2022-2023學(xué)年江蘇省蘇州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷含答案

2022-2023學(xué)年江蘇省蘇州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點P（1，3，﹣2）關(guān)于平面xOz的對稱點的坐標(biāo)為（）A．（﹣1，3，﹣2） B．（1，﹣3，﹣2） C．（1，3，2） D．（﹣1，﹣3，﹣2）2．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線x2-yA．﹣6 B．6 C．-16 3．（5分）雙曲線x2-yA．y＝±14x B．y＝±12x C．y＝±2x D．y4．（5分）“圓”是中國文化的一個重要精神元素，在中式建筑中有著廣泛的運用，最具代表性的便是園林中的門洞．如圖，某園林中的圓弧形洞門高為2.5m，底面寬為1m，則該門洞的半徑為（）A．1.2m B．1.3m C．1.4m D．1.5m5．（5分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝24，an+1=12an，當(dāng)aA．7 B．8 C．9 D．106．（5分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA＝90°，AC＝CC1＝2，M是A1B1的中點，以C為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．若A1B→⊥C1MA．23 B．33 C．237．（5分）對任意數(shù)列{an}，定義函數(shù)F（x）＝a1+a2x+a3x2+?+anxn﹣1（n∈N*）是數(shù)列{an}的“生成函數(shù)”．已知F（1）＝n2，則F(1A．3-2n+32n C．6-2n+12n-18．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：x2＝4y，過點A（0，a）的直線交C于P，Q兩點，若1|PA|2A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.（多選）9．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，關(guān)于曲線C：x2+y2﹣2mx+2y+2m＝0的說法正確的有（）A．若m＝0，則曲線C表示一個圓 B．若m＝1，則曲線C表示兩條直線 C．若m＝2，則過點（1，1）與曲線C相切的直線有兩條 D．若m＝2，則直線x+y＝0被曲線C截得的弦長等于2（多選）10．（5分）如圖，已知四面體ABCD的所有棱長都等于2，E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，DC的中點，則（）A．AB→?AC→=2 B．GF→（多選）11．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的離心率為63，直線l：x+yA．1 B．2 C．3 D．4（多選）12．（5分）將1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數(shù)填入如圖所示的3×3正方形網(wǎng)格中，每個小方格中只能填一個數(shù)，每個數(shù)限填一次．考慮網(wǎng)格中每行從左到右、每列從上到下、兩條對角線從上到下所填的數(shù)各構(gòu)成一個數(shù)列，共計八個數(shù)列，則下列結(jié)論中正確的有（）A．這八個數(shù)列有可能均為等差數(shù)列 B．這八個數(shù)列中最多有三個等比數(shù)列 C．若中間一行、中間一列、兩條對角線上的數(shù)列均為等差數(shù)列，則中心小方格中所填的數(shù)必為5 D．若第一行、第一列上的數(shù)列均為等比數(shù)列，則其余數(shù)列中至多有一個等差數(shù)列三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知A（1，1，0），B（﹣1，0，2），點C滿足AC→=2AB→，則點14．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O：x2+y2＝1，寫出滿足條件“過點（3，0）且與圓O相外切”的一個圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．15．（5分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若{an}與{nan}均為等差數(shù)列且公差不為0，則16．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（0，﹣2），直線AM，BM相交于點M，且AM與BM的斜率之差為2，則|MC|的最小值為．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形OABC滿足|OA|＝|AB|＝4，∠OAB＝120°，BC⊥OB，OC∥AB．（1）求直線AB的方程；（2）求點C的坐標(biāo)．18．（12分）在①S3＝9，S5＝25；②d＝2，且S1，S2，S4成等比數(shù)列；③Sn＝3n2﹣2n這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答該問題．記等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，已知_____．（1）求{an}的通項公式；（2）令bn=2anan+1，求數(shù)列{bn}的前19．