù)性確定x及y的值，然后代入（x+y）2024?x2023中計(jì)算即可；②利用完全平方公式將（x﹣2022）2+（2023﹣x）2＝25變形后計(jì)算即可．【解答】解：（1）由圖形可得大正方形的面積為（a+b）2，還可以表示為a2+2ab+b2，則（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案為：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）①已知13x2﹣6xy+y2﹣4x+1＝0，則9x2+4x2﹣6xy+y2﹣4x+1＝0，即（9x2﹣6xy+y2）+（4x2﹣4x+1）＝0，那么（3x﹣y）2+（2x﹣1）2＝0，則3x﹣y＝0，2x﹣1＝0，解得：x=12，y∴（x+y）2024?x2023＝（12+32）2024＝22024×（12）＝2×22023×（12）＝2×（2×12＝2×1＝2；②∵（x﹣2022）2+（2023﹣x）2＝25，∴[（x﹣2022）+（2023﹣x）]2﹣2（x﹣2022）（2023﹣x）＝25，∴（x﹣2022+2023﹣x）2﹣2（x﹣2022）（2023﹣x）＝25，即1﹣2（x﹣2022）（2023﹣x）＝25，則（x﹣2022）（2023﹣x）＝﹣12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查完全平方公式的應(yīng)用，配方法及偶次冪的非負(fù)性，（2）小題①中將原式變形整理為（3x﹣y）2+（2x﹣1）2＝0，②中將原式變形為[（x﹣2022）+（2023﹣x）]2﹣2（x﹣2022）（2023﹣x）＝25是解題的關(guān)鍵．19．（2023春?鼓樓區(qū)期末）配方法是數(shù)學(xué)中非常重要的一種思想方法，它是指將一個(gè)式子或?qū)⒁粋€(gè)式子的某一部分通過(guò)恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法，這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來(lái)解決問(wèn)題．定義：若一個(gè)整數(shù)能表示成a2+b2（a，b為整數(shù)）的形式，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”，理由：因?yàn)?＝12+22，所以5是“完美數(shù)”．解決問(wèn)題：（1）已知29是“完美數(shù)”，請(qǐng)將它寫(xiě)成a2+b2（a，b為整數(shù)）的形式；（2）若x2﹣4x+5可配方成（x﹣m）2+n（m，n為常數(shù)），求mn的值；（3）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x，y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出k值．【答案】（1）29＝52+22；（2）2；（3）當(dāng)k＝13時(shí)，S是完美數(shù)，【分析】（1）根據(jù)“完美數(shù)”的定義判斷即可；（2）利用配方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后求得對(duì)應(yīng)系數(shù)的值；（3）利用完全平方公式把原式變形，根據(jù)“完美數(shù)”的定義即可求解．【解答】解：（1）∵29是“完美數(shù)”，∴29＝52+22；（2）∵x2﹣4x+5＝（x2﹣4x+4）+1＝（x﹣2）2+1，又∵x2﹣4x+5＝（x﹣m）2+n，∴m＝2，n＝1，∴mn＝2×1＝2．（3）當(dāng)k＝13時(shí)，S是完美數(shù)，理由如下：S＝x2+4y2+4x﹣12y+13＝x2+4x+4+4y2﹣12y+9＝（x+2）2+（2y﹣3）2，∵x，y是整數(shù)，∴x+2，2y﹣3也是整數(shù)，∴S是一個(gè)“完美數(shù)”．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是配方法的應(yīng)用，掌握完全平方公式、偶次方的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．20．（2023春?吳江區(qū)期末）閱讀下列材料：我們把多項(xiàng)式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方公式，如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方公式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，可以求代數(shù)式的最大值或最小值．例如：求代數(shù)式x2+2x﹣4的最小值．x2+2x﹣4＝（x2+2x+1）﹣5＝（x+1）2﹣5，可知當(dāng)x＝﹣1時(shí)，x2+2x﹣4有最小值，最小值是﹣5．再例如：求代數(shù)式﹣3x2+6x﹣4的最大值．﹣3x2+6x﹣4＝﹣3（x2﹣2x+1）﹣4+3＝﹣3（x﹣1）2﹣1，可知當(dāng)x＝1時(shí)，﹣3x2+6x﹣4有最大值，最大值是﹣1.（1）【直接應(yīng)用】代數(shù)式x2+4x﹣3的最小值為﹣7；（2）【類(lèi)比應(yīng)用】若多項(xiàng)式M＝a2+b2﹣2a+3b+2023，試求M的最小值；（3）【知識(shí)遷移】如圖，學(xué)校打算用長(zhǎng)20米的籬笆圍一個(gè)長(zhǎng)方形的菜地，菜地的一面靠墻（墻足夠長(zhǎng)），求圍成的菜地的最大面積．【答案】（1）﹣7；（2）M的最小值是80794（3）圍成的菜地的最大面積50米2．