2023年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)模擬試題一（衡水密卷）

2023年普通高等學(xué)校招生考試模擬試題一(衡水密卷)

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁,22題。全卷滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：

L答題前，先將自己的姓名、考號(hào)等填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡

上的指定位置。

2.選擇題的作答;選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。寫在

試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

3.填空題和解答題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、

草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

4.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。

一、選擇題;本題共8小題,每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的。

1.若(i-l)(z—2i)=2+i,則彳=

“11.?11.?11.?31.

22222222

2.己知集合A=,|y=ln(3x—犬+4)},8={引y=/+/},若Ac3=A,則實(shí)數(shù)f的取值

范圍是

A.(―oo,-1]B.(-oo,1]C.(―oo,-1)D.(—oo,1)

3.已知平面向量a,b滿足足卜2,|b|=l,a—b=(6,一2),則|2a-b|=

A.屈B.472C.V21D.33

4,分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦-曼德爾布羅在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科,它的創(chuàng)

立為解決眾多傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的難題提供了全新的思路.按照如圖1所示的分形規(guī)律可得如圖2

所示的一個(gè)樹形圖.記圖2中第〃行黑圈的個(gè)數(shù)為4，若4=144,則〃=

O..............................第1行

?W

O\

一O

O?...............第3行

圖1圖2

A.5B.6C.7D.8

5.已知直線/:y=3x與圓C:f+/-4y=0相交于A,B兩點(diǎn)，則ABC的面積為

2x/38

5

6.已知正方體ABCO-AMGR的棱長為3,M,N分別為棱AA，CG的中點(diǎn)，點(diǎn)。是棱4。

上靠近點(diǎn)Q的三等分點(diǎn),則平面MNQ截該正方體所得截面的面積為

A.734B.2扃

7.某大型超市設(shè)立了“助農(nóng)促銷”專區(qū)，銷售各種農(nóng)產(chǎn)品,積極解決農(nóng)民農(nóng)副產(chǎn)品滯銷問題.為加

大農(nóng)產(chǎn)品銷量,該超市進(jìn)行了有獎(jiǎng)促銷活動(dòng),凡購買專區(qū)的農(nóng)產(chǎn)品每滿100元的顧客均可參加該

活動(dòng),活動(dòng)規(guī)則如下:將某空地劃分為(1)(2)(3)(4)四個(gè)區(qū)域,顧客將一皮球投進(jìn)區(qū)域(1)或者(2)

一次,或者投進(jìn)區(qū)域(3)兩次,或者投進(jìn)區(qū)域(4)三次,便視為中獎(jiǎng),投球停止,且投球次數(shù)不超過

四次.已知顧客小王每次都能將皮球投進(jìn)這塊空地，他投進(jìn)區(qū)域⑴與⑵的概率均為

p(0<p<l),投進(jìn)區(qū)域(3)的概率是投進(jìn)區(qū)域(1)的概率的2倍,且每次投皮球相互獨(dú)立.小王第

二次投完皮球首次中獎(jiǎng)的概率記為々，第四次投完皮球首次中獎(jiǎng)的概率記為鳥，若耳>鳥，則

p的取值范圍為

V

8.已知雙曲線C:x~亡一方=1(。>0,6>0)的左焦點(diǎn)為F,雙曲線C上的兩點(diǎn)A,3關(guān)于原點(diǎn)。

對(duì)稱(其中點(diǎn)A在雙曲線C的右支上)，且|04HI，雙曲線C上的點(diǎn)D滿足DF^-FB,

2

則雙曲線C的離心率為

二、選擇題;本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.2022年秋,我國南方某地臍橙大豐收，甲、乙兩名網(wǎng)紅主播為幫助該地銷售臍橙，開啟了連

續(xù)10天針對(duì)該地臍橙的直播帶貨專場(chǎng)，下面統(tǒng)計(jì)圖是甲、乙兩名主播這10天的帶貨數(shù)據(jù)：則下列

說法中正確的有：

A.甲主播10天帶貨總金額超過乙主播10天帶貨總金額

B.乙主播10天帶貨金額的中位數(shù)低于82萬元

C.甲主播10天帶貨金額的極差小于乙主播10天帶貨金額的極差

D.甲主播前7天帶貨金額的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙主播前7天帶貨金額的標(biāo)準(zhǔn)差