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，平面ABCD⊥平面PBC，PC＝BC＝2，點E，F(xiàn)分別為AB，PD的中點．（1）求證：2EF（2）若PC→?DE→=020．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點F(3，0)，設(shè)動點P到直線x=433（1）記點P的軌跡為曲線C，求C的方程；（2）若過點F且斜率為k（k＞0）直線l交C于A，B兩點，問在y軸上是否存在點D，使得△ABD為正三角形？若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．21．（12分）已知數(shù)列{an}中的各項均為正數(shù)，a1＝2，點An(1+an，an+1)在曲線y=x上，數(shù)列{bn}滿足b（1）求{bn}的前2n項和S2n；（2）求滿足不等式S2n≤b2n﹣1的正整數(shù)n的取值集合．22．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線Γ：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左頂點為A，右焦點為F，離心率為2，且經(jīng)過點（4，6），點P（x0，y0）是雙曲線右支上一動點，過三點A，P，（1）求Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求x0的取值范圍；（3）證明：∠ACF＝3∠PCF．

2022-2023學(xué)年江蘇省蘇州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點P（1，3，﹣2）關(guān)于平面xOz的對稱點的坐標(biāo)為（）A．（﹣1，3，﹣2） B．（1，﹣3，﹣2） C．（1，3，2） D．（﹣1，﹣3，﹣2）【解答】解：空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點P（1，3，﹣2）關(guān)于平面xOz的對稱點坐標(biāo)為P′（1，﹣3，﹣2）．故選：B．2．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線x2-yA．﹣6 B．6 C．-16 【解答】解：根據(jù)題意，x2-y6=1故直線x2-y故選：A．3．（5分）雙曲線x2-yA．y＝±14x B．y＝±12x C．y＝±2x D．y【解答】解：因為雙曲線x2-y24即y＝±2x．故選：C．4．（5分）“圓”是中國文化的一個重要精神元素，在中式建筑中有著廣泛的運用，最具代表性的便是園林中的門洞．如圖，某園林中的圓弧形洞門高為2.5m，底面寬為1m，則該門洞的半徑為（）A．1.2m B．1.3m C．1.4m D．1.5m【解答】解：設(shè)半徑為R，(2.5-R)2+(1故選：B．5．（5分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝24，an+1=12an，當(dāng)aA．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：∵a1＝24，an+1=1∴a2=12a∴a5＝a4+2＝5，∴a6＝a5+2＝7，∴a7＝a6+2＝9，∴a8＝a7+2＝11，∴a9＝a8+2＝13，∴a10＝a9+2＝15，∵ak＝11，∴k＝8．故選：B．6．（5分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA＝90°，AC＝CC1＝2，M是A1B1的中點，以C為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．若A1B→⊥C1MA．23 B．33 C．23【解答】解：由題意得，設(shè)CB＝t＞0，則有C(0，0，0)，A1(2，0，2)，B(0，t，0)，B1(0，t，2)，M(1，t2，2)，C故異面直線CM與A1B所成角的余弦值為23故選：A．7．（5分）對任意數(shù)列{an}，定義函數(shù)F（x）＝a1+a2x+a3x2+?+anxn﹣1（n∈N*）是數(shù)列{an}的“生成函數(shù)”．已知F（1）＝n2，則F(1A．3-2n+32n C．6-2n+12n-1【解答】解：因為F(x)=a1+a2x+所以a1+當(dāng)n＝1可得a1＝1，當(dāng)n≥2時a1+①﹣②得an=n所以an＝2n﹣1，所以F(1則12所以1=1+1-所以F(1故選：D．8．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：x2＝4y，過點A（0，a）的直線交C于P，Q兩點，若1|PA|2A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：當(dāng)過點A（0，a）的直線斜率不存在時，此時直線與拋物線C：x2＝4y只有1個交點，不合要求，舍去；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為y＝kx+a，聯(lián)立y=kx+ax2=4y，可得x2﹣4kx﹣4a＝0，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，則x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4a，∴|PA|同理可得：|QA|故1|PA要想1|PA|2故16k2+8a解得a＝2，此時1|PA故選：B．