2023學年人教版高一數(shù)學下學期期中期末必考題精準練期中測試卷02(解析版)

期中測試卷02

（本卷滿分150分，考試時間120分鐘。）

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

1.若復數(shù)z滿足z-（2+5i）=2i+3（i是虛數(shù)單位），則［在復平面內對應的點位于

（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

2i+3(2i+3)(2-5i)16-lli16II.

【解析】由z-（2+5i）=2i+3,所以一1

2+5i-(2+5i)(2-5i)-292929

所以1=居+葛「在復平面內對應的點是（2,2），位于第一象限.故選：A.

2.已知向量1=(-1,2),1=(3,1),c=(x,4),若伍-山或貝叱=

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

［解析］?2=(-1,2),5=(3,1).?.a-fe=(-4,l)

僅-5>D=TX+4=0,解得：x=l本題正確選項：A

rr

3.已知平面向量d,5滿足愀+小|。T=2,則卜-24的值可能為（）

710

A.1B.2C.-D.—

33

【答案】D

【解析】因為忸+臼=卜-力|=2,

所以4時+4萬+問=，_26萬+忖，則=同°,

又卜_邛=同2_2萬.5+好=4,則2同2+時=4,所以|司2=4_2同匕0,則同?42,

因此卜一2.=J司之一而石+咽?=yj\af+2\af+\6-S\af=J16-5時>瓜,

故ABC都不能取得，只有D選項能取得，故選：D.

4.已知圓臺下底面的半徑為2,高為2,母線長為石，則這個圓臺的體積為（）

147147

A.—7iB.一式C.—7tD.—?！敬鸢浮緼

3253

【解析】設圓臺上底面的半徑為，，下底面半徑為R,則有（石丫=（2-廳+22,

解得〃=1或r=3（舍去）.

圓臺的體積為丫=^%力卜2+代+，火）=^乂萬*2乂（22+12+2*1）=3萬

故選：A.

5.如圖，在矩形ABCO中，AB=2,AD=\,E為邊OC的中點，F(xiàn)為8E的中點，則

UUULIIIU

AFAE-<）

【答案】B

【解析】以A為坐標原點，可建立如圖所示平面.直角坐標系,

3

則A（0,0）,￡（1,1）,F,:.AF=

2,2米3

:.AF-AE=-+-=2.

22

故選：B.

6.如圖，在棱長為1的正方體A8CO-A與GR中，點P為線段AG上的動點，則下列說法

不正確的是（

A.BDLCPB.三棱錐C-8PD的體積為定值

C.平面PAC_L平面BDGD.8P+OP的最小值為百

【答案】D

【解析】對于A：連接AC,在正方體中易知：BD1AC,BD1A4,,ACHAA^A,

所以BD_L平面ACGA,

乂因為CPu平面ACG4,

所以3DLCP,故A正確；

對于B：由等體積得匕一硒,=%一2,=*5,此人的=gxgxlxlxl=\為定值，故B正確;

對于C：由8O_L平面ACGA，得由8￡>_L平面PAC,

乂因為8Du平面BOG，

所以平面R4CJ?平面8。和，故C正確;

對于D：將等邊△BAG與等邊△巾?展開到一個平面上，

可知當8,P,。三點共線時，BP+DP有最小值，最小值為

=2*=而,故D不正確.

故選：D.

7.我國東漢

末數(shù)學家趙爽在《周髀算經》中利用一副“弦圖"給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽

弦圖"，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示.在

"趙爽弦圖"中，若灰^色麗二瓦布=3前，則/==()

A

【答案】D

［解析］由題意即=而+方=冊+:麗=冊+（（麗+而）=及+1（_'|麗+麗），

25—?—?3—>—?16―-12—?

:.-BF=BC+-BABF=—BC+—BA

164f2525

—-16-12—

:.BF=—a+—b^：D

2525

8.如圖，在棱長為2的正方體ABCO-ASGR中，點E、尸分別是棱BC,CC,的中點,

P是側面BCG耳內一點，若AP〃平面AEF,則線段吊尸長度的取值范圍是（）

逑A/5

必用B.C.，百

坐2及

D.

