多重均值比較與方差分析前提假設(shè)的檢驗

學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握單因素方差分析的方法及應(yīng)用；初步了解多重均值比較方法的應(yīng)用；12/28/20231失業(yè)保險案例：為什么要進(jìn)行方差分析？

為了減小失業(yè)保險支出、促進(jìn)就業(yè)，政府試圖為失業(yè)者提供再就業(yè)獎勵：如果失業(yè)者可以在限定的時間內(nèi)重新就業(yè)，他將可以獲得一定數(shù)額的獎金。政策會有效嗎？

12/28/20232試驗數(shù)據(jù)不同獎金水平失業(yè)者的再就業(yè)時間（天）

無獎金低獎金中獎金高獎金9286967810010892758593907688887787898979739075718394788282807275687879817212/28/20233要研究的問題總體1，μ1（獎金=1）總體2，μ2

（獎金=2）總體3，μ3（獎金=3）樣本1樣本2樣本3樣本4總體4，μ4（獎金=4）12/28/20234各個總體的均值相等嗎？Xf(X)

1

2

3

4

Xf(X)

3

1

2

4

12/28/20235失業(yè)保險案例：實驗結(jié)果……1=無獎金2=低獎金3=中獎金4=高獎金。根據(jù)實驗結(jié)果，可以認(rèn)為各總體的平均失業(yè)時間相同嗎？12/28/20236研究方法：兩樣本的t檢驗？如果采用t檢驗法對多個總體均值進(jìn)行差異顯著性檢驗，會出現(xiàn)如下問題：全部檢驗過程煩瑣，做法不經(jīng)濟無統(tǒng)一的總體方差估計，檢驗的精度降低犯第一類錯誤的概率增大，檢驗的可靠性降低12/28/20237思考7歲兒童的平均身高為102，現(xiàn)測得某班12名7歲兒童身高分別為：97、99、103、100、104、97、105、110、99、98、103、99請問該班兒童身高與平均水平是否存在差異？12/28/20238方差分析可以用來比較多個均值方差分析（Analysisofvariance，ANOVA）的主要目的是通過對方差的比較來同時檢驗多個均值之間差異的顯著性?？梢钥醋鱰檢驗的擴展，只比較兩個均值時與t檢驗等價。20世紀(jì)20年代由英國統(tǒng)計學(xué)家費喧（R.A.Fisher）最早提出的，開始應(yīng)用于生物和農(nóng)業(yè)田間試驗，以后在許多學(xué)科中得到了廣泛應(yīng)用。12/28/20239ANOVA(analysisofvariance)由于方差分析法是通過比較有關(guān)方差的大小而得到結(jié)論的，所以在統(tǒng)計中，常常把運用方差分析法的活動稱為方差分析。方差分析的內(nèi)容很廣泛，既涉及到實驗設(shè)計的模式，又關(guān)乎數(shù)據(jù)分析模型中因素效應(yīng)的性質(zhì)。本章在完全隨機試驗設(shè)計下，討論固定效應(yīng)模型方差分析的基本原理與方法，重點介紹單因素方差分析。12/28/202310方差分析中的基本假設(shè)（1）在各個總體中因變量都服從正態(tài)分布；（2）在各個總體中因變量的方差都相等；（3）各個觀測值之間是相互獨立的。12/28/202311同一試驗條件下的數(shù)據(jù)變異-----隨機因素影響不同試驗條件下，試驗數(shù)據(jù)變異-----隨機因素和可能存在的系統(tǒng)性因素即試驗因素共同影響試驗數(shù)據(jù)變異原因（誤差來源）分析12/28/202312實驗數(shù)據(jù)誤差類型隨機誤差因素的同一水平(總體)下，樣本各觀察值之間的差異比如，同一獎金水平下不同不同人的失業(yè)時間是不同的這種差異可以看成是隨機因素影響的結(jié)果，稱為隨機誤差

系統(tǒng)誤差因素的不同水平(不同總體)下，各觀察值之間的差異比如，不同獎金水平之間的失業(yè)時間之間的差異這種差異可能是由于抽樣的隨機性所造成的，也可能是由于獎金本身所造成的，后者所形成的誤差是由系統(tǒng)性因素造成的，稱為系統(tǒng)誤差12/28/202313方差分析的實質(zhì)與分析目的方差分析的實質(zhì)：觀測值變異原因的數(shù)量分析。方差分析的目的：系統(tǒng)中是否存在顯著性影響因素12/28/202314

