2001年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解答

高考試題庫(kù)（）我的高考我做主！第PAGE\*Arabic4頁(yè)共8頁(yè)學(xué)優(yōu)高考網(wǎng)（）我的高考我做主！高考試題庫(kù)（）我的高考我做主！二○○一年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽題（10月4日上午8：00—9：40）題號(hào)一二三合計(jì)加試總成績(jī)131415得分評(píng)卷人復(fù)核人學(xué)生注意：1、本試卷共有三大題（15個(gè)小題），全卷滿分150分。2、用圓珠筆或鋼筆作答。3、解題書寫不要超過(guò)裝訂線。4、不能使用計(jì)算器。選擇題（本題滿分36分，每小題6分）本題共有6個(gè)小是題，每題均給出（A）（B）（C）（D）四個(gè)結(jié)論，其中有且僅有一個(gè)是正確的。請(qǐng)將正確答案的代表字母填在題后的括號(hào)內(nèi)，每小題選對(duì)得6分；不選、選錯(cuò)或選的代表字母超過(guò)一個(gè)（不論是否寫在括號(hào)內(nèi)），一律得0分。1、已知a為給定的實(shí)數(shù)，那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的個(gè)數(shù)為（A）1（B）2（C）4（D）不確定2、命題1：長(zhǎng)方體中，必存在到各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)；命題2：長(zhǎng)方體中，必存在到各棱距離相等的點(diǎn)；命題3：長(zhǎng)方體中，必存在到各面距離相等的點(diǎn)；以上三個(gè)命題中正確的有（A）0個(gè)（B）1個(gè)（C）2個(gè)（D）3個(gè)3、在四個(gè)函數(shù)y=sin|x|,y=cos|x|,y=|ctgx|,y=lg|sinx|中以為周期、在（0，）上單調(diào)遞增的偶函數(shù)是（A）y=sin|x|（B）y=cos|x|（C）y=|ctgx|（D）y=lg|sinx|4、如果滿足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的⊿ABC恰有一個(gè)，那么k的取值范圍是（A）k=8（B）0<k≤12（C）k≥12（D）0<k≤2或k=85、若(1+x+x2)1000的展開(kāi)式為a0+a1x+a2x2+…+a2000x2000,則a0+a3+a6+a9+…+a1998的值為（A）3333（B）3666（C）3999（D）320016、已知6技玫瑰與3枝康乃馨和價(jià)格之和大于24元，而4技玫瑰與5枝康乃馨和價(jià)格之和小于22元，則2枝玫瑰的價(jià)格和3枝康乃馨的價(jià)格比較結(jié)果是（A）2枝玫瑰價(jià)格高（B）3枝康乃馨價(jià)格高（C）價(jià)格相同（D）不確定填空題（本題滿分24分，每小題9分）本題共有6小題，要求直接將答案寫在橫線上。7、橢圓

EMBEDEquation.3的短軸長(zhǎng)等于。8、若復(fù)數(shù)z1,z2滿足|z1|=2,|z2|=3,3z1-2z2=-I,則z1z2=。9、正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則直線A1C1與BD1的距離是。10、不等式的解集為。FABCDEFABCDE12、在一個(gè)正六邊形的六個(gè)區(qū)域栽種觀賞植物（如圖），要求同一場(chǎng)塊中種同一種植物，相鄰的兩塊種不同的植物?，F(xiàn)有4種不同的植物可供選擇，則有種栽種方案。解答題（本題滿分60分，每小題20分）13、設(shè){an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，且，，（a1<a2）,又，試求{an}的首項(xiàng)與公差。14、設(shè)曲線C1:(a為正常數(shù))與C2:y2=2(x+m)在x軸上方公有一個(gè)公共點(diǎn)P。求實(shí)數(shù)m的取值范圍（用a表示）；O為原點(diǎn)，若C1與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，當(dāng)0<a<時(shí)，試求⊿OAP的面積的最大值（用a表示）。15、用電阻值分別為a1、a2、a3、a4、a5、a6、（a1>a2>a3>a4>a5>a6）的電阻組裝成一個(gè)如圖的組件，在組裝中應(yīng)如何選取電阻，才能使該組件總電阻值最小？證明你的結(jié)論。二○○一年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽加試試題（10月4日上午10：00—12：00）學(xué)生注意：1、本試卷共有三大題，全卷滿分150分。2、用圓珠筆或鋼筆作答。3、解題書寫不要超過(guò)裝訂線。4、不能使用計(jì)算器。一、（本題滿分50分）如圖：⊿ABC中，O為外心，三條高AD、BE、CF交于點(diǎn)H，直線ED和AB交于點(diǎn)M，F(xiàn)D和AC交于點(diǎn)N。求證：（1）OB⊥DF，OC⊥DE；（2）OH⊥MN。二、（本題滿分50分）設(shè)xi≥0(I=1,2,3,…,n)且，求的最大值與最小值。三、（本題滿分50分）將邊長(zhǎng)為正整數(shù)m,n的矩形劃分成若干邊長(zhǎng)均為正整數(shù)的正方形，每個(gè)正方形的邊均平行于矩形的相應(yīng)邊，試求這些正方形邊長(zhǎng)之和的最小值。f(a)＝0得m＝－a，此時(shí)xp＝－a－2a2，由于－a－2a2＜－a，從而m≠－a．

