第八章平面解析幾何章末大盤點(diǎn)

第八章平面解析幾何章末大盤點(diǎn)2023/12/28第八章平面解析幾何章末大盤點(diǎn)第八章平面解析幾何章末大盤點(diǎn)一、函數(shù)與方程思想1．方程思想：解析幾何的題目大部分都以方程形式給定直線或圓錐曲線．因此可以用方程思想討論直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題．可以把直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)問(wèn)題利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行整體處理．從而減少解題過(guò)程的運(yùn)算量．2．函數(shù)思想：對(duì)于圓錐曲線上一動(dòng)點(diǎn)，在變化過(guò)程中，會(huì)引入一些相互聯(lián)系、相互制約的量，從而使有些線段長(zhǎng)度及a、b、c、k、e之間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，函數(shù)思想在處理這類問(wèn)題時(shí)非常有效．第八章平面解析幾何章末大盤點(diǎn)【示例1】已知直線y＝－＋2和橢圓(a＞b＞0)相交于A，B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，若|AB|＝2直線OM的斜率為，求橢圓的方程．第八章平面解析幾何章末大盤點(diǎn)[解]由消去y整理得(a2＋4b2)x2－8a2x＋16a2－4a2b2＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝又設(shè)M(xM，yM)，則xM=第八章平面解析幾何章末大盤點(diǎn)因?yàn)閗OM=即a2＝4b2.從而x1＋x2＝又|AB|＝2所以即解得b2＝4.所以a2＝4b2＝16，故所求橢圓方程為第八章平面解析幾何章末大盤點(diǎn)[領(lǐng)悟]待定系數(shù)法是求直線或曲線方程的常用方法，而用待定系數(shù)法解題時(shí)，在題目中尋找等量關(guān)系，建立方程是關(guān)鍵．第八章平面解析幾何章末大盤點(diǎn)二、數(shù)形結(jié)合思想圓錐曲線的相關(guān)問(wèn)題中，許多表達(dá)式都具有一定的幾何意義．挖掘題目中隱含的幾何意義，然后采用數(shù)形結(jié)合的思想方法進(jìn)行推理，可以直觀地解決一些最值問(wèn)題．另外，在解題中還要善于將數(shù)形結(jié)合的思想運(yùn)用于對(duì)圓錐曲線的性質(zhì)和關(guān)系的研究中．第八章平面解析幾何章末大盤點(diǎn)【示例2】當(dāng)函數(shù)y＝1＋與函數(shù)y＝k(x－2)＋4的圖象有兩個(gè)相異交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是()第八章平面解析幾何章末大盤點(diǎn)[解析]曲線y=1+是以(0,1)為圓心、2為半徑的半圓(如圖)，直線y=k(x-2)+4是過(guò)定點(diǎn)(2,4)的直線．設(shè)切線PC的斜率為k0，切線PC的方程為y=k0(x-2)+4.圓心(0,1)到直線PC的距離等于半徑2，即設(shè)直線PA的斜率為k1，則所以實(shí)數(shù)k的范圍是[答案]C第八章平面解析幾何章末大盤點(diǎn)[領(lǐng)悟]平面解析幾何本身就是“以數(shù)解形”的一門學(xué)科，是數(shù)形結(jié)合思想的直接體現(xiàn)．本例借助于數(shù)的幾何意義，利用形的直觀進(jìn)行解題，又體現(xiàn)了“以形助數(shù)”的思想．第八章平面解析幾何章末大盤點(diǎn)三、化歸與轉(zhuǎn)化思想解決有關(guān)直線與圓錐曲線相交的問(wèn)題，若要證明線數(shù)相等或求弦長(zhǎng)，或求某些與曲線上的點(diǎn)有關(guān)的題目時(shí)，直接求交點(diǎn)坐標(biāo)往往理論上可行，而實(shí)際運(yùn)算卻繁瑣復(fù)雜．很難得出結(jié)果，若合理轉(zhuǎn)化，可使運(yùn)算簡(jiǎn)化，事半功倍．第八章平面解析幾何章末大盤點(diǎn)【示例3】從圓C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0外一點(diǎn)P(x1，y1)向圓引切線，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的P點(diǎn)坐標(biāo)．第八章平面解析幾何章末大盤點(diǎn)[解]將方程x2＋y2－4x－6y＋12＝0配方后，得(x－2)2＋(y－3)2＝12，∴圓心為C(2,3)，半徑r＝1.