電路講義試點71

第七章正弦穩(wěn)態(tài)分析上海交通大學本科學位課程

2003年8月解KVL：支路關(guān)系：電路方程：例求正弦激勵下的全響應vC(t)初始條件iL(0-)=2A，vC(0-)=1V

本章討論的是正弦穩(wěn)態(tài)響應§7.1正弦量和相量隨時間按正弦規(guī)律變化的電壓和電流，稱正弦電壓和正弦電流。

y(t)=Amsin(

t+

)

Am最大值，

角頻率，

初相位,(-180

＜

＜180

)若正弦量為電流i(t)，則i(t)=Imsin(

t+

)其中Im是正弦電流最大值，I是正弦電流有效值。

最大值，角頻率，初相位為正弦量的三要素。三要素確定后，正弦量就被唯一確定。

有效值也稱均方根值，即以上情況同樣適合于正弦電壓實驗室的交流電壓表、電流表的表面標尺刻度都是有效值，包括交流電機和電器上的銘牌。

有效值其中Imsin

t=i(t)為正弦電流，對電壓也同樣適用。平均值有效值大于其平均值正弦量的平均值則是指在一周期內(nèi)其絕對值的平均值，或者說其正半波的平均值。有效值變換方法的概念原來的問題原來的問題直接求解變換域中較容易解決的問題變換求解變換域中問題的解答反變換正弦量的相量表示法正弦量的相量表示法利用數(shù)學變換，將正弦量用相量表示（復數(shù)），從而將正弦量的運算轉(zhuǎn)換為復數(shù)的運算。在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，其響應和正弦激勵是具有相同頻率的正弦量。所不同的是他們的有效值（最大值）和初相角。由兩個因素決定的物理量通?？梢杂脧蛿?shù)表示，如力、速度等，因此在給定頻率時，決定正弦量的另外兩個因素，也可用復數(shù)表示，這個復數(shù)稱為相量。根據(jù)歐拉公式當

是t的函數(shù)時，正弦量可用復值函數(shù)來表示。正弦量的相量表示法其中

是t=0時的復值常數(shù)，稱相量?！且越撬俣饶鏁r針旋轉(zhuǎn)的單位矢量，故稱旋轉(zhuǎn)因子。

相量可表示為

稱旋轉(zhuǎn)相量，

旋轉(zhuǎn)相量和正弦量之間的關(guān)系是一一對應關(guān)系注意：在同一問題中只能采用一種表示。完全用來表示和反應已知頻率下的正弦量。但相量并不等于正弦量，只有旋轉(zhuǎn)相量才和正弦量有一一對應關(guān)系。其中稱有效值相量，且—也稱最大值相量。因為最大值與有效值A(chǔ)之間的關(guān)系

正弦量與相量間屬一種變換，稱相量法變換phj。相量法變換phj為已知正弦量變換成相量。相量法的數(shù)學含義稱為正變換例：相量法反變換phj-1為已知相量，變換成正弦量。相量法的數(shù)學含義例：Phj[]變換的常用性質(zhì)性質(zhì)1：若k為常數(shù)，性質(zhì)2：Phj[]變換的常用性質(zhì)性質(zhì)3：性質(zhì)4：例求正弦激勵下的全響應vC(t)初始條件iL(0-)=2A，vC(0-)=1V

例求正弦激勵下的全響應vC(t)初始條件iL(0-)=2A，vC(0-)=1V

正弦穩(wěn)態(tài)響應：

對于由單一的正弦輸入的線性定常電路，只有當電路的固有頻率都落在s復平面的開左半平面上，不論初始條件如何，響應將隨著t→

而變成與輸入同頻率的正弦量。這響應才稱正弦穩(wěn)態(tài)響應，這響應可用相量法來求得。正弦穩(wěn)態(tài)響應，它與初始條件無關(guān)。作為復數(shù)，相量又常用s復平面上的有向線段表示。這樣的圖稱相量圖。設(shè)