單因素方差分析模型（1）單因素方差分析:模型中有一個自變量（因素）和一個因變量。在失業(yè)保險實驗中，假設(shè)張三在高獎金組，則

張三的失業(yè)時間

=高獎金組的平均失業(yè)時間+隨機因素帶來的影響

=總平均失業(yè)時間

+高獎金組平均值與總平均值之差

+隨機因素帶來的影響

12/28/202315

單因素方差分析模型（2）12/28/202316總變差（離差平方和）的分解數(shù)據(jù)的誤差用離差平方和(sumofsquares)描述。組內(nèi)離差平方和(withingroups)因素的同一水平(同一個總體)下樣本數(shù)據(jù)的變異比如，同一獎金水平下失業(yè)時間的差異組內(nèi)離差平方和只包含隨機誤差組間離差平方和(betweengroups)因素的不同水平(不同總體)下各樣本之間的變異比如，四個獎金水平之間失業(yè)時間的差異組間離差平方和既包括隨機誤差，也包括系統(tǒng)誤差12/28/202317總變差（離差平方和）分解的圖示組間變異總變異組內(nèi)變異12/28/202318SST＝SSA＋SSE

總變差因素A及隨機因素導(dǎo)致的變差隨機因素導(dǎo)致的變差組間離差平方和組內(nèi)離差平方和12/28/202319離差平方和的自由度與均方三個平方和的自由度分別是SST的自由度為nk-1，nk為全部觀察值的個數(shù)SSA的自由度為k-1，其中k為因素水平的個數(shù)SSE的自由度為nk-k各離差平方和的大小與觀察值的多少有關(guān)，為了消除觀察值多少對離差平方和大小的影響，需要將其平均，這就是均方，也稱為方差。均方的計算方法是用離差平方和除以相應(yīng)的自由度。12/28/202320組間離差平方和組內(nèi)離差平方和組間方差組內(nèi)方差受因素A和隨機

因素的影響只受隨機

因素的影響12/28/202321F比值如果因素A的不同水平對結(jié)果沒有影響，那么在組間方差中只包含有隨機誤差，兩個方差的比值會接近1如果不同水平對結(jié)果有影響，組間方差就會大于組內(nèi)方差，組間方差與組內(nèi)方差的比值就會大于1當(dāng)這個比值大到某種程度時，就可以說不同水平之間存在顯著差異，或者說因素A對結(jié)果有顯著影響。組間方差組內(nèi)方差F=12/28/202322F比的分布F分布曲線12/28/202323F分布與拒絕域如果均值相等，F(xiàn)=MSA/MSE

1a

F分布顯著水平下的臨界點F

(k-1,nk-k)0拒絕H0不能拒絕H0F12/28/202324

方差分析的基本思想將k個水平（處理）的觀測值作為一個整體看待，利用方差的可分解性，把觀測值總變異的離差平方和及自由度分解為相應(yīng)于不同變異來源的離差平方和及自由度，進(jìn)而獲得不同變異來源總體方差估計值；通過計算這些總體方差估計值的適當(dāng)比值，即F比值，并以此比值的大小來判斷各樣本所屬總體平均數(shù)是否相等。目的是檢查所討論因素是否作為系統(tǒng)性因素來影響試驗結(jié)果。12/28/202325思考題有三臺機器生產(chǎn)規(guī)格相同的鋁合金薄板，為檢驗三臺機器生產(chǎn)薄板的厚度是否相同，隨

機從每臺機器生產(chǎn)的薄板中各抽取了5個樣品，測得結(jié)果如下：

機器1：0.236,0.238,0.248,0.245,0.243

機器2：0.257,0.253,0.255,0.254,0.261

機器3：0.258,0.264,0.259,0.267,0.262

問：三臺機器生產(chǎn)薄板的厚度是否有顯著差異？12/28/202326思考：有無差異？某化肥生產(chǎn)商需要檢驗三種新產(chǎn)品的效果，在同一地區(qū)選取3塊同樣大小的農(nóng)田進(jìn)行試驗，甲農(nóng)田中使用甲化肥，在乙農(nóng)田使用乙化肥，在丙地使用丙化肥，得到6次試驗的結(jié)果如表2所示，試在0.05的顯著性水平下分析甲乙丙化肥的肥效是否存在差異？、甲

50

46

49

52

48

48

、乙

49

50

47

47

46

49

、丙

51504946505012/28/202327方差分析檢驗的步驟1.檢驗數(shù)據(jù)是否符合方差分析的假設(shè)條件。2.提出零假設(shè)和備擇假設(shè)：零假設(shè)：各總體的均值之間沒有顯著差異，即

備擇假設(shè)：至少有兩個均值不相等，即12/28/202328方差分析的步驟3.根據(jù)樣本計算F統(tǒng)計量的值。方差分析表變差來源離差平方和SS自由度df均方MSF值組間SSAk-1MSAMSA/MSE組內(nèi)SSEnk-kMSE總變異SSTnk-112/28/202329方差分析的步驟4.確定決策規(guī)則并根據(jù)實際值與臨界值的

比較，或者p-值與α的比較得出檢驗結(jié)論。

在零假設(shè)成立時組間方差與組內(nèi)方差的比值服從服從自由度為(k-1,nk-k)的F分布臨界值拒絕域p-值α實際值

F檢驗的臨界值和拒絕域

12/28/202330失業(yè)保險的例子（1）在失業(yè)保險實驗中，設(shè)顯著性水平α=0.05，試分析獎金水平對失業(yè)時間的影響是否顯著。不同獎金水平失業(yè)者的再就業(yè)時間（天）