【分析】（1）仿照閱讀材料、利用配方法把原式化為完全平方式與一個(gè)數(shù)的和的形式，根據(jù)偶次方的非負(fù)性解答；（2）利用配方法把原式進(jìn)行變形，含a、b的項(xiàng)分別結(jié)合，根據(jù)偶次方的非負(fù)性解答即可；（3）設(shè)垂直于墻的一邊長(zhǎng)為x米，則另一邊長(zhǎng)為（20﹣2x）米，根據(jù)矩形的面積公式得到S＝x（20﹣2x），再利用配方法把原式進(jìn)行變形，根據(jù)閱讀材料解答即可．【解答】解：（1）x2+4x﹣3＝（x+2）2﹣7，∴當(dāng)x＝﹣2時(shí)，x2+4x﹣3有最小值，最小值是﹣7，故答案為：﹣7；（2）M＝a2+b2﹣2a+3b+2023=(a-∴當(dāng)a＝1，b=-32時(shí)，M∴M的最小值是80794（3）設(shè)垂直于墻的一邊長(zhǎng)為x米，則另一邊長(zhǎng)為（20﹣2x）米，根據(jù)題意得，S＝x（20﹣2x）＝20x﹣2x2＝﹣2（x2﹣10x）＝﹣2（x﹣5）2+50，∴當(dāng)x＝5時(shí)，S有最大值，最大值是50米2；∴圍成的菜地的最大面積50米2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是配方法的應(yīng)用，偶次方的非負(fù)性，二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握配方法的一般步驟、偶次方的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．21．（2023春?高州市期末）把代數(shù)式通過(guò)配方等手段得到完全平方式，再運(yùn)用完全平方式的非負(fù)性這一性質(zhì)解決問(wèn)題，這種解題方法叫做配方法．配方法在代數(shù)式求值，解方程，最值問(wèn)題等都有廣泛的應(yīng)用．如利用配方法求最小值，求a2+6a+8的最小值．解：a2+6a+8＝a2+6a+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1，因?yàn)椴徽揳取何值，（a+3）2總是非負(fù)數(shù)，即（a+3）2≥0．所以（a+3）2﹣1≥﹣1，所以當(dāng)a＝﹣3時(shí)，a2+6a+8有最小值﹣1．根據(jù)上述材料，解答下列問(wèn)題：（1）在橫線(xiàn)上添上一個(gè)常數(shù)項(xiàng)使之成為完全平方式：a2+14a+49；（2）將x2﹣10x+27變形為（x﹣m）2+n的形式，并求出x2﹣10x+27的最小值；（3）若代數(shù)式N＝﹣a2+8a+1，試求N的最大值；【答案】（1）49；（2）2；（3）17．【分析】（1）依據(jù)題意，根據(jù)完全平方公式求解；（2）依據(jù)題意，利用配方法求最小值即可；（3）依據(jù)題意，利用配方法求最大值．【解答】解：（1）依據(jù)完全平方公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2，∴a2+14a+49是完全平方式．故答案為：49．（2）x2﹣10x+27＝x2﹣10x+25+2＝（x﹣5）2+2．∵（x﹣5）2≥0，∴（x﹣5）2+2≥2．∴x2﹣10x+27的最小值是2．（3）∵N＝﹣a2+8a+1＝﹣（a2﹣8a）+1＝﹣（a2﹣8a+16﹣16）+1＝﹣（a﹣4）2+17，又（a﹣4）2≥0，∴﹣（a﹣4）2≤0．∴﹣（a﹣4）2+17≤17．∴﹣a2+8a+1的最大值是17．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用．22．（2023春?盱眙縣期中）配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指將一個(gè)式子的某一部分通過(guò)恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來(lái)解決一些問(wèn)題．我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成a2+b2（a、b是整數(shù)）的形式，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”．理由：因?yàn)?＝22+12，所以5是“完美數(shù)”．簡(jiǎn)單應(yīng)用：（1）已知41是“完美數(shù)”，請(qǐng)將它寫(xiě)成a2+b2（a、b是整數(shù)）的形式41＝52+42；（2）若x2﹣8x+9可配方成（x﹣m）2+n（m、n為常數(shù)），則mn＝﹣28；深入探究：（3）已知x2+y2﹣4x+2y+5＝0，則x+y＝1；靈活運(yùn)用：（4）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x、y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的一個(gè)k值，并說(shuō)明理由．【答案】（1）41＝52+42（2）﹣28；（3）1；（4）當(dāng)k＝13時(shí)，S是完美數(shù)，理由見(jiàn)解答過(guò)程．【分析】（1）根據(jù)“完美數(shù)”的定義判斷即可；（2）利用配方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后求得對(duì)應(yīng)系數(shù)的值；（3）配方后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得x和y的值，進(jìn)行計(jì)算即可；（4）利用完全平方公式把原式變形，根據(jù)“完美數(shù)”的定義證明結(jié)論．【解答】解：（1）∵41是“完美數(shù)”，∴41＝52+42；故答案為：41＝52+42（2）∵x2﹣8x+9＝（x﹣4）2﹣7，又（x﹣m）2+n（m、n為常數(shù)），∴m＝4，n＝﹣7，∴mn＝﹣28；故答案為：﹣28；（3）x2+y2﹣4x+2y+5＝0，∴x2﹣4x+4+（y2+2y+1）＝0，∴（x﹣2）2+（y+1）2＝0，∴x﹣2＝0，y+1＝0，∴x＝2，y＝﹣1，∴x+y＝2﹣1＝1；（4）當(dāng)k＝13時(shí)，S是完美數(shù)，理由如下：S＝x2+4y2+4x﹣12y+13＝x2+4x+4+4y2﹣12y+9＝（x+2）2+（2y﹣3）2，∵x，y是整數(shù)，∴x+2，2y﹣3也是整數(shù)，∴S是一個(gè)“完美數(shù)”．