山東省濟(jì)寧市任城區(qū)2024屆高三4月模擬考試數(shù)學(xué)試題理試題_第1頁(yè)
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山東省濟(jì)寧市任城區(qū)2024屆高三4月模擬考試數(shù)學(xué)試題理試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知,則()A. B. C. D.2.已知點(diǎn)是拋物線:的焦點(diǎn),點(diǎn)為拋物線的對(duì)稱軸與其準(zhǔn)線的交點(diǎn),過(guò)作拋物線的切線,切點(diǎn)為,若點(diǎn)恰好在以,為焦點(diǎn)的雙曲線上,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.3.已知函數(shù),若,則的最小值為()參考數(shù)據(jù):A. B. C. D.4.已知某幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體的體積為()A.3 B. C. D.5.已知集合,集合,則等于()A. B.C. D.6.若是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù),且,則A.的值域?yàn)?B.為周期函數(shù),且6為其一個(gè)周期C.的圖像關(guān)于對(duì)稱 D.函數(shù)的零點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè)7.已知函數(shù),.若存在,使得成立,則的最大值為()A. B.C. D.8.《易·系辭上》有“河出圖,洛出書(shū)”之說(shuō),河圖、洛書(shū)是中華文化,陰陽(yáng)術(shù)數(shù)之源,其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中,如圖,白圈為陽(yáng)數(shù),黑點(diǎn)為陰數(shù),若從陰數(shù)和陽(yáng)數(shù)中各取一數(shù),則其差的絕對(duì)值為5的概率為A. B. C. D.9.如圖,長(zhǎng)方體中,,,點(diǎn)T在棱上,若平面.則()A.1 B. C.2 D.10.設(shè),其中a,b是實(shí)數(shù),則()A.1 B.2 C. D.11.已知關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)根,,且,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.12.某校為提高新入聘教師的教學(xué)水平,實(shí)行“老帶新”的師徒結(jié)對(duì)指導(dǎo)形式,要求每位老教師都有徒弟,每位新教師都有一位老教師指導(dǎo),現(xiàn)選出3位老教師負(fù)責(zé)指導(dǎo)5位新入聘教師,則不同的師徒結(jié)對(duì)方式共有()種.A.360 B.240 C.150 D.120二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,,且,則最小值為_(kāi)_________.14.若實(shí)數(shù)滿足不等式組,則的最小值是___15.二項(xiàng)式的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為_(kāi)____,含項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)____.16.若,則____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)把的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程:(2)求與交點(diǎn)的極坐標(biāo).18.(12分)設(shè)為實(shí)數(shù),已知函數(shù),.(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:(2)設(shè)為實(shí)數(shù),若不等式對(duì)任意的及任意的恒成立,求的取值范圍;(3)若函數(shù)(,)有兩個(gè)相異的零點(diǎn),求的取值范圍.19.(12分)中,內(nèi)角的對(duì)邊分別為,.(1)求的大??;(2)若,且為的重心,且,求的面積.20.(12分)已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為,且.若點(diǎn)為的準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作的兩條切線,其中為切點(diǎn).(1)求拋物線的方程;(2)求證:直線恒過(guò)定點(diǎn),并求面積的最小值.21.(12分)某市環(huán)保部門對(duì)該市市民進(jìn)行了一次垃圾分類知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)問(wèn)卷調(diào)查,每一位市民僅有一次參加機(jī)會(huì),通過(guò)隨機(jī)抽樣,得到參加問(wèn)卷調(diào)查的人的得分(滿分:分)數(shù)據(jù),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示.組別頻數(shù)(1)已知此次問(wèn)卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布,近似為這人得分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表),請(qǐng)利用正態(tài)分布的知識(shí)求;(2)在(1)的條件下,環(huán)保部門為此次參加問(wèn)卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案.(?。┑梅植坏陀诘目梢垣@贈(zèng)次隨機(jī)話費(fèi),得分低于的可以獲贈(zèng)次隨機(jī)話費(fèi);(ⅱ)每次贈(zèng)送的隨機(jī)話費(fèi)和相應(yīng)的概率如下表.贈(zèng)送的隨機(jī)話費(fèi)/元概率現(xiàn)市民甲要參加此次問(wèn)卷調(diào)查,記為該市民參加問(wèn)卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附:,若,則,,.22.(10分)在中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足.(1)求B;(2)若,AD為BC邊上的中線,當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí),求AD的長(zhǎng).

