高二數(shù)學(xué)階段性測試第二章基本知能檢測

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精階段性測試題三(第二章基本知能檢測)時間120分鐘，滿分150分.一、選擇題（本大題共12個小題，每小題5分，共60分,在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．設(shè)橢圓eq\f(x2，m2)＋eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n〉0）的右焦點與拋物線y2＝8x的焦點相同，離心率為eq\f(1,2)，則此橢圓的方程為(）A.eq\f（x2,12)＋eq\f(y2,16）＝1B.eq\f(x2，16）＋eq\f（y2，12）＝1C.eq\f(x2，48)＋eq\f（y2,64)＝1D。eq\f（x2，64)＋eq\f（y2,48）＝1[答案]B［解析］∵拋物線焦點為（2,0）,∴eq\r（m2－n2)＝2,又eq\f（\r(m2－n2)，m)＝eq\f（1，2），∴m＝4，n＝12.2．以eq\f（x2,4)－eq\f(y2，12)＝－1的焦點為頂點,頂點為焦點的橢圓方程為(）A.eq\f（x2,16)＋eq\f(y2，12)＝1B.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,16)＝1C。eq\f（x2，16）＋eq\f(y2,4)＝1D。eq\f（x2,4)＋eq\f（y2,16）＝1[答案]D［解析]雙曲線eq\f(x2,4）－eq\f（y2，12)＝－1，可化為：eq\f(y2，12）－eq\f（x2，4）＝1，焦點為(0，±4），頂點為（0,±2eq\r(3）)，∴橢圓方程為：eq\f（y2,16)＋eq\f（x2，4）＝1.

3．已知拋物線x2＝4y的焦點F和點A(－1,8)，點P為拋物線上一點，則|PA|＋|PF｜的最小值為（）A．16B．6C．12D．9［答案］D［解析］如圖,過點A作準(zhǔn)線的垂線，B為垂足,與拋物線交于一點P，則點P為所求的點，|PA｜＋｜PF｜的最小值為|AB|的長度．4．已知兩定點F1（－1，0),F2（1，0)，且eq\f（1,2）|F1F2|是｜PF1|與|PF2|的等差中項，則動點P的軌跡是(）A．橢圓B．雙曲線C．拋物線D．線段［答案］D［解析]依題意知｜PF1｜＋|PF2｜＝｜F1F2｜＝2，作圖可知點P5．橢圓a2x2－eq\f(a，2)y2＝1的一個焦點是(－2，0），則a等于()A。eq\f（1－\r(3)，4）B.eq\f（1－\r(5），4)C。eq\f（－1±\r(3）,4)D.eq\f(－1±\r(5），4)［答案］B［解析］橢圓a2x2－eq\f（a,2）y2＝1可化為eq\f(x2，\f（1，a2）)＋eq\f(y2,－\f（2,a)）＝1，∴a〈0，排除C、D。當(dāng)a＝eq\f（1－\r（5)，4）時，eq\f（1,a2）＝6＋2eq\r（5），－eq\f（2,a)＝2(eq\r（5）＋1），∴6＋2eq\r（5）－2eq\r（5）－2＝4，∴一個焦點是(－2，0)．6．(2009·廈門模擬)已知橢圓eq\f（x2，a2）＋eq\f（y2，b2）＝1（a〉b>0)，雙曲線eq\f（x2，a2）－eq\f(y2，b2)＝1(a〉0,b>0)和拋物線y2＝2px（p>0)的離心率分別是e1，e2，e3，則（）A．e1e2>e3B．e1e2＝e3C．e1e2〈e3D．e1e2≥e3[答案］C[解析]e1e2＝eq\f(\r（a2－b2）,a）·eq\f(\r(a2＋b2)，a)＝eq\f（\r(a4－b4）,a2)＝eq\r(1－（\f（b,a)）4)<1＝e3。7．在拋物線y2＝8x中，以(1，－1)為中點的弦的方程是()A．x－4y－3＝0B．x＋4y＋3＝0C．