專(zhuān)題20 概率、隨機(jī)變量與分布列（原卷版）

專(zhuān)題20概率、隨機(jī)變量與分布列一、知識(shí)速覽二、考點(diǎn)速覽知識(shí)點(diǎn)1隨機(jī)事件的概率與古典概型1、事件的相關(guān)概念2、頻率與概率的關(guān)系（1）頻率：在次重復(fù)試驗(yàn)中，事件發(fā)生的次數(shù)稱(chēng)為事件發(fā)生的頻數(shù)，頻數(shù)與總次數(shù)的比值，叫做事件發(fā)生的頻率．（2）概率：在大量重復(fù)盡心同一試驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率總是接近于某個(gè)常數(shù)，并且在它附近擺動(dòng)，這時(shí)，就把這個(gè)常數(shù)叫做事件的概率，記作．（3）概率與頻率的關(guān)系：對(duì)于給定的隨機(jī)事件，由于事件發(fā)生的頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率，因此可以用頻率來(lái)估計(jì)概率．3、事件的關(guān)系與運(yùn)算（1）包含關(guān)系：一般地，對(duì)于事件和事件，如果事件發(fā)生，則事件一定發(fā)生，這時(shí)稱(chēng)事件包含事件（或者稱(chēng)事件包含于事件），記作或者．（2）相等關(guān)系：一般地，若且，稱(chēng)事件與事件相等．（3）并事件（和事件）：若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件發(fā)生或事件發(fā)生，則稱(chēng)此事件為事件與事件的并事件（或和事件），記作（或）．（4）交事件（積事件）：若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件發(fā)生且事件發(fā)生，則稱(chēng)此事件為事件A與事件B的交事件（或積事件），記作（或）．（5）互斥事件：在一次試驗(yàn)中，事件和事件不能同時(shí)發(fā)生，即，則稱(chēng)事件與事件互斥；如果，，…，中任何兩個(gè)都不可能同時(shí)發(fā)生，那么就說(shuō)事件，．．，…，彼此互斥．（6）對(duì)立事件：若事件和事件在任何一次實(shí)驗(yàn)中有且只有一個(gè)發(fā)生，即不發(fā)生，則稱(chēng)事件和事件互為對(duì)立事件，事件的對(duì)立事件記為．4、概率的基本性質(zhì)（1）對(duì)于任意事件都有：．（2）必然事件的概率為，即；不可能事概率為，即．（3）概率的加法公式：若事件與事件互斥，則．推廣：一般地，若事件，，…，彼此互斥，則事件發(fā)生（即，，…，中有一個(gè)發(fā)生）的概率等于這個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和，即：．（4）對(duì)立事件的概率：若事件與事件互為對(duì)立事件，則，，且．（5）概率的單調(diào)性：若，則．（6）若，是一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中的兩個(gè)事件，則．5、古典概型（1）古典概型的定義：一般地，若試驗(yàn)具有以下特征：①有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；②等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等．稱(chēng)試驗(yàn)E為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱(chēng)為古典概率模型，簡(jiǎn)稱(chēng)古典概型．2、古典概型的概率公式：一般地，設(shè)試驗(yàn)是古典概型，樣本空間包含個(gè)樣本點(diǎn)，事件包含其中的個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件的概率．知識(shí)點(diǎn)2相互獨(dú)立事件與條件概率、全概率1、相互獨(dú)立事件（1）相互獨(dú)立事件的概念對(duì)于兩個(gè)事件，，如果，則意味著事件的發(fā)生不影響事件發(fā)生的概率．設(shè)，根據(jù)條件概率的計(jì)算公式，，從而．由此可得：設(shè)，為兩個(gè)事件，若，則稱(chēng)事件與事件相互獨(dú)立．（2）概率的乘法公式：由條件概率的定義，對(duì)于任意兩個(gè)事件與，若，則．我們稱(chēng)上式為概率的乘法公式．（3）相互獨(dú)立事件的性質(zhì)：如果事件，互相獨(dú)立，那么與，與，與也都相互獨(dú)立．（4）兩個(gè)事件的相互獨(dú)立性的推廣：兩個(gè)事件的相互獨(dú)立性可以推廣到個(gè)事件的相互獨(dú)立性，即若事件，，…，相互獨(dú)立，則這個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率．2、條件概率（1）條件概率的定義：一般地，設(shè)，為兩個(gè)事件，且，稱(chēng)為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率．（2）條件概率的性質(zhì)=1\*GB3①條件概率具有概率的性質(zhì)，任何事件的條件概率都在和1之間，即．=2\*GB3②必然事件的條件概率為1，不可能事件的條件概率為．=3\*GB3③如果與互斥，則．3、全概率公式（1）全概率公式：；（2）若樣本空間中的事件，，…，滿足：①任意兩個(gè)事件均互斥，即，，；②；③，．則對(duì)中的任意事件，都有，且．4、貝葉斯公式（1）一般地，當(dāng)且時(shí)，有（2）定理若樣本空間中的事件滿足：①任意兩個(gè)事件均互斥，即，，；②；③，．則對(duì)中的任意概率非零的事件，都有，且知識(shí)點(diǎn)3隨機(jī)變量的分布列、均值與方差1、隨機(jī)變量的有關(guān)概念（1）隨機(jī)變量：隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．（2）離散型隨機(jī)變量：所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量．