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是配方法的應(yīng)用，掌握完全平方公式、偶次方的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．23．（2023春?南山區(qū)期末）【閱讀理解】材料一：數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要的思想方法，借助形的幾何直觀(guān)性，可以幫助理解數(shù)之間的某種關(guān)系．問(wèn)題1：請(qǐng)寫(xiě)出圖1，圖2陰影部分的面積分別能解釋的乘法公式．圖1：（a+b）2＝a2+2ab+b2，圖2：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；材料二：對(duì)于代數(shù)式，不同的表達(dá)形式能表現(xiàn)出它的不同性質(zhì)．（1）例如代數(shù)式A＝x2﹣4x+5，若將其寫(xiě)成A＝（x﹣2）2+1的形式，因?yàn)椴徽搙取何值，（x﹣2）2總是非負(fù)數(shù)，即（x﹣2）2≥0．所以（x﹣2）2+1≥1．所以當(dāng)x＝2時(shí)，A有最小值，最小值是1．問(wèn)題2：根據(jù)上述例題材料，請(qǐng)求代數(shù)式B＝x2﹣2x+2的最小值．（2）若將代數(shù)式A寫(xiě)成A＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+2的形式，就能與代數(shù)式B＝x2﹣2x+2建立聯(lián)系，下面我們改變x的值，研究一下A，B兩個(gè)代數(shù)式取值的規(guī)律：x﹣2﹣10123B＝x2﹣2x+21052125A＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+21710P212問(wèn)題3：①上表中p的值是5；②觀(guān)察表格可以發(fā)現(xiàn)；若x＝m時(shí)，B＝x2﹣2x+2＝n，則x＝m+1時(shí)，A＝x2﹣4x+5＝n．我們把這種現(xiàn)象稱(chēng)為代數(shù)式A參照代數(shù)式B取值延后，此時(shí)延后值為1．若代數(shù)式D參照代數(shù)式B取值延后，相應(yīng)的延后值為2，則代數(shù)式D為x2﹣6x+10．【答案】問(wèn)題1：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；問(wèn)題2：1；問(wèn)題3：①5；②x2﹣6x+10．【分析】問(wèn)題1：根據(jù)正方形的面積計(jì)算公式，解決問(wèn)題；問(wèn)題2：按照題中給出例題進(jìn)行配方，然后利用（x﹣1）2≥0，即可推出（x﹣1）2+1≥1，推出此式子存在最小值1；問(wèn)題3：①代入計(jì)算即可求解；②根據(jù)題意，延后值為2，改為（x﹣2）2﹣2（x﹣2）+2，再化簡(jiǎn)即可．【解答】解：?jiǎn)栴}1：圖1：（a+b）2＝a2+2ab+b2，圖2：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．故答案為：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；問(wèn)題2：B＝x2﹣2x+2＝（x2﹣2x+1）+1＝（x﹣1）2+1，因?yàn)椋▁﹣1）2≥0，所以（x﹣1）2+1≥1，當(dāng)x＝1時(shí)，B有最小值，最小值是1．故答案為：1；問(wèn)題3：①當(dāng)x＝0時(shí)，p＝（0﹣1）2﹣2×（0﹣1）+2＝1+2+2＝5．故答案為：5；②D＝（x﹣2）2﹣2（x﹣2）+2＝x2﹣4x+4﹣2x+4+2＝x2﹣6x+10．故答案為：x2﹣6x+10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法的應(yīng)用、解一元一次不等式和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)；理解題意，能夠準(zhǔn)確地列出代數(shù)式和不等式，并進(jìn)行求解即可．24．（2023春?禪城區(qū)月考）閱讀下面的解答過(guò)程，求y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8＝y(tǒng)2+4y+4﹣4+8＝（y+2）2+4≥4，∵（y+2）2≥0即（y+2）2的最小值為0，∴y2+4y+8的最小值為4．仿照上面的解答過(guò)程，求m2+m+4的最小值和4﹣x2+2x的最大值．【答案】m2+m+4的最小值是154；4﹣x2+2x的最大值為5【分析】（1）多項(xiàng)式配方后，根據(jù)完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；（2）多項(xiàng)式配方后，根據(jù)完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值．【解答】解：m2+m+4＝（m+12）2∵（m+12）2≥∴（m+12）2則m2+m+4的最小值是1544﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+5，∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣（x﹣1）2+5≤5，則4﹣x2+2x的最大值為5．