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,即當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時(shí)單調(diào)遞增,當(dāng)?shù)讛?shù)大于零小于1時(shí)單調(diào)遞減,對(duì)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可得到正確答案.【題目詳解】因?yàn)?,所以,所以是減函數(shù),又因?yàn)椋?,,所以,,所以A,B兩項(xiàng)均錯(cuò);又,所以,所以C錯(cuò);對(duì)于D,,所以,故選D.【題目點(diǎn)撥】這個(gè)題目考查的是應(yīng)用不等式的性質(zhì)和指對(duì)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,兩個(gè)式子比較大小的常用方法有:做差和0比,作商和1比,或者直接利用不等式的性質(zhì)得到大小關(guān)系,有時(shí)可以代入一些特殊的數(shù)據(jù)得到具體值,進(jìn)而得到大小關(guān)系.2、D【解題分析】

根據(jù)拋物線的性質(zhì),設(shè)出直線方程,代入拋物線方程,求得k的值,設(shè)出雙曲線方程,求得2a=丨AF2丨﹣丨AF1丨=(1)p,利用雙曲線的離心率公式求得e.【題目詳解】直線F2A的直線方程為:y=kx,F(xiàn)1(0,),F(xiàn)2(0,),代入拋物線C:x2=2py方程,整理得:x2﹣2pkx+p2=0,∴△=4k2p2﹣4p2=0,解得:k=±1,∴A(p,),設(shè)雙曲線方程為:1,丨AF1丨=p,丨AF2丨p,2a=丨AF2丨﹣丨AF1丨=(1)p,2c=p,∴離心率e1,故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線及雙曲線的方程及簡(jiǎn)單性質(zhì),考查轉(zhuǎn)化思想,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.3、A【解題分析】

首先的單調(diào)性,由此判斷出,由求得的關(guān)系式.利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值,由此求得的最小值.【題目詳解】由于函數(shù),所以在上遞減,在上遞增.由于,,令,解得,所以,且,化簡(jiǎn)得,所以,構(gòu)造函數(shù),.構(gòu)造函數(shù),,所以在區(qū)間上遞減,而,,所以存在,使.所以在上大于零,在上小于零.所以在區(qū)間上遞增,在區(qū)間上遞減.而,所以在區(qū)間上的最小值為,也即的最小值為,所以的最小值為.故選:A【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,考查分段函數(shù)的圖像與性質(zhì),考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于難題.4、B【解題分析】由三視圖知:幾何體是直三棱柱消去一個(gè)三棱錐,如圖:

直三棱柱的體積為,消去的三棱錐的體積為,

∴幾何體的體積,故選B.點(diǎn)睛:本題考查了由三視圖求幾何體的體積,根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀及相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵;幾何體是直三棱柱消去一個(gè)三棱錐,結(jié)合直觀圖分別求出直三棱柱的體積和消去的三棱錐的體積,相減可得幾何體的體積.5、B【解題分析】

求出中不等式的解集確定出集合,之后求得.【題目詳解】由,所以,故選:B.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)集合的運(yùn)算的問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有一元二次不等式的解法,集合的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題目.6、D【解題分析】

運(yùn)用函數(shù)的奇偶性定義,周期性定義,根據(jù)表達(dá)式判斷即可.【題目詳解】是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù),則,,又,,即是以4為周期的函數(shù),,所以函數(shù)的零點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè);因?yàn)?,,令,則,即,所以的圖象關(guān)于對(duì)稱,由題意無(wú)法求出的值域,所以本題答案為D.【題目點(diǎn)撥】本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì),主要是抽象函數(shù)的性質(zhì),運(yùn)用數(shù)學(xué)式子判斷得出結(jié)論是關(guān)鍵.7、C【解題分析】