2、離散型隨機(jī)變量分布列（1）離散型隨機(jī)變量分布列的表示：一般地，若離散型隨機(jī)變量可能取的不同值為，取每一個(gè)值的概率，以表格的形式表示如下：我們將上表稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量的概率分布列，簡(jiǎn)稱(chēng)為的分布列．有時(shí)為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，也用等式，表示的分布列．（2）分布列的性質(zhì)：（1），；（2）．3、離散型隨機(jī)變量的均值與方差：（1）均值：為隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．（2）均值的性質(zhì)=1\*GB3①（為常數(shù)）．=2\*GB3②若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且．=3\*GB3③．=4\*GB3④如果相互獨(dú)立，則．（3）方差：為隨機(jī)變量的方差，它刻畫(huà)了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，稱(chēng)其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差．（4）方差的性質(zhì)=1\*GB3①若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且．=2\*GB3②方差公式的變形：．知識(shí)點(diǎn)4兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布1、兩點(diǎn)分布：若隨機(jī)變量X的分布列具有下表的形式，則稱(chēng)X服從兩點(diǎn)分布，并稱(chēng)p＝P(X＝1)為成功概率．X01P1－pp2、二項(xiàng)分布（1）次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：一般地，在相同條件下重復(fù)做的次試驗(yàn)稱(chēng)為次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．【注意】獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件：①每次試驗(yàn)在同樣條件下進(jìn)行；②各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的；③每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生．（2）二項(xiàng)分布的表示：一般地，在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為，不發(fā)生的概率，那么事件恰好發(fā)生次的概率是（，，，…，），于是得到的分布列…………由于表中第二行恰好是二項(xiàng)式展開(kāi)式各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值，稱(chēng)這樣的離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布，記作，并稱(chēng)為成功概率．（3）二項(xiàng)分布的期望、方差：若，則，．3、超幾何分布：在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則事件發(fā)生的概率為，，1，2，…，，其中，且，，，，，稱(chēng)分布列為超幾何分布列．如果隨機(jī)變量的分布列為超幾何分布列，則稱(chēng)隨機(jī)變量服從超幾何分布．01……4、正態(tài)曲線與正態(tài)分布（1）正態(tài)曲線：我們把函數(shù)，（其中是樣本均值，是樣本標(biāo)準(zhǔn)差）的圖象稱(chēng)為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱(chēng)正態(tài)曲線．正態(tài)曲線呈鐘形，即中間高，兩邊低．（2）正態(tài)曲線的性質(zhì)=1\*GB3①曲線位于軸上方，與軸不相交；=2\*GB3②曲線是單峰的，它關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；=3\*GB3③曲線在處達(dá)到峰值（最大值）；=4\*GB3④曲線與軸之間的面積為1；=5\*GB3⑤當(dāng)一定時(shí)，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿軸平移；=6\*GB3⑥當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定．越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，（3）正態(tài)分布：一般地，如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)，，隨機(jī)變量滿足，則稱(chēng)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布．正態(tài)分布完全由參數(shù)，確定，因此正態(tài)分布常記作．如果隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則記為．其中，參數(shù)是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計(jì)；是衡量隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)．（4）原則若，則對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，為下圖中陰影部分的面積，對(duì)于固定的和而言，該面積隨著的減小而變大．這說(shuō)明越小，落在區(qū)間的概率越大，即集中在周?chē)母怕试酱筇貏e地，有；；．由，知正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間之內(nèi)．而在此區(qū)間以外取值的概率只有，通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生，即為小概率事件．