（滬教版2020選修一）2022年上海高二數(shù)學(xué)同步講義-第4章 數(shù)列（壓軸題）（教師版）

第4章數(shù)列壓軸題專練

能力提升

一、單選題

1.（2020?上海市七寶中學(xué)高一期中）有一個三人報數(shù)游戲：首先A報數(shù)字1,然后B報兩

個數(shù)字2、3,接下來C報三個數(shù)字4、5、6,然后輪到A報四個數(shù)字7、8、9、10,依次循

環(huán)，直到報出10000,則A報出的第2020個數(shù)字為（）

A.5979B.5980C.5981D.以上都不對

【答案】B

【分析】首先分析出A第〃次報數(shù)的個數(shù)，得到A第〃次報完數(shù)后總共報數(shù)的個數(shù)，計算出

A是第”。次報數(shù)中會報到第2020個數(shù)字，再計算當(dāng)A第“。次報數(shù)時，3人總的報數(shù)次數(shù)加，

再推算出此時報數(shù)的最后一個數(shù)黑，再推出A報出的第2020個數(shù)字.

【詳解】由題可得A第"（〃eM）次報數(shù)的個數(shù)為3”-2,

則A第"次報完數(shù)后總共報數(shù)的個數(shù)為毒=4+?-2）］=吟』，

再代入正整數(shù)〃,使北22020,"的最小值為37,得代=2035,

而A第37次報時，3人總共報數(shù)為36x3+1=109次，

當(dāng)A第109次報完數(shù)3人總的報數(shù)個數(shù)為靠=1+2+3+…+109=1嗎升，=5995,

即A報出的第2035個數(shù)字為5995,

故A報;II的第2020個數(shù)字為5980.

故選：B.

【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式和前"項和公式，主要考查了學(xué)生的觀察分析能

力，邏輯推理能力，難度較大.

2.（2020?上海?高三專題練習(xí)）如圖，已知函數(shù)y=/（x）與丫=》的圖象有唯一交點

（1,1），無窮數(shù)列｛4｝（"eM）滿足點Pn&,%）（"eM）均落在y=/（x）的圖象上，已知

"（3,0）,g（O,2）,有下列兩個命題：⑴43=1；⑵｛%/單調(diào)遞減,｛%｝單調(diào)遞

增；以下選項正確的是（）

A.(1)是真命題，(2)是假命題B.兩個都是真命題

C.(1)是假命題，(2)是真命題D.兩個都是假命題

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)y=/(x)的圖象和/⑴=1可得出?！钡娜≈捣秶俑鶕?jù)函數(shù)y=/(x)的單

調(diào)性判斷｛%-｝和｛/“｝的單調(diào)性，結(jié)合數(shù)列各項的取值范圍和單調(diào)性可得數(shù)列的極限值.

【詳解】?.?4用=/(%)，當(dāng)0<%<1時，由圖象可知，當(dāng)1<%<3時，

?|=3,W=°，％=2,「.0</<1,1<?5<2,0<?6<1,1<?7<2,…，

因為函數(shù)y=/(%)在區(qū)間(0,3)卜一單調(diào)遞減，

因為。<4=2,.?./(%)>/(%),即4>%，/(?6)</(?4)>即％<%，/(O7)>〃?5)，

即4>4，…，

以此類推，可得弓>%>%>%>…，數(shù)列｛%,/單調(diào)遞減，

叼<4<…，數(shù)列｛%,｝單調(diào)遞增，命題(2)正確；

當(dāng)〃22時，1<?2?.,<2,且數(shù)列｛%1單調(diào)遞減，｛%,｝單調(diào)遞增，

所以，：吧4=1，命題(1)正確.

故選：B.

【點睛】本題考查數(shù)列單調(diào)性的判斷以及數(shù)列極限的求解，考查推理能力，屬于難題.

3.(2020?上海市復(fù)興高級中學(xué)高三期中)已知數(shù)列｛4｝滿足：4=0,

%=ln(e""+l)-a,(〃eN"),前”項和為S“(參考數(shù)據(jù)：In2Ho.693,ln3?1.099,則下列選

項錯誤的是().

A.｛%,"是單調(diào)遞增數(shù)列，｛的“｝是單調(diào)遞減數(shù)列

B.q,+a“+|41n3

C.^2020<670

D.02”-14生”