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了配方法的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．25．（2023春?建鄴區(qū)校級(jí)期末）已知：三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c（a＜b＜c）．求證：a+（1）如下的框圖表示推導(dǎo)該結(jié)論的一種思路，結(jié)合題意，請(qǐng)?zhí)顚?xiě)其中的空格．（2）為探討該結(jié)論的其他證明方法，老師提供了以下幾種思路，請(qǐng)選擇其中一種思路進(jìn)行證明．思路①利用a+b＞c，a=(a)2，b思路②利用a+b＞c，使用平方差公式，?思路③利用a+b＞c，?【答案】（1）a+b+2ab，②a+b，③＞；（2）見(jiàn)解答．【分析】（1）根據(jù)完全平方公式計(jì)算求解；（2）根據(jù)完全平方公式計(jì)算求解．【解答】解：（1）①a+b+2ab，②a+b，③＞；（2）選擇①：由a+b＞c，且a，b，c＞0，得(a配方，得(a)2+2?a?b+(易得(a)2+2?即(a易得a+選擇②：由a+b＞c，得a＞c﹣b，即(a故(a易知a＜所以a＞c-【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法的應(yīng)用，掌握完全平方公式及二次根式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．26．（2023春?淮北月考）先閱讀，后解題．已知m2+2m+n2﹣6n+10＝0，求m和n的值．解：等式可變形為（m2+2m+1）+（n2﹣6n+9）＝0．即（m+1）2+（n﹣3）2＝0．∵（m+1）2≥0，（n﹣3）2≥0，∴m+1＝0，n﹣3＝0，∴m＝﹣1，n＝3．像這樣將代數(shù)式進(jìn)行恒等變形，使代數(shù)式中出現(xiàn)完全平方式的方法叫作“配方法”．請(qǐng)你利用配方法，解決下列問(wèn)題：（1）已知a，b是長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)與寬，滿(mǎn)足a2+b2﹣8a﹣6b+25＝0，則長(zhǎng)方形ABCD的面積是12；（2）求代數(shù)式a2+4b2+4ab﹣4a﹣8b+7的最小值，并求出此時(shí)a，b滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系；（3）請(qǐng)比較多項(xiàng)式x2+3x﹣4與2x2+2x﹣3的大小，并說(shuō)明理由．【答案】（1）12；（2）當(dāng)a+2b﹣2＝0時(shí)，代數(shù)式a2+4b2+4ab﹣4a﹣8b+7有最小值，最小值為3；（3）2x2+2x﹣3大于x2+3x﹣4．【分析】（1）利用“配方法”求出a，b的值即可；（2）把代數(shù)式利用“配方法”變形，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）先求兩個(gè)多項(xiàng)式的差，再用“配方法”比較大小即可．【解答】解：（1）a2+b2﹣8a﹣6b+25＝0等式可變形為（a2﹣8a+16）+（b2﹣6b+9）＝0，即（a﹣4）2+（b﹣3）2＝0，∵（a﹣4）2≥0，（b﹣3）2≥0，∴a﹣4＝0，b﹣3＝0，∴a＝4，b＝3，長(zhǎng)方形ABCD的面積為3×4＝12；故答案為：12．（2）a2+4b2+4ab﹣4a﹣8b+7，原式可變形為（a2+4ab+4b2）﹣（4a+8b）+7，（a+2b）2﹣4（a+2b）+4+3，即（a+2b﹣2）2+3，∵（a+2b﹣2）2≥0，∴當(dāng)a+2b﹣2＝0時(shí)，代數(shù)式a2+4b2+4ab﹣4a﹣8b+7有最小值，最小值為3．（3）2x2+2x﹣3﹣（x2+3x﹣4），＝2x2+2x﹣3﹣x2﹣3x+4，＝x2﹣x+1，=(x-所以，2x2+2x﹣3大于x2+3x﹣4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的運(yùn)算和配方法，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用配方法對(duì)整式進(jìn)行變形，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解．27．（2023春?順德區(qū)校級(jí)期中）（1）若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：因?yàn)閙2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，所以（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0由此，可求出m＝4；n＝4；根據(jù)上面的觀(guān)察，探究下面問(wèn)題：（2）x2+4xy+5y2+2-22【答案】（1）4，4；（2）-3【分析】（1）先把原式變形為（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，然后利用偶次方的非負(fù)性進(jìn)行求解即可；（2）仿照（1）把原式變形為(x+2y)2+(y-2)【解答】解：（1）∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∵（m﹣n）2≥0，（n﹣4）2≥0，∴（m﹣n）2＝（n﹣4）2＝0∴m﹣n＝0，n﹣4＝0，∴m＝n＝4，故答案為：4，4；（2）∵x2∴(x∴(x+2y)2∵(x+2y)2∴(x+2y)2∴x+2y=y-∴x=-∴2x+y=-【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了配方法的運(yùn)用，偶次方的非負(fù)性，二次根式的加法等等，熟知配方法是解題的關(guān)鍵．28．