軌跡問題易錯點分類例析

精品文檔-下載后可編輯軌跡問題易錯點分類例析在求軌跡方程時，常因考慮不周引起軌跡的增加或減少，從而導(dǎo)致解答錯誤?，F(xiàn)舉例分析如下：

一、忽視動點運動至特殊位置引起的錯誤

例1如圖1,M為圓(x－2)2+y2=1上的動點，點A（1，0）為圓上的定點，作MNy軸于N,求直線OM與AN交點的軌跡方程。

參考答案為8x2－10x+y2+3=0（除去與x軸的交點）。筆者認為這個答案是不完備的。這是因為當(dāng)點M運動至重合于點A或點B（B為定圓與x軸的另一交點）時，點N重合于點O,此時直線OM與AN的交點有無數(shù)個，它們的集合為x軸。因此，正確答案應(yīng)為橢圓8x2－10x+y2+3=0與直線y=0。

二、方程變形不同解引起的錯誤

例2已知點O（0,0）和點A（c,0）,求滿足：|OP|2－|PA|2=c的點P的軌跡方程（c是常數(shù)）。

一些學(xué)生給出的解答為：設(shè)P（x,y）是軌跡上一點，依題意，得x2+y2－［(x－c)2+y2］=c,

整理得2cx－c2=c,(1)

故所求軌跡方程為2x－c=1。（2）

這個答案是不完備的，因為由（1）推出（2）是不同解變形，顯然c=0時，方程2cx－c2=c為恒等式，此時無論x取何值都適合此一方程，這就是說坐標(biāo)平面上的點都在軌跡之中。正確答案應(yīng)為：

當(dāng)c≠0時，軌跡為直線2x－c=1；

當(dāng)c=0時，軌跡為整個坐標(biāo)平面。

三、觀察圖形以偏概全的錯誤

例3在ABC中，B(1，0),C（5，0），且tanB+tanC=3,試求點A的軌跡。

這是某市印發(fā)的綜合練習(xí)題中的一道習(xí)題。題末給出的答案是(x－3)2=－43(y－3)(1

四、忽視隱含條件引起的錯誤

例4直角三角形兩直角邊分別為a和b，當(dāng)兩銳角頂點A、B分別在互相垂直的兩軸上移動時，求直角頂點C軌跡方程。（圖3）

根據(jù)O、B、C、A四點共圓，得∠COA=∠CBA=a,從而推知點C在傾斜角等于a并且經(jīng)過原點的直線上，注意到點C運動到其他象限內(nèi)時也有類似的規(guī)律，于是得到所求軌跡為y=±bax。

這個答案是不純粹的。因為O、A、C、B四點共圓時，AB為直徑，顯然有|OC|≤|AB|=a2+b2,－a≤x≤a。正確答案為y=±bax(－a≤x≤a），它表示的是兩條相交線段而不是相交直線。

五、忽視參變量取值范圍引起的錯誤

例6圓x2+y2=4上的定點A（2，0）和兩個動點B、C,且∠BACπ3,求ABC的重心的軌跡。

學(xué)生先證明了當(dāng)∠BACπ3時，恒有∠BOC=2π3,然后設(shè)B(2cosθ,2sinθ),得C[JB((]2cos(θ+2π3),2sin(θ+2π3),再設(shè)ABC的重心為P(x,y),則有

x=13[JB(\2+2cosθ+2cos(θ+2π3)[JB)]],(1)

x=13[JB(\2sinθ+2sin(θ+2π3)[JB)]]。(2)

有以上二式消去參數(shù)θ，整理后得所求軌跡的普通方程為(x－23)2+y2=49。

上面的推導(dǎo)過程沒有錯誤的，只是忽視了參變量θ的取值范圍，因而增加了軌跡。事實上，因為∠BOC恒等于2