且Am1=Am2=Am，

1=

2同相

1＞

2

超前

角度；

落后

角度。

=90

一個相量乘一個j，向逆時針方向旋轉(zhuǎn)90

，乘一個-j，向順時針方向旋轉(zhuǎn)90

，所以稱

90

旋轉(zhuǎn)因子。

正弦穩(wěn)態(tài)電路微分方程復數(shù)方程正弦穩(wěn)態(tài)解相量解求解變換反變換§7.2正弦穩(wěn)態(tài)分析§7.2正弦穩(wěn)態(tài)分析我們把求解電路對正弦輸入的正弦穩(wěn)態(tài)響應稱為正弦穩(wěn)態(tài)分析。求正弦穩(wěn)態(tài)響應的途徑：7.2.1基爾霍夫定律的相量形式KCL：

KVL：

利用性質(zhì)2：7.2.2電路元件上的電壓、電流關(guān)系的相量表示根據(jù)支路約束(歐姆定律)v(t)=Ri(t)所以

這就是電阻R中的電壓、電流的相量關(guān)系。

電壓、電流同相位，說明電壓、電流同時出現(xiàn)最大值。

相量圖電阻元件的相量模型

支路約束

所以

因此

相量圖電容元件的相量模型

電容電流最大值是電容電壓最大值的

C倍(隨

的不同而不同)；電容電流相位超前電壓相位90

。具有電阻的量綱,稱為容抗XC,即

因為

所以

電容XC與電容C，頻率f成反比。所以電容元件對高頻電流呈現(xiàn)的容抗很小，而對直流(f=0)所呈現(xiàn)的容抗XC=

,可視為開路。因此電容具有隔直作用。支路約束

所以

因此

相量圖電感元件的相量模型

電感電壓最大值是電感電流最大值的

L倍(隨

的不同而不同)；電感電流相位滯后電壓相位90

。因為

所以

L具有電阻的量綱,稱為感抗XL，即XL=

L=2

fL。

感抗XL與電感L，頻率f成正比。所以電感元件對高頻電流的阻礙很大，而對直流可視為短路，即XL=0。對互感元件

即

同樣

第七章正弦穩(wěn)態(tài)分析上海交通大學本科學位課程

2003年8月電路的相量模型（符號電路）電路正弦穩(wěn)態(tài)響應并不顧及電路初始條件，為求正弦穩(wěn)態(tài)響應：表示支路電壓,用相量用元件的相量模型表示相應的電路元件：R

R，C

可用相量表示支路電流這種用于進行正弦穩(wěn)態(tài)分析的電路，稱電路的相量模型，也稱符號電路。，L

j

L。若電源中含有不同頻率的正弦量，可對每種頻率成分建立相應的電路模型。

若電路中含有多個正弦電源，各電源的頻率不完全相同，則可對每組相同頻率的正弦電源分別建立相應的電路模型。

§7.3阻抗和導納在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，口電壓相量與口電流相量之比稱策動點阻抗或驅(qū)動點阻抗（簡稱阻抗）。其中阻抗的模阻抗角R電阻，X電抗。

在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，口電流相量與口電壓相量之比稱策動點導納或驅(qū)動點導納（簡稱導納）。

其中導納的模導納角G電導，B電納。對同一端口，在同一頻率下對同一端口來說一般在串聯(lián)情況下

在并聯(lián)情況下

測量方法：從電壓表和電流表上可讀得電壓電流的有效值，用相位計可測得阻抗角

Z和導納角

Y

Y是整個電路Z的倒數(shù)，根據(jù)基爾霍夫定律的相量形式有歐姆定律的相量形式，稱復數(shù)歐姆定律。阻抗從上面的關(guān)系式中我們可以看到，阻抗Z(j

)是一個復數(shù)，且是頻率

的函數(shù)，即同一單口網(wǎng)絡，對不同的頻率

有不同頻率的阻抗。阻抗不同于正弦量的復數(shù)表示，它不是一個相量，而是一個復數(shù)計算量。

頻率

一經(jīng)確定，即激勵正弦信號頻率一經(jīng)確定，單口網(wǎng)絡的阻抗也就被確定，且僅由元件參數(shù)和網(wǎng)絡拓撲所決定，并不隨端口電壓或電流的變化而變化。當電路參數(shù)變化時，阻抗也隨之而變。這種變化，不僅有大小的變化（模的變化）