由題意可知,,由可得出,,利用導(dǎo)數(shù)可得出函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,進(jìn)而可得出,由此可得出,可得出,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最大值即可得解.【題目詳解】,,由于,則,同理可知,,函數(shù)的定義域?yàn)?,?duì)恒成立,所以,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,同理可知,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,,則,,則,構(gòu)造函數(shù),其中,則.當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.所以,.故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題考查代數(shù)式最值的計(jì)算,涉及指對(duì)同構(gòu)思想的應(yīng)用,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,有一定的難度.8、A【解題分析】

陽(yáng)數(shù):,陰數(shù):,然后分析陰數(shù)和陽(yáng)數(shù)差的絕對(duì)值為5的情況數(shù),最后計(jì)算相應(yīng)概率.【題目詳解】因?yàn)殛?yáng)數(shù):,陰數(shù):,所以從陰數(shù)和陽(yáng)數(shù)中各取一數(shù)差的絕對(duì)值有:個(gè),滿足差的絕對(duì)值為5的有:共個(gè),則.故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題考查實(shí)際背景下古典概型的計(jì)算,難度一般.古典概型的概率計(jì)算公式:.9、D【解題分析】

根據(jù)線面垂直的性質(zhì),可知;結(jié)合即可證明,進(jìn)而求得.由線段關(guān)系及平面向量數(shù)量積定義即可求得.【題目詳解】長(zhǎng)方體中,,點(diǎn)T在棱上,若平面.則,則,所以,則,所以,故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)相等,可得,然后根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算,可得結(jié)果.【題目詳解】由題可知:,即,所以則故選:D【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算,考驗(yàn)計(jì)算,屬基礎(chǔ)題.11、C【解題分析】

先利用三角恒等變換將題中的方程化簡(jiǎn),構(gòu)造新的函數(shù),將方程的解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題,畫(huà)出函數(shù)圖象,再結(jié)合,解得的取值范圍.【題目詳解】由題化簡(jiǎn)得,,作出的圖象,又由易知.故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角恒等變換,方程的根的問(wèn)題,利用數(shù)形結(jié)合法,求得范圍.屬于中檔題.12、C【解題分析】

可分成兩類,一類是3個(gè)新教師與一個(gè)老教師結(jié)對(duì),其他一新一老結(jié)對(duì),第二類兩個(gè)老教師各帶兩個(gè)新教師,一個(gè)老教師帶一個(gè)新教師,分別計(jì)算后相加即可.【題目詳解】分成兩類,一類是3個(gè)新教師與同一個(gè)老教師結(jié)對(duì),有種結(jié)對(duì)結(jié)對(duì)方式,第二類兩個(gè)老教師各帶兩個(gè)新教師,有.∴共有結(jié)對(duì)方式60+90=150種.故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用.解題關(guān)鍵確定怎樣完成新老教師結(jié)對(duì)這個(gè)事情,是先分類還是先分步,確定方法后再計(jì)數(shù).本題中有一個(gè)平均分組問(wèn)題.計(jì)數(shù)時(shí)容易出錯(cuò).兩組中每組中人數(shù)都是2,因此方法數(shù)為.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解題分析】

首先整理所給的代數(shù)式,然后結(jié)合均值不等式的結(jié)論即可求得其最小值.【題目詳解】,結(jié)合可知原式,且,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.即最小值為.【題目點(diǎn)撥】在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí),要把握不等式成立的三個(gè)條件,就是“一正——各項(xiàng)均為正;二定——積或和為定值;三相等——等號(hào)能否取得”,若忽略了某個(gè)條件,就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.14、-1【解題分析】作出可行域,如圖:由得,由圖可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最小值,A(1,0)所以-1故答案為-115、【解題分析】

將代入二項(xiàng)式可得展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和,寫出二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng),令的指數(shù)為,求出參數(shù)的值,代入通項(xiàng)即可得出項(xiàng)的系數(shù).【題目詳解】將代入二項(xiàng)式可得展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和為.二項(xiàng)式的展開(kāi)式通項(xiàng)為,令,解得,因此,展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為:;.【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)公式,屬基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