4x＋y－3＝0D．4x＋y＋3＝0[答案］C［解析]設(shè)弦的兩端點坐標(biāo)分別為（x1,y1),（x2，y2），(x1≠x2），則yeq\o\al(2,1)＝8x1,yeq\o\al（2,2)＝8x2，兩式相減得(y1－y2）（y1＋y2)＝8（x1－x2），又y1＋y2＝－2，∴eq\f（y1－y2，x1－x2）＝－4，∴弦所在直線的斜率為－4，又過點（1,－1），∴所求直線方程為4x＋y－3＝0.8.eq\f（x2,a2）－eq\f(y2，b2）＝1與eq\f（y2，b2)－eq\f（x2,a2)＝1(a〉b〉0）的漸近線（)A．重合B．不重合，但關(guān)于x軸對稱C．不重合，但關(guān)于y軸對稱D．不重合，但關(guān)于直線y＝x對稱[答案]A9．動圓的圓心在拋物線y2＝8x上，且動圓恒與直線x＋2＝0相切,則動圓必過定點（）A．(4，0）B．（2,0)C．（0,2)D．（0,－2)［答案］B[解析]∵直線x＋2＝0恰好為拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線，由拋物線定義知,動圓必過拋物線焦點(2，0)．10．設(shè)O是坐標(biāo)原點，F(xiàn)是拋物線y2＝2px(p〉0）的焦點，A是拋物線上的一點，eq\o（FA，\s\up6(→）)與x軸正向的夾角為60°，則eq\o(OA,\s\up6(→))為（)A.eq\f(21,4)PB。eq\f（\r（21）,2）PC。eq\f(\r(13)，6）PD。eq\f（13,36）P［答案]B[解析]根據(jù)題意得A點為直線y＝eq\r(3)（x－eq\f(P,2）)與拋物線y2＝2px的兩個交點中橫坐標(biāo)較大的那個，聯(lián)立方程組求出x1＝eq\f（1，6)P，x2＝eq\f（3，2)P，所以A(eq\f(3，2）P,eq\r(3)P），則|OAeq\o(｜，\s\up6(→))＝eq\r(\f(9,4)P2＋3P2）＝eq\f(\r（21），2）P，故選B.11．圓心在拋物線y2＝2x上，且與x軸和該拋物線的準(zhǔn)線都相切的一個圓的方程是(）A．x2＋y2－x－2y－eq\f(1,4）＝0B．x2＋y2＋x－2y＋1＝0C．x2＋y2－x－2y＋1＝0D．x2＋y2－x－2y＋eq\f(1，4）＝0［答案]D[解析]拋物線y2＝2x的準(zhǔn)線為x＝－eq\f(1,2）,設(shè)圓心為（a，b），則有b2＝2a，因為圓與x軸及拋物線準(zhǔn)線都相切，故|b|＝a＋eq\f（1，2)，兩式聯(lián)立解得a＝eq\f（1，2），b＝±1，此時圓半徑r＝|b｜＝1。12．如圖所示,在正方體ABCD－A1B1C1D1中,P是側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動點,若P到直線BC與直線C1D1A．直線B．圓C．雙曲線D．拋物線[答案］D[解析]∵點P到直線C1D1的距離等于它到定點C1的距離,∴動點P到直線BC的距離等于它到定點C1的距離．二、填空題（本大題共4個小題，每小題4分，共16分,將正確答案填在題中橫線上）13．已知長方形ABCD,AB＝4，BC＝3，則以A、B為焦點，且過C、D兩點的橢圓的離心率為________．［答案]eq\f（1，2）［解析]∵AB＝2c＝4，∴c又AC＋CB＝5＋3＝8＝2a，∴a即橢圓的離心率為eq\f(c，a)＝eq\f（1,2)。14．設(shè)中心在原點的橢圓與雙曲線2x2－2y2＝1有公共的焦點，且它們的離心率互為倒數(shù)，則該橢圓的方程是________．［答案]eq\f（x2,2）＋y2＝1［解析］∵雙曲線2x2－2y2＝1的離心率為eq\r(2),∴所求橢圓的離心率為eq\f(\r(2）,2)，又焦點為（±1,0)，∴所求橢圓的方程為eq\f（x2，2)＋y2＝1。15．