【答案】C

【解析】如下圖所示,分別取棱8優(yōu)，的中點“、N,連MN,BC、,

-：M,N,E,尸分別為所在棱的中點，則MN//BG，EFHBC、，

:.MN//EF,又MV（Z平面A",EFu平面AEF,

:.MNH^\AEF.

?：A\HNE,AA,=NE,

.??四邊形AENA為平行四邊形，

:.AtN//AE,

又AN<Z平面A￡U平面AEF,

AN〃平面AE尸，

又ANCMN=N,

平面AMN〃平面A".

■：P是側面BCq內…點，且AP〃平面AEF,

..?點戶必在線段MN上.

在41MM中，AM=〃目+4”=物+1=6

同理，在RrAA向N中，可得其8=石，

.??AA1MN為等腰三角形.

當點尸為例N中點。時，\PA.MN,此時AP最短；點尸位于M、N處時，4尸最長.

\o=^\M2-OM2=^（Vs）2-等=乎,AM=AN=5

..?線段4尸長度的取值范圍是三一,6.故選：C.

二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.全部選對的得5分，部分選對

的得3分，有選錯的得0分）

9.下列關于球體的說法正確的是（）（多選）

A.球體是空間中到定點的距離等于定長的點的集合

B.球面是空間中到定點的距離等于定長的點的集合

C.一個圓繞其直徑所在直線旋轉一周形成的曲面所圍成的幾何體是球體

D.球的對稱軸只有1條

【答案】BC

【解析】空間中到定點的距離等于定長的點的集合是球面，

所以A錯誤，8正確；由球體的定義，知C正確；

球的每一條直徑所在的直線均為它的對稱軸，所以。錯誤.故選:BC.1O.如圖，長方體

ABCO-ABCQ的底面是正方形，E是。。的中點.則（）

△B[EC為直角三角形

B.CE//A.B

C.直線BC與平面4EG所成角的正弦值為半

D.三棱錐G-BCR的外接球的表面積是正方形ABC。面積的6兀倍

【答案】ACD

【解析】不妨設朋=248=2,則B、E=g,EC=M,B1C=也,

因為8f2+曰:2=892,所以44￡。為直角三角形，A正確；

因為A8與RC平行，所以CE與A8無法平行，B錯誤；

由選項A可知5ELEC,又EC=EG=正,CG=2,

所以ECJ.EC-

又B,￡n￡C,=E,所以EC,平面B,EC),

所以是直線8c與平面用EG所成角，

由國7=血,8《=石，所以411/67?田=￡|=典,(：正確；

因為三棱錐C-BCA的外接球就是長方體AB8-ABCR的外接球,

所以三棱錐C-BCA的外接球半徑R=寸土『演”=也,

22

三棱錐G-8CR的外接球的表面積為S=47x("y=6肛S“g,=1

所以三棱錐的外接球的表面積是正方形ABCD面積的6萬倍，D正確，

故選：ACD.

11.正方體ABCD-ABCR的棱長為1,E,F,G分別為8C,CC,,8月的中點.則

G

4

A.直線。0與直線AF垂直B.直線AG與平面AEF平行

A

9

C.平面AE/截正方體所得的截面面積為gD.點C與點G到平面AE尸的距離相等

O

【答案】BC

【解析】對于A,因為。O〃C0,若。。J.AF,則GCLAF,從圖中可以看出，GC與

反相交，但不垂直，所以A錯誤;

對于B,如圖所示，取4G的中點N,連接AN、GN,則有GN〃EF,A,N//AE,

0CNCAN=N,EFr\AE=E,回平面AGN?平面AEF.

又回Afiu平面AfiQ,0AG回平面AEF，故選項B正確;

對于C,如圖所示，連接。尸，RA,延長。尸，AE交于點S,

13E,F分別為BC,GC的中點，QEF//ADt,

0A,E、F、"四點共面，回截面即為梯形4EF0.

SCF=CE,S\CF2+CS2=CE2+CS2,BPFS2=ES2,SFS=ES

又D、F=AE,|3qF+FS=A￡+ES即AS=AS=逐，A〃=0,團等腰團ADR的高/?=逑，

梯形4EFQ的高為g=乎，

團梯形AEFDt的面積為_L3/+AR）x”I（也+夜）x述=2,故選項C正確；

222248

對于D,假設C與G到平面4M的距離相等，即平面AEF將CG平分，則平面A￡尸必過

CG的中點，

連接CG交EF于H,而“不是CG中點，則假設不成立，故D錯.故選：BC.