,5,5

10.已知幺<J<0,則下列不等式一定成立的有

ba

A.—>1B."二"<0C.—<"+；D.be<ba

acbh+c

11.如圖，已知圓雉的頂點(diǎn)為S,底面AC6。的兩條對(duì)角線恰好為圓。的兩條直徑，分別為

SASC的中點(diǎn)，且S4=AC=AD,則下列說法中正確的有

A.SD"平面OEF

B.平面。所//平面S3。

C.OE1SA

D.直線瓦'與SD所成的角為45°

廠+若關(guān)于的方程"（/（回"=（力）—2m至

12.已知函數(shù)f（x）=—22,",1,X6+2）/（/（

2v-2,x>l,

少有8個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)加的取值不可能為

A.-1B.0C.1D.2

三、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分。

13.2022年卡塔爾世界杯期間,3男3女共6位球迷賽后在比賽場(chǎng)地站成一排合影留念,則男、女

球迷相間排列的概率為.

14.勾股數(shù)是指可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù),若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)把長軸分成長

度分別為〃?，〃的兩段，且加10恰好為一組勾股數(shù)，則C的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程為.（寫出

滿足條件的一個(gè)即可）

15.已知函數(shù)/（x）=2sin（tyx+e）（0>0,lel,,,若/（一專）=0,對(duì)于任意的xeR都有

/仁—X）=/1.+“，且J'"）在區(qū)間傳與上單調(diào),則但的最大值為.

16.已知函數(shù)/（X）=2023er-ax2-\｛aeR）有兩個(gè)極值點(diǎn)為,乙，且W22%，則實(shí)數(shù)a的取

值范圍為.

四、解答題:本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（本小題滿分10分）

己知數(shù)列｛??｝的前n項(xiàng)和為S,,且-2=S“+an,_______.

請(qǐng)?jiān)冖派?為=20；⑵at,a2,a5成等比數(shù)列；（3）S5=a2+a4+15,這三個(gè)條件中任選一

個(gè)補(bǔ)充在上面題干中，并解答下列問題.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）若6.=—10,求數(shù)列｛MJ｝的前〃項(xiàng)和Tn.

注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,則按第一個(gè)解答計(jì)分.

18.（本小題滿分12分）

沙漠治理能使沙漠變成一片適宜居住的地方,不讓沙漠?dāng)U大化.近30年來,我國高度重視防沙

治沙工作，相繼采取了一系列重大舉措加快防沙治沙步伐,推動(dòng)我國防沙治沙事業(yè).我國某沙漠

地區(qū)采取防風(fēng)固沙、植樹造林等多措并舉的方式,讓沙漠變綠洲,通過統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn),該地區(qū)沙漠面積

y（單位:公頃）與時(shí)間x（單位:年）近似地符合y=-+a｛a,bwR）回歸方程模型（以2016年作

X

為初始年份，x的值為1）,計(jì)算2016年至2022年近7年來的y與x的相關(guān)數(shù)據(jù)，得

77_7_1

元=4,?&=7212,V=1586,F?0.37,-IT2?0.55（其中）=—,看表示第i年,

i=iz=iXj

掇由7,ZGZ)

年份2016201720182019202020212022

年數(shù)11234567

沙漠面積y891888351220200138112

(1)求y關(guān)于x的回歸方程；

(2)從2016年起開始計(jì)算,判斷第24年該地區(qū)所剩的沙漠面積是否會(huì)小于75公頃.

附:對(duì)于一組數(shù)據(jù)(多,巧),(4,%)，，(%/“)，其回歸直線方程6=+2的斜率和截距的最

-nuv

小二乘估計(jì)分別為/=丹---------,a=v-3.

19.(本小題滿分12分)

已知乙ABC的內(nèi)角A,民C所對(duì)的邊分別為a,b,c,2(csinC-。sinCcos3)—csin8=0.