∵切線PM與半徑CM垂直(如圖所示)，由|PM|=|PO|，得第八章平面解析幾何章末大盤點(diǎn)化簡(jiǎn)整理，得2x1+3y1=6，故滿足|PM|=|PO|的P點(diǎn)軌跡是方程2x+3y-6=0表示的直線．∴|OP|的最小值為O點(diǎn)到此直線的距離，即從而解方程組即滿足題設(shè)條件的P點(diǎn)為第八章平面解析幾何章末大盤點(diǎn)[領(lǐng)悟]解析幾何是將“形”的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的問(wèn)題解決的學(xué)科，如在解題中常將交點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程根的問(wèn)題，將最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題解決．第八章平面解析幾何章末大盤點(diǎn)四、分類討論思想分類討論思想在解析幾何中應(yīng)用廣泛，主要表現(xiàn)的方面有：(1)過(guò)定點(diǎn)的直線的斜率是否存在問(wèn)題．(2)與截距有關(guān)的直線問(wèn)題要分零截距與非零截距情形討論．(3)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)問(wèn)題．(4)含參數(shù)的方程表示的曲線的討論問(wèn)題．(5)圓與圓的位置關(guān)系判斷問(wèn)題．(6)橢圓、雙曲線、拋物線焦點(diǎn)位置與標(biāo)準(zhǔn)方程間關(guān)系的問(wèn)題等等．第八章平面解析幾何章末大盤點(diǎn)【示例4】已知向量動(dòng)點(diǎn)M到定直線y＝1的距離等于d，并且滿足d2)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，k為參數(shù)．(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并判斷曲線類型；(2)如果動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是一條圓錐曲線，其離心率e滿足≤e≤，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．=(2,0),=(0,1),第八章平面解析幾何章末大盤點(diǎn)[解](1)設(shè)M(x，y)，則由且O為原點(diǎn)，知A(2,0)，B(2,1)，C(0,1)．從而2，y－1)，d＝|y－1|.代入得(1－k)x2＋2(k－1)x＋y2＝0為所求的軌跡方程．當(dāng)k＝1時(shí)，得y＝0，軌跡為一條直線；當(dāng)k≠1時(shí)，得(x－1)2＋若k＝0，則軌跡為圓；若k＞1，則軌跡為雙曲線；若0＜k＜1或k＜0，則軌跡為橢圓．=(2,0),=(0,1),第八章平面解析幾何章末大盤點(diǎn)(2)因?yàn)樗苑匠瘫硎緳E圓．對(duì)于方程(x－1)2＋①當(dāng)0＜k＜1時(shí)，a2＝1，b2＝1－k，c2＝a2－b2＝1－(1－k)＝k，此時(shí)②當(dāng)k＜0時(shí)，a2＝1－k，b2＝1，c2＝－k，所以所以第八章平面解析幾何章末大盤點(diǎn)[領(lǐng)悟]在圓錐曲線的定義中，都是有一定的限制條件的，滿足不同的條件就得到不同的曲線(如本例(1))，另外在進(jìn)行有關(guān)量的運(yùn)算時(shí)，參數(shù)的符號(hào)往往決定著運(yùn)算結(jié)果，在符號(hào)不明確時(shí)也要進(jìn)行分類討論．第八章平面解析幾何章末大盤點(diǎn)第八章平面解析幾何章末大盤點(diǎn)1．(2009·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)雙曲線(a>0，b>0)的漸近線與拋物線y＝x2＋1相切，則該雙曲線的離心率等于()B.2第八章平面解析幾何章末大盤點(diǎn)解析：雙曲線的漸近線方程為y＝與拋物線方程聯(lián)立得x2±＋1＝0，Δ＝(±)2－4＝0?b2＝4a2，∴c2－a2＝4a2，∴c2＝5a2，e＝答案：C第八章平面解析幾何章末大盤點(diǎn)2．(2008·山東高考)若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x－3y＝0和x軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．(x－3)2＋＝1B．(x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D.