由,得出,根據(jù)兩角和與差的正弦公式和余弦公式化簡(jiǎn),再利用齊次式即可求出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)?,所以,所?故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值,利用二倍角正切公式、兩角和與差的正弦公式和余弦公式,以及運(yùn)用齊次式求值,屬于對(duì)公式的考查以及對(duì)計(jì)算能力的考查.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)與交點(diǎn)的極坐標(biāo)為,和【解題分析】

(1)先把曲線化成直角坐標(biāo)方程,再化簡(jiǎn)成極坐標(biāo)方程;(2)聯(lián)立曲線和曲線的方程解得即可.【題目詳解】(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為:,即.的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程為;(2)聯(lián)立可得:,與交點(diǎn)的極坐標(biāo)為,和.【題目點(diǎn)撥】本題考查了參數(shù)方程,直角坐標(biāo)方程,極坐標(biāo)方程的互化,也考查了極坐標(biāo)方程的聯(lián)立,屬于基礎(chǔ)題.18、(1)函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為;單調(diào)增區(qū)間為.(2)(3)【解題分析】

(1)據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出;(2)分離參數(shù),可得對(duì)任意的及任意的恒成立,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可求出的范圍;(3)先求導(dǎo),再分類討論,根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性以及最值得關(guān)系即可求出的范圍【題目詳解】解:(1)當(dāng)時(shí),因?yàn)?當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為;單調(diào)增區(qū)間為.(2)由,得,由于,所以對(duì)任意的及任意的恒成立,由于,所以,所以對(duì)任意的恒成立,設(shè),,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,所以.(3)由,得,其中.①若時(shí),則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn),不合題意;②若時(shí),令,得.由第(2)小題,知:當(dāng)時(shí),,所以,所以,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)的值域?yàn)椋?存在,使得,即,①且當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn),,所以.②設(shè),,則,所以函數(shù)在單調(diào)遞增,由于,所以當(dāng)時(shí),.所以,②式中的,又由①式,得.由第(1)小題可知,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,即.當(dāng)時(shí),(ⅰ)由于,所以得,又因?yàn)?且函數(shù)在上單調(diào)遞減,函數(shù)的圖象在上不間斷,所以函數(shù)在上恰有一個(gè)零點(diǎn);(ⅱ)由于,令,設(shè),,由于時(shí),,,所以設(shè),即.由①式,得,當(dāng)時(shí),,且,同理可得函數(shù)在上也恰有一個(gè)零點(diǎn).綜上,.【題目點(diǎn)撥】本題考查含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求不等式恒成立問(wèn)題,以及考查函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是綜合性較強(qiáng)的題.19、(1);(2)【解題分析】

(1)利用正弦定理,轉(zhuǎn)化為,分析運(yùn)算即得解;(2)由為的重心,得到,平方可得解c,由面積公式即得解.【題目詳解】(1)由,由正弦定理得C,即∴∵∴,又∵∴(2)由于為的重心故,∴解得或舍∴的面積為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.20、(1)(2)見(jiàn)解析,最小值為4【解題分析】

(1)根據(jù)焦點(diǎn)到直線的距離列方程,求得的值,由此求得拋物線的方程.(2)設(shè)出的坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)求得切線的方程,由此判斷出直線恒過(guò)拋物線焦點(diǎn).求得三角形面積的表達(dá)式,進(jìn)而求得面積的最小值.【題目詳解】(1)依題意,解得(負(fù)根舍去)∴拋物線的方程為(2)設(shè)點(diǎn),由,即,得∴拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為,即∵,∴∵點(diǎn)在切線上,①,同理,②綜合①、②得,點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程.即直線恒過(guò)拋物線焦點(diǎn)當(dāng)時(shí),此時(shí),可知:當(dāng),此時(shí)直線直線的斜率為,得于是,而把直線代入中消去得,即:當(dāng)時(shí),最小,且最小值為4【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式,考查

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