【答案】c

【分析】設(shè)e%=d，則有瓦"=鋁，"+2=華月，2%="+1，構(gòu)建g(x)=＞，求

2b“+lx+1

導(dǎo)分析可知導(dǎo)函數(shù)恒大于零，即數(shù)列｛么“-』，也“｝都是單調(diào)數(shù)列，分別判定4(仇，仇＞”,

即得單調(diào)性，數(shù)列與他“｝的單調(diào)性一致，可判定A選項正確；B、C選項利用分析法證明,

可知B正確，C錯誤；D選項利用數(shù)學(xué)歸納法證分兩邊證%I(當(dāng)叱＜仇"，即可證得

a2n-\<a2n-

【詳解】??,4z=lnd"+l)—a〃(〃￡N*),q=。，

?二生=ln(e°+1)-O=ln2,ai=In3-ln2=ln^,a4=In-In-1=In,

設(shè)*=〃,，b?>0,=等=修，則“廣鏟=貂，

e°n°n+\。"+1

令g(x)=",則g'(x)=K、>0,.?.g(x)單調(diào)遞增，

b-b

將(限2也)，如也+2)看作是函數(shù)y=g(x)圖象上兩點，則籍L>°，

2.2

...數(shù)列｛%",也”｝都是單調(diào)數(shù)列，

4=*=1,同理仇=2,by=~,d=：,即〃<打，%〉瓦,

；.｛%｝單調(diào)遞增，酎,｝單調(diào)遞減,而數(shù)列&｝與血)的單調(diào)性一致,

是單調(diào)遞增數(shù)列，｛外,｝是單調(diào)遞減數(shù)列，A正確；

,b+1

由*=b,得見=Inbn,bn+]=-^―

要證4+4+產(chǎn)lnd+ln%|=lnS"%JGn3,即證。也“43,即0+143,即證042,

也即要證維生42,等價于白-21,

Dn-\

顯然〃=2時，”=1,“23時，b._、=I#1>1,故。.121成立，

"”-2

...不等式4,+。向41>13成立.B正確；

欲證a?+an+i+an+2>ln3,只需證In勿+Inb?+t+lnbn+2>ln3,即\n(b?bn+lbn+2)>\n3

.h+12Z?+1

即她“"223=b」M了==2〃,+123o221,顯然成立，

1998

故4,+%+1+4+22ln3>1,所以S2020>S1998>^-xl=666,

故c選項錯誤;

欲證%I<外,,，因單調(diào)性一致則只需證%I<&,只需證為1T

/71771K_?2〃T+l_c11_占+1

因為4=1<竺，若%母,則八=后幣"=2-.<2-忑訪=??；

2

位1/71Z,_次〃+l_cI、。I_石+1

又因為仇=2>與1，若&>鋁，則邑+2=無不=2-石〉2-西二二三，

由數(shù)學(xué)歸納法有力-<<b2n，則?2?-!<?2?成立

故D選項正確。

故選：C

【點睛】本題考查二階線性數(shù)列的綜合問題，涉及單調(diào)數(shù)列的證明，還考查了分析法證明與

數(shù)學(xué)歸納法的證明.旨在考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸能力，邏輯推

理能力，抽象與概括能力.屬于難題.

4.（2020?上海?華師大二附中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列｛叫滿足4M=*-3a,,+4,

4=3,則下列選項錯誤的是（）

A.數(shù)列｛q｝單調(diào)遞增

B.不存在正數(shù)M,使得恒成立

「"11U

C.lim----+…H-----=1

D.。100=101

【答案】D

【分析】利用數(shù)列單調(diào)性的定義可判斷A選項的正誤；利用數(shù)列｛,｝的單調(diào)性可判斷B選項的

止誤；推導(dǎo)出一\+…一―二，利用數(shù)列極限的運算性質(zhì)可判斷C選項的正

4_1an-\ax-2.tz?+1-2

誤；計算出數(shù)列｛q｝前5項，利用數(shù)列｛4,,｝的單調(diào)性可判斷D選項的正誤.

【詳解】對于A選項，-a“=a；-4a,,+4=（a“-2）2,

q=3>2,則4一4=（《一2）2>0,g[Ja2>a]>2,

2

a3-a2=（a2-2）>0,則/>小，以此類推可得知，對任意的〃eN*,。向>4,

所以，數(shù)列｛4｝是單調(diào)遞增數(shù)列，A選項正確；

對于B選項，由A選項可知，數(shù)列｛《,｝單調(diào)遞增，

且對任意的〃cN",。“之4=3,可知當(dāng)〃-8,%—+00,

所以，不存在正數(shù)M,使得|4卜"恒成立，B選項正確；

對于C選項，,??a.1=。：一3?！?4,/.?！?]-2=a：-3?！?2=(4-1)(?！ㄒ?),

[二]二]______1_.1_1_______1_

人a_2

n+i(a〃_])(a〃-2)an-2an-\afl-\atl-2a,<+1-2*

「…11(11)11

q一1〃“一1(4-2〃2一2)-2an+]-2)a]-2an+i-2

所以，lim1」7+...+」7]=lim]'?——=lim(l——二]=1，C選項正確；

T4-1an-\)…14-2%-2)ra?+1-2)

對于D選項，數(shù)列｛為｝滿足/”=。；-3?！?4,4=3,則%=a；-3q+4=4,

%=a；-3a,+4=8,a&=a；—3%+4=44,-a]-3a&+4=44x(44—3)+4>101,

由于數(shù)列｛4｝單調(diào)遞增，則4oo>%>101，D選項錯誤.