（2023春?江都區(qū)月考）【閱讀材料】配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指將一個(gè)式子的某一部分通過(guò)恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來(lái)解決一些問(wèn)題．我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成a2+b2（a、b是整數(shù)）的形式，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”．理由：因?yàn)?＝22+12，所以5是“完美數(shù)”．【解決問(wèn)題】（1）數(shù)11不是“完美數(shù)”（填“是”或“不是”）；數(shù)53是“完美數(shù)”（填“是”或“不是”）；【探究問(wèn)題】（2）已知x2+y2﹣4x+2y+5＝0，則x+y＝1；【拓展提升】（3）已知S＝2x2+y2+2xy+12x+k（x、y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的k值，并說(shuō)明理由．【答案】（1）不是，是；（2）1；（3）當(dāng)k＝36時(shí)，S為“完美數(shù)”，理由見(jiàn)解答．【分析】（1）根據(jù)“完美數(shù)”的定義即可求解；（2）已知等式利用完全平方公式配方后，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x與y的值，即可求出x+y的值；（3）根據(jù)S為“完美數(shù)”，利用完全平方公式配方，確定出k的值即可．【解答】解：（1）數(shù)11不是“完美數(shù)”；53＝22+72，數(shù)53是“完美數(shù)”．故答案為：不是，是；（2）已知等式變形得：（x2﹣4x+4）+（y2+2y+1）＝0，即（x﹣2）2+（y+1）2＝0，∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，∴x﹣2＝0，y+1＝0，解得：x＝2，y＝﹣1，則x+y＝2﹣1＝1．故答案為：1；（3）當(dāng)k＝36時(shí)，S為“完美數(shù)”，理由如下：S＝2x2+y2+2xy+12x+k＝（x2+12x+k）+（y2+2xy+x2）＝（x2+12x+k）+（y+x）2，∵S是完美數(shù)，∴x2+12x+k是完全平方式，∴k＝36．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了配方法的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．29．（2023春?古田縣期中）配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指將一個(gè)式子的某一部分通過(guò)恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來(lái)解決一些問(wèn)題．我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成a2+b2（a、b是整數(shù)）的形式，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”．理由：因?yàn)?＝22+12，所以5是“完美數(shù)”．【解決問(wèn)題】：（1）已知29是“完美數(shù)”，請(qǐng)將它寫(xiě)成a2+b2（a、b是整數(shù)）的形式．（2）若x2﹣6x+5可配方成（x﹣m）2+n（m、n為常數(shù)），則mn＝﹣12．【探究問(wèn)題】：（3）已知x2+y2﹣2x+4y+5＝0，求x+y的值；（4）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（xx、y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的一個(gè)k值，并說(shuō)明理由．【答案】（1）29＝52+22；（2）﹣12；（3）﹣1；（4）k＝13，理由見(jiàn)解析．【分析】解決問(wèn)題：（1）根據(jù)“完美數(shù)”的定義判斷即可；（2）利用配方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后求得對(duì)應(yīng)系數(shù)的值；探究問(wèn)題：（1）配方后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得x和y的值，進(jìn)行計(jì)算即可；（2）利用完全平方公式把原式變形，根據(jù)“完美數(shù)”的定義證明結(jié)論．【解答】解：解決問(wèn)題：（1）∵29是“完美數(shù)，∴29＝52+22；（2）∵x2﹣6x+5＝（x2﹣6x+9）﹣4＝（x﹣3）2﹣4，又x2﹣6x+5＝（x﹣m）2+n，∴m＝3，n＝﹣4，∴mn＝﹣12；故答案為：﹣12；探究問(wèn)題：（3）x2+y2﹣2x+4y+5＝0，x2﹣2x+1+（y2+4y+4）＝0，（x﹣1）2+（y+2）2＝0，∴x﹣1＝0，y+2＝0，∴x＝1，y＝﹣2，∴x+y＝1﹣2＝﹣1；（4）當(dāng)k＝13時(shí)，S是完美數(shù)，理由如下：S＝x2+4y2+4x﹣12y+13＝x2+4x+4+4y2﹣12y+9＝（x+2）2+（2y﹣3）2，∵x，y是整數(shù)，∴x+2，2y﹣3也是整數(shù)，∴S是一個(gè)“完美數(shù)”．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是配方法的應(yīng)用，掌握完全平方公式、偶次方的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．30．（2023春?