⑴若ctanC=〃tanjB,求證：_A5c是等邊三角形；

(2)已知,A3。的外接圓半徑為2叵，求」一的最大值.

3a+b+c

20.(本小題滿分12分)

如圖，在四棱雉P-ABCD中，,94。為等邊三角形，AD//BC,ABVBC,且

PC=AD=245=28C=2,平面R4D_1_底面ABCD

(1)證明：AB_L平面P4O;

P

(2)點(diǎn)M為棱PC的中點(diǎn)，求二面角“一AB—。的正弦值.AA

D

BC

21.(本小題滿分12分)

已知點(diǎn)M(l,-2)在拋物線C-.y2=2PMp>0)上，過點(diǎn)N(0,—l)的直線/與C相交于A,3兩

點(diǎn),直線MA,MB分別與y軸相交于點(diǎn)D,E.

(1)當(dāng)弦A5的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為3時(shí)，求/的一般方程；

(2)設(shè)0為原點(diǎn)，若DN=mON,EN=nON,求證：--為定值.

22.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=m(lnx-1)—(2-m)x,(mw0).

⑴討論/(x)的單調(diào)性；

⑵設(shè)函數(shù)b(x)=/(x)+2sin;r+l,求證:當(dāng)m=1時(shí)，恰有兩個(gè)零點(diǎn).

參考答案

一、選擇題

1.B【解析】

.32+i.(2+i)(l+i).11..?11.遼、冷門

由已知得z=------F21=-------------F21=----1—1,故2=-------1.故選B.

1-i22222

2.A

【解析】由已知得4={乂3%-f+4>0}=(—1,4),5=4+00),由4門5=4,得4=3,所以

t?一1.故選A.

3.C

【解析】因?yàn)閍—b=(G,—2),所以|a-b『=|a|2—2a-b+|b|2=5—2a-b=7"ija-b=—l,

所以|2a—b『=4|a『-4a-b+1b『=21,即|2a-b|=技.故選C.

4.C

【解析】已知凡表示第〃行中的黑圈個(gè)數(shù)，設(shè)燈表示第〃行中的白圈個(gè)數(shù)，由于每個(gè)白圈產(chǎn)生下

一行的1個(gè)白圈1個(gè)黑圈，一個(gè)黑圈產(chǎn)生下一行的1個(gè)白圈2個(gè)黑圈，

Aan+}=2an+bn,bn+}=an+hn,又%=0也=l9a2=1也=1嗎=2x1+1=3也=1+1

=2,4=2x3+2=8,/?4=3+2=5,%=2x8+5=21

b5=8+5=13,牝=2x21+13=55,々=21+13=34,%=2x554-34=144,二〃=7.故選C.

5.B

【解析】圓C的方程為V+(y-2)2=4,故圓心坐標(biāo)為C(0,2),半徑r=2,

點(diǎn)C到線段AB的距離為d=|3,x0-21=AB|=2J/.4=迎，

A/32+12M5

：^ABC的面積S=；|A5R/=4.故選B.

6.B

【解析】如圖所示，M,N分別是A4,,CC,中點(diǎn)，則

MN//4G//AC,作QE//4G,交GA于E,連接EN,并

延長交DC的延長線于點(diǎn)K,連接,并延長交DA的延長L：B\'、；N

線于點(diǎn)T,連接77C交AB于點(diǎn)G,交8C于點(diǎn)尸，則

QENFGM為過M,N,Q三點(diǎn)的截面.由面面平行的性質(zhì)定理

得TK//QE，從而有TK//ACA]Q=2,D,Q=l,則

T

DiE=RQ=l,C[E=4Q=2，因?yàn)镹是CG中點(diǎn)，

QE//CK,所以CK=C、E=2，又因?yàn)門K//AC,所以CF=CK=2,同理

=卜+，梯形QENM是等腰梯

AG=2,BG=BF=l,QE=?,MN=3㈤EN

==半截面面積

形，且梯形QENM與梯形FGMN全等，高為力

S=2x；(QE+MN)〃=2用.故選B.