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.（多選）9．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，關(guān)于曲線C：x2+y2﹣2mx+2y+2m＝0的說法正確的有（）A．若m＝0，則曲線C表示一個圓 B．若m＝1，則曲線C表示兩條直線 C．若m＝2，則過點（1，1）與曲線C相切的直線有兩條 D．若m＝2，則直線x+y＝0被曲線C截得的弦長等于2【解答】解：∵曲線C：x2+y2﹣2mx+2y+2m＝0，∴對A選項，∵當(dāng)m＝0，則曲線C：x2+y2+2y＝0，即x2+（y+1）2＝1，表示圓心為（0，﹣1），半徑為1的圓，∴A選項正確；對B選項，∵當(dāng)m＝1，則曲線C：x2+y2﹣2x+2y+2＝0，即（x﹣1）2+（y+1）2＝0，表示點（1，﹣1），∴B選項錯誤；對C選項，∵當(dāng)m＝2，則曲線C：x2+y2﹣4x+2y+4＝0，即（x﹣2）2+（y+1）2＝1，表示圓心為C（2，﹣1），半徑為1的圓，∵（1﹣2）2+（1+1）2＝5＞1，∴點（1，1）在圓外，∴過點（1，1）與曲線C相切的直線有兩條，∴C選項正確；對D選項，∵圓心C到直線x+y＝0的距離d=|2+(-1)|∴直線與圓相交所得弦長l=2r2-故選：AC．（多選）10．（5分）如圖，已知四面體ABCD的所有棱長都等于2，E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，DC的中點，則（）A．AB→?AC→=2 B．GF→【解答】解：由題意得：四面體ABCD為正四面體，故∠BAC＝∠CBD＝60°，故AB→?AC因為E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，DC的中點，所以FG∥AC，EF∥BD，且FG=12AC=1故GF→?AC∵BC→?EF取BD的中點H，連接AH，CH，因為△ABD，△BCD均為等邊三角形，所以AH⊥BD，且CH⊥BD，因為AH∩CH＝H，且AH，CH?平面ACH，所以BD⊥平面ACH，又AC?平面ACH，所以BD⊥AC，所以EF⊥FG，故GF→?EF故選：ACD．（多選）11．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的離心率為63，直線l：x+yA．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：依題意，橢圓C：x2a2+y2b2橢圓C的方程為x2+3y2＝3b2，設(shè)橢圓C上的點P(3直線l：x+y+4＝0與C沒有公共點，即方程組x+y+4=0x因此方程4x2+24x+48﹣3b2＝0無實根，有Δ＝242﹣48（16﹣b2）＜0，即b2＜4，解得0＜b＜2，因為C上至少有一個點到l的距離為2，則有點P到直線l的距離d的最小值不大于2，d=|當(dāng)且僅當(dāng)θ+π3=于是得2(2-b)≤2，從而1≤b＜2，有2≤2b＜4，顯然選項A，D不滿足，選項B，故選：BC．（多選）12．（5分）將1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數(shù)填入如圖所示的3×3正方形網(wǎng)格中，每個小方格中只能填一個數(shù)，每個數(shù)限填一次．考慮網(wǎng)格中每行從左到右、每列從上到下、兩條對角線從上到下所填的數(shù)各構(gòu)成一個數(shù)列，共計八個數(shù)列，則下列結(jié)論中正確的有（）A．這八個數(shù)列有可能均為等差數(shù)列 B．這八個數(shù)列中最多有三個等比數(shù)列 C．若中間一行、中間一列、兩條對角線上的數(shù)列均為等差數(shù)列，則中心小方格中所填的數(shù)必為5 D．若第一行、第一列上的數(shù)列均為等比數(shù)列，則其余數(shù)列中至多有一個等差數(shù)列【解答】解：如圖1，將1，2，3，4，5，6，7，8，9填入網(wǎng)格中，則這8個數(shù)列均為等差數(shù)列，∴A選項正確；∵1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個數(shù)中，成等比數(shù)列的有：1，2，4；{bn}；2，4，8；4，6，9，但1，2，4與2，4，8這兩個等比數(shù)列不可能在同一列，同一行，或?qū)蔷€上，∴這8個數(shù)列中最多有3個等比數(shù)列，比如圖2，∴B選項正確；若三個數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，則2b＝a+c，根據(jù)題意要有4組數(shù)列成等差數(shù)列，且中間的b相同，則只能是b＝5，∵2×5＝1+9＝2+8＝3+7＝4+6，如圖3滿足要求，∴C選項正確；若第一行為1，2，4，第一列為1，3，9，滿足第一行，第一列均為等比數(shù)列，第二行為3，5，7，第二列為2，5，8，則第二行和第二列均為等差數(shù)列，此時有兩個等差數(shù)列，∴D選項錯誤，故選：ABC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知A（1，1，0），B（﹣1，0，2），點C滿足AC→=2AB→，則點【解答】解：設(shè)C（x，y，z），則AC→=(x-1，y-1，z)，因為AC→所以（x﹣1，y﹣1，z）＝2（﹣2，﹣1，2）＝（﹣4，﹣2，4），即x-1=-4y-1=-2z=4，得所以點C的坐標(biāo)為（﹣3，﹣1，4）．故答案為：（﹣3，﹣1，4）．14．