在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布的隨機(jī)變量只取之間的值，并簡(jiǎn)稱(chēng)之為原則．一、隨機(jī)事件的頻率與概率1、頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值．通常用概率來(lái)反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，有時(shí)也用頻率來(lái)作為隨機(jī)事件概率的估計(jì)值．2、隨機(jī)事件概率的求法：利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求事件的概率，即通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)，事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸趨近于某一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是概率．【典例1】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）下列說(shuō)法：①設(shè)有一批產(chǎn)品，其次品率為，則從中任取200件，必有10件次品；②做100次拋硬幣的試驗(yàn)，有51次出現(xiàn)正面.因此出現(xiàn)正面的概率是；③隨機(jī)事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值；④隨機(jī)事件A的概率趨近于0，即趨近于0，則A是不可能事件；⑤拋擲骰子100次，得點(diǎn)數(shù)是1的結(jié)果是18次，則出現(xiàn)1點(diǎn)的頻率是；⑥隨機(jī)事件的頻率就是這個(gè)事件發(fā)生的概率；其中正確的有.【典例2】（2021上·四川成都·高三石室中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）在一次拋硬幣的試驗(yàn)中，某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了100次試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了40次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為（）A．，0.4B．，0.5C．，0.5D．，二、判斷互斥、對(duì)立事件的兩種方法（1）定義法：判斷互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件．（2）集合法：①由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥．②事件A的對(duì)立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集．【典例1】（2023·四川宜賓·統(tǒng)考三模）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件1表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件2表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，事件3表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)大于3”，事件4表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)小于3”則（）A．事件1與事件3互斥B．事件1與事件2互為對(duì)立事件C．事件2與事件3互斥D．事件3與事件4互為對(duì)立事件【典例2】（2023·湖南·高三校聯(lián)考二模）隨著2022年卡塔爾世界杯的舉辦，中國(guó)足球也需要重視足球教育．某市為提升學(xué)生的足球水平，特地在當(dāng)?shù)剡x拔出幾所學(xué)校作為足球特色學(xué)校，開(kāi)設(shè)了“5人制”“7人制”“9人制”“11人制”四類(lèi)足球體驗(yàn)課程．甲、乙兩名同學(xué)各自從中任意挑選兩門(mén)課程學(xué)習(xí)，設(shè)事件“甲乙兩人所選課程恰有一門(mén)相同”，事件“甲乙兩人所選課程完全不同”，事件“甲乙兩人均未選擇‘5人制’課程”，則（）A．A與為對(duì)立事件B．A與互斥C．A與相互獨(dú)立D．與相互獨(dú)立三、復(fù)雜事件的概率的兩種求法（1）直接求法，將所求事件分解為一些彼此互斥的事件，運(yùn)用互斥事件的概率求和公式計(jì)算．（2）間接求法，先求此事件的對(duì)立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))求解(正難則反)，特別是“至多”“至少”型題目，用間接求法就比較簡(jiǎn)便．【典例1】（2023上·山西大同·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知某音響設(shè)備由五個(gè)部件組成，A電視機(jī)，B影碟機(jī)，C線路，D左聲道和E右聲道，其中每個(gè)部件能否正常工作相互獨(dú)立，各部件正常工作的概率如圖所示.能聽(tīng)到聲音，當(dāng)且僅當(dāng)A與B至少有一個(gè)正常工作，C正常工作，D與E中至少有一個(gè)正常工作.則聽(tīng)不到聲音的概率為（）A．0.19738B．0.00018C．0.01092D．【典例2】（2023下·四川眉山·高三校考開(kāi)學(xué)考試）一個(gè)盒子內(nèi)裝有若干個(gè)大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個(gè)球，若摸出紅球的概率是，摸出白球的概率是，那么從盒中摸出1個(gè)球，摸出黑球或紅球的概率是．