7.C【解析】小王投進(jìn)區(qū)域⑶的概率為2p,投進(jìn)區(qū)域⑷的概率為1一4〃，故()<〃<；.小王第

二次投完皮球后，首次中獎(jiǎng)包含''第一次區(qū)域(1)(2)均末投中，第二次投中區(qū)域(1)或(2)”和“第

一次與第二次均投中區(qū)域⑶”兩個(gè)事件,則概率為［=(l-2p)x2p+(2p)2=2p.第四次投

完皮球后,首次中獎(jiǎng),需前三次投完后有一次投進(jìn)區(qū)域(3),有兩次投進(jìn)區(qū)域(4),

因此P2=C；X2〃(1-4〃)2=6p(l+16p2-8p),令鳥一片<0,

得24〃2-12〃+1<0,解得土衛(wèi)<〃<也叵，又0<p<^，所以三叵<〃<1.故選C.

12124124

【解析】如圖所示，F(xiàn)'為雙曲線右焦點(diǎn)，則由|。旬=|03|,|0/]=|0尸],得四邊形4￡8尸為平

行四邊形，又由IQAR81,可得|A31=|,可得四邊形AFBF為矩形.設(shè)

\BF^\AF'\=m,則忸/]=|AF|=2a+m,\DF|=g旬DF'\^2a+^m

cosNDFF'=-cosZAF'F=一"(,

|FF|2c

在,DFF'中，由余弦定理得|DF'f=|DF|2+\FF'f-2|DF|-|FF|-cosZDFF',

即f2a+-m\=-rrr+4c2+2x^^x2c--,即4a2-5m2+10am=

I2J422c

4c2①,在Rt.MFF中，|+|A/T=怛戶.，

即(2a+〃z)2+〃?2=4C,2(2),聯(lián)立(1)(2)解得,m=-a,

7

代人②，得(掌)+(?=4°2,解得0=(=粵2故選A.

10.BD

c5?11

【解析】由J<0,得cwO,當(dāng)c>0時(shí)，得0>±>上，即。<人<0;當(dāng)cvO時(shí)，

baah

得0<L<L,即”>人>0,綜上a</?<O<c或a>Z?>O>c,上述兩種情況均可得0<2<1,

aba

故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)。<〃<

0<c時(shí),得3~-<(),當(dāng)口寸,得^~-<(),故B選項(xiàng)正確;令。=一1,〃=-」,<?=1,

cc2

22

則0=2,絲斗=0,從而得->把三，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；由上述論證可知bc<O<ba恒成立，

bb+cbb+c

故D正確.故選BD.

11.ABC

【解析】由已知可得四邊形ACBO為正方形，且四棱雉S—AC8O各棱長均相等，由。尸分別

為CD,SC的中點(diǎn)，可得OFUSD，又OFu平面OEF,SO仁平面OEF,所以SDH平面

OEF,故A選項(xiàng)正確；又O,E分別為AB,SA的中點(diǎn)，所以QE//SB,

又OEu平面OEF,SB仁平面OEF,故SB//平面OEF,而SDcSB=S,

且SBu平面SBD,SDu平面SBD,所以平面OEF//平面SBD,故B選項(xiàng)正確；

2

設(shè)1s4=1,則SB=AD=3。=1,AB=0AD=&,所以SA?+SB=A3?,即，SB,由

B選項(xiàng)可知OE〃SB,所以O(shè)E_LS4,故C選項(xiàng)正確；EF//AC//BD,

故NSDB(或其補(bǔ)角)即為異面直線EF與SD

所成的角，而NSDB=60",故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選ABC.

12.AD

【解析】由"(/析))F=(m+2)/(/(x))-2m,得"(/(x))—2]"(f(切—汨=0,解得

/(/(x))=2或/(/(x))=〃z,作出/(x)的圖象如圖所示，

若/(x)=2,則x=0或》=2,設(shè)^=/(x),由/(/(x))=2,得/。)=2,此時(shí)八=0或f2=2.