溫江區(qū)校級(jí)期中）我們定義一種新的運(yùn)算“?”；對(duì)于兩個(gè)數(shù)進(jìn)行“?”運(yùn)算時(shí)，同號(hào)相乘，異號(hào)相除，0與任何數(shù)進(jìn)行“?”運(yùn)算，結(jié)果為0．例如：（+5）?（+4）＝+20，（+6）?（﹣3）＝﹣2，（+7）?0＝0．（1）（﹣5）?[3?（﹣10）]＝32（2）對(duì)于任意有理數(shù)a，b，計(jì)算：（a2+2）?b2；（3）比較大小；2x2﹣4x+3＞0（填“＞”或“＜”）；若x＞0，且（2x3﹣4x2+4x）?（﹣2x）＝﹣1，求（2x2﹣4x+3）?（x+1）+（x2+7x）?（﹣x）的值；（4）在（3）的條件下，求代數(shù)式x+x2+x4+x8+…x512+1【答案】（1）32（2）當(dāng)b＝0時(shí)，（a2+2）?b2＝0，當(dāng)b＞0時(shí)，（a2+2）?b2＝b2（a2+2）＝a2b2+2b2，當(dāng)b＜0時(shí)，（a2+2）?b2=a（3）＞，﹣6；（4）20．【分析】（1）根據(jù)新定義運(yùn)算即可得出結(jié)論，（2）先判斷（a2+2）與b2的符號(hào)再根據(jù)定義計(jì)算即可得出結(jié)論，（3）利用配方法將2x2﹣4x+3配方可比較大小，最后根據(jù)新定義將已知式（2x3﹣4x2+4x）?（﹣2x）＝﹣1，化簡(jiǎn)得x＝1，代入所求式可得結(jié)論；（4）將x＝1代入即可得出結(jié)論，【解答】解：（1）∵3?（﹣10）=-∴（﹣5）?[3?（﹣10）]＝（﹣5）?（-3=3故答案為：32（2）∵a2+2＞0，當(dāng)b＝0時(shí)，（a2+2）?b2＝0，當(dāng)b＞0時(shí)，（a2+2）?b2＝b2（a2+2）＝a2b2+2b2，當(dāng)b＜0時(shí)，（a2+2）?b2=a（3）∵2x2﹣4x+3＝2x2﹣4x+2+1＝2（x﹣1）2+1，∴2x2﹣4x+3＞0，若x＞0時(shí)，2x3﹣4x2+4x＝2x（x2﹣2x+2）＝2x[（x﹣1）2+1]＞0，﹣2x＜0，∴（2x3﹣4x2+4x）?（﹣2x）=2x(x∴x2﹣2x+2＝1，∴x1＝x2＝1，∴（2x2﹣4x+3）?（x+1）+（x2+7x）?（﹣x）＝1?2+8?（﹣1）＝2﹣8＝﹣6；故答案為：1；（4）當(dāng)x＝1時(shí)，原式＝10+10＝20．【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，配方法的應(yīng)用，新定義的理解和運(yùn)用等知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是新定義的理解和運(yùn)用．31．（2023春?懷寧縣期中）材料閱讀：若一個(gè)整數(shù)能表示成a2+b2（a，b是整數(shù)）的形式，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如：因?yàn)?3＝32+22，所以13是“完美數(shù)”；再如：因?yàn)閍2+2ab+2b2＝（a+b）2+b2（a，b是整數(shù)），所以a2+2ab+2b2是“完美數(shù)”．根據(jù)上面的材料，解決下列問(wèn)題：（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出一個(gè)小于10的“完美數(shù)”，這個(gè)“完美數(shù)”是2．（2）試判斷（x+3y）（x+5y）+2y2（x，y是整數(shù)）是否為“完美數(shù)”，并說(shuō)明理由．（3）已知M＝x2+4y2﹣6x+12y+k（x，y是整數(shù)，k為常數(shù)），要使M為“完美數(shù)”，試求出符合條件的k值，并說(shuō)明理由．【答案】（1）2（答案不唯一）；（2）是完美數(shù)，見(jiàn)解析；（3）18，見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)新定義，判斷，并寫(xiě)出一個(gè)小于10的“完美數(shù)”即可求解；（2）根據(jù)新定義根據(jù)多項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算，然后因式分解成兩個(gè)平方和的形式即可求解；（3）先運(yùn)用完全平方公式將M進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)“完美數(shù)”的定義計(jì)算k﹣18＝0即可．【解答】解：（1）∵2＝12+12，∴2是“完美數(shù)”，故答案為：2（答案不唯一）．（2）（x+3y）（x+5y）+2y2＝x2+8xy+17y2＝x2+8xy+16y2+y2＝（x+4y）2+y2，∴（x+3y）（x+5y）+2y2是“完美數(shù)”．（3）∵M(jìn)＝x2+4y2﹣6x+12y+k＝（x2﹣6x+9）+（4y2+12y+9）+k﹣18＝（x﹣3）2+（2y+3）2+k﹣18，∵M(jìn)為“完美數(shù)”，∴k﹣18＝0，∴k＝18．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．32．（2023?桐鄉(xiāng)市一模）設(shè)x，y都是實(shí)數(shù)，請(qǐng)?zhí)骄肯铝袉?wèn)題，（1）嘗試：①當(dāng)x＝﹣2，y＝1時(shí)，∵x2+y2＝5，2xy＝﹣4，∴x2+y2＞2xy．②當(dāng)x＝1，y＝2時(shí)，∵x2+y2＝5，2xy＝4，∴x2+y2＞2xy．③當(dāng)x＝2，y＝2.5時(shí)，∵x2+y2＝10.25，2xy＝10，∴x2+y2＞2xy．④當(dāng)x＝3，y＝3時(shí)，∵x2+y2＝18，2xy＝18，∴x2+y2＝2xy．（2）歸納：x2+y2與2xy有怎樣的大小關(guān)系？試說(shuō)明理由．