【典例3】（2024上·內(nèi)蒙古赤峰·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）位于數(shù)軸上的粒子A每次向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，若前一次向左移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，則后一次向右移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度的概率為，若前一次向右移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，則后一次向右移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度的概率為，若粒子A第一次向右移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度的概率為，則粒子A第二次向左移動(dòng)的概率為.四、古典概型的概率用公式法求古典概型的概率就是用所求事件A所含的基本事件個(gè)數(shù)除以基本事件空間Ω所含的基本事件個(gè)數(shù)求解事件A發(fā)生的概率P(A)．解題的關(guān)鍵如下：①定型，即根據(jù)古典概型的特點(diǎn)——有限性與等可能性，確定所求概率模型為古典概型．②求量，利用列舉法、排列組合等方法求出基本事件空間Ω及事件A所含的基本事件數(shù)．③求值，代入公式P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的個(gè)數(shù),基本事件的總數(shù))求值．【典例1】（2023上·四川成都·高三校考階段練習(xí)）我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如．在不超過(guò)30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是（）A．B．C．D．【典例2】（2023上·江蘇徐州·高三統(tǒng)考期中）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，將得到的點(diǎn)數(shù)記為，則能夠構(gòu)成鈍角三角形的概率是（）A．B．C．D．【典例3】（2023上·上?！じ呷亟袑W(xué)校考期中）某工廠生產(chǎn)、兩種型號(hào)的不同產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比為.現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出一個(gè)樣本容量為的樣本，則其中種型號(hào)的產(chǎn)品有件，現(xiàn)從樣本中抽出兩件產(chǎn)品，此時(shí)含有型號(hào)產(chǎn)品的概率為.五、求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法(1)首先判斷幾個(gè)事件的發(fā)生是否相互獨(dú)立．(2)求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法主要有：①利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解．②正面計(jì)算較繁或難以入手時(shí)，可從其對(duì)立事件入手計(jì)算．【典例1】（2023上·重慶·高三重慶一中?？奸_(kāi)學(xué)考試）某同學(xué)進(jìn)行一項(xiàng)投籃測(cè)試，若該同學(xué)連續(xù)三次投籃成功，則通過(guò)測(cè)試；若出現(xiàn)連續(xù)兩次失敗，則不通過(guò)測(cè)試.已知該同學(xué)每次投籃的成功率為，則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為（）A．B．C．D．【典例2】（2023上·江蘇·高三期中）一個(gè)不透明的盒子中裝有三個(gè)紅球，一個(gè)白球.從盒子中取兩次球，若每次取出1個(gè)或2個(gè)球的概率均為，則最終盒子里只剩下一個(gè)白球的概率為.六、求條件概率的兩種方法（1）利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得，這是求條件概率的通法．（2）借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件數(shù)n(AB)，得.【典例1】（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）甲、乙兩位學(xué)生在學(xué)校組織的課后服務(wù)活動(dòng)中，準(zhǔn)備從①②③④⑤5個(gè)項(xiàng)目中分別各自隨機(jī)選擇其中一項(xiàng)，記事件：甲和乙選擇的活動(dòng)各不同，事件：甲和乙恰好一人選擇①，則等于（）A．B．C．D．【典例2】（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）第33屆奧運(yùn)會(huì)將于2024年7月26日至8月11日在法國(guó)巴黎舉行.某田徑運(yùn)動(dòng)員準(zhǔn)備參加100米?200米兩項(xiàng)比賽，根據(jù)以往賽事分析，該運(yùn)動(dòng)員100米比賽未能站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)的概率為，200米比賽未能站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)的概率為，兩項(xiàng)比賽都未能站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)的概率為，若該運(yùn)動(dòng)員在100米比賽中站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)，則他在200米比賽中也站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)的概率是.七、全概率公式與貝葉斯公式的使用1、全概率公式在解題中體現(xiàn)了“化整為零、各個(gè)擊破”的轉(zhuǎn)化思想，可將較為復(fù)雜的概率計(jì)算分解為一些較為容易的情況分別進(jìn)行考慮．2、利用貝葉斯公式求概率的步驟第一步：利用全概率公式計(jì)算，即；第二步：計(jì)算，可利用求解；第三步：代入求解．