當(dāng)％=0時(shí)，/(%)=匕=0,有2個(gè)不等的實(shí)根；當(dāng)L=2R寸，/(%)=灰=2,有2個(gè)不等的實(shí)根,

所以/(/。))=2有4個(gè)不等的實(shí)根，若原方程至少有8個(gè)不等的實(shí)根，則必須有加。2且

/(/(x))=m至少有4個(gè)不等實(shí)根，若加=0,由/Q)=機(jī)=0,得％=—1或G=l,/(x)=-lW

1個(gè)根，/(X)=1有3個(gè)不等的實(shí)根,此時(shí)有4個(gè)不等的實(shí)根,滿足題意;若，〃>2,由/(r)=m,

得t>2,/(%)=r有1個(gè)根,不滿足題意;若相<0,由f(t)=機(jī)，得r<一1,f(x)=r有1個(gè)根,不

滿足題意；若0<2,由/(/)=m,得-l</t<0或。<，2<1或1<，3<2,當(dāng)

-1<4<0,/3)=4有1個(gè)根，當(dāng)0<弓<1時(shí)，/(幻=9有3個(gè)不等的實(shí)根，當(dāng)1<與<2時(shí),

f(x)=〃有3個(gè)不等的實(shí)根，此時(shí)共有7個(gè)不等的實(shí)根，滿足題意.綜上實(shí)數(shù)優(yōu)的取值范圍為

13-1?

【解析】6位球迷站成一排的不同方法數(shù)為〃=A：,其中男、女球迷相間排列的方法數(shù)為m

2&A,所以所求的概率為。=二=逍喧=,

〃6

22222222

14.---F=1或—I---=1或11----=1或----1—--=1(答案不唯一,寫出一個(gè)即可)

49484948625624625624

,…一〃+c=8,a+c=26,

【解析】含10的勾股數(shù)有(6,8,10),(10,24,26),不妨令加<〃，則有｛或｛

。一c=6,。-c=24,

4=7,CI=25,err

解得｛或｛當(dāng)。=7,c=l時(shí)，〃="一/=48;當(dāng)4=

c=l,c=l.

25,c=l時(shí)，/=〃_。2=624.故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+匕=1或乙+工=1或

49484948

222)

y廠…xy一1

----1----=1或-----1----=1.

625624625624

15.18

【解析】由于/仁—=則/(X)的圖象關(guān)于直線X.對(duì)稱,U

2sin---F夕|=±2,--->(p=—卜k[7r(k]GZJ①，

V6)62

KCD+*)=O,-得+*=&2乃化2eZ②，①-②得

2sin77

7CCD/,j\7T.,_*,?11rrniil兀①i兀r\/1

4-=(%]一%2)乃+耳狀]一何￡Z,a4=匕一心,&wZ,則-彳=k/r+—,69=4Ak7+2(女

27r7i

GZ),-.G>0,「"￡N,/O)=2sin(s+°)的最小正周期丁=——=-----(kGN),.f(x)

co2Z+1

在區(qū)間(葛，方)上單調(diào)，

T7171717TII

\T=-----…一，解得鼠一(A：￡N),G=4左+2/wN),

2972242Z+1122

當(dāng)k=5時(shí)，0=22,則②式為---乃+0=&凡夕=一4+幺乃(&￡Z),又

66

|初,，—,^9=——,Z^2=-2,此時(shí)f(x)=2sin(22x—7)，當(dāng)x￡時(shí)'

”幾

22x---e，，此時(shí)不單調(diào)，不符合題意，舍去；當(dāng)k=4時(shí)，口=18,則②式為

6

33TT7T當(dāng)

+(p=k27r,(p=—+k27V^k2wZ),又lol,,—

7Tjr

k?=-1時(shí)，,當(dāng)乂=—2時(shí)，夕=——

此時(shí)f(x)=2sin(18x±])=±2cosl8x,當(dāng)xe時(shí)，18xe(苧,2萬

此時(shí)/(x)單調(diào),符合題意.故。的最大值為18.