（3）運(yùn)用：求代數(shù)式x2【答案】（1）＝；（2）x2+y2≥2xy，理由見(jiàn)解析；（3）代數(shù)式x2+4【分析】（1）求得x2+y2＝18，2xy＝18，得到x2+y2＝2xy；（2）結(jié)合完全平方的非負(fù)性即可解答；（3）利用歸納的結(jié)論即可求解．【解答】解：（1）當(dāng)x＝3，y＝3時(shí)，∵x2+y2＝18，2xy＝18，∴x2+y2＝2xy，故答案為：＝；（2）x2+y2≥2xy，理由如下，∵x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2≥0，∴x2+y2≥2xy；（3）∵x2+y2≥2xy，x2+4x2=（x-∵（x-2x）2≥∴代數(shù)式x2+4【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法的應(yīng)用，利用完全平方非負(fù)數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．33．（2022秋?開(kāi)福區(qū)校級(jí)期末）閱讀下面內(nèi)容：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了《二次根式》和《乘法公式》，聰明的你可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，∵(a-b)2=a-2ab（1）當(dāng)x＞0時(shí)，x+1x的最小值為2；當(dāng)x＜0時(shí)，x+1x的最大值為（2）當(dāng)x＞0時(shí)，求y=x（3）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，△AOB、△COD的面積分別為4和9，求四邊形ABCD面積的最小值．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）當(dāng)x＞0時(shí)，按照公式a+b≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)）來(lái)計(jì)算即可；x＜0時(shí)，由于﹣x＞0，-1x＞0，則也可以按照公式（2）將y=x2+3x+16（3）設(shè)S△BOC＝x，已知S△AOB＝4，S△COD＝9，則由等高三角形可知：S△BOC：S△COD＝S△AOB：S△AOD，用含x的式子表示出S△AOD，四邊形ABCD的面積用含x的代數(shù)式表示出來(lái)，再按照題中所給公式求得最小值，加上常數(shù)即可．【解答】解：（1）當(dāng)x＞0時(shí)，x+1x≥2當(dāng)x＜0時(shí)，x+1x=-（﹣∵﹣x-1x≥∴﹣（﹣x-1x∴當(dāng)x＞0時(shí)，x+1x的最小值為2；當(dāng)x＜0時(shí)，x+1故答案為：2；﹣2；（2）由y=x∵x＞0，∴y=x+16當(dāng)x=16x時(shí)，最小值為（3）設(shè)S△BOC＝x，已知S△AOB＝4，S△COD＝9則由等高三角形可知：S△BOC：S△COD＝S△AOB：S△AOD∴x：9＝4：S△AOD∴：S△AOD=∴四邊形ABCD面積＝4+9+x+36x≥當(dāng)且僅當(dāng)x＝6時(shí)取等號(hào)，即四邊形ABCD面積的最小值為25．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法在最值問(wèn)題中的應(yīng)用，同時(shí)本題還考查了分式化簡(jiǎn)和等高三角形的性質(zhì)，本題難度中等略大，屬于中檔題．34．（2023春?蜀山區(qū)校級(jí)期中）閱讀下面內(nèi)容：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了《二次根式》和《乘法公式》，聰明的你可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，∵(a-b)2=a-2ab例如：當(dāng)a＞0時(shí)，求a+16解：∵a＞0，∴a+16a≥2a?16a，又∵2a?∴a+16a的最小值為請(qǐng)利用上述結(jié)論解決以下問(wèn)題：（1）當(dāng)x＞0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝3時(shí)，x+9x有最小值為6（2）當(dāng)m＞0時(shí)，求m2（3）請(qǐng)解答以下問(wèn)題：如圖所示，某園藝公司準(zhǔn)備圍建一個(gè)矩形花圃，其中一邊靠墻（墻足夠長(zhǎng)），另外三邊用籬笆圍成，設(shè)平行于墻的一邊長(zhǎng)為x米，若要圍成面積為450平方米的花圃，需要用的籬笆最少是多少米？【答案】（1）3，6；（2）46（3）60米．【分析】（1）根據(jù)例題中的公式計(jì)算即可；（2）先化簡(jiǎn)，再運(yùn)用公式計(jì)算即可；（3）由題意得籬笆的長(zhǎng)為x+450【解答】解：（1）∵x＞0，∴x+9又∵2x?∴x+9x≥3，當(dāng)且僅當(dāng)x∴x+9x的最小值為故答案為：3，6；（2）m2∵m＞0，∴m+24又∵2m?∴m+24m≥4∴m+24m的最小值為∴m-5+24即m2-5m+24m（3）根據(jù)題意可得，垂直于墻的一邊長(zhǎng)為450x米，則籬笆的長(zhǎng)為x+∵x＞0，∴x+900又∵2x?∴x+900x≥60，當(dāng)且僅當(dāng)x∴x+900x的最小值為即需要用的籬笆最少是60米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的性質(zhì)，理解題中例題解法，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．35．（2022秋?