故選：D.

【點睛】本題考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，考查數(shù)列的單調(diào)性、極限的求解，考查分析問題和

解決問題的能力，屬于中等題.

5.(2022?上海?高三專題練習(xí))已知無窮數(shù)列｛七｝滿足4+2=|a“+「a”|(xeN*),且q=l,

出=x(xeZ),若數(shù)列｛《,｝的前2020項中有100項是0,則下列哪個不能是了的取值()

A.1147B.1148C.-1142D.-1143

【答案】B

【分析】當(dāng)xNO時，分別令x=l,2,3,L,可求出數(shù)列｛4｝的前2020項中0的個數(shù)，進而得出

規(guī)律，可求出滿足題意的》的取值；當(dāng)x<0時，分別令x=-l,-2,-3,L,可求出數(shù)列｛4｝的

前2020項中0的個數(shù)，進而得出規(guī)律，可求出滿足題意的x的取值.

【詳解】①當(dāng)X20時，

若x=0,則數(shù)列｛”,｝的各項為1,0,1,1,0,L1,0,1,L,

此時數(shù)列｛6｝為周期數(shù)列，周期為3,由2020=3x673+1,

可知數(shù)列｛4｝的前2020項中有673項為0；

若x=l，則數(shù)列乩｝的各項為U,0』,1,0,1,1,0,L,

此時數(shù)列｛《,｝為周期數(shù)列，周期為3,由2020=3x673+1,

可知數(shù)列｛4｝的前2020項中有673項為0；

若x=2,則數(shù)列｛〃,,｝的各項為1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,L,

此時數(shù)列｛/｝從第3項開始為周期數(shù)列，周期為3,

由2020=2+2018=2+3x672+2,可知數(shù)列｛%｝的前2020項中有672項為0；

若x=3,則數(shù)列｛4｝的各項為1,3,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,L,

此時數(shù)列｛4｝從第4項開始為周期數(shù)列，周期為3,

由2020=3+2017=3+3x672+1,可知數(shù)列｛4｝的前2020項中有672項為0；

若x=4,則數(shù)列｛《,｝的各項為1,4,3,1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,L,

此時數(shù)列從第6項開始為周期數(shù)列,周期為3,

由2020=5+2015=5+3x671+2,可知數(shù)列｛4｝的前2020項中有671項為0；

L

依次類推，可知當(dāng)X=2(673-100)=1146,或x=1147時，

數(shù)列｛《,｝的前2020項中有100項是0；

②當(dāng)x<0時，

若x=—1,則數(shù)列｛4｝的各項為1,一1,2,3,1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,L,

此時數(shù)列｛4｝從第7項開始為周期數(shù)列,周期為3,

由2020=6+2014=6+3x671+1,可知數(shù)列｛4｝的前2020項中有671項為0：

若x=-2,則數(shù)列｛4｝的各項為1,-2,3,5,2,3,1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,L,

此時數(shù)列從第9項開始為周期數(shù)列，周期為3,

由2020=8+2012=8+3x670+2,可知數(shù)例］｛4｝的前2020項中有670項為0；

若x=-3,則數(shù)列｛/｝的各項為1,-3,4,7,3,4,1,3,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,L,

此時數(shù)列｛4｝從第10項開始為周期數(shù)列，周期為3,

由2020=9+2011=9+3x670+1,可知數(shù)歹U｛4｝的前2020項中有670項為0；

若x=T,則數(shù)列｛4｝的各項為1,-4,5,9,4,5,1,4,3,1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,L,

此時數(shù)列｛%｝從第12項開始為周期數(shù)列，周期為3,

由2020=11+2009=11+3x669+2,可知數(shù)列｛q｝的前2020項中有669項為0；

L

依次類推，可知當(dāng)x=-2(671-100)=-1142,或x=-1143時，

數(shù)列｛4｝的前2020項中有100項是0.

綜上所述，若數(shù)列｛4｝的前2020項中有100項是0,

則X可取的值有1146,1147,-1142,-1143.

故選：B.

【點睛】本題考查無窮數(shù)列，解題的關(guān)鍵是通過條件4+2=|。向-叫卜€(wěn)武)探究數(shù)列｛4｝的性

質(zhì)，利用賦值法分別令》=1,2,3,1和》=-1,-2,-3,1,可分別求出數(shù)列｛q｝的前2020項中0的

個數(shù)，進而得出規(guī)律.考查學(xué)生的推理能力與計算求解能力，屬于難題.

12

6.(2022?上海?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛4｝滿足4=4，4M=4+生則下列

3n、J

選項正確的是()

an2021,

A.4021<“2020B.4043<〃2O2I<

2021

C.°<々cm<4043D?〃2O2i>1

【答案】B

【分析】利用數(shù)列｛%｝的單調(diào)性可判斷A選項的正誤；利用放縮法得出

-----!一=年一<一=-'("±2,"eN*),------—利用放縮法可判斷BCD選項的

44+1"%"-1〃'a?a?+1n-\n

正誤.