拋物線形拱橋的跨度是20米，拱高是4米，每隔4米用一支柱支撐，其中最長支柱的長是________．[答案]3。84米[解析］如圖,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．設(shè)拋物線方程為：x2＝－2py(p>0)點A（10,－4）在拋物線上，∴100＝8p,p＝eq\f（25,2)，∴x2＝－25y，其中最長一根長柱與拋物線的交點為B(x0，y0）,由題意知x0＝2，∴y0＝－eq\f(4,25)，∴最長的支柱長為4－eq\f(4，25）＝eq\f(96,25）＝3.84(米）．16．以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題:①設(shè)A，B為兩個定點,k為非零常數(shù)，|eq\o（PA,\s\up6（→)）｜－｜eq\o(PB,\s\up6(→）)|＝k,則動點P的軌跡為雙曲線；②過定圓C上一定點A作圓的動弦AB，O為坐標(biāo)原點，若eq\o（OP,\s\up6（→）)＝eq\f(1,2)(eq\o(OA，\s\up6（→）)＋eq\o(OB,\s\up6（→)))，則動點P的軌跡為橢圓；③方程2x2－5x＋2＝0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率;④雙曲線eq\f（x2，25）－eq\f(y2，9）＝1與橢圓eq\f(x2，35)＋y2＝1有相同的焦點．其中正確命題的序號是________．[答案]③④［解析]雙曲線的定義是：平面上與兩個定點A，B的距離的差的絕對值為常數(shù)2a，且0<2a〈|AB|，那么點由eq\o(OP,\s\up6（→))＝eq\f（1，2）(eq\o(OA，\s\up6(→))＋eq\o（OB,\s\up6(→)）)得點P為弦AB的中點,其軌跡為圓，故②錯；設(shè)2x2－5x＋2＝0的兩根為x1，x2，則由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝eq\f（5,2），x1x2＝1，由此可知兩根互為倒數(shù)，且均為正，故③正確；eq\f（x2，25)－eq\f(y2,9）＝1的焦點坐標(biāo)為(±eq\r(34)，0），eq\f(x2，35)＋y2＝1的焦點坐標(biāo)為（±eq\r（34）,0），故④正確．三、解答題（本大題共6個小題,共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（本題滿分12分）求以橢圓3x2＋13y2＝39的焦點為焦點，以直線y＝±eq\f(x,2）為漸近線的雙曲線方程．[解析]橢圓3x2＋13y2＝39可化為eq\f(x2，13)＋eq\f（y2,3）＝1,其焦點坐標(biāo)為（±eq\r(10)，0），∴所求雙曲線的焦點為（±eq\r（10),0）,設(shè)雙曲線方程為:eq\f（x2,a2）－eq\f(y2，b2）＝1（a>0，b〉0）∵雙曲線的漸近線為y＝±eq\f(1,2）x，∴eq\f(b，a)＝eq\f(1,2），∴eq\f(b2，a2）＝eq\f（a2－c2,a2)＝eq\f（a2－10，a2)＝eq\f（1，4），∴a2＝eq\f（40，3),b2＝eq\f（10,3），即所求的雙曲線方程為：eq\f（3x2，40）＋eq\f(3y2,10)＝1。18．（本題滿分12分)若已知橢圓eq\f（x2,10)＋eq\f（y2,m)＝1與雙曲線x2－eq\f(y2，b）＝1有相同的焦點，又橢圓與雙曲線交于點Peq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(\r(10)，3），y）)，求橢圓及雙曲線的方程．