(解析]?'(X)=2023e'-2公，因?yàn)閮?nèi),9是函數(shù)fM=2023ev-ar2-l(aeR)的

兩個(gè)極值點(diǎn),所以X=X1和X=Z是函數(shù)/'(X)的兩個(gè)零點(diǎn)，

即是方程2023e'-2ax=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，x=0顯然不符合方程2023e*-20r=0,

x

所以x=%和x=z是方程上2aL=Je的兩個(gè)根，

2023x

所以函數(shù)g(x)=亍的圖象與直線y=洸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為石由于g'(x)=^(―X-De"所以當(dāng)冗<0或0cx<1時(shí)，

X

g\x)<0;當(dāng)x>1時(shí)，g'(x)>0,故g(x)的減區(qū)間為(-00,0)和(0,1)，增區(qū)間為(1,+00),

當(dāng)x—>-co時(shí)，g(x)―>0,且g(x)v0,當(dāng)x<0且x―0時(shí)，

g(x)—>-8；當(dāng)0<兀,1時(shí)，x-0時(shí)，^(x)—>+oo,

且g(X)min=g(D=e；當(dāng)了>1時(shí)'X->+00時(shí)，，gO)-^400.

作出g(x)的草圖如圖所示，由圖可知,若有兩個(gè)交點(diǎn)，應(yīng)茄會(huì)>e,且％>0,x2>0,

Qlg2/

因?yàn)槌?%，取%2=2%,并令X]=￡,(/>()),則々=2/,所以7=五，解得，=ln2,

“a2。2,曰2023什c、2023口門心⑼m/士"中曰「2023

此時(shí)----=----,得。=-----，右人2-2%需?！?----,即實(shí)數(shù)。的1V取值氾圍是-----,+oo

2023In2In2In21ln2

17.解:(1)由題可知\+|-S“=q+2,即a?+1=?！?2,所以數(shù)列｛q｝是首項(xiàng)為4,公差為2的

等差數(shù)列.若選⑴：由%+%=20,得％+d+%+8d=20,即2al=20-9”,

所以2q=20—9x2=2,解得q=1,所以a,,=q+(n-l)J=l+2(n-l)=2n-l,

即數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為凡=2〃-1.若選(2):因?yàn)轳R,生,火成等比數(shù)列，

所以a；=ata5,即(4+2)?=q(q+8),解得q=1,

所以4=4+(〃一l)d=1+(〃-1)x2=2〃-1,即數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為4=2〃-1.

若選⑶：由S5=%+%+15,得5a3=2a3+15,即4=4+4=5,

所以q=1,即數(shù)列｛??)的通項(xiàng)公式為4=2〃-1.

⑵由⑴得〃=/-10=2〃-11,令2<0,得〃<6,所以當(dāng)〃<6時(shí),

北=網(wǎng)|+|%++聞=9+7++(ll-2n)=W(9+^-2n)=10n-n2,

當(dāng)兒.6時(shí)，鴛=4+|4|+W|+.+|^,|=-5'5+^6+b7++bn

=S-10n+100-2S,

〃(l+2〃-1)5(1+9)21廠八

----------1()/?+l()0-2x-^——-=H2-1()H+5()

22

\Qn-n2,n<6

綜上所述,T〃=<

n2-10/z+50,n>6

18.解：(l)由表中數(shù)據(jù)可得了=gx(891+888+351+220+200+138+112)=400,

因?yàn)?=■!■,設(shè)y關(guān)于f的線性回歸方程為夕=R+&,

X

7

1586—7x().37x40()

則2=與---------=1000,則6=400—1000x0.37=30,

Z"7產(chǎn)055

故y關(guān)于x的回歸方程為夕="四+30.

X

(2)由回歸方程$=US+30可知,隨著x的增大，y逐漸減小，當(dāng)x=24時(shí)，

X

y=US+30a71.7<75,故第24年該地區(qū)所剩的沙漠面積會(huì)小于75公頃.