【詳解】由4=g>0，a.+i=a,+3("eN*)可得出出=[>0，%>0,L,

2

以此類推可知，對任意的neN*,q>0,所以，4M-q=%>0，即%>4，

n

所以，數(shù)列｛4“｝為單調(diào)遞增數(shù)列，故％⑼A錯；

2

在等式4用=%+M的兩邊同時除以。也向可得

n~

1--L-^-—_j_<4<—*___L-l

an4田="4+i=”2。，入屋]"“+%=n-+an-n(n-l)n-\n,其中〃Z2且

"]%+力n

nGN*，

“，11?1J___1_J__J_

所以，------<一不，<

%a32a.4,+in-\n

11,119,151,

累加得-a------<1一一n，所以，——>7-1+-=7+->1>貝故“2021<1.

24”4?4n

故D錯誤；

1111111

對于-------=------>----->-------=-------

22

an%+]n+ann+1，(〃+l)n〃+l'

11

所以,>1-p

4

所以，旬21>血石，故而雨<出021<1，

故選:B.

【點睛】結(jié)論點睛：幾種常見的數(shù)列放縮公式:

+nn+\

2〃-12〃+1

7.(2022?上海?高三專題練習(xí))記國為不超過實數(shù)才的最大整數(shù)，例如：⑵=2,口.5]=1,

[-0.31-1,設(shè)a為正整數(shù)，數(shù)列優(yōu)｝滿足：%現(xiàn)有下列命題:

①當(dāng)a=5時，數(shù)列*“｝的前3項依次為5,3,2；

②對數(shù)列U,｝都存在正整數(shù)k當(dāng)〃2&時.，總有玉=%；

③當(dāng)“21時，xn>Va-l；

④對某個正整數(shù)若與句*々，則

其中的真命題個數(shù)為

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

a

%+—

【分析】對?于①，根據(jù)遞推關(guān)系看”=—產(chǎn)，依次求得小為,占的值，由此判斷①正確.

對于②，利用特殊的。的值，判斷②錯誤.

對于③，首先證得用〉&-1，然后利用基本不等式證得七+]±[&]>&-】(〃€N"),由此證

對于④，由々+i之北推出女《右，結(jié)合③中怎〉G—i,得到/=[?].

53

【詳解】對于①：當(dāng)4=5時，x,=5,w==3,x,==2,故①正確;

=1,x=l,匕恒等于[4]=1；

對于②：當(dāng)。=1時，X23

當(dāng)a=2時，x,=2,x2==1,%,=—=1,

當(dāng)A22時，恒有［五］=1；

當(dāng)。=3時，%,=3,x2=2,x3=1,x4=2,x5=1,x6=2,x7=1,....,

此時數(shù)列｛/｝除第一項外，從第二項起以后的項以2為周期重復(fù)出現(xiàn),

因此不存在正整數(shù)上使得〃上火時，

總、有X”=x*,故②不正確；

對于③：在七,+-中，當(dāng)"為正整數(shù)時一，X?+-=x?+->2^,

Lxn］X"LX?JX.

當(dāng)巴不是正整數(shù)時，令-t為色的小數(shù)部分,

X”［七」x?X1t

>[4a]>\[a-I,

（>0,所以

當(dāng)"=1時，xt=a,a—(-7a—lj=a—>[a+1=

:.neN*,xn>[\[a],:.xn

x+-

對于④：當(dāng)五句24時,，所以"4、，化簡得

xk^~,即占4指，由③知%>&-l,所以々=[&]，故④正確.

xk

故選：B

【點睛】本小題主要考查新定義運算的理解和運用，考查基本不等式的運用，考查分析思考

與解決問題的能力，屬于難題.

8.（2022?上海?高三專題練習(xí)）已知｛a｝是公差為d（公0）的等差數(shù)列，若存在實數(shù)

fsinx+sinx94-sinx.+...+sinxQ=0

為，X2,如…，為滿足方程組\3..”，則用]最小值為

[4smXj+a2smx2+sinx3+...+agsinx9=25

9854

a

A.8-B.9-4-D.5-

【答案】C

【分析】把方程組中的?！岸加?和d表示，求得d的表達式，根據(jù)方程組從整體分析可知:

當(dāng)sitiX[=$由％=sinXj=sin/=-1,sin/=0,sin%usinx；=sin/=sin/=1時，d取最小值.