高州市期末）我們知道：x2﹣6x＝（x2﹣6x+9）﹣9＝（x﹣3）2﹣9；﹣x2+10x＝﹣（x2﹣10x+25）+25＝﹣（x﹣5）2+25，這一種方法稱(chēng)為配方法，利用配方法請(qǐng)解以下各題：（1）探究：當(dāng)a取不同的實(shí)數(shù)時(shí)，求代數(shù)式a2﹣4a的最小值．（2）應(yīng)用：如圖．已知線(xiàn)段AB＝6，M是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)AM＝x，以AM為一邊作正方形AMND，再以MB、MN為一組鄰邊作長(zhǎng)方形MBCN．問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)M在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，長(zhǎng)方形MBCN的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值；否則請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）仿照題干，配方后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定出結(jié)果即可；（2）設(shè)長(zhǎng)方形MBCN的面積為S，根據(jù)題意列出S與x的關(guān)系式，配方后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）∵a2﹣4a＝a2﹣4a+4﹣4＝（a﹣2）2﹣4≥﹣4，∴當(dāng)a＝2時(shí)，代數(shù)式a2﹣4a存在最小值為﹣4；（2）設(shè)長(zhǎng)方形MBCN的面積為S，根據(jù)題意得：S＝x（6﹣x）＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9≤9，則x＝3時(shí)，S存在最大值，最大值為9．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了配方法的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．36．（2022秋?高陽(yáng)縣校級(jí)期末）閱讀下列材料，并利用材料中使用的方法解決問(wèn)題：在學(xué)習(xí)完全平方公式時(shí)，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：同學(xué)們，你們能判斷代數(shù)式a2﹣2a+2的最小值嗎？小明作出了如下的回答：在老師所給的代數(shù)式中，隱藏著一個(gè)完全平方式，我可以把它找出來(lái)：a2﹣2a+2＝a2﹣2?a?1+12+1＝（a﹣1）2+1，因?yàn)橥耆椒绞绞欠秦?fù)的，所以它一定大于等于0，余下的1為常數(shù)，所以有a2﹣2a+2＝（a﹣1）2+1≥1，所以a2﹣2a+2的最小值是1，當(dāng)且僅當(dāng)a﹣1＝0即a＝1時(shí)取得最小值，其中，我們將代數(shù)式a2﹣2a+2改寫(xiě)為一個(gè)含有完全平方式的代數(shù)式的方法稱(chēng)為配方，利用配方求解下列問(wèn)題：（1）記S＝（x+3）2+4，求S的最小值，并說(shuō)明x取何值時(shí)S最?。唬?）已知a2+b2+6a﹣8b+25＝0，求a、b的值；（3）記T＝a2+2ab+3b2+4b+5，求T的最小值，并說(shuō)明a、b取何值時(shí)T最小．【答案】（1）x＝﹣3時(shí)，S最小＝4；（2）a＝﹣3，b＝4；（3）當(dāng)a＝1，b＝﹣1時(shí)，T最?。?．【分析】（1）根據(jù)偶次方的非負(fù)性可知，當(dāng)x+3＝0時(shí)，S取得最小值；（2）把原式通過(guò)配方變?yōu)椋╝+3）2+（b﹣4）2＝0，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）把原式通過(guò)配方變?yōu)門(mén)＝（a+b）2+2（b+1）2+3，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解即可．【解答】解：（1）∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2+4≥4，∴x+3＝0時(shí)，S取得最小值4，即x＝﹣3時(shí)，S最小＝4；（2）∵a2+b2+6a﹣8b+25＝0，∴（a+3）2+（b﹣4）2＝0，∴a+3＝0，b﹣4＝0，∴a＝﹣3，b＝4；（3）T＝a2+2ab+3b2+4b+5＝（a+b）2+2（b+1）2+3，∴當(dāng)a+b＝0，b+1＝0時(shí)，T取得最小值3，即當(dāng)a＝1，b＝﹣1時(shí)，T最小＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2是解答本題的關(guān)鍵．37．（2022秋?離石區(qū)期末）閱讀材料：2021年7月24日，中共中央辦公廳、國(guó)務(wù)院辦公廳印發(fā)《關(guān)于進(jìn)一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見(jiàn)》，要求義務(wù)教育階段學(xué)生要逐步養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高自主學(xué)習(xí)能力．請(qǐng)自主研讀下列例題，理解例題中解決問(wèn)題的思想、方法，然后學(xué)習(xí)、借鑒這些思想、方法解答下列三個(gè)問(wèn)題：例題：若m2+2mn+2n2﹣4n+4＝0，求m和n的值；解：由題意得：（m2+2mn+n2）+（n2﹣4n+4）＝0，∴（m+n）2+（n﹣2）2＝0，∴m+n=0n-2=0，解得m=問(wèn)題解決：（1）若x2+2xy+2y2﹣6y+9＝0，求x和y的值；（2）在（1）的條件下，求yx的值；（3）若a，b