3、貝葉斯概率公式反映了條件概率，全概率公式及乘法公式之間的關(guān)系，即．【典例1】（2023·河北秦皇島·高三校聯(lián)考二模）根據(jù)某機(jī)構(gòu)對(duì)失蹤飛機(jī)的調(diào)查得知：失蹤的飛機(jī)中有70%的后來(lái)被找到，在被找到的飛機(jī)中，有60%安裝有緊急定位傳送器，而未被找到的失蹤飛機(jī)中，有90%未安裝緊急定位傳送器，緊急定位傳送器是在飛機(jī)失事墜毀時(shí)發(fā)送信號(hào)，讓搜救人員可以定位的裝置.現(xiàn)有一架安裝有緊急定位傳送器的飛機(jī)失蹤，則它被找到的概率為（）A．B．C．D．【典例2】（2023·吉林長(zhǎng)春·高三統(tǒng)考一模）某學(xué)校有，兩家餐廳，某同學(xué)第1天等可能地選擇一家餐廳用餐，如果第1天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率為，如果第一天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率為，則該同學(xué)第2天去餐廳的概率為．【典例3】（2023上·江蘇常州·高三統(tǒng)考期中）居民的某疾病發(fā)病率為，現(xiàn)進(jìn)行普查化驗(yàn)，醫(yī)學(xué)研究表明，化驗(yàn)結(jié)果是可能存有誤差的．已知患有該疾病的人其化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性，而沒(méi)有患該疾病的人其化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性．現(xiàn)有某人的化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性，則他真的患該疾病的概率是（）A．0.99B．0.9C．0.5D．八、求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的步驟（1）理解X的意義，寫(xiě)出X可能取的全部值．（2）求X取每個(gè)值時(shí)的概率．（3）寫(xiě)出X的分布列．（4）由均值的定義求E(X)．（5）由方差的定義求D(X)．【典例1】（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，若，則（）X01PabA．B．C．D．【典例2】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)，則隨機(jī)變量的分布列是01則當(dāng)在內(nèi)減小時(shí)，（）A．減小B．增大C．先減小后增大D．先增大后減小【典例3】（2023上·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)離散型隨機(jī)變量的期望和方差分別為和，且，則（）A．B．C．D．和大小不確定九、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布1、定型：“獨(dú)立”“重復(fù)”是二項(xiàng)分布的基本特征，“每次試驗(yàn)事件發(fā)生的概率都相等”是二項(xiàng)分布的本質(zhì)特征．判斷隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，要看在一次試驗(yàn)中是否只有兩種試驗(yàn)結(jié)果，且兩種試驗(yàn)結(jié)果發(fā)生的概率分別為p,1－p，還要看是否為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，隨機(jī)變量是否為某事件在這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)．2、定參，確定二項(xiàng)分布中的兩個(gè)參數(shù)n和p，即試驗(yàn)發(fā)生的次數(shù)和試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率．3、列表，根據(jù)離散型隨機(jī)變量的取值及其對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列．4、求值，根據(jù)離散型隨機(jī)變量的期望和方差公式，代入相應(yīng)數(shù)據(jù)求值．相關(guān)公式：已知X～B(n，p)，則P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．【典例1】（2023·遼寧撫順·高三?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）為備戰(zhàn)2023年我國(guó)杭州舉行的亞運(yùn)會(huì)，某國(guó)乒乓球隊(duì)加緊訓(xùn)練進(jìn)行備戰(zhàn).該國(guó)乒乓球隊(duì)主教練在訓(xùn)練課上，安排甲、乙兩名男單主力隊(duì)員與陪練進(jìn)行對(duì)抗性訓(xùn)練，訓(xùn)練方法如下：甲、乙兩人每輪分別與陪練打兩局，兩人獲勝局?jǐn)?shù)和為3或4時(shí)，則認(rèn)為這輪訓(xùn)練合格，若甲、乙兩人每局獲勝的概率分別為，每局之間相互獨(dú)立，且.記甲、乙在輪訓(xùn)練中合格輪數(shù)為，若，則從期望的角度來(lái)看，甲、乙兩人訓(xùn)練的輪數(shù)可能為（）A．24B．26C．27D．28【典例2】（2023·江蘇連云港·校考模擬預(yù)測(cè)）某活動(dòng)現(xiàn)場(chǎng)設(shè)置了抽獎(jiǎng)環(huán)節(jié)，在盒中裝有9張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“敬業(yè)”或“愛(ài)國(guó)”圖案，抽獎(jiǎng)規(guī)則：參加者從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張分別是“愛(ài)國(guó)”和“敬業(yè)”卡即可獲獎(jiǎng)；否則，均為不獲獎(jiǎng)．卡片用后放回盒子，下一位參加者繼續(xù)重復(fù)進(jìn)行．活動(dòng)開(kāi)始后，一位參加者問(wèn)：“盒中有幾張“愛(ài)國(guó)”卡？”