【詳解】解：把方程組中的。〃都用力和d表示得：

%sin%)+(4+d)sinx2+(4+2d)sin叩+…+(q+8d)sin/=25,

把sinX]+sin/+…+sin/=0代入得：

25

d=

-n..,7sin1,o-n..>根據(jù)分母結(jié)構(gòu)特點及sinX|+sin*+…+sin%=0可知：當(dāng)

sin七十/sinA.+???-t-osin

sin\=sinx2=sin=sinx4=-}fsinA^=0,sin%=sin%7=sin.%=sin/=1時，

____________25____________5

〃取最小值為=

-1-2-3+4x0+5+64-7+8-4

故選：C.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程組從整體分析得：當(dāng)

sin%=sinx2=sin&=sin/=-1,sin&=0,sin%usin』=sin/=sin/=1時，d取最小值.

二、填空題

9.（2020?上海?高三專題練習(xí)）設(shè)4=2,。"產(chǎn)二二，"="耳，〃eN",則數(shù)歹支〃｝

4+14-1

的通項公式a=

【答案】2同

【詳解】由條件得力向=且4=4,所以數(shù)列也｝是首項為

4,公比為2的等比數(shù)列，貝地=4.2"T=2"”.

10.（2018?上海?一模）已知S,,為數(shù)列｛4｝的前,項和，4=%=1，平面內(nèi)三個不共線的

向量方，礪，枇，滿足反=（4i+a“+J礪+。-可）麗,〃N2,〃eN*,若A,8,C在同一直線上，

貝I$2018=-

【答案】2；

【分析】由平面內(nèi)三個不共線的向量前，礪，反且48,C在同一直線上，可知

%+4—則數(shù)列｛叫為周期數(shù)列,

$2018=4+卬+…+%oi8=(4+%+―+%)乂336+4+%.求解艮［3可.

【詳解】?，平面內(nèi)三個不共線的向量方，礪，前且A8,C在同一直線上

??%+%+(1-4)=1,即a?,,+an+l=a?Q)

用〃+1替換上式中所有的〃，得a.+%+2=a“M②

①②兩式相加，得4+4+2+4-1+4+1=q+4川，即?！皌+?！?2=。

則《I=-“"+2,用〃+1替換a”T=-??+2中所有的〃，整理得“3=

用〃+3替換4+3=-4中所有的”，得《“+3）+3=-4+3=-（-《,）=4,,即4+6=?！?/p>

則數(shù)列｛q｝是周期為6的周期數(shù)列.

S?oi8="1+〃■>+,??+。，（）］8=（4+〃，+???+&）x336+q+a0=（1+1+0—1—1+0）x336+1+1=2

故答案為：2

【點睛】本題考查求周期數(shù)列的前"項和.屬于較難的一道題.

11.（2019?上海?復(fù)旦附中一模）已知數(shù)列｛q｝是共有k個項的有限數(shù)列，且滿足

7?

a“+i=4,-i---(n=2,—,/c-l),若q=24,a2=51,at=0,則欠=_.

%

【答案】50

【詳解】由題數(shù)列｛4｝是共有上個項的有限數(shù)列，且滿足/M=a,i-：（〃=2,…，左-1）,

n

則4+1%-414=一〃，（〃=2,..,々-1）,則

a3a2~aia\~一2,

a4a3-a3a2=-3,

a5a4-a4a3=-4,

akak-\~ak-\ak-2=-(^-1),

以上k-l各式子同向相加，將4=24嗎=51,4=0代入可得

/2-k-2450=0,/=50,k=-49(舍).

故答案為50.

12.(2018?上海市建平中學(xué)三模)已知正項數(shù)列｛4｝的前〃項和為S,,,4=1,對于任意正

整數(shù)小〃及正常數(shù)°,當(dāng)n>n<,S“-S,“=4"Sf恒成立，若存在常數(shù)cX),使得他(。-5,,)｝

為等差數(shù)列，則常數(shù)c的值為

【答案】CMdOyvl)

i-q

【分析】可令一〃-1,結(jié)合數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的通項公式和求和公式，討論。是否為

1,結(jié)合等差數(shù)列的通項公式和對數(shù)的運算性質(zhì)，可得所求結(jié)論.

【詳解】解：因為對任意正整數(shù)小例

當(dāng)〃>耐，s總成立，

所以時，令卬=〃-1,得到S-S7=g"'，S,即a=句/7=，1

當(dāng)〃=1時，也成立，

所以a=g"

當(dāng)Q—1時，Sn=〃，1時，Stt—~~宜,

1-夕

｛/g(c-S)｝為等差數(shù)列，可得少1,

lg+-^—)=Ig-^—-nlgq-/g(1-g)為等差數(shù)列，

\-q\-q1-q

即有，=";---(0<(7<l),

i-q

故答案為：c=丁匚(0<.7<1).

1-q

【點睛】本題考查由數(shù)列的遞推公式求等比數(shù)列的通項，前/?項和，考查等差數(shù)列和等比數(shù)

列的關(guān)系，解題時要注意認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，屬于較難題.