或也有相位的變化，

v=

Z-

i或

i=

v-

Z

阻抗角

反映了端口電壓與電流的相位關(guān)系，從關(guān)系式中清楚可見

Z的大小是由電路參數(shù)和網(wǎng)絡拓撲所決定，在同一頻率

下，電路參數(shù)不同，電壓和電流之間的相位差也就不同。從阻抗角的關(guān)系式中也可看出，在頻率

一定時，不僅相位差的大小決定于電路參數(shù)和電路拓撲，而且電流是滯后電壓還是超前電壓也與電路參數(shù)和電路拓撲有關(guān)。電壓超前電流，阻抗是感性的

電壓滯后電流，阻抗是容性的電壓電流同相，阻抗是電阻性的因此，在分析和計算交流電路時，必須時刻具有交流的概念，其中首先要有相位概念，而相位關(guān)系又反映在阻抗角上。它和阻抗的模一起被稱為阻抗，阻抗反映了網(wǎng)絡本身的固有特性。例求正弦激勵下的全響應vC(t)初始條件iL(0-)=2A，vC(0-)=1V

§7.4正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量分析法

相量分析法也稱符號法，主要步驟為：將時域電路變換為相量模型即符號電路（有時可省略相量電路模型圖）根據(jù)相量形式的基爾霍夫定律和支路關(guān)系，建立電路方程，用復數(shù)運算法則求解方程。

將所得響應變量的相量，表示成時域中的實函數(shù)形式。

在第1~4章中提供的各種結(jié)論和方法：節(jié)點法、網(wǎng)絡法、網(wǎng)絡定理等都可應用到相量分析法中。例

右示電路中，R1=3K，R2=1K，C=30

F，

求v0(t)解：頻率為

的電流源激勵下的符號電路如下①當

=1rad/s時，

②當

=10rad/s時，

③當

=1000rad/s時，

根據(jù)疊加定理，總輸出電壓例

求正弦穩(wěn)態(tài)響應：網(wǎng)孔電流i1(t)，i2(t)

電路的相量模型如右圖。根據(jù)KVL

正弦穩(wěn)態(tài)響應

例

求電阻中的電流

方法1:由于是求電阻R中的電流，可應用戴維寧定理。由左下圖可知

根據(jù)KVL對紅線回路有由右圖

方法2:用分壓關(guān)系求開路電壓相量

節(jié)點①對地電壓相量

節(jié)點②對地電壓相量

當C1≠C2，L1≠L2的情況下，方法2就體現(xiàn)出優(yōu)越性，比方法1簡潔。

第七章正弦穩(wěn)態(tài)分析上海交通大學本科學位課程

2003年8月7.5.1耦合電感的串聯(lián)異名端相接稱順接，同名端相接稱反接。+++---vv1v2i§7.5耦合電感的串聯(lián)、并聯(lián)、互感的去耦等效電路耦合電感的串聯(lián)在正弦穩(wěn)態(tài)下，耦合電感的伏安關(guān)系的相量形式為：

在順接的情況下，串聯(lián)后的總等效電感比無耦合時加強。耦合電感的串聯(lián)+++---vv1v2i

在反接的情況下，串聯(lián)后的總等效電感比無耦合時減弱。7.5.2耦合電感的并聯(lián)同名端相接耦合電感的伏安關(guān)系的相量形式為：異名端相接并聯(lián)后的總電流為：耦合電感的并聯(lián)同名端相接異名端相接+-+-7.5.3.有一公共連接點的耦合電感同名端連于公共端T型去耦等效電路增加了節(jié)點，沒有增加網(wǎng)孔或回路，比較適用于網(wǎng)孔或回路分析。以上去耦等效電路稱T型去耦等效電路。用受控源去耦等效電路T型去耦等效電路和

型去耦等效電路都是由三端電路組成的雙口電路，即有一個公共端。而受控源去耦等效電路就沒有這個要求，相對比較靈活。(b)無互感等效電路(a)電路的KVL相量方程：(b)無互感等效電路電路阻抗：-M)(C)同側(cè)并聯(lián)等效電路第七章正弦穩(wěn)態(tài)分析上海交通大學本科學位課程