［解析］由橢圓與雙曲線有相同的焦點得10－m＝1＋b，即m＝9－b，①由點Peq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(\r（10)，3）,y)）在橢圓、雙曲線上，得y2＝eq\f（8,9）m，②y2＝eq\f（b,9),③解由①、②、③組成的方程組得m＝1,b＝8,∴橢圓方程為eq\f（x2,10）＋y2＝1，雙曲線方程為x2－eq\f（y2，8）＝1。19．(本題滿分12分）已知拋物線方程為y2＝2x，（1)設(shè)點A的坐標(biāo)為（eq\f(2，3)，0），求拋物線上距點A最近的點P的坐標(biāo)及相應(yīng)的距離｜PA｜；(2)設(shè)點A的坐標(biāo)為（a,0)（a∈R),求拋物線上的點到點A距離的最小值d,并寫出d＝f（a)的函數(shù)表達(dá)式．[解析](1)設(shè)拋物線上任一點P的坐標(biāo)為（x，y)，則｜PA|2＝(x－eq\f（2,3））2＋y2＝（x－eq\f（2,3）)2＋2x＝(x＋eq\f（1，3））2＋eq\f（1，3)，∵x≥0，且在此區(qū)間上單調(diào)遞增，故當(dāng)x＝0時，｜PA|min＝eq\f(2，3)，故距A最近的點的坐標(biāo)為(0，0）．（2）由(1）知|PA|2＝[x－（a－1）］2＋（2a－1），當(dāng)a－1≥0時，即a≥1時,此時當(dāng)x＝admin＝eq\r（2a－1）;當(dāng)a－1<0時，即a<1時，此時當(dāng)x＝0時，dmin＝|a|。綜上，d＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（\r(2a－1）(a≥1）,|a｜(a<1））).20．(本題滿分12分)汽車前燈反射鏡與軸截面的交線是拋物線的一部分，燈口所在的圓面與反射鏡的軸垂直，燈泡位于拋物線焦點處，已知燈口的直徑是24cm，燈深10cm，那么燈泡與反射鏡頂點的（即截得拋物線頂點）距離是多少？［解析]取反射鏡的軸即拋物線的對稱軸為x軸，拋物線的頂點為坐標(biāo)原點，建立直角坐標(biāo)系xOy，如右圖所示．因燈口直徑|AB|＝24,燈深｜OP|＝10，所以點A的坐標(biāo)是（10,12)．設(shè)拋物線的方程是y2＝2px（p>0)．由點A（10,12）在拋物線上,得122＝2p×10，∴p＝7.2.拋物線的焦點F的坐標(biāo)為(3.6,0)．因此燈泡與反射鏡頂點的距離是3。6cm.21．（本題滿分12分）已知拋物線的頂點在原點，焦點在x軸上,其準(zhǔn)線過雙曲線eq\f(x2,a2）－eq\f(y2,b2)＝1（a〉0，b>0）的一個焦點;又拋物線與雙曲線的一個交點為Meq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\r(6))),求拋物線和雙曲線的方程．［解析］∵拋物線的頂點在原點，焦點在x軸上，與雙曲線eq\f(x2，a2）－eq\f（y2,b2）＝1（a>0，b〉0)的一個交點為Meq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(3,2），－\r(6))），∴設(shè)拋物線方程為y2＝2px（p〉0）,將點M坐標(biāo)代入得p＝2，∴y2＝4x，其準(zhǔn)線為x＝－1，∵拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的一個焦點,∴雙曲線的焦點為（±1,0)且點Meq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(3,2),－\r(6)）)在雙曲線上，∴a2＝eq\f（1,4)，b2＝eq\f（3，4)，則雙曲線的方程為4x2－eq\f(4y2，3）＝1.22．(本題滿分14分)如圖,點A是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