13.(2021?上海市吳淞中學(xué)高三期中)已知數(shù)列｛4｝滿足：4=1,〃2=MXEN")，

%+2=卜用-幻，若前2010項中恰好含有666項為0,則x的值為

【答案】8或9或8

【分析】先利用產(chǎn)1，2,3,4,5分析出在前2010項中含有0的項的個數(shù)的規(guī)律即可計算得

【詳解】因數(shù)列｛q｝滿足：4=1,的=x（xeN*）,an+2=\a?^-a?\,則:

當(dāng)x=l時，數(shù)列｛5｝各項為：1,1,0,b1,0,1,0,1,1,0,在前2010項中恰

好含有誓=67（）項為0,

當(dāng)x=2時，數(shù)列｛對｝各項為：1,2,I,1,0,1,1,0,1,1,0,在前2010項中,由

型詈=669：知，恰好含有669項為0,

當(dāng)x=3時，數(shù)列各項為：1,3,2,1,1,0,1,1,0,1,1,…，在前2010項中,由

型粵=669知，恰好含有669項為0,

當(dāng)x=4時，數(shù)列｛q｝各項為：1,4,3,1,2,1,1,0,1,1,0,…，在前2010項中,由

型產(chǎn)=6681知，恰好含有668項為0,

當(dāng)x=5時，數(shù)列｛4｝各項為：1,5,4,1,3,2,1,1,0,1,1,在前2010項中,由

207-6=668知,恰好含有668項為0,

由上述可得當(dāng)x=6或x=7時，在前2010項中恰好含有667項為0,當(dāng)x=8或x=90、j,在前

2010項中恰好含有666項為0,

所以x的值為8或9.

故答案為：8或9

【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及給出遞推公式探求數(shù)列規(guī)律的問題，按條件寫出變量的前幾個取值

對應(yīng)的數(shù)列，認(rèn)真分析每個變量對應(yīng)的數(shù)列，找準(zhǔn)變化規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵.

14.（2021?上海民辦南模中學(xué)三模）已知數(shù)列｛叫、也｝滿足：包=4+「4,（”€乂），

b“L（n*2）,且4=1,8=2,若數(shù)列中不存在某一項的值在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)

無數(shù)次，在4的取值范圍為—

【答案】舊、/4'4

【分析】推導(dǎo)出數(shù)列｛〃,｝是周期為6的周期數(shù)列，計算得出數(shù)列｛4,/、｛%,f+,｝均是以7為

公差的等差數(shù)列，設(shè)fk=等/分4=：，、%>?、《<3三種情況討論，分析數(shù)列

6k+1666

的單調(diào)性，可得出關(guān)于4的不等式，進而可求得為的取值范圍.

【詳解】對任意的neN',有"+6=紂=白=件=仇,

“〃+441+34+2

且可=1,仇=2,4十=2,

56

b22'b.2'

設(shè)G=%“T，則%+|-c?=a6n+s-%“.i=（%“+5一%“+4）+（%“+4-4“+3）+…+（%”一％“-1）

=4,+4+4"+3+%"+2+4“+l+b6?+4〃-l=；+；+l+2+2+l=7,

所以，數(shù)列｛4｝是以公差為7的等差數(shù)列，

設(shè)4,=%,+（其中1為常數(shù)且會｛1，2,3,4,5,6｝）,

所以，4+1—4=%"-l）+frw?一?一

—+6（"-1）+”1+6（?~1）+7+2+6（"-1川+3+包（"-017+4+6（"-1）+7+5-，

所以，數(shù)列｛&（,i）+J均是以7為公差的等差數(shù)列，

r_a“+：_《+7k_；（6k+i）+a/：i_7%-：i（其中"=6%+],八0,1為｛1,2,3,4,5,6｝

6k+i6k+i6k+i66k+i

中的一個常數(shù)）.

當(dāng)4=2'時，對任意的，=6Z+i,有&■=:；

6n6

7.7.

當(dāng)〃尸"寸，f"一6,一上式/一川________=6________.

61*6（&+l）+i6k+iI16J[6（攵+l）+i1（6攵+i）

①若a；>1,則對任意的ZeN,有<M<￡.,所以，數(shù)列｛六｝為遞減數(shù)列；

②若則對任意的AeN,有￡”>￡,所以，數(shù)列]含匕1為遞增數(shù)列；

7

故只需4。/，M｛123,4,5,6｝可滿足題意.

6

因為。2=〃1+4=4+1，4=〃2+。2=6+3,4=〃3+4=41+5,。5=%+b&=%+6,

,13

%=%+々=4+'，

777143513

所以，qw—,%+1/一，q+3w-,4+5工—,+6工—,%H—工7,

632362

.曰74111

觸得a\^-ya\^->4工一彳，〃10一2.

63236

故答案為：'；、-；、一；

63236

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用數(shù)列的周期性求首項的取值范圍，解題的關(guān)鍵在于通過

構(gòu)造新數(shù)列，利用數(shù)列的單調(diào)性得出不等式求解.