2003年8月§7.6正弦穩(wěn)態(tài)功率

就電路而言，本質(zhì)上是研究信號的傳輸及信號在傳輸過程中能量的轉(zhuǎn)換情況。這同樣適合于正弦信號。因此，功率的問題無疑是一個很重要的問題，特別是在交流電路中，存在著電容、電感元件與電源之間能量的往返交換，這是在純電阻電路中沒有的現(xiàn)象，因此，交流電路的功率分析較為復雜。7.6.1瞬時功率

設(shè)

則電壓v(t)

是同頻率的正弦量，只是相位上有所不同。

電路在任一瞬間所吸取的功率(即瞬時功率)等于輸入端的瞬時電流與瞬時電壓的乘積。式中

為電路輸入端電壓與電流的相位差，即電路的等效阻抗的阻抗角(

=

Z)，VI為有效值，注意：-90o<

Z<90o

。電路的瞬時功率可看成兩個分量的迭加，其一為恒定分量VIcos

，另一為分量VIsin(2

t+

)是交變正弦量,分量的頻率是電壓或電流頻率的2倍。電源與電路間的能量往返交換，這種現(xiàn)象在純電阻電路電路中是不可能存在的，是由不耗能的儲能元件電容、電感造成的。

說明在能量傳輸上不改變方向,只有大小變化,這分量的大小表示電路能量消耗的快慢程度,即電路等效阻抗電阻部分吸收的瞬功率,稱之為有功分量。是瞬時功率的交變分量。曲線與橫坐標所用面積為電源與電路儲能元件間吸收和釋放的能量，這分量代表電源與電路間能量往返交換的速率，在平均意義上說是不作功的無功分量,為電路等效阻抗電抗部分的瞬時功率。ppRωtOppXωtO若無源網(wǎng)絡是純電阻網(wǎng)絡，網(wǎng)絡的阻抗角

=0,即電壓、電流同相位，pR(t)=VI(1-cos2

t)對電阻而言，任何時候的瞬時功率都是正的，電阻總是耗能的。若無源網(wǎng)絡可用一個純電容替換,網(wǎng)絡阻抗角

=-90o即電流超前電壓90o,pC(t)=-VIsin2

t在一周期內(nèi),半周期p>0,電源將能量輸入電容,有半周期p<0,電容將能量吐還給電源，總能量為0。若無源網(wǎng)絡是個電感,網(wǎng)絡的阻抗角

=90o，電壓超前電流90o

pL(t)=VIsin2

t能量的情況與電容一樣。

當電容吸收能量時，電感放出能量，

平均功率（有功功率）電路中一般總有電阻，盡管電路的瞬時功率有正有負，但在一個周期內(nèi)，電路總是消耗功率的，因此，電路吸收的平均功率一般恒大于零。其實平均功率就是電路瞬時功率的有功分量的平均值（又等于瞬時功率有功分量交變部分的極大值），因此，平均功率又稱有功功率，簡稱功率，單位：瓦(W)、千瓦(KW)。

Pav=VIcos

表明正弦交流電路的有功功率，并不等于電壓有效值與電流有效值的乘積，還要乘上cos

，打一個折扣。cos

稱功率因數(shù)，其中

稱功率因數(shù)角。其實

就是阻抗角，它完全是由電路參數(shù)和拓撲結(jié)構(gòu)所決定，是由電感、電容引起的。

電感、電容在電路中并不消耗能量，但會在電路中與電源出現(xiàn)能量往返交換現(xiàn)象，使電路的功率因數(shù)低于純電阻電路的功率因數(shù)cos