無獎金低獎金中獎金高獎金9286967810010892758593907688887787898979739075718394788282807275687879817212/28/202331失業(yè)保險的例子（2）1、根據(jù)前面的分析，數(shù)據(jù)符合方差分析的假設(shè)條件。2、提出零假設(shè)和備擇假設(shè)：H0：μ1＝μ2＝μ3＝μ4，H1：μ1、μ2、μ3、μ4不全相等。12/28/202332失業(yè)保險的例子（3）3、計算F統(tǒng)計量的實際值。

手工計算可以按照方差分析表的內(nèi)容逐步計算。由于計算量大，實際應(yīng)用中一般要借助于統(tǒng)計軟件。下面是Excel計算的方差分析表。變差來源SS自由度MSFp-值F臨界值組間624.973208.323.040.04332.90組內(nèi)2195.333268.60總變差2820.3135

12/28/202333失業(yè)保險的例子（4）4、樣本的F值為3.04。由于

因此我們應(yīng)拒絕零假設(shè)，從而得出獎金水平對再就業(yè)時間有顯著影響的結(jié)論。類似的，由于，可以得出同樣的結(jié)論。2.90.04330.053.0412/28/202334例2熱帶雨林（1）各水平下的樣本容量不同時單因素方差分析的方法也完全適用，只是公式的形式稍有不同，在使用軟件進(jìn)行分析時幾乎看不出這種差別。

一份研究伐木業(yè)對熱帶雨林影響的統(tǒng)計研究報告指出，“環(huán)保主義者對于林木采伐、開墾和焚燒導(dǎo)致的熱帶雨林的破壞幾近絕望”。這項研究比較了類似地塊上樹木的數(shù)量，這些地塊有的從未采伐過，有的1年前采伐過，有的8年前采伐過。根據(jù)數(shù)據(jù)，采伐對樹木數(shù)量有顯著影響嗎？顯著性水平α=0.05。

12/28/202335例2熱帶雨林（2）1、正態(tài)性檢驗：直方圖從未采伐過1年前采伐過8年前采伐過27121822124291522219151920183318191617222014122414122722817191912/28/202336例2熱帶雨林（3）同方差性檢驗：最大值與最小值之比等于33.19/4.81=1.34，明顯小于4，因此可以認(rèn)為是等方差的。

組計數(shù)求和平均方差從未采伐過1228523.7525.661年前采伐過1216914.0824.818年前采伐過914215.7833.1912/28/202337例2熱帶雨林（4）2、提出零假設(shè)和備擇假設(shè)零假設(shè)：雨林采伐對林木數(shù)量沒有顯著影響（各組均值相等）；備擇假設(shè)：雨林采伐對是有顯著影響（各組均值不全相等）。12/28/202338例2熱帶雨林（5）3、方差分析表4、結(jié)論。F值=11.43>3.32，p-值=0.0002<0.05，因此檢驗的結(jié)論是采伐對林木數(shù)量有顯著影響。變差源SSdfMSFP-valueFcrit組間625.162312.5811.430.00023.32組內(nèi)820.723027.36總計1445.8832

12/28/202339思考：是否意味著每兩個處理平均數(shù)間的差異都顯著或極顯著？例：測定東北、內(nèi)蒙古、河北、安徽、貴州5個地區(qū)黃鼬冬季針毛的長度，每個地區(qū)隨機抽取4個樣本，測定的結(jié)果如表，試比較各地區(qū)黃鼬針毛長度差異顯著性。地區(qū)東北內(nèi)蒙古河北安徽貴州合計132.029.225.223.322.3232.827.426.125.122.5331.226.325.825.122.9430.426.726.725.523.7和

126.4109.6104.199.091.4530.5平均31.6027.4026.0324.7522.8526.5312/28/202340

方差分析中的多重比較在方差分析中，不拒絕零假設(shè)H0，表示拒絕總體均數(shù)相等的證據(jù)不足，分析終止；當(dāng)零假設(shè)H0被拒絕時，我們可以確定至少有兩個總體的均值有顯著差異。但要進(jìn)一步檢驗?zāi)男┚抵g有顯著差異還需要采用多重比較的方法進(jìn)行分析。這在方差分析中稱為事后檢驗(PostHoctest)。多重比較是同時對各個總體均值進(jìn)行的兩兩比較。方法很多，如Fisher最小顯著差異（LeastSignificantDifference，LSD）方法、Tukey的誠實顯著差異（HSD）方法或Bonferroni的方法等。這里我們只介紹最小顯著差異方法。12/28/202341用LSD法進(jìn)行多重比較的步驟1、提出假設(shè)H0:mi=mjH1:mi

mj2、計算檢驗的統(tǒng)計量3a、如果或