15.（2022?上海?高三專題練習(xí)）已知公比大于1的等比數(shù)列｛4｝滿足%+%=20,%=8,記

2,為｛4｝在區(qū)間（0，，磯meM）中的項的個數(shù)，也｝的前〃項和為S“，則%=.

【答案】2+〃

【分析】先求出4=2”,再由特殊到一般，歸納出2"4機<2"”時，b?,=n,從而可得

23n

S?=lx2+2x2+3x2+-+（n-l）2-'+n,最后利用錯位相減法可得結(jié)果.

%+4=20

【詳解】設(shè)｛《,｝的公比為4（4>1），由

〃3=8

q=32

?=；或<

得I(舍去)

9=2q=一

2

所以4=2",21=2,2?=4,23=8,24=16,25=32,26=64

在區(qū)間(05上，4=。，

在區(qū)間上(0,2],(0,3]上&=々=1,2個1

在區(qū)間(0,4],(0,5](0,6],(0,7]上，"="=%=，=2,2?個2

在區(qū)間(O,8],(O,9](O,lO],(O,ll],...(O,15]±,"="=%…=%=3,矛個3,

歸納得當(dāng)2"2"*’時，b?,=n

所以邑,=lx2+2x22+3x23+---+（n-l）2"*,+/?

令7；=1X2+2X22+3X23+...+（〃-1）2"T

則27；=1X2+2X22+3x23+…-l）2"T+（〃-l）2"

兩式相減，整理得7；=（〃-1）2"-2的一2

所以邑,=（“一1）2"—2"=2+〃

故答案為：（〃-1）2"-2向-2+〃

【點睛】方法點睛：“錯位相減法”求數(shù)列的和是重點也是難點，利用“錯位相減法”求數(shù)

列的和應(yīng)注意以下幾點：①掌握運用“錯位相減法”求數(shù)列的和的條件（一個等差數(shù)列與一

個等比數(shù)列的積）；②相減時注意最后一項的符號；③求和時注意項數(shù)別出錯；④最后結(jié)

果一定不能忘記等式兩邊同時除以.

16.（2021?上海師大附中高三期中）定義“穿楊二元函數(shù)”如下：

C(a,〃)="2a+4a+8"E.例如:c(3,4)=3+6+12+24=45.對于奇數(shù)優(yōu)，若

Vze{l,2,3,4,5},3a,.,n,GZ\a->l,n,>1(《,%,4,q,%彼此相異)，滿足=則最

小的正整數(shù)加的值為.

【答案】9765

【分析】先求出C(a,〃)，由題設(shè)可知成至少有5個不同的正的奇約數(shù)，且5個奇約數(shù)中，至少

有一個為2"-1的形式，據(jù)此可得用的最小值.

【詳解】因為C(4〃)="必咚在竺二，故C(a,”)=a(2"—1).

由題設(shè)，存在5組不同的《,〃,，使得奇數(shù)，W=qx(2--l)>l,

故m有5個不同的形如2"-1形式正的奇約數(shù)，

又3=22-1,7=21,15=24-1,31=25-1,63=27，

又15=3x5,63=3x7x3

故加的最小值為3x7x5x3x31=9765.

故答案為：9765.

【點睛】本題考查數(shù)列的求和以及正奇數(shù)的因數(shù)分解，注意對題設(shè)條件要合理轉(zhuǎn)化，從而得

到正奇數(shù)加滿足的性質(zhì)，本題屬于難題.

17.(2022?上海?高三專題練習(xí))已知集合A={x|x=2〃-l,〃eN*},

B={x|x=2",*eN"}.將AUB的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個數(shù)列(??).記S.為數(shù)列

(??)的前〃項和，則使得S“>12am成立的〃的最小值為.

【答案】27

【詳解】分析：先根據(jù)等差數(shù)列以及等比數(shù)列的求和公式確定滿足條件的項數(shù)的取值范圍,

再列不等式求滿足條件的項數(shù)的最小值.

詳解：設(shè)區(qū),=2'，則S“=K2xl-l)+(2x2-l)+…+(2々1-1)]+[2+22+…+2*]

21(1+2x21-1)/(14)ik-iM_

~2+1-2=2+22

k+>2AI

由>12a?+1得2”一+2-2>12(2"+1),(2^')-20(2)-14>0,>2\k>6

所以只需研究2,<<2。是否有滿足條件的解，

2525+I

此時S?=[(2xl-l)+(2x2-l)+-+(2W-1)]+[2+2+-+2]=WJ+2-2,an+l=2m+i,m為

等差數(shù)列項數(shù)，且m>16.

由in2+25+|-2>12(2m+1),m2-24m+50>0>/.in>22,n=m+5>27

得滿足條件的“最小值為27.

點睛：本題采用分組轉(zhuǎn)化法求和，將原數(shù)列轉(zhuǎn)化為一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的和?分組

線）’符號型（如％=（一評），周

轉(zhuǎn)化法求和的常見類型主要有分段型（如4=

期型（如4=sin0.