12.在如圖所示的三棱錐V—A8C中，已知AB=BC,Z.VAB=ZVAC=ZABC=90°,P

為線段VC的中點，則（）

A.尸B與AC垂直

B.PB與儂平行

C.點P到點A,B,C,丫的距離相等

D.PB與平面ABC所成的角大于NY84

【答案】AC

【解析】A.如圖所示：

取AC的中點Q,連接PQ,8Q,因為P為中點，則

閥//窗，又因為NV4B=NV<4C=ZABC=90。，則平面ABC,所以尸QL平面ABC,

則PQ_LAC,乂AB=BC,則/C_L幽,&c6。=。，所以AC,平面PQB,

則AC_LPB，故正確；

B.由A知：VAMPQ,PQcPB=P,故錯誤：

C.因為WILBC,ZAfiC=90%VAoAB=A,所以8CL平面38,

則皮'_L仍，所以三角形3C,M8C是直角三角形，

由直角三角形中線定理知，點P到點A,B,C,V的距離相等，故正確；

D.由PQJ■平面ABC知：NPB。是尸8與平面45c所成的角，因為閣=-VA,BQ=—AB,

22

所以tanN?。?竺=亞竺=YltanN煙，即tanN%0<tanZES4,

BQ2AB2

因為/“，/皿,又^=13110在(0,^)遞增，所以NPBQ<NVBA,故錯誤；

故選：AC

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

LIUUUUUUU

13.已知。4=化2),O8=(1,2A),OC=(1—N―1),且相異三點A、B、C共線，則實數(shù)

k=.

【答案)---

4

uuuUUUU11___

【解析】AB=OB-OA=(\-k,2k-2),AC=OC-OA={\-2A:,-3),

因為相異三點A、B、C共線，所以荏〃前，

則-3?(11)-(2H2)(l-2A)=0,解得或1=1,

當人=1時.，OA=OB<A、B重合，舍去，

故憶=-，，故答案為：

44

2

14.已知A4?C的面積為4,tanB=-,AB>AC,設例是邊8c的中點，若AM=。，

則BC=.

【答案】4

【解析】?.?tanB=U得：sinB=2叵，COSB=M1

31313

S.=—acsinB=-ac---4,解得：ac=4x/13,①

“asc2213

△ABW中，利用余弦定理5=c?+±-2C&COSB=C2+土-虱3收=5②由①②可得

42413

砒=4而L=2Vi3(?=4

,/“解得：:或后，

c+—=17[c=2c=VI3

I4

-AB>AC,即c>b

當〃=2萬,0=2時，b2=a2+c2-2accosB=32,得b=40，此時c<A,不成立，當

Q=4,C=JI5時，Z?2=a2+c2-2accosB=5?得b=布,此時c〉b,成立，故

BC\=6Z=4.

故答案為：4

15.已知正三棱柱A8C-44C內有4個半徑為1的半球，若這4個半球的球面兩兩相切,

且其中3個半球的球心在該棱柱底面A8C上.則正三棱柱ABC-A4G側面積的最小值為

【答案】4A/6+12A/2

【解析】4個半球的球面兩兩相切，當正三棱柱ABC-A4G側面積最小時，上面有1個半

球，球心記作下面有3個半球，球心分別記作。2，Q，。4，點。2，。3，。4都在底

面A8C匕半徑為1的圓。2，。3，0,分別與AABC的兩條邊相切，

可得A8=l+l+2BE=2+2x―!~^=2+2技

tan30

設AABC的中心為O,三棱錐。「。2。3。4是棱長為2的正四面體，。是。3。1的中點，

qr>=物-1=50]0=觸口=當,OQ=b_（半『=半,

當正三棱柱ABC-AgG側面積最小時，其高為。0，

所以正三棱柱ABC-ABC側面積的最小值為3ABx0,0=476+12正.