-24

19.解：(1)由正弦定理得2(sin2C-sinAcosBsinC)-sinBsinC=0,

又(?￡((),7),「.sinCwO,...2sinC-2sinAcos3-sin3=0,

/.2sin(A+8)-2sinAcosB-sin5=0,/.2cosAsinB=sinB,

1jr

又5￡(0,4)，.飛m3w0「.2cosA=1,BPcosA=—,-Ae(0,^),.\A=y

由ctanC=Z?tan5,則c?包C=b?‘出',即i2ccosB-sin2BcosC=0,

cosCcosBsn

(1-cos2C)cos5-(1一cos23)cosC=0,整理得(1+cosBcosC)(cosB-cosC)=0.

B,Ce(0,4),「.cosB,cosCG(-1,1),/.l+cosBcosCw0,則cosB=cosC,

.?.3=c=工二a=^=A,.NABC為等邊三角形.

23

(2)由(1)得4=三，由正弦定理得a=2RsinA=S§x@=2,

332

由余弦定理得a2=b2+c2-bc=(b+c)?-3bc,

.,.(b+c，y-4=3bc(1),

he__3bc_("+，)-4_1〃)

???^77=3(2+0+C)=3(2+0+C)=1(一人

(0+C)2

be<------,

4

.,?由⑴式可得(〃+鎮(zhèn)一44迎誓

即"cW4,當(dāng)且僅當(dāng)6=c=2時(shí)等號(hào)成立，(11分)

故———---=-(/?+c-2)<—,

a+b+c3、'3

???T-的最大值為2.

a+b+c3

20.解：⑴?AD//BC,AB±BC,

.-.AD1AB,

又平面B4￡>_L平面ABCD,平面PADr>平面ABCD=AD,ABu平面ABCD,

.?.48_1平面~4。.

(4分)

⑵取AD的中點(diǎn)0,連接OC,OP,

■：APAD為等邊三角形,且。是AO的中點(diǎn)，

：.POLAD

PO=APsin60°=6.

又平面PAD_L平面ABCD,平面PADo平面

ABCD=A。,POu平面PAD,

.?.PO_L平面ABC。，

AO=-AD=BC=\,AO//BC,AB1BC

四邊形ABC。為矩形，又.20，平面48。。；.20,。。,0。兩兩垂直,

故以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC,OD,OP分別為x,y,z軸建

立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4(),-l,()),3(l,-l,0),C(l,(),0),P(0,(),省),M-,0,^-,

；，百”=(?！?，回

則43=(l,(),0),BM

設(shè)平面ABM的法向量為n=(3,y,zJ,

令4=2,得n=(0,-6,2).設(shè)平面ABP的法向量為

m=(x,,y2,z2),

令Z2=1,得m=(0,一百,1).

設(shè)二面角M—A3-尸的大小為仇由圖可知。為銳角，

AInm||0x0+(-73)x(-V3)+2xl|5百

|n||m|J0+3+4.J0+3+114

sin0=Vl-cos2^=囪,.?.二面角M-AB-P的正弦值為—.

1414

21.解：⑴由點(diǎn)M(l,-2)在拋物線C:/=2px上,所以〃=2,

所以拋物線C的方程為y2=4x.設(shè)直線I的方程為y=kx—Rk豐0),A(%,y),B(±,%).

由I'=4x,得％2/_(2&+4?+1=().

y-kx-\.

依題意A=(2左+4產(chǎn)一4x〃xl>0,解得左>—1且ZwO.且為+々=筌±%々=J.

2^+4

因?yàn)橄褹B的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為3,所以％+馬=6,即——=6,

K

2

解得左=1或女=—§,所以/的一般方程為x—y-1=0或2x+3y+3=0.

(2)直線M4的方程為y+2=&土2(x-1).令x=0,得點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為=匕出土出.

xx-1Xj-1

所以D(0,]-、+2)x],同理得點(diǎn)后的坐標(biāo)為E((J-史2)士

kX]-IX2—lJ

由￡)N=mON,EN=〃ON,得%=l+yo=—^^,

、

.(l+Qx,EI11I-%l-x2

H=1+yF=-----2.所以一+—=----^―+-----J

x2-1mn(k+1)X)(k+l)x2

](%+4]

——(2Z+4—2)=2.

Z+l(XyX2,Z+1