=1，由在相同電壓作用下，為使負載獲得相同功率，功率因數(shù)越低，所需電流越大，加重了電源電流的負擔。無功功率

電路與電源往返交換能量的多少，與電路瞬時功率無功分量的極大值VIsin

有關(guān)，此值越大，則瞬時功率無功分量波形的正負半周與橫軸間構(gòu)成的面積越大，往返交換的能量也越多，因此，定義Q為無功功率

無功功率表示電路與電源間往返交換能量的最大速率，式中sin

稱無功功率因數(shù)。

無功功率的單位為無功伏安，簡稱乏(VAR)、也可用千乏(KVAR)視在功率

每個電氣設(shè)備都有在一定條件下的安全運行限額,即額定電壓V,額定電流I,(VI都是有效值),于是S=VI

稱S為視在功率,視在功率的單位為伏安(VA)、千伏安(KVA)。由于S=VI,P=VIcos

,Q=VIsin

,可用功率三角形表示：

在功率三角形中,功率因數(shù)角也是阻抗角，因此，阻抗三角形、電壓三角形與功率三角形相似。

復功率

如果將功率三角形放到復平面上，則P、Q、S之間的關(guān)系可用復數(shù)

來表示的共軛復根，

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2003年8月功率因數(shù)的提高

在相同電壓作用下，負載獲得同樣大小的功率，功率因數(shù)越低，則所需電流越大，將加大電源電流的負擔。此時，如能改變阻抗角，使

→0，就能減小電流，一般用電器都是感性的，因此，常用并聯(lián)電容來減小阻抗角。

(1)電源設(shè)備的容量不能充分利用若用戶：則電源可發(fā)出的有功功率為：若用戶：則電源可發(fā)出的有功功率為：而需提供的無功功率為:所以提高可使發(fā)電設(shè)備的容量得以充分利用無需提供的無功功率。（2）增加線路和發(fā)電機繞組的功率損耗(費電)所以要求提高電網(wǎng)的功率因數(shù)對國民經(jīng)濟的發(fā)展有重要的意義。設(shè)輸電線和發(fā)電機繞組的電阻為:要求:(Ｐ、Ｕ定值)時所以提高可減小線路和發(fā)電機繞組的損耗。(導線截面積)2.功率因數(shù)cos

低的原因日常生活中多為感性負載---如電動機、日光燈，(2)提高功率因數(shù)的措施:3.功率因數(shù)的提高必須保證原負載的工作狀態(tài)不變。即：加至負載上的電壓和負載的有功功率不變。在感性負載兩端并電容I(1)

提高功率因數(shù)的原則：結(jié)論并聯(lián)電容C后：(2)原感性支路的工作狀態(tài)不變:不變感性支路的功率因數(shù)不變感性支路的電流(3)電路總的有功功率不變因為電路中電阻沒有變，所以消耗的功率也不變。(1)電路的總電流，電路總功率因數(shù)I電路總視在功率S4.并聯(lián)電容值的計算相量圖:又由相量圖可得：即:例1:解：(1)（2）如將從0.95提高到1，試問還需并多大的電容C。（1）如將功率因數(shù)提高到,需要并多大的電容C,求并C前后的線路的電流。一感性負載,其功率P=10kW,，接在電壓U=220V,?=50Hz的電源上。即即求并C前后的線路電流并C前:可見:cos

1時再繼續(xù)提高，則所需電容值很大（不經(jīng)濟），所以一般不必提高到1。并C后:(2)從0.95提高到1時所需增加的電容值例2:解：(1)電源提供的電流為：電源的額定電流為：(1)該電源供出的電流是否超過其額定電流？已知電源UN=220V,?=50Hz，SN=10kV?A向PN=6kW,UN=220V，的感性負載供電，(2)如并聯(lián)電容將提高到0.9，電源是否還有富裕的容量？例2:該電源供出的電流超過其額定電流。（2）如將提高到0.9后，電源提供的電流為：該電源還有富裕的容量。即還有能力再帶負載；所以提高電網(wǎng)功率因數(shù)后，將提高電源的利用率。在50赫、380伏的電路中，原接有感性負載，負載的功率P=20千瓦，功率因數(shù)為0.6，試求右示電路中的電流。

例

電容并聯(lián)前，電路中的電流

因為cos

1=0.6，所以I1滯后V的角度

1=53.1o

若以

為參考相量，則接電容后，總電流則

電流落后電壓25.8o

即

=25.8o整個電路的功率因數(shù)cos

=cos25.8o=0.9

并聯(lián)電容后，功率因數(shù)從0.6→0.9，負載本身的電流和功率因數(shù)都沒有改變，但電路總電流從87.7→58.5,大大減少。從相量圖可知，將負載電流成有功分量