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O：x2+y2＝1，寫出滿足條件“過點（3，0）且與圓O相外切”的一個圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣2）2+y2＝1（答案不唯一）．【解答】解：設(shè)滿足條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），則有(3-a)2+(0-b)2=r不妨取a＝2，則r＝1，b＝0，故滿足條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣2）2+y2＝1．故答案為：（x﹣2）2+y2＝1（答案不唯一）．15．（5分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若{an}與{nan}均為等差數(shù)列且公差不為0，則【解答】解：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則an＝a1+（n﹣1）d，na因為數(shù)列{nan}是等差數(shù)列，則有化簡整理得：a12-2a1d+d2=0，解得a1＝d，顯然d＞0，an所以S4故答案為：2．16．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（0，﹣2），直線AM，BM相交于點M，且AM與BM的斜率之差為2，則|MC|的最小值為72【解答】解：設(shè)M（x，y）（x≠±1），則kAM=y+1所以y+1x+1-y+1x-1=2，即即動點M的軌跡方程為y＝﹣x2，（x≠±1），所以|MC|=所以當(dāng)y=-32時故答案為：72四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形OABC滿足|OA|＝|AB|＝4，∠OAB＝120°，BC⊥OB，OC∥AB．（1）求直線AB的方程；（2）求點C的坐標(biāo)．【解答】解：（1）由圖知∠OAB＝120°，則直線AB的傾斜角為60°，直線AB的斜率kAB=3所以直線AB的方程為y=3(x-4)，即（2）因為OC∥AB，則直線OC的方程為y=3x，而|OA|＝|AB|＝4，則直線OB的傾斜角為30°，斜率直線OB的方程為y=33x，由y=33又BC⊥OB，則有直線BC斜率kBC=-3，因此直線BC的方程為y-2由y=3xy=-3x+8所以點C的坐標(biāo)是(4，418．（12分）在①S3＝9，S5＝25；②d＝2，且S1，S2，S4成等比數(shù)列；③Sn＝3n2﹣2n這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答該問題．記等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，已知_____．（1）求{an}的通項公式；（2）令bn=2anan+1，求數(shù)列{bn}的前【解答】解：（1）若選條件①S3＝9，S5＝25，則9a1+36d=9∴an＝2n﹣1；若選條件②d＝2，且S1，S2，S4成等比數(shù)列，則S22=S1?∴an＝2n﹣1；若選條件③Sn＝3n2﹣2n，當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝1；當(dāng)n≥2時，an又a1＝1滿足上式，∴an＝6n﹣5．（2）若選條件①②，由（1）知bn∴Tn∴數(shù)列{bn}的前n項和Tn若選條件③，由（1）知bn∴Tn∴數(shù)列{bn}的前n項和Tn19．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，平面ABCD⊥平面PBC，PC＝BC＝2，點E，F(xiàn)分別為AB，PD的中點．（1）求證：2EF（2）若PC→?DE→=0【解答】解：（1）證明：∵E，F(xiàn)分別為AB，PD的中點，∴BE→∴BP→∴2EF（2）∵PC→?DE→=0又平面ABCD⊥平面PBC，平面ABCD∩平面PBC＝BC，DC⊥BC，DC?面ABCD，∴DC⊥平面PBC，又PC?平面PBC，∴DC⊥PC，又DC∩DE＝D，DC，DE?平面ABCD，∴PC⊥平面ABCD，又BC?平面ABCD，∴PC⊥BC，∴分別以CB，CD，CP所在直線為x，y，z軸，建系如圖，則根據(jù)題意可得：A（2，2，0），B（2，0，0），F(xiàn)（0，1，1），P（0，0，2），D（0，2，0），∴BA→設(shè)平面FAB的法向量為n→則n→?BA設(shè)平面PAD的法向量為m→則m→?DA設(shè)平面FAB與平面PAD的夾角為θ，則cosθ=|cos?m∴sinθ=1-co∴平面FAB與平面PAD夾角的正弦值為15520．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點F(3，0)，設(shè)動點P到直線x=433（1）記點P的軌跡為曲線C，求C的方程；（2）若過點F且斜率為k（k＞0）直線l交C于A，B兩點，問在y軸上是否存在點D，使得△ABD為正三角形？若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）設(shè)點P（x，y），∵|PF|=∴(x-3化簡可得x2+4y2＝4，∴C的方程為x2（2）設(shè)直線l：y=k(x-3)(k＞0)，A(x1聯(lián)立x24+∴x1+x∴xM=x即M(4若△ABD為等邊三角形，則MD為線段AB的中垂線，即MD的直線方程為y+3k1+4又|AB|=∴由|MD|=32解得k2=13，∴∴存在點D(0，9721．（12分）已知數(shù)列{an}中的各項均為正數(shù)，a1＝2，點An(1+an，an+1)在曲線y=x上，數(shù)列{bn