綜上可知，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，或－a＜m≤a；

當(dāng)a≥1時(shí)，－a＜m＜a．………………10分(2)△OAP的面積

∵0＜a＜，故－a＜m≤a時(shí)，0＜＜a，

由唯一性得

顯然當(dāng)m＝a時(shí)，xp取值最?。捎趚p＞0，從而yp＝取值最大，此時(shí)，∴．

當(dāng)時(shí)，xp＝－a2，yp＝，此時(shí)．

下面比較與的大小：

令，得

故當(dāng)0＜a≤時(shí)，≤，此時(shí)．

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)．………20分15．解：設(shè)6個(gè)電阻的組件(如圖3)的總電阻為RFG，當(dāng)Ri＝ai，i＝3，4，5，6，R1、R2是a1、a2的任意排列時(shí)，RFG最小……………………5分證明如下：

1．設(shè)當(dāng)兩個(gè)電阻R1、R2并聯(lián)時(shí)，所得組件阻值為R，則．故交換二電阻的位置，不改變R值，且當(dāng)R1或R2變小時(shí)，R也減小，因此不妨取R1＞R2．2．設(shè)3個(gè)電阻的組件(如圖1)的總電阻為RAB

顯然R1＋R2越大，RAB越小，所以為使RAB最

小必須取R3為所取三個(gè)電阻中阻值最小的—個(gè)．3．設(shè)4個(gè)電阻的組件(如圖2)的總電阻為RCD

若記

，則S1、S2為定值，于是

只有當(dāng)R3R4最小，R1R2R3最大時(shí)，RCD最小，故應(yīng)取R4＜R3，R3＜R2，R3＜Rl，即得總電阻的阻值最小…………15分4°對(duì)于圖3把由R1、R2、R3組成的組件用等效電阻RAB代替．要使RFG最小，由3°必需使R6＜R5；且由1°應(yīng)使RCE最?。?°知要使RCE最小，必需使R5＜R4，且應(yīng)使RCD最?。?/p>

而由3°，要使RCD最小，應(yīng)使R4＜R3＜R2且R4＜R3＜R1，

這就說(shuō)明，要證結(jié)論成立………………20分

2001年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽

加試參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一．證明：(1)∵A、C、D、F四點(diǎn)共圓

∴∠BDF＝∠BAC

又∠OBC＝(180°－∠BOC)＝90°－∠BAC

∴OB⊥DF．(2)∵CF⊥MA

∴MC2－MH2＝AC2－AH2①

∵BE⊥NA

∴NB2－NH2＝AB2－AH2②

∵DA⊥BC

∴BD2－CD2＝BA2－AC2③

∵OB⊥DF

∴BN2－BD2＝ON2－OD2④

∵OC⊥DE

∴CM2－CD2＝OM2－OD2⑤……30分

①－②＋③＋④－⑤，得

NH2－MH2＝ON2－OM2MO2－MH2＝NO2－NH2

∴OH⊥MN……………………50分另證：以BC所在直線為x軸，D為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，

設(shè)A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，則

∴直線AC的方程為，直線BE的方程為

由得E點(diǎn)坐標(biāo)為E()

同理可得F()

直線AC的垂直平分線方程為

直線BC的垂直平分線方程為

由得O()

∵∴OB⊥DF

同理可證OC⊥DE．在直線BE的方程中令x＝0得H(0，)

∴

直線DF的方程為

由得N()

同理可得M()

∴

∵kOH·kMN＝－1，∴OH⊥MN．二．解：先求最小值，因?yàn)椤?

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)存在i使得xi＝1，xj＝0，j＝i

∴最小值為1．……………10分再求最大值，令

∴①

設(shè)，令

則①?……………………30分

令＝0，則

由柯西不等式得：

等號(hào)成立?

(k=1，2，…，n)

由于a1≥a2≥…≥an，從而，即xk≥0

所求最大值為……………50分三．解：記所求最小值為f(m，n)，可義證明f(m，n)＝rn＋n－(m，n)(*)

其中(m，n)表示m和n的最大公約數(shù)……………10分

事實(shí)上，不妨沒(méi)m≥n(1)關(guān)于m歸納，可以證明存在一種合乎題意的分法，使所得正方形邊長(zhǎng)之和恰為rn＋n－(m，n)

當(dāng)用m＝1時(shí)，命題顯然成立．AAA1BCD1Dmn假設(shè)當(dāng)，m≤k時(shí)，結(jié)論成立(k≥1)．當(dāng)m＝k＋1時(shí)，若n＝k＋1，則命題顯然成立．若n＜k＋1，從矩形ABCD中切去正方形AA1D1D(如圖)，由歸納假設(shè)矩形A1BCD1有一種分法使得所得正方形邊長(zhǎng)之和恰為m—n＋n—(m－n，n)＝m－(m，n)，于是原矩形ABCD有一種分法使得所得正方形邊長(zhǎng)之和為rn＋n－(m，n)……20分

(2)關(guān)于m歸納可以證明(*)成立．

當(dāng)m＝1時(shí)，由于n＝1，顯然f(m，n)＝rn＋n－(m，n)

假設(shè)當(dāng)m≤k時(shí)，對(duì)任意1≤n≤m有f(m，n)＝rn＋n－(m，n)

若m＝k＋1，當(dāng)n＝k＋1時(shí)顯然f(m，n)＝k＋1＝rn＋n－(m，n)．

當(dāng)1≤n≤k時(shí)，設(shè)矩形ABCD按要求分成了p個(gè)正方形，其邊長(zhǎng)分別為al，a2，…，ap

不妨a1≥a2≥…≥ap

顯然a1＝n或a1＜n．若a1＜n，則在AD與BC之間的與AD平行的任一直線至少穿過(guò)二個(gè)分成的正方形(或其邊界)．于是a1＋a2＋…＋ap不小于AB