三、解答題

18.（2021?上海市敬業(yè)中學(xué)高三階段練習(xí)）定義：若無窮數(shù)列｛4｝滿足是公比為

q的等比數(shù)列，則稱數(shù)列｛《,｝為⑷數(shù)列”.設(shè)數(shù)列也,｝中，4=1,"=7.

（1）若a=4,且數(shù)列也｝為“M（q）數(shù)列”，求數(shù)列也｝的通項公式：

（2）設(shè)數(shù)列出｝的前〃項和為S“，且%=2S,,-1+2,請判斷數(shù)列低｝是否為“用⑷數(shù)

列”，并說明理由；

4041b4042

（3）若數(shù)列也｝是“M⑵數(shù)列”，是否存在正整數(shù)例〃，使得而不＜/＜赤？若存

在，請求出所有滿足條件的正整數(shù)勿，〃；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）d=3“-2（“eN*）；（2）是，理由見解析；（3）存在，加=11,"=10.

【分析】（1）根據(jù)M（q）數(shù)列的定義，結(jié)合等比數(shù)列的定義進行求解即可；（2）利用前〃項

和與項的關(guān)系得到也,｝的遞推關(guān)系，再利用構(gòu)造等比數(shù)列法求解得到數(shù)列也J的通項公式，

并結(jié)合M（4）數(shù)列的定義進行判斷；（3）結(jié)合定義，推導(dǎo)得出結(jié)果.

b-h7-4

【詳解】（1）因為3=4,且數(shù)列也｝為“M⑷數(shù)列"，所以4=亡才=履1=1，

即如-2=3,所以也｝是以首項為&=1,公差d=3的等差數(shù)列，所以d=3”-2（“wN*）.

（2）由己知條件可得偽=2+彳3，4=4+32=7,故4=1,所以e=15.

%=2S“-1+1

當(dāng)〃22時，\,

b,=2S^--（n-\）+\

得也m=3勿-g（〃22）,又包=34-g也成立，

所以%=3"-；（"€”），

設(shè)0”+么=33，+4）,即2%=-；,所以A=-；.

又所以是以首項為1公比為3的等比數(shù)列.

44I414

所以〃，一J=l3"T=；3"(〃eN*),

444'7

即〃W(3"+l)(〃eN*),所以牛4=奈*=3,

所以也田-〃｝是以首項為1，公比為3的等比數(shù)列，

故數(shù)列也｝是“M⑷數(shù)列”.

(3)由數(shù)列出｝,是“M⑵數(shù)列”得心1-1=(4-4)?2日,

所以==即4=3,

b2-b｝b2-l

所以％心,=2"，

所以〃？2時，b?=(b?-b.)+(b,,-b?.)+……+(b-b)+b=——=2n-l,

nln22t}1—z

當(dāng)”=1時上式也成立，故b.=2"-1(〃eN)

假設(shè)存在正整數(shù)”,使得露"糕,則翳U嚼

由土」〉史史■＞］，可知2〃'-，所以機〉明又因為制〃為正整數(shù),

2〃-12020

山…，2m-\2時〃(2"—l)+2〃i—12'1-14042

所以相一〃N1,又~-=--------L------------=2,,,-"+------!?＜竺竺＜3，

2"-12"-12〃―12020

.404114042.112..

??------<2o4---------<-------,,?-------<--------<-------,..72=10,.."2=11.

20202〃-120202020T-I2020

故存在滿足條件的正整數(shù)加，〃，且機=11,〃=10.

【點睛】方法點睛：利用等比數(shù)列定義證明數(shù)列為等比數(shù)列，利用構(gòu)造等比數(shù)列法、累加法

解決具有遞推關(guān)系的數(shù)列問題.

19.(2021?上海嘉定?二模)已知數(shù)列｛%｝滿足：?.=1,\an+l-an\=p",〃eN*,S“為數(shù)

列｛q｝的前〃項和.

(1)若｛可｝是遞增數(shù)列，目.3弓,4%,5%成等差數(shù)列，求。的值；

(2)已知「=；,且他,.J是遞增數(shù)列，｛%,｝是遞減數(shù)列，求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(3)已知。=1,對于給定的正整數(shù)〃，試探究是否存在一個滿足條件的數(shù)列｛〃“｝,使得

S"=”.若存在，寫出一個滿足條件的數(shù)列｛/｝；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）。=|；（2）+岑，〃eN*；（3）答案見解析.

【分析】⑴由｛?！保沁f增數(shù)列，先得到。用-4="';再由3q,44,5%成等差數(shù)列，

4=1，列出方程求出〃的值，即可得出結(jié)果：

（2）先由題中條件，得至1」見,-/”—＞0，出"產(chǎn)出“＜。，推出4用-q=怨」■，再