主持人答：“我只知道，從盒中抽取兩張都是“敬業(yè)”卡的概率是.”（1）求抽獎(jiǎng)?wù)攉@獎(jiǎng)的概率；（2）為了增加抽獎(jiǎng)的趣味性，規(guī)定每個(gè)抽獎(jiǎng)?wù)呦葟难b有9張卡片的盒中隨機(jī)抽出1張不放回，再用剩下8張卡片按照之前的抽獎(jiǎng)規(guī)則進(jìn)行抽獎(jiǎng)，現(xiàn)有甲、乙、丙三人依次抽獎(jiǎng)，用X表示獲獎(jiǎng)的人數(shù)，求X的分布列和均值．十、求超幾何分布的分布列的步驟第一步：驗(yàn)證隨機(jī)變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)的值；第二步：根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算公式計(jì)算出隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率；第三步：用表格的形式列出分布列?！镜淅?】（2023·陜西漢中·高三校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）教育是阻斷貧困代際傳遞的根本之策．補(bǔ)齊貧困地區(qū)義務(wù)教育發(fā)展的短板，讓貧困家庭子女都能接受公平而有質(zhì)量的教育，是夯實(shí)脫貧攻堅(jiān)根基之所在．治貧先治愚，扶貧先扶智．為了解決某貧困地區(qū)教師資源匱乏的問(wèn)題，某市教育局?jǐn)M從5名優(yōu)秀教師中抽選人員分批次參與支教活動(dòng)．支教活動(dòng)共分3批次進(jìn)行，每次支教需要同時(shí)派送2名教師，且每次派送人員均從這5人中隨機(jī)抽選．已知這5名優(yōu)秀教師中，2人有支教經(jīng)驗(yàn)，3人沒(méi)有支教經(jīng)驗(yàn)．（1）求5名優(yōu)秀教師中的“甲”，在這3批次支教活動(dòng)中恰有兩次被抽選到的概率；（2）求第一次抽取到無(wú)支教經(jīng)驗(yàn)的教師人數(shù)的分布列；【典例2】（2023上·陜西西安·高三西安中學(xué)校考階段練習(xí)）某中學(xué)進(jìn)行校慶知識(shí)競(jìng)賽，參賽的同學(xué)需要從10道題中隨機(jī)抽取4道來(lái)回答．競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得10分，回答不正確得分．（1）已知甲同學(xué)每題回答正確的概率均為，且各題回答正確與否之間沒(méi)有影響，記甲的總得分為，求的期望和方差；（2）已知乙同學(xué)能正確回答10道題中的6道，記乙的總得分為，求的分布列．十一、關(guān)于正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法（1）熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．（2）充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性和曲線與x軸之間面積為1.①正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱(chēng)，從而在關(guān)于x＝μ對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上概率相等；②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)．【典例1】（2023上·廣東揭陽(yáng)·高三統(tǒng)考期中）設(shè)隨機(jī)變量，隨機(jī)變量，與之間的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．【典例2】（2023上·福建廈門(mén)·高三廈門(mén)一中?？计谥校ǘ噙x）已知，則下列說(shuō)法正確的是（）A．B．C．D．【典例3】（2023下·河南開(kāi)封·高三通許縣第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）若隨機(jī)變量，若，則．易錯(cuò)點(diǎn)1互斥事件與對(duì)立事件關(guān)系模糊點(diǎn)撥：“互斥事件”和“對(duì)立事件”都是就兩個(gè)事件而言的，互斥事件是指事件A與事件B在一次實(shí)驗(yàn)中不會(huì)同時(shí)發(fā)生，而對(duì)立事件是指事件A與事件B在一次實(shí)驗(yàn)中有且只有一個(gè)發(fā)生，因此，對(duì)立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對(duì)立事件?！镜淅?】（2023·四川眉山·仁壽一中校考模擬預(yù)測(cè)）袋中裝有紅球3個(gè)、白球2個(gè)、黑球1個(gè)，從中任取2個(gè)，則互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A．至少有一個(gè)白球；都是白球B．至少有一個(gè)白球；至少有一個(gè)紅球C．至少有一個(gè)白球；紅?黑球各一個(gè)D．恰有一個(gè)白球；一個(gè)白球一個(gè)黑球【典例2】（2024上·山西朔州·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）（多選）從1，2，3，，9中任取三個(gè)不同的數(shù)，則在下述事件中，是互斥但不是對(duì)立事件的有（）A．“三個(gè)都為偶數(shù)”和“三個(gè)都為奇數(shù)”B．“至少有一個(gè)奇數(shù)”和“至多有一個(gè)奇數(shù)”C．“至少有一個(gè)奇數(shù)”和“三個(gè)都為偶數(shù)”D．“一個(gè)偶數(shù)兩個(gè)奇數(shù)”和“兩個(gè)偶數(shù)一個(gè)奇數(shù)”【典例3】（2023·廣西柳州·高三柳州高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）從數(shù)學(xué)必修一、二和政治必修一、二共四本書(shū)中任取兩本書(shū)，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A．至少有一本政治與都是數(shù)學(xué)