分解

和無功分量

則電容電流

正好與

相減，從而減小了電路中的無功分量，使整個電路的功率因數(shù)得以提高,同時減小了整個電路的電流。在實際生產(chǎn)中,并不要求功率因數(shù)提高到1，因為大電容將增加設(shè)備投資，所以要在比較經(jīng)濟的情況下來提高功率因數(shù)。

最大功率傳輸

在直流情況下，當負載電阻等于電源電阻時，負載電阻能從電源獲得最大功率。在交流條件下，負載阻抗在什么情況下，能從電源獲得最大功率？設(shè)電路參數(shù)已定，其等效阻抗為Z=R+jX

，電源電壓向量電源內(nèi)阻抗ZS=RS+jXS電路中的電流相量為電流的有效值為

負載阻抗吸收的功率為

若負載的電阻部分保持不變，當XS+X=0即X=-XS

時(負載電抗的大小等于電源的電抗、性質(zhì)相反)，功率為局部最大在X=-XS

情況下使

(RS+R)2-2R(RS+R)=0R=RS

因此，當負載阻抗Z=R+jX=RS-jXS與電源阻抗為共軛復數(shù)時，負載吸收的功率為最大。我們稱之為最大功率匹配(或稱共軛匹配)。這就是最大功率傳輸定理的內(nèi)容。在共軛匹配下，負載所獲得的最大功率為最大功率傳輸問題，是在給定電源的情況下，負載阻抗的實部和虛部又可變化的前提下討論的。

在共軛匹配情況下，負載阻抗獲最大功率，但功率傳輸?shù)男手皇?0%。共軛匹配在電力傳輸中是決不允許的，電力傳輸中，主要的問題是提高傳輸效率。由此時的V不是負載阻抗兩端的電壓，而是負載阻抗Z中電阻部分R

兩端的電壓VR

。電路的頻率特性·諧振

我們課程中所討論的網(wǎng)絡，主要是用來傳遞信息的。有激勵，就有響應，響應是輸入信號通過網(wǎng)絡的傳遞而得到的輸出信息。前面所討論的問題，都是在給定單一頻率的交變信號激勵下所得到的響應。響應是與激勵同頻率的正弦量，響應的情況通過幅值和相位得以反映。但在實際情況下，任何信號都不會是單一頻率的正弦量，而是可以分解為很多不同頻率正弦量的線性組合，表示為

的函數(shù)。至于施加給電路的信號，除需要的信號外，還可能有其他頻率的，不是所需要的干擾信號混雜進來，有時這些干擾信號還是大量的，不可避免的，例如收音機收聽某一頻率的無線電臺廣播，但所有不同頻率的廣播電臺所發(fā)射的無線電廣播信號，都同時從收音機的接收天線進入收音機。怎樣把所需的信號選出來，把不需的信號濾掉，這就顯得很重要，為此，首先就要了解一個網(wǎng)絡對不同頻率信號的響應問題。頻率響應

網(wǎng)絡函數(shù)

定義：在正弦穩(wěn)態(tài)下，網(wǎng)絡函數(shù)輸入相量是頻率

的函數(shù)，輸出相量也是頻率

的函數(shù)，網(wǎng)絡函數(shù)也是頻率

的函數(shù)。驅(qū)動點函數(shù)（策動點函數(shù)）驅(qū)動點阻抗函數(shù)

驅(qū)動點導納函數(shù)

轉(zhuǎn)移函數(shù)

轉(zhuǎn)移阻抗函數(shù)

轉(zhuǎn)移導納函數(shù)

轉(zhuǎn)移電壓比

轉(zhuǎn)移電流比

后兩種網(wǎng)絡函數(shù)為無量綱函數(shù)頻率響應用N(j

)

表示各類網(wǎng)絡函數(shù)，總可以表示成

網(wǎng)絡函數(shù)的模

表示了輸出相量與輸入相量的振幅比與頻率的關(guān)系，稱振幅頻特性。

網(wǎng)絡函數(shù)的輻角