故答案為：4?+12忘

16.三棱錐P—ABC中，PAL平面ABC,ABAC=—,AP=3,AB=2。Q是BC邊

上的一個動點，且直線PQ與面ABC所成角的最大值為（，則該三棱錐外接球的表面積為

【答案】57萬

【解析】由題意，三棱錐P-45C中，P4L平面A8C,直線PQ與平面A3C所成的角為，,

PA3/7

如圖所示，貝人而，=旃=3，且sin。的最大值是土，

PQPQ2

所以(PQ濡=2/，所以AQ的最小值是6,即A到BC的距離為G，

所以AQL8C,因為AB=2G，在R/AA8Q中可得N4BC=J,即可得3c=6,

6

取A48C的外接圓圓心為O',作OO'//PA,

所以二—”0=2r，解得r=2g,所以O'A=2j^,

sm120

取//為上4的中點，所以O"=O'A=26,P”=|,

由勾股定理得OP=R=>JPH2+OH2=叵,

2

所以三棱錐P-ABC的外接球的表面積是5=MW=4乃x(叵y=57n.

四、解答題(本大題共6小題，共70分)

17.己知復數(shù)z=(l+ai)(l+i)+2+4i(ac/?).

(1)若z在復平面中所對應的點在直線x-y=0上，求”的值；

(2)求|z-l|的取值范圍.

【解析】(1)化簡得z=(l+ai)(l+i)+2+4i=(3—a)+3+5?,所以z在復平面中所對應的

點的坐標為(3—。,。+5),在直線x-y=0上，所以3-。-(。+5)=0,得a=—l.

(2)|z-l|=|(2-4)+(a+5川="(2-4)2+(a+5>=6/+6a+29,因為aeR,

R2a2+6a+29>y,所以|z-l|=血標+6〃+29W孚,所以上一1|的取值范圍為

18.如圖，四棱錐P-ABC。中，側面PAO是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面

A8CO是ZABC=60。的菱形，M為PC的中點.

(1)在棱PB上是否存在一點。，使得QM〃平面

PA。？若存在，指出點。的位置并證明；若不存在，請說明理由;

(2)求點。到平面R4"的距離.

【解析】(1)存在，且。為PB的中點.

過M作。M//8C交PB于0,在菱形ABC。中有AD//8C,則。M//A。,

乂。Ma面小。，ADu面必￡>,即。何〃平面PAO,

團存在Q,使得QM〃平面PA。，且此時。為尸8的中點.

(2)過P作尸E_LAD于E,連接CE,AC,如下圖所示：

團側面皿)是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底

面ABCD是ZABC=60°的菱形,

0324。三回。。且。￡：_1_4),ZPEC=-,而AOIPE=E,即CE_L面PAO,

2

CE

M為PC的中點：AMLPC,DMLPC,且M到面PA。的距離,

2

國PE=CE=6,PC=dPE°+CE2=?AM=、癡_(當2=巫,

V22

=

團VD-PAM=Kvf-PADC,且S；?AM=~~~~,SWAD=~PE-AD=5/3,

乙，/4乙

=；；CE，S』AO,即=.

0D到平面PAM的距離為馬叵.

5

19.一個圓錐的底面半徑為2cm,高為6cm,在其內部有一個高為xcm的內接圓柱.

（1）求圓錐的側面積；

（2）當x為何值時，圓柱的側面積最大？并求出側面積的最大值.【解析】（1）圓錐的母

線長為V62+22=2V10（cm），

團圓錐的側面積￡=打x2x2M=4而1（cn?）.

（2）該幾何體的軸截面如圖所示.

r6—x

設圓柱的底面半徑為“，由題意，知丁

回圓柱的側面積邑=2萬次=葛（一/+64=—,[。-3）2-9],

回當x=3時，圓柱的側面積取得最大值，且最大值為6乃cmt

20.在AABC中，內角A,B,C所對的邊分別是“，b,c,且acos0=bsinA.

2

⑴求8；

出若445。為銳角三角形，且6=6,求AABC周長的取值范圍.

［解析］⑴由acosy=ftsinA及正弦定理得sinAcosy=sinBsinA,

.BBB.

小攵sinAcos—=2sin—cos—sinA,

222

5

在AABC中，0<A<7TrOvBv乃，所以sinAwO,cos—±0

2

可得sin。；：，而0<日<g,故日=￡即B=g.

2222263

2R=a=c=b=&=2

⑵由正弦定理的sinAsinCsinBG得c=2sinA,Z?=2sinB,

~2

因為3=[,則A+C==,C--A

333