＋(y－1)2＝1第八章平面解析幾何章末大盤點(diǎn)解析：法一：由題意知圓心坐標(biāo)為(x0,1)，∴排除A、C.選項(xiàng)B中圓心(2,1)到直線4x－3y＝0的距離即d＝r成立．法二：由題意設(shè)圓心為(x0,1)，∵d＝r，＝1?x0＝2或x0＝－(舍去)．答案：B第八章平面解析幾何章末大盤點(diǎn)3．(2007·山東高考)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，A是拋物線上的一點(diǎn)，與x軸正向的夾角為60°，則為()第八章平面解析幾何章末大盤點(diǎn)解析：設(shè)則A又∵A在y2＝2px上，∴＝p2＋pt，解得t＝2p，t＝－

(舍)，∴A答案：B第八章平面解析幾何章末大盤點(diǎn)4．(2010·汕頭模擬)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的實(shí)軸與虛軸相等，一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為，則雙曲線方程為()A．x2－y2＝2B．x2－y2＝C．x2－y2＝1D．x2－y2＝第八章平面解析幾何章末大盤點(diǎn)解析：設(shè)雙曲線方程為x2－y2＝λ(λ>0)，漸近線方程為y＝±x，焦點(diǎn)到直線的距離∴c＝2，∵2λ＝c2＝4，∴λ＝2.答案：A第八章平面解析幾何章末大盤點(diǎn)5．(2010·日照模擬)過(guò)點(diǎn)A(1，－1)，B(－1,1)且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4第八章平面解析幾何章末大盤點(diǎn)解析：設(shè)圓心C(a,2－a)，則|AC|＝|BC|.∴(a－1)2＋(3－a)2＝(a＋1)2＋(1－a)2，∴a＝1，∴r＝2，C(1,1)．∴圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.答案：C第八章平面解析幾何章末大盤點(diǎn)6．(2009·廣東高考)已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x

軸上，離心率為，且G上一點(diǎn)到G的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12，則橢圓G的方程為_(kāi)_______________．第八章平面解析幾何章末大盤點(diǎn)解析：由題意得2a＝12，所以a＝6，c＝3，b＝3，故橢圓G的方程為=1.答案：第八章平面解析幾何章末大盤點(diǎn)7．(2010·珠海模擬)已知雙曲線=1的離心率為則n＝________.解析：①若焦點(diǎn)在x軸上：a2＝n，b2＝12－n，∴c2＝a2＋b2＝12，∴e＝∴n＝4.②若焦點(diǎn)在y軸上，a2＝n－12，b2＝－n，∴c2＝a2＋b2＝－12不合題意．故n＝4.答案：4第八章平面解析幾何章末大盤點(diǎn)8．(2009·安徽高考)已知橢圓=1(a＞b＞0)的離心率為，以原點(diǎn)為圓心、橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線y＝x＋2相切．(1)求a與b；(2)設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1和F2，直線l1過(guò)F2且與x軸垂直，動(dòng)直線l2與y軸垂直，l2交l1于點(diǎn)P.求線段PF1

的垂直平分線與l2的交點(diǎn)M的軌跡方程，并指明曲線類型．第八章平面解析幾何章末大盤點(diǎn)解：(1)由得又由原點(diǎn)到直線y＝x＋2的距離等于圓的半徑，得(2)法一：由c＝得F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)．設(shè)M(x，y)，則P(1，y)．由|MF1|＝|MP|，得(x＋1)2＋y2＝(x－1)2，y2＝－4x.此軌跡是拋物線．第八章平面解析幾何章末大盤點(diǎn)法二：因?yàn)辄c(diǎn)M在線段PF1的垂直平分線上，所以|MF1|＝|MP|，即M到F1的距離等于M到l1的距離．此軌跡是以F1(－1,0)為焦點(diǎn)，l1：x＝1為準(zhǔn)線的拋物線，軌跡方程為y2＝－4x.第八章平面解析幾何章末大盤點(diǎn)9．(2008·北京高考)已知△ABC的頂點(diǎn)A，B在橢圓x2＋3y2＝4上，C在直線l：y＝x＋2上，且AB∥l.(1)當(dāng)AB邊通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O時(shí)，求AB的長(zhǎng)及△ABC的面積；(2)當(dāng)∠ABC＝90°，且斜邊AC的長(zhǎng)最大時(shí)，求AB所在直線的方程．第八章平面解析幾何章末大盤點(diǎn)解：(1)因?yàn)锳B∥l，且AB邊通過(guò)點(diǎn)(0,0)，所以AB所在直線的方程為y＝x.設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)．由得x＝±1，所以|AB|＝又因?yàn)锳B邊上的高h(yuǎn)等于原點(diǎn)到直線l的距離，所以第八章平面解析幾何章末大盤點(diǎn)(2)設(